板块构造运动是地球岩石圈所经历的最主要的构造运动.诞生于20世纪60年代的板块构造理论指出，地球的岩石圈由一系列大小不等的刚性板块拼合而成，板块浮在热而更易于流动的软流圈之上，彼此相对运动(Morgan，1968).在地质历史上，板块之间相对运动导致的岩石圈撕裂、碰撞或错动，构成了一幕又一幕宏伟的地质构造运动(傅容珊等, 1992, 2007).板块运动不但主导了整个岩石圈的构造运动格局，而且还与深部地幔流动相耦合，因此，板块运动模型对研究地球深部动力学过程也有非常重要的作用.

板块运动包括板块之间的相对运动和板块相对于深部地幔的绝对运动.根据板块构造理论，岩石圈变形主要集中在板块边界区域，而板块内部近似为刚性体.从而，可以应用刚体定点运动的理论(欧拉定理)来定量表述板块在近似球面的地球表面上的运动，进而建立板块运动模型.利用转换断层走向、海底扩张速率、地震滑动方向等数据已经成功建立了几代板块相对运动模型(DeMets et al., 2010, 2011).

板块绝对运动描述刚性板块相对于深部地幔的运动，需要一个代表深部地幔的参考体，也就是定义板块绝对运动的参考系.前人研究中定义的板块绝对运动参考系主要包括基于热点火山迁移数据建立的热点参考系、基于岩石圈无合转动(No Net Rotation)的NNR参考系，以及依据剪切波分裂方向建立的平均地幔参考系等.此外，从古地磁及古气候资料推断的古纬度变化(白旭辉，2011)、海岭海沟的地理分布也对板块绝对运动有一定的约束作用.

岩石圈无合转动是平衡运动的岩石圈整体所受合力矩为零的条件的近似.只有在软流圈黏度横向均匀且与板块边界有关的力矩都是对称施加的前提下，无合转动才等效于无合力矩(Argus and Gordon et al., 1991, Argus et al., 2011).普遍存在的软流圈黏度横向不均匀与板块俯冲在海沟两侧形成的不对称，事实上对NNR参考系代表深部地幔的合理性构成严峻的挑战.地震剪切波分裂反映的波速各向异性与板块相对于下伏地幔之间的剪切运动相关，因而由剪切波分裂方向建立的参考系更有可能在平均意义上代表了软流圈或上地幔，而不是深部地幔.

热点参考系是物理意义最为清楚的代表深部地幔的参考系，基于热点参考系的板块绝对运动模型研究也最为充分.地幔热点由一系列线状排列、年龄沿一个方向递增的火山所指示.Morgan(1971, 1972a, 1972b)认为从核幔边界上升的地幔对流柱在岩石圈底部形成热点、板块在地幔热点上方运动形成地表火山链，并且提出热点之间相对固定的假设.根据这个假设，热点火山链的走向与热点火山的迁移速率直接指示了板块绝对运动的方向与速率，从而可以方便地用于约束板块绝对运动模型.

随着观测技术手段的进步，板块划分愈发精细，观测数据数量不断增加、精度不断提高，板块相对运动模型的研究工作不断深入，迄今已发展了五代板块相对运动模型(表 1).在板块相对运动模型的基础上，可以结合热点火山链观测数据，建立相应的基于热点参考系的板块绝对运动模型.从表 1可以看到，在前几代板块相对运动模型基础上建立板块绝对运动模型的研究已较为充分，而与之形成鲜明对比的是，以最新一代MORVEL模型为基础的板块绝对运动模型至今还是空白.考虑到MORVEL模型是DeMets、Gordon等学者近二十年大量扎实工作的成果，代表了对NUVEL1A模型的全面更新，建立与MORVEL模型一致的板块绝对运动模型具有重要的科学意义.

