静力平衡是大气平衡理论的重要组成部分,对于大尺度而言,静力平衡能够以较高的精度满足,然而大气中却常常存在着局部的难以满足静力平衡的运动.理论和实践告诉我们,大气运动一方面维持着高精度的静力平衡运动,另一方面又不能完全是静力平衡运动,因此,静力平衡是重要的,静力平衡的破坏和适应过程也是重要的.从Lamb(1908)研究了波在大气中的垂直传播问题开始,对由热力因素引起的静力平衡破坏及重建问题的研究拉开了序幕,随后Monin和Obukhuv(1959),巢纪平(1962),叶笃正和李麦村(1964),曾庆存和叶笃正(1980, 1981)的研究认为具有频散性质的声波是重建静力平衡的物理机制,其强度标志着该平衡的破坏程度;此后在Durran(1989)完善了滞弹性近似理论的基础上,Bannon(1995, 1996)从Lamb问题出发,研究了一维线性静力适应过程中波动响应问题及各种近似模型在解决非静力扰动能量频散过程中的精度问题,得到具有声波特性的声重力波分支是完成这一过程的物理机制;在绝热大气的小振幅假设下,滞弹性近似解与可压缩大气解是完全相同的;随后,Duffy(1997),Chagion和Bannon(2004, 2005),Fanelli和Bannon(2005),Edson和Bannon(2006)等学者借助数值模式对由热力或动力因素引起的静力适应问题进行了研究,其结果进一步证明了声重力波的频散是大气静力适应过程的物理机制.近年来,Kalkofen等(2010),Holton和Hakim(2013),Mendonça和Stenflo(2015),崔新东和刘宇迪(2015, 2016)对声重力波在静态大气中传播问题的探索,使得静力适应问题的研究有了发展.然而针对实际大气中常常存在着水平基流,并伴随着水平基流的垂直切变(简称WVS)这一事实,我们要问,水平基流及其垂直切变对于静力适应过程是否有影响?如果有,其影响是什么?不同的切变模型产生的影响有何不同?解决这一科学问题对于静力适应理论的发展意义重大.
本文的结构安排如下:第1节给出描写滞弹性大气静力适应过程的线性方程组;第2节考虑水平基流及其在垂直方向的切变作用,导出波动频散方程、相速度和群速度方程;第3节在简谐波动假设下讨论风的垂直切变对气团运动的影响以及对扰动量之间偏振关系的影响;第4节讨论水平基流及其垂直切变对能量转换的影响;第5节构造了四种不同的水平基流垂直切变模型,详细分析四种模型对滞弹性大气静力适应过程中波动特征及能量转换的作用.第6节为结论.
1 控制方程组从描写大气运动的原始方程组出发,忽略地球旋转效应,忽略黏性力作用,假设大气运动过程绝热、无摩擦,则方程组可以写为:
(1) |
其中u, v, w, p, ρ, T, θ分别为速度的水平x、y和垂直分量、大气气压、大气密度、大气温度及位温,Poisson指数
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
(6) |
(7) |
其中
(8) |
方程组(2) —(7)作为研究风的垂直切变对滞弹性近似大气静力平衡适应过程影响的数学模型.假设在研究区域有边界条件:
(9) |
利用式(9)来构造一种满足能量守恒定律的研究环境,用此来研究能量的转换情况.
2 风的垂直切变对波动的影响首先,将式(4)代入式(7)并进行D/Dt运算,结合式(6)得到:
(10) |
其中C2=γRT0=γp0/ρ0为大气干绝热声速的平方,对式(5)进行D/Dt运算,对式(2)进行∂/∂x运算,对式(3)进行∂/∂y运算,消去u′和v′得到:
(11) |
再结合式(10)和式(11)消去p′得到:
(12) |
其中
(13) |
其中kx, ky, ω分别为水平x、y方向的波数和角频率,均为实数,即波动在水平方向无振幅的变化.记多普勒频率σ≡u0kx-ω且方程满足边界条件:
(14) |
其中Hs=RTs/g,Ts为海平面温度.将式(13)代入式(12),当多普勒频率不为零时,化简得到变系数常微分方程:
(15) |
引入标准变换:
(16) |
将式(16)代入式(15)中,化简得到:
(17) |
对于式(17),当垂直折射指数q(z)大于零时,波才能在垂直方向传播,WA*为一震荡型解,而且波传播总是指向q(z)大的区域,而当q(z)小于零时,波的垂直方向传播受阻,WA*有一指数或双曲型解.在满足边界条件下得到频散方程为:
(18) |
其中
(19) |
由式(18)和式(19)可知,水平基流及WVS对波动传播频率及波动能量传播速度均有影响,为了进一步研究其影响,假设波动只在(x, z)平面内传播,则频散关系式(18)可求得形式解为:
(20) |
由式(20)可知,风的垂直切变使得波动频率发生变化,具体关系如图 1所示.
