随着微震监测在页岩气开发(张玎，张景和，2008；Anikiev et al., 2014)、矿山安全(唐礼忠等, 2006, 2011；蔡武等，2014；Cao et al, 2008)、火山监测(刘宝诚等，1986；Sohn et al., 1999；Zhang and Wen, 2015)、地震序列机理研究(Vidale and Shearer, 2006；谭毅培等，2016)和断裂带活动监测(Vidale et al., 1994；Nadeau et al., 1995, Nadeau and Johnson, 1998，Nadeau and McEvilly, 1999；Niu et al., 2003；Li et al., 2007, 2011；Drew et al., 2013；Taira et al., 2015；李乐等, 2013, 2015)等领域发挥着日益重要的作用，微震的监测与研究逐渐受到各界的重视.在断裂带活动监测领域，识别微震能完善地震目录，降低地震目录的最小完整性震级，从而更好地利用地震目录对地震活动性参数进行分析(谭毅培等，2014)；同一断层上的微震具有一定的重复率，利用重复微震在研究断裂带深部滑动速率(Nadeau and McEvilly, 1999；Li et al., 2007, 2011；李乐等, 2013, 2015)、介质变化(Poupinet et al., 1984；Niu et al., 2003)、估算地震复发周期(Nadeau et al., 1995, Nadeau and Johnson, 1998；Chen et al., 2007, 2008)等方面显示出优越的应用前景.相比大地震，微震较小的破裂尺度使它在实验室条件下得到较好的模拟，结合天然微震观测及实验研究有助于我们对地震物理过程的理解(Nadeau et al., 1995；Niu et al., 2003).然而，作为地震物理机制宏观表现的地震震源参数，它们之间的关系是否对大地震和微小地震都一致，以及这些关系蕴含的物理意义，一直是地震学家们争论的科学问题.

传统上，受地震仪器频带及观测环境限制，直接从地震记录中识别一定数目的孤立微震存在困难，一般做法是以部分目录地震作为模板，采用波形滑动互相关计算模板地震波形与待检测波形的相关系数，当相关系数大于某一阈值时认为被检测的这一段波形是一个微震记录(谭毅培等，2014；Schaff and Waldhauser, 2005；Yang et al., 2009).这样检测出来的微震往往与模板地震具有一定的相似性，因而其震源物理过程往往也是相似的，无法反映出不同类型微震的差异，基于这些微震得到的震源参数间关系由于样本类型的单一而显得说服力不足，1.5级以下的微震定标关系研究仍缺乏足够的资料.2008年汶川5.12地震后，为了研究龙门山断裂带的深部物质组成和构造属性，探索地震过程中的岩石物理和化学行为、能量状态与破裂演化过程(http://www.wfsd.org)，中国地质科学院牵头启动了“汶川地震断裂带科学钻探”(WFSD)计划.为了配合该计划，中国地震局地球物理研究所分别于2012年在四川省绵竹市天池乡和2013年在绵阳市南坝镇各布设了15个微震台，试图通过微震的空间分布勾画钻孔周围浅部的断层产状，根据微震的时空演化来探索汶川地震后断裂带力学状态的发展演化过程，并基于微震震源力学参数分析大小地震震源物理过程的异同.本文利用大天池15个微震台2012年1-11月触发记录的微震波形数据，在确定微震时空强三要素的基础上确定了微震的震源力学参数，并讨论了这些参数间的关系及意义，为－0.5≤M_w≤1.2震级范围内微震定标关系研究提供了新的依据.

大天池微震台阵原计划布设在位于四川省绵竹市九龙镇汶川地震科学钻探3号井(WFSD-3) 周围，但考虑到布设条件、人为干扰等因素，改为布设在WFSD-3西北侧的天池乡大天池村(图 1).大天池村位于龙门山断裂带的灌县-江油断裂与北川-映秀断裂带之间，东南面为灌县-安县断裂带上的汉旺镇和九龙镇，北面为映秀-北川断裂上的清平乡，在汶川地震中受灾严重，震后大部分人户均搬迁，人为干扰小，适宜布设微震台阵.微震观测仪器采用南非矿山地震研究所(IMS)生产的矿山地震仪，记录类型为速度记录，频带8~2000 Hz，在采集过程中我们设定采样率为1500sps.数据采集、格式转化和数据预处理等细节可参考文献(叶庆东，2014；叶庆东等，2014).为了检验数据的可靠性，我们对比了微震台TC12与其附近短周期台JL15(频带0.5~100 Hz，采样率50sps)对2012年3月4日的一个微震事件记录.图 2分别给出了TC12和JL15的原始波形及其时频分布.时频分析采用Stockwell等(1996)的S变换方法，因为该方法有较好的时间分辨率和频率分辨率(陈雨红等，2006).由图 2可以看出，在P波段TC12与JL15记录相位吻合很好，仅变化幅度上存在较小区别，在S波段局部存在微小的相位区别，振幅形态也略有区别.造成这种差异的原因除了仪器本身的差别之外，TC12与JL15位置存在一定的差异(JL15与TC12不是最近，但是由于仪器故障，这个地震仅在TC12上找到了与之对应的记录)，而且前者为布设在井下，后者布设于地表.时频分布上TC12与JL15也表现几乎相同，P波段频率主要集中在10~20 Hz，S波段主要集中在8~15 Hz.