表 1(Table 1)

表 1 板块运动模型演化历史 Table 1 Evolutionary history for plate motion models

表 1 板块运动模型演化历史 Table 1 Evolutionary history for plate motion models

在板块相对运动模型完全指定的前提下，通过板块之间的相对运动建立板块绝对运动模型只需要反演确定3个参数(如太平洋板块角速度向量)，而可用于约束板块绝对运动的热点火山链数据远多于3个，研究基于热点参考系的板块绝对运动模型为检验热点固定假设以及热点数据之间的一致性和兼容性提供了可能.前人在NUVEL1A模型基础上的板块绝对运动模型研究发现，热点方向数据与热点速率数据间存在系统的不兼容(Wang and Liu, 2006).此不兼容究竟是由热点速率数据的系统性误差形成(Morgan and Morgan, 2007), 还是由热点间运动造成(Wang and Wang, 2001; Wang and Liu, 2006)，至今还是一个悬而未决的问题.

本文在最新一代板块相对运动模型(MORVEL模型)的基础上，利用尽可能多的热点观测数据建立基于热点参考系的板块绝对运动模型.经过对前人用于约束板块绝对运动模型的所有热点数据与MORVEL模型的一致性作系统的统计学检验，发现存在离群数据.相应地，提出两种系统剔除离群数据的新方法(逐一剔除法和全局搜索剔除法)，进而得到一个板块绝对运动新模型(T87模型).该模型能够合理拟合全球分布的绝大多数热点方向数据，而模型预测的板块绝对运动速率比热点火山的迁移速率系统偏小.以下几节详细介绍优选模型的方法和针对模型结果的讨论.

在指定板块之间的相对运动完全服从MORVEL模型的前提下，所有板块相对于热点参考系的绝对运动只依赖于三个独立参数，本文选取太平洋板块的欧拉向量(即角速度向量)的三个分量作为独立模型参数.在观测热点数据的约束下，反演太平洋板块相对于热点参考系的欧拉向量，可以采用迭代加权最小二乘方法，本文采用的反演算法与建立NUVEL1(DeMets et al., 1990)和MORVEL模型(DeMets et al., 2010)的算法和公式相同.

通过对表 1所列所有用于约束前人板块绝对运动模型热点数据的整理(合并重复数据)，我们得到全球分布的94个热点方向数据和42个热点速率数据.由于前人研究已经发现热点方向数据与热点速率数据间存在系统的不兼容，本文只通过拟合热点方向数据建立板块绝对运动模型，而后通过比较模型预测板块绝对运动速率与观测热点速率的差别检验热点方向数据与速率数据间的兼容性.

反演计算表明，尽管在全部94个热点方向数据的约束下能够得到一个板块绝对运动模型，但该模型对少部分观测方向的加权拟合残差非常大，表明这部分数据可能是离群数据.因为在最小二乘准则下，最优化的目标函数为所有拟合数据的加权拟合残差平方和(总残差)，离群数据尽管数量不多，但对最优拟合结果的影响很大，因此，必须剔除可能的离群数据.

在前人板块运动模型研究中，除了个别研究(如Wang and Wang, 2001)采用试错的经验方法剔除个别数据外，从没涉及过离群数据的系统剔除问题.本文提出离群数据系统剔除的两种新方法，即逐一剔除法和全局搜索剔除法，结合总残差的卡方检验与残差分布的正态特征检验等统计学方法，综合排查筛选最优板块绝对运动模型.

逐一剔除法是对加权误差最大的数据每次一个进行逐一剔除.例如，对94个热点方向数据集首先剔除加权拟合残差最大的数据，得到由剩余93个数据组成的数据集，对新的数据集再作最优拟合并寻找加权拟合残差最大的数据.这样的过程可以一直重复下去，直到余下的数据少于3个(或线性相关)不足以有效约束模型为止.

逐一剔除法要求的计算量较少，剔除离群数据的效率较高，但可能造成不当剔除，即加权残差最大的数据剔除后未必使最小二乘目标函数值(总残差)减小量最大.为此，可采用全局搜索剔除法.这种方法仍然每次剔除一个数据，但将当前数据集中的每个数据都视作潜在的剔除对象(不一定是加权残差最大的数据)，通过比较每一个数据剔除前后目标函数的变化，全面搜索使总残差减小最大的数据进行剔除.图 1a和1b分别为逐一剔除法和全局搜索剔除法的算法执行流程图.