当α趋近于(-π/2) +, 0+时,σ1远远小于重力内波频率,σ2远远大于重力内波频率;当α趋近于(π/2) -, 0-时,σ1等于重力内波频率,σ2远远小于重力内波频率;进而求得存在水平基流垂直切变时波动相速度矢量为:
(21) |
其中cw为波动相速度,cG为重力内波相速度,K为波矢量.由式(21)可知,波动相速度由两部分构成,第一部分为等式右边第一项,它表征水平基流的贡献,第二部分为第二项,表征受水平基流垂直切变影响的重力内波相速度的贡献.取水平波数和垂直波数均大于零,当u0>N(1-cosα)/Ksinα时,有cw1>0,波动σ1分支向东向上传播,相反,则有cw1 < 0,波动σ1向西向下传播;当u0>-N(1+cosα)/Ksinα时,有cw2>0,波动σ2分支向东向上传播,相反,则有cw2 < 0,波动σ2分支向西向下传播.波动群速度矢量为:
(22) |
其中cg为波动群速度,cgG为重力内波群速度,cgQ为由水平基流垂直切变作用引起的能量传播.由式(22)可知,波动群速度由三部分构成,第一部分为水平基流的贡献,它仅对波动水平方向的群速度有贡献,第二部分为受水平基流垂直切变影响的重力内波群速度的贡献,第三部分为水平基流垂直切变项的贡献.结合式(21)可得到波动传播同波动能量传播之间的关系为:
(23) |
由式(23)可以看出,波动形式传播同波动能量传播之间的关系受三部分影响,分别为水平基流作用项、水平基流垂直切变作用项和重力内波作用项.当多普勒频率不等于浮力振荡频率时,频散关系方程式(18)可以写成:
(24) |
由式(24)可知,在波数平面内,对于某一确定的频率,波矢量满足二次曲线方程,当N2>σ2>0时,有R2>0,此时二次曲线为实轴在水平波数轴上的双曲线,中心为(Bσ/2(N2-σ2), 0),以相速度正向传播为例,则波动传播如图 2所示.
其中
其中
假设扰动变量均按照简谐波变化,则它们之间的关系可以写为:
(25) |
其中UA, WA, PA, ρA可作为偏振系数处理,则将式(25)代入式(2) —(7)中,并设气压扰动项为参照,则可得到:
(26) |
根据Cramer法则,(26)式中未知数解的分母总是系数矩阵的行列式,它正比于PA,可推出关系式:
(27) |
其中A0为比例系数,由此可推出各物理量的偏振关系为:
(28) |
由式(28)可知,当不存在风的垂直切变时,水平速度扰动和扰动气压同位相,当达到静力平衡时有扰动密度同扰动气压位相相差90°;将式(28)代入式(25),并消去指数性变化的空间项,可推出空气团的运动方程为:
(29) |
由式(29)可知,气块运动轨迹呈椭圆形,椭圆的参数与波数、频率及WVS有关.当WVS为零,水平波数趋于无穷时,气团运动趋于垂直运动,垂直波数趋于无穷时,气团运动趋于水平运动.