图 1

Fig. 1

图 1 微震台网位置及台站分布 微震台布设于图(a)的矩形框内；图(b)为图(a)矩形框放大. Fig. 1 The location of the microseismic network and the distributions of the microseismic stations The microseismic network is deployed in the rectangular area in figure 1a, which is zoomed in on figure 1b.

图 2

Fig. 2

图 2 微震和短周期仪器对同一个微震事件的垂向记录及其频时分析 (a)微震记录; (b)短周期记录. Fig. 2 The vertical component waveforms and the corresponding frequency-time analysis result of a microearthquake recorded by microseismograph (a) and short period seismograph (b)

时频分析还为我们提供了一个挑选波形的标准.震中距较大时，地震波从震源到接收台站经历的走时越长，高频衰减越严重，当地震波的频率低于记录仪器的最低可用频率时，波形记录存在较大的畸变，从图 2可以看出，该地震的波形记录已接近微震仪器最低可用频率的下限.基于此，同时考虑台网孔径小的因素，我们选用S波与P波到时差小于1 s的波形记录；另外，考虑到地震定位的需要，仅选择一个微震同时被5个及以上的台站记录到的波形资料.由于在2012年6-11月大天池台网因为供电问题大面积瘫痪，可用的资料很少，最后仅筛选出218个事件记录.

我们首先拾取P、S波到时，其中P波到时主要依据垂直分量记录，而S波到时主要依据东西分量和南北分量记录.由于台网孔径较小，而依据S波与P波到时差小于1 s的准则筛选出来的微震仍有很多来自与网外，而对于网外地震，由于发震时刻与震源位置的耦合，对发震时刻与震源位置四参数同时求解可能出现发震时刻晚于P波到时的矛盾情况，因此本文首先采用和达法确定发震时刻.假设某个微震被第i个台站记录到，其发震时刻t_0i由P、S波的到时及两者的波速比决定：

(1)

式中，t_pi与t_si为第i个台站记录到的P波与S波到时，γ为P、S波的波速比，取1.73.如果有n个台站记录到了该微震，则该微震的发震时刻取其平均发震时刻

(2)

已有的研究表明，该方法不但能很好地确定发震时刻，还能减小由于GPS授时不准造成的误差(包丰等，2013).

确定了发震时刻后，再利用盖戈法(Geiger，1912)确定震源位置.考虑到P波到时拾取精度大于S波的精度，P波与S波的权重比取3:1.由于已经利用(2) 式确定了发震时刻，在利用盖戈法构造的线性方程组r = A Δ X中， A仅为走时对空间坐标的导数，Δ X为空间位置(x, y, z)改正量组成的三元素列矢量，r为残差行矢量.如果对于一个地震共有m个到时数据，则A为m×3的矩阵，r为m个元素的行矢量.迭代求解过程中，初始位置取P波最先到达的台站位置，走时计算的速度模型采用赵珠等(1997)给出的层状速度模型，走时及其偏导数计算采用牟磊育等(2006)的层状介质走时计算方法.

图 3a、3b给出了218个微震事件的水平位置，可以看出微震大体上沿NE-SW方向展布，与龙门上断裂带的走向一致.同时，图 3a、3b还用不同颜色分别标注出P波和S波到时的拟合均方根残差，可以看出P波到时残差除个别达到0.1 s以外，基本都集中在0.05 s以下；S波到时残差较P波到时残差大，但也主要集中在0.08 s以下.图 3c给出了微震深度累积频度分布，4 km以内的微震占70%以上.定位精度受到时拾取精度、速度模型、台站与地震的相对分布等多重因素的影响，定量地评估定位精度存在一定的困难.参照蒋长胜等(2008)做法，我们通过计算218个微震波形记录相互间的相关系数，挑选出两个波形相似度极高的“波形意义上的重复地震”事件来检验定位的可靠性.这两个微震分别为事件201205242241及事件201205262138(图 4)，前者被7个台记录到，后者被9个台记录到，记录后者的9个台包括了记录前者的7个台.同一个台站记录到的两个微震的波形，其最大相关系数为0.975，最小相关系数为0.807，满足Schaff和Richards(2004)对“波形意义上的重复地震”的定义.表 1给出了两个事件的定位结果.由表 1可以看出用同时记录事件到201205242241的7个台的到时数据对事件201205262138进行定位，两者位置差为169 m，用记录到事件201205262138自身的9个台的到时数据对它进行定位，两者的位置差为306 m，考虑到这两个事件均为网外事件，是可以接受的.