图 1

Fig. 1

图 1 离群数据剔除流程图 (a)逐一剔除法; (b)全局搜索剔除法. Fig. 1 Flow chart of outlier rejection (a) Stepwise rejection method; (b) Global search rejection method.

图 2对比了采用逐一剔除法与全局搜索剔除法得到的最优模型参数和拟合残差变化曲线.结果表明，两种方法在剔除数据少于10个时结果相同，而在剔除数据多于10个后，真正的离群数据已经完全剔除(详见下文).因此，在本文的算例中，两种离群数据系统剔除方法给出了同样的结果.

图 2

Fig. 2

图 2 逐一剔除和全局搜索剔除过程导致的最优模型参数和总残差变化 (a)、(b)、(c)分别表示太平洋板块欧拉向量纬度、经度和角速度变化曲线, (d)为总残差变化曲线. Fig. 2 Variations of optimal model parameters and data fitting residuals along with the stepwise rejection and global search rejection processes (a), (b) and (c) are curves for the latitude, longitude and angular velocity, respectively, of the Euler vector for the Pacific plate, and (d) for total residual.

数据的剔除过程应当在离群数据完全剔除后停止，而判断约束模型的数据集中是否包含离群数据可依据卡方检验.对于加权最小二乘反演，内在隐含的假设是加权残差服从标准正态分布，并且由3个独立模型参数拟合N个独立数据的总残差服从自由度为N-3的卡方分布，从而完全剔除离群数据后的最优模型对应的总残差值应当落在合理的卡方分布置信区间内.图 3表明，自由度为75~85(数据总数78~88) 的模型总残差位于卡方分布95%置信区间内，因而最优的板块绝对运动模型应当从数据总数N=78~88这11个模型中筛选.

图 3

Fig. 3

图 3 最优模型总残差与卡方95%置信区间随拟合自由度变化 Fig. 3 Variations of the total residual associated with the optimal model and the 95% confidence interval of chi-square distribution as functions of degree of freedom of data fitting

为进一步筛选最优模型，我们检查残差频度分布并与标准正态分布曲线对比.结果发现，11个候选模型(图 4给出了其中4个模型的对比)中，数据总数N=87的模型残差与标准正态分布最为接近，因此我们将该模型选为最优板块绝对运动模型，并命名为T87模型.

图 4

Fig. 4

图 4 拟合数据总数为N=85~88的4个模型残差频度分布及其与标准正态分布曲线的对比 Fig. 4 Frequency distrubution of modeling residuals compared with the standard normal distribution curve for 4 optimal models fitting 85~88 data

T87模型得到的太平洋板块欧拉向量为：99.997°E, 59.968°S，0.7757°/Ma，其置信度由协方差矩阵完全确定.在直角坐标系下，太平洋板块欧拉向量的协方差矩阵为

(1)

其中矩阵元素a、d、f分别是太平洋板块欧拉向量在(0°N, 0°E), (0°N, 90°E)和90°N方向上直角坐标分量对应的方差，b、c、e为各直角坐标分量间的协方差.

利用MORVEL模型给出的其他板块相对于太平洋板块的欧拉向量，全球板块绝对运动的欧拉向量都可以得到，结果由表 2列出.

表 2(Table 2)

表 2 T87模型预测的板块绝对运动欧拉向量 Table 2 Euler vectors of absolute plate motion predicted by the T87 model

表 2 T87模型预测的板块绝对运动欧拉向量 Table 2 Euler vectors of absolute plate motion predicted by the T87 model

T87模型预测的板块绝对运动方向和速率与热点观测数据的对比由图 5给出.T87模型对94个热点方向数据的平均拟合残差为16.9°，而对7个离群数据除外的87个热点方向平均拟合残差为12.0°.7个离群数据分别来自位于南极板块的Balleny热点、Scott热点、Bouvet热点、Heard热点，位于欧亚板块的Hainan热点，位于Somalia板块的Comores热点，和位于Nubia板块Great Meteor热点.对T87数据集中41个有观测速率数据的热点，图 5b表明数据总量的81%位于对角直线下方，表明T87模型预测的板块绝对运动速率与观测热点速率存在系统偏差.这一结果与前人在NUVEL1A模型基础上的板块绝对运动模型结果一致，说明热点方向数据与热点速率数据间存在系统的不兼容，而且不兼容程度并不能由NUVEL1A模型更新为MORVEL模型得到改善.造成此不兼容的原因可能具有重要的地球动力学意义，值得深入研究.