4 风的垂直切变对能量转换的影响在此模型中,由于连续方程中略去了密度扰动随时间的变化项,则有效弹性势能为零,对式(2)和式(4)分别乘以u′和w′得到:
(30) |
得到单位体积的动能收支方程为:
(31) |
其中系统扰动动能Ek由水平扰动动能Ekh和垂直扰动动能Ekv两部分组成;对式(6)乘以g2θ′/θ02N2,结合式(7)可得到单位体积的扰动有效势能APE的收支方程为:
(32) |
对式(31)和式(32)在研究体积内进行积分,可分别得到空气的总扰动动能和总扰动有效势能的收支方程为:
(33) |
(34) |
其中:
(35) |
由式(33)和式(34)可知,水平基流的存在,使得扰动能量的变化由局地变化项和平流变化项组成,而风的垂直切变的作用是使得扰动能量和储存在基流中的能量之间发生转换,由能量守恒定律可知,储存在基流中的能量的收支方程为:
(36) |
比较式(33)、式(34)和式(36)可得到各种能量之间的转换关系为:
(37) |
(38) |
(39) |
(40) |
其中式(37)表示水平扰动动能与扰动有效势能的相互转换,式(38)表示垂直扰动动能与扰动有效势能的相互转换,式(39)表示水平和垂直扰动动能之间的转换,式(40)表示水平扰动动能与储存在基流中的能量之间的转换.当风的垂直切变du0/dz>0时,若存在垂直向上的动量输送,w′u′>0,则扰动水平动能被储存在基流中,若存在垂直向下的动量输送,w′u′ < 0,则储存在基流中的能量向扰动水平动能转换;相反,当风的垂直切变du0/dz < 0时,若存在垂直向上的动量输送,则能量从基流向扰动水平动能输送,若存在垂直向下的动量输送,则能量从扰动水平动能向基流中输送.当达到静力平衡时,ε1=0,垂直扰动动能不再发生变化.具体转化关系如图 4所示.
为了进一步研究不同风的垂直切变模型对适应过程的影响,以下给出四类水平基流垂直分布模型进行讨论.假设水平基流模型为:
(41) |
其中umax, U为常数,水平基流随a1, a2取值的不同呈现不同的分布模型,其中z为垂直高度,0≤z≤2Hs.当取最大水平风速umax=10 m·s-1时,四种分布模型如图 5所示.
其中图 5a取a1=a2=0时,水平基流为常数,在整层大气中分布均匀,无垂直切变;图 5b取a1=0, a2=1时,水平基流随高度呈线性变化,垂直切变为常数U;图 5c取a1=-1, a2=2时,水平基流在高度Hs处有极小值,随高度呈反气旋式变化,垂直切变为高度的函数;图 5d取a1=1, a2=2时,水平基流在高度Hs处有极大值,随高度呈气旋式变化,垂直切变为高度的函数.基本场的垂直分布取美国标准大气廓线分布,其计算的浮力振荡频率、干绝热声速随高度的变化以及温度垂直分布如图 6所示.
由图 6a可知,在整个大气层中浮力振荡频率N2>0,且随着高度的增加而增加,即大气层结为稳定状态;图 6b为干绝热声速在垂直方向的梯度,其垂直分布规律同浮力振荡频率相似; 图 6c为大气温度垂直廓线,随着高度增加,大气温度减小.
5.1 水平基流为常数取a1=a2=0,U=umax=10 m·s-1,Q=0,由式(18)和式(22)可以得到:
(42) |
由式(42)可知,波动多普勒频率等于重力内波频率,波动的性质受水平基流大小的影响,当u0≫N/K时,波动呈现水平基流的特征,当u0≪N/K时,波动呈现重力内波的特征,同时可以得到波动相速度和群速度之间的关系为:
(43) |
以波动向基流正方向传播为代表,由式(43)可知,波动相速度和群速度之间的夹角不随垂直高度变化,垂直波数取第一模态,kz=π/Hs,波动参数随水平垂直比的变化如图 7所示.
由图 7可知,随着水平垂直比的增加,波动多普勒频率增加,水平基流对波动的影响趋于显著,相速度和群速度之间的夹角变小,趋于平行,波动传播图像仅为双曲线型;由式(29)可知,气团运动轨迹不随高度发生变化,当水平波数趋于无穷大或垂直波数趋于零时,气团运动呈垂直状;当垂直波数趋于无穷大或水平波数趋于零时,气团运动呈水平状;当垂直波数为零,气团运动方程为标准的椭圆方程,其离心率接近于1.
对于自由大气而言,扰动能量与基本气流中的能量交换仅依赖于气压扰动引起的辐合辐散运动,如图 8所示.