图 3

Fig. 3

图 3 微震位置分布及走时残差 (a)水平位置及P波走时残差，灰色三角形为台站；(b)水平位置及S波走时残差；(c)深度频度分布. Fig. 3 The distributions of microearthquakes and the travel time residuals (a) Horizontal locations and travel time residuals of P waves. The gray triangles denote the microseismic stations; (b) Horizontal locations and travel time residuals of S waves; (c) The depth -frequency distributions of microearthquakes.

图 4

Fig. 4

图 4 微震事件201205242241(黑色)与201205262138(灰色)的波形记录 Fig. 4 The waveforms of microseismic events 201205242241 (black) and 201205262138 (gray)

表 1(Table 1)

表 1 事件201205242241和201205262138的定位结果 Table 1 The locations of event 201205242241 and 201205262138

表 1 事件201205242241和201205262138的定位结果 Table 1 The locations of event 201205242241 and 201205262138

Abercrombie(1995b)、Mendecki(1997)认为计算微震震级较科学的方法是利用震源位移谱计算矩震级.将震源、路径效应、观测仪器视为一个线性系统，则在频率域中地震记录可以表示为

(3)

式中，f为频率，r为震源距，U(f)为观测位移谱，Ω(f)为震源位移谱，G(r)为几何扩散，C(r, f)为非弹性衰减，R_θϕ为辐射因子，与方位角θ和离源角ϕ有关，S(f)为场地响应，I(f)为仪器响应.由于微震震中距较小，我们采用球面几何扩散模型(Atkinson和Mereu，1992)，即G(r)=1/r；非弹性衰减表示为C(r, f)=exp(－πtf/Q(f))，本文仅考虑S波部分，t为S波走时，Q(f)=Q₀f^η，Q₀和η为常数，本文参照陈丽娟等(2015)，取Q₀=300，η=0.9；R_θϕ取S波辐射因子平均值0.63(Aki and Richards, 1980).仪器响应在数据预处理时已经去掉，且井下地震仪可以忽略掉场地响应的影响(杨志高和张晓东，2010)，因此利用(3) 式只需要做简单的除法就可以得到观测的震源位移谱.已知震源谱具有(4) 式的解析形式(Abercrombie，1995b):

(4)

式中，Ω₀为震源谱的零频极限值，f_c为拐角频率，n为高频衰减率，γ为常数.当n=2且γ=1时，则震源谱为Brune震源谱衰减模型(Brune, 1970)；当n=2且γ=2时，则为Boatwright(1978)震源谱衰减模型，相对于Brune模型，该模型有较快的高频衰减.利用(4) 式对观测震源谱进行拟合，便可得到零频极限Ω₀和拐角频率f_c.得到零频极限后，地震矩通过M₀=4πρβ³Ω₀/R_θϕ计算得到，其中ρ为密度，取2700 kg·m^-3；β为S波平均速度，取3100 m·s^-1；矩震级M_w=2logM₀/3－6.07(Kanamori, 1977；Hanks and Kanamori, 1979).尽管在由地震矩推导矩震级的公式时假定了应力降为常数，但更多的情况下我们把M_w=2logM₀/3－6.07看成是矩震级的定义而忽略其成立条件，因此本文中地震矩和矩震级是完全等价的.本文采用王生文等(2014)的全空间搜索非线性拟合法，同时计算了n=2，γ=1, 2两种情况.图 5是其中的一个算例，由于零频极限对模型几乎没有依赖性，因此从图 5可以看出，在低频段两种模型的拟合曲线几乎重合，均与观测曲线吻合很好，高频段γ=2时衰减更快，能较好拟合观测结果.图 6a给出了震级频度图，可以看出约占75%的地震震级在0.5级以下.

图 5

Fig. 5

图 5 震源谱拟合的例子 (a) TC15记录到的一微震波形三分量，灰色线之间的波形为选用的S波形窗口；(b)震源谱拟合. Fig. 5 An example for source spectrum fitting (a) The three component waveforms of a microseismic event. The data between the two gray lines is used to fit the source spectrum; (b) Source spectrum fitting.