图 5

Fig. 5

图 5 T87模型预测与观测热点方向(a)和速率(b)对比 Fig. 5 Comparison of the T87 modeling predictions with the observed hotspot trends (a) and rates (b)

图 6绘出了在41个有观测速率数据的热点位置上T87模型预测的板块速度矢量，并与观测热点的火山迁移速度对比.图 6表明，在绝大部分热点位置，板块速度减去热点速度得到的差矢量与观测热点速度呈大致反向的趋势，且最大的速度差达4 cm·a^-1.

图 6

Fig. 6

图 6 T87预测板块速度与观测热点速度在热点速率数据存在的热点位置上的对比 Fig. 6 Comparison between the T87 predicted plate velocity and the observed hotspot velocity at hotspots with rate data available

对图 5b和图 6的结果存在两种解释.第一种解释是热点速率数据存在系统误差，且最大误差达4 cm·a^-1.Morgan和Morgan(2007)认为热点速率数据依赖于火山年龄测定，而以前的火山年龄数据可能带有很大误差，并且倾向于给出偏低的年龄因而导致偏大的热点火山迁移速率.如果这种解释成立的话，T87模型以3个独立参数合理拟合87个全球分布的热点方向数据的事实无疑为热点固定假设提供了有力的支持.

然而，如果第一种解释不能成立，即热点速率数据不存在较大的并且成系统性的误差，那么，图 5b和图 6的结果就反映了热点间存在每年几厘米量级的运动.板块绝对运动速率比观测热点火山迁移速率系统偏小的事实可能是由地幔返回流造成的(Wang and Wang, 2001; Wang and Liu, 2006).如果进一步假设热点起源于地幔底部，通过板块绝对运动速率与观测热点火山迁移速率的比值可以估计下地幔与上地幔的黏度比值(Wang and Wang, 2001; Bercovici，2003；Boschia，2008).采用Wang和Wang(2001)提出的方法，由图 5b给出的T87板块-热点速度比0.832，计算得到的下地幔与上地幔黏度比约为16.这一结果与冰后回弹、地球自转和大地水准面研究得出的地幔黏度结构大致符合，与地幔对流的数值模拟结果也基本一致.Steinberger和O′Connell(1998)与Steinberger(2000)的研究得到，当下地幔比上地幔黏度高1~2个数量级时，热点通常以比板块运动低一个数量级的速率移动，最大可以达到3 cm·a^-1，而且热点移动方向与板块绝对运动方向大致相反.

本文在最新一代板块相对运动模型(MORVEL模型)的基础上，通过最小二乘拟合观测热点方向数据求解板块绝对运动模型.针对存在离群数据的情况，提出逐一剔除法和全局搜索剔除法两种系统剔除离群数据的新方法，并结合对总残差的卡方检验和对残差频率分布的正态检验，筛选最优模型，得到一个基于热点参考系的板块绝对运动新模型——T87模型.该模型能够合理拟合全球分布的87个热点方向数据，但与41个热点速率数据的比较显示，板块运动速率比热点火山迁移速率系统偏小，最大偏差达到4 cm·a^-1.这样的偏差如果是由观测热点速率的系统误差造成的，则提示热点速率数据误差较大因而不宜用于约束板块运动.反之，如果观测热点速率是可靠的，则板块运动速率比热点火山迁移速率系统偏小的事实提示热点间存在相对运动，且T87模型反映的热点间运动与地幔返回流特征相符.分辨以上两种可能解释哪种更符合实际情形，有待未来更加深入的研究.然而，不论是哪种解释成立，T87模型以3个独立参数合理拟合87个全球分布的热点方向数据的事实都有力地表明热点方向数据能够独立、有效地定义全球热点参考系.这样定义的热点参考系可方便地应用于板块绝对运动、地幔对流及真极移的研究.