由图 8可知,在低层,低压区对应上升运动,高压区对应下沉运动,有p′w′ < 0,能量从扰动能量向基本气流转换,维持基本气流;在高层,高压区对应上升运动,低压区对应下沉运动,有p′w′>0,能量从基本气流向扰动能量转换,削弱基本气流,即自由大气中,波动从高层的基本气流中获取能量,增强扰动能量,削弱高层基本气流,而从低层的扰动中获取能量,维持基本气流,削弱低层扰动能量.
5.2 水平基流随高度呈线性变化取a1=0, a2=1,U=umax/Hs=1.2×10-3 s-1,代入式(18)得到:
(44) |
将式(44)代入式(21)和式(22),得到波动σ1速度参数随垂直水平比的变化如图 9所示.
由图 9可知,波动相速度等值线呈脊状分布,高值中心位于低层垂直水平比接近1的区域,随着δ的增加,扰动尺度减小,西传波动的相速度大小呈先增加后减小,波动同时向下传播并沿顺时针向水平基流趋近,东传波动的相速度大小呈增加趋势,波动同时向上传播;波动的群速度等值线从自下而上向西倾斜的分布转变为水平分布,群速度大小呈减小趋势,波动能量向上传播,在波动能量向西传播的区域,群速度方向沿逆时针向水平基流方向趋近,在波动能量向东传播的区域,群速度方向沿顺时针向水平基流方向趋近.随着垂直高度的增加,西向基流切变为东向,在δ的大值区,西传波动被迫转为东传波动,波动能量从西传转为东传,而波动能量的切变高度低于波动传播的切变高度,在垂直高度为600 hPa附近波动仍向西传播,而波动能量却向东传播,波动能量传播最大速度出现在低层长波处.同样得到波动σ2速度参数的演变如图 10所示.
由图 10可知,波动相速度等值线呈槽状分布,高值中心位于高层垂直水平比接近1的区域,随着水平垂直比的增加,西传波动的相速度大小呈增加趋势,波动同时向下传播,东传波动相速度大小呈先增加后减小,波动同时向上传播并沿顺时针向水平基流趋近;波动的群速度等值线从自下而上向东倾斜的分布转变为水平分布,波动能量向下传播,东传的群速度沿顺时针向水平基流趋近,大小呈减小趋势,西传的群速度沿逆时针向水平基流趋近,大小呈增加趋势,随着垂直高度的增加,西向基流切变为东向,在δ的大值区,西传波动被迫转为东传波动,波动能量从西传转为东传,而波动传播的切变高度低于波动能量传播的切变高度,波动能量传播最大速度出现在高层长波处.
由图 9和图 10可知,对于线性切变模型,西传波动向低层传播,东传波动向高层传播,在长波近似条件下,波动传播方向同波动能量传播方向趋于垂直,在短波近似条件下,波动传播方向同波动能量传播方向趋于平行,扰动尺度越小,水平基流及WVS对波动性质的影响越显著.
由式(37) —(40)可知,扰动能量与基流能量之间的转换由两部分组成,当水平波数同垂直波数同号时,波动等相位线自下而上向西倾斜,当满足条件Nsinα/K>B(1-cosα)/K2时,波动σ1能量向上传播,相反则能量向下传播;当水平波数同垂直波数异号时,波动等相位线自下而上向东倾斜,当满足条件Nsinα/K < -B(1+cosα)/K2时,波动σ2能量向下传,具体如图 11所示.
对于水平基流线型切变模型,在切变线以下,水平基流向西,在切变线以上,水平基流向东,整层大气中,有du0/dz>0,当波动等相位线自下而上向西倾斜时,如图 11a所示,垂直动量通量均向下输送,有w′u′ < 0,由式(40)可知,水平基流中的能量转换为扰动能量,扰动得以发展;当波动等相位线自下而上向东倾斜时,如图 11b所示,垂直动量通量均向上输送,有w′u′>0,则能量从扰动能量向基本气流转换,扰动衰减.
5.3 水平基流随高度呈反气旋式分布取a1=-1, a2=2,U=umax /Hs2=1.4×10-7 m-1·s-1,代入式(18)中可得到:
(45) |
将式(45)代入式(19),得到波动σ1速度参数随垂直水平比的变化如图 12所示.
由图 12可知,波动相速度等值线呈闭合椭圆状分布,高值区位于急流轴下方垂直水平比接近1的区域;随着δ的增加,相速度大小呈先增加后减小趋势,向西向下传播,并沿顺时针向水平基流方向趋近;在高层,群速度等值线自下而上向西倾斜,在低层,群速度等值线自下而上向东倾斜,群速度大小呈减小趋势,向西向上传播,并沿逆时针向水平基流方向趋近.随着垂直高度的增加,波动相速度和群速度大小呈先增加后减小的趋势,相速度方向不发生明显变化,垂直高度在急流轴Hs以下,群速度方向沿逆时针向水平基流趋近,垂直高度在急流轴Hs以上,群速度方向沿顺时针远离水平基流方向;相对于相速度高值区,群速度高值区偏向δ小值区,在中尺度运动中,群速度大于相速度,在小尺度运动中,群速度小于相速度.同理得到波动σ2速度参数的演变如图 13所示.
由图 13可知,当δ小于1时,波动相速度等值线在高层自下而上向西倾斜,在低层自下而上向东倾斜;当δ大于1时,波动相速度等值线在高层自下而上向东倾斜,在底层自下而上向西倾斜;随着δ的增加,相速度大小呈先增加后减小的趋势,高值区位于δ等于1的地面和高空.在东传波动区域,波动向上传播,在西传波动区域,同时向下传播;东传的群速度等值线在高层自下而上向东倾斜,在低层自下而上向西倾斜,随着δ的增加,东传的群速度大小逐渐减小,继而转向西传,自下而上形成一道反气旋状的切变线,群速度大小为零的等值线较相速度大小为零的等值线偏向于δ的小值区;在整个空间内,波动能量垂直分量均向下传播.当风的垂直切变呈反气旋分布时,波动传播及通量输送如图 14所示.
在水平基流呈反气旋切变模型中,基本气流向西,在垂直高度为Hs处达到最大值,对于水平波数和垂直波数同号的情形,波动等相位线自下而上向西倾斜,如图 14a所示,垂直高度在急流轴Hs下方,风的垂直切变小于零,有du0/dz < 0,垂直动量通量向下输送,有w′u′ < 0,则对应能量从扰动能量向水平基流转换,扰动衰减;垂直高度在急流轴Hs上方,风的垂直切变大于零,有du0/dz>0,垂直动量通量向下输送,有w′u′ < 0,则对应能量从水平基流向扰动能量转换,扰动发展.对于水平波数同垂直波数异号的情形,波动等相位线自下而上向东倾斜,如图 14b所示,波动在高层和底层向下向东传播,而在中间层向上向西传播,垂直高度在急流轴Hs下方,风的垂直切变小于零,有du0/dz < 0,垂直动量通量向上输送,有w′u′>0,则对应能量从水平基流向扰动能量转换,扰动发展;垂直高度在急流轴Hs上方,风的垂直切变大于零,有du0/dz>0,垂直动量通量向上输送,有w′u′>0,则对应能量从扰动能量向水平基流转换,扰动衰减.
5.4 水平基流随高度呈气旋式分布取a1=1, a2=2,U=-umax/Hs2=-1.4×10-7m-1·s-1,代入式(18)中可得到:
(46) |
将式(46)代入式(19),得到波动σ1速度参数随垂直水平比的变化如图 15所示.
由图 15可知,当WVS呈气旋式分布时,波动速度参数的等值线分布同WVS呈反气旋状相似,仅存在方向的差异;波动相速度等值线呈闭合椭圆状分布,高值区位于急流轴下方垂直水平比接近1的区域;随着δ的增加,相速度大小呈先增加后减小趋势,向东向上传播,并沿顺时针向水平基流方向趋近;在高层,群速度等值线自下而上向西倾斜,在低层,群速度等值线自下而上向东倾斜,群速度大小呈减小趋势,向东向下传播.随着垂直高度的增加,波动相速度和群速度大小呈先增加后减小的趋势,相对于相速度高值区,群速度高值区偏向δ小值区,在中尺度运动中,群速度大于相速度,在小尺度运动中,群速度小于相速度.得到波动σ2速度参数的演变如图 16所示.
由图 16可知,波动相速度等值线和群速度的演变规律同WVS呈反气旋时的分布相似,仅存在方向的差异;随着δ的增加,西传的群速度大小逐渐减小,继而转向东传,在整个空间内,波动群速度的垂直分量均向上传播.在风的垂直切变呈气旋分布结构中,波动传播及通量输送如图 17所示.
在水平基流呈气旋切变模型中,基本气流向东,在垂直高度为Hs处达到最大值,对于水平波数和垂直波数同号的情形,波动等相位线自下而上向西倾斜,如图 17a所示,垂直高度在急流轴Hs下方,风的垂直切变大于零,有du0/dz>0,垂直动量通量向下输送,有w′u′ < 0,则对应能量从水平基流向扰动能量转换,扰动发展;垂直高度在急流轴Hs上方,风的垂直切变小于零,有du0/dz < 0,垂直动量通量向下输送,有w′u′ < 0,则对应能量从扰动能量向水平基流转换,扰动衰减.对于水平波数同垂直波数异号的情形,波动等相位线自下而上向东倾斜,如图 17b所示,波动在高层和底层向上向西传播,而在中间层向下向东传播,垂直高度在急流轴Hs下方,风的垂直切变大于零,有du0/dz>0,垂直动量通量向上输送,有w′u′>0,则对应能量从扰动能量向水平基流转换,扰动衰减;垂直高度在急流轴Hs上方,风的垂直切变小于零,有du0/dz < 0,垂直动量通量向上输送,有w′u′>0,则对应能量从水平基流向扰动能量转换,扰动发展.
6 结论本文为了研究风的垂直切变对滞弹性大气中静力适应过程的影响,选取了四种水平基流垂直分布模型进行研究,分别为1)水平基流为常数;2)水平基流随高度呈线性分布;3)水平基流随高度呈反气旋式分布和4)水平基流随高度呈气旋式分布;大气稳定度参数以美国标准大气为依据,从波动频散关系、气团运动规律和能量转换这三个方面进行分析,得到以下结论:
(1) 具有重力波性质的波动是滞弹性大气静力适应过程中扰动能量传播的方式,基本气流及其垂直切变的存在,不仅改变了波动频率的大小,而且改变波动传播的方向;当且仅当垂直折射指数q(z)大于零时,波动才能在垂直方向传播;在波数平面内,WVS使得波动频散关系图像发生变形和平移,平移发生在水平波数方向,变形发生在垂直波数方向;波动相速度由水平基流作用项和受WVS影响的重力内波作用项构成,群速度由水平基流作用项、受WVS影响的重力内波作用项及WVS项三部分构成.
(2) 水平基流的垂直切变影响扰动物理量之间的偏振关系,当WVS等于零时,水平速度扰动与扰动气压同位相;在静力适应过程中气块的运动轨迹呈椭圆形,WVS的大小影响椭圆的扁率.
(3) 水平基流的存在,使得扰动能量的变化由局地变化项和平流变化项构成,而WVS的存在使得扰动能量和水平基流能量发生转换,正的WVS和垂直向上的动量输送对应扰动能量的衰减,水平基流能量的增加,而负的WVS和垂直向上的动量输送对应扰动能量的增加,水平基流能量的衰减.
(4) 不同的WVS分布模型,对静力适应过程的影响不同:水平基流为常数型时,波动为频散的重力内波,其性质不随高度发生变化,扰动和基本气流之间能量的转换仅通过气压扰动引起的垂直运动;水平基流呈线性切变时,波动在切变线两侧传播方向相反,波动能量在垂直方向上同向传播,对于等相位线自下而上向西倾斜的波动,对应水平基流能量的衰减和扰动能量的增加,对于等相位线自下而上向东倾斜的波动,对应水平基流能量的增加和扰动能量的衰减;水平基流呈反气旋切变时,顺基流传播的一支波动在急流轴两侧传播方向相同,波动能量传播方向也相同,逆基流传播的一支波动,在低层和高层的传播方向同δ较大时急流区的传播方向相反;对于等相位线自下而上向西倾斜的波动,在急流轴下方对应扰动能量的减弱和水平基流的增强,而在急流轴上方对应扰动能量的加强和水平基流的减弱,对于等相位线自下而上向东倾斜的波动,在急流轴下方对应扰动能量的加强和水平基流的减弱;水平基流呈气旋切变时,波动在急流轴两侧的性质同水平基流呈反气旋切变时相似,但对应波动传播方向相反;对基流和扰动能量转换的影响同反气旋型切变一致.
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