图 6

Fig. 6

图 6 震级-频度关系及近震震级-矩震级的关系 (a)矩震级与频度的关系；(b)近震震级与频度的关系，近震震级计算采用《规范》中的量规函数；(c)近震震级与频度的关系，近震震级计算采用李学政等(2003)的量规函数；(d)近震震级与矩震级的关系，近震震级计算采用《规范》中的量规函数；(e)近震震级与矩震级的关系，近震震级计算采用李学政等(2003)的量规函数；(f)本文及其他人给出的矩震级与近震震级的关系，其中GF表示基于《规范》中量规函数的结果，LXZ表示基于李学政等(2003)量规函数的结果，Ba表示Bakun(1984)的结果，HF代表Hainzl和Fischer (2002)的结果. Fig. 6 The magnitude-frequency distribution and the local magnitude-moment magnitude relationship The relationship between (a) moment magnitude and frequency; (b) Local magnitude and frequency with local magnitude derived from the calibration function GF; (c) Local magnitude and frequency with local magnitude derived from the calibration function LXZ; (d) Local magnitude and moment magnitude with local magnitude derived from the calibration function GF; (e) Local magnitude and moment magnitude with local magnitude derived from the calibration function LXZ; (f) Local magnitude and moment magnitude in this study and other studies. GF: Result based on the calibration function GF; LXZ : Result based on the calibration function of LXZ; Ba: Result of Bakun (1984); HF: Result of Hainzl and Fischer (2002).

微震通常仅能被附近的台站记录到，从震中距来看属于震级很小的近震，理论可以采用近震震级来度量它的大小，但由于微震监测使用的矿山地震仪量规函数未知，频带范围也不包含《地震台站观测规范》(国家地震局, 1990, 以下简称《规范》)中规定的DD-1型地震仪的频带(DD-1型地震仪频带约为1~20 Hz)，无法将观测地震图不失真地仿真成DD-1型地震仪的地震图，但考虑到最大振幅所在的S波段频率在8~15 Hz，在DD-1短周期地震仪通带范围内，本文仍采用《规范》中短周期地震仪量规函数.由图 3给出的定位结果可以看出大多数微震震中距不大于5 km，传统的近震震级测量将震中距在0~5 km范围内的量规函数视为常数，李学政等(2003)认为这样确定微震震级时会偏大，并基于爆破资料提出了0.5~5 km间的量规函数.图 6b和6c分别给出了基于《规范》和李学政等(2003)的量规函数的结果，由图可以看出，基于李学政等(2003)的量规函数得到的近震震级向震级小的一端延伸时明显小于《规范》给出的近震震级.

图 6d和6e分别给出了矩震级和两种量规函数下近震震级的关系，其中，对于《规范》中的量规函数，有

(5a)

相关系数0.86，拟合优度0.74；对于李学政等(2003)的量规函数，有

(5b)

相关系数0.77，拟合优度0.60.相关系数和拟合优度表明无论采用哪种量规函数，矩震级与近震震级间都存在较好的线性关系，但显而易见的是，如果(5) 式中M_L向震级大的方向延伸较多时，近震震级与矩震级将有较大的差异，而已有的结果表明(陈培善，1982)近震震级在3级以上与矩震级差别不大，说明基于微震得到的M_W-M_L关系式(5) 不宜向震级大的方向过份外推.图 6f除给出本文得到的M_W与M_L关系外，还给出了Bakun(1984)、Hainzl和Fischer(2002)的结果，可以看出Hainzl和Fischer(2002)与其他三者的差异显著，最大可达1.5左右.本文的两种结果与Bakun(1984)结果也存在差异，在本文讨论的震级范围内，差异在0.6左右.《规范》中将5 km以内的量规函数视为恒定值，而李学政等(2003)以间隔0.5 km为一个“档”给出了0.5~5 km范围内的量规函数，通常震中距较小时往往能监测到更小的地震，因此基于李学政等(2003)量规函数获得的M_W－M_L关系(LXZ)与基于《规范》的量规函数获得的M_W－M_L关系(GF)在震级越小时差异越大.虽然不同人得到的M_W－M_L关系存在一定的差异，但是从图 6f可以看出，在所有M_W=a+bM_L的拟合关系中，斜率b < 1，当震级向小的一端延伸时，总会出现M_L < M_W.Bakun(1984)在研究加利福尼亚中部地震的定标关系时发现，地震矩对数logM₀与近震震级呈分段线性关系，震级向小的一段延伸时斜率变小，在0.5≤M_L≤1.5范围内，斜率在2/3~1之间.本文的结果表明震级再向小的一端延伸时，这种规律也是成立的.陈培善和白彤霞(1991)、严川等(2015)也发现了类似的现象(由于文章中未给出明确的关系，因此没有在图 6f中给出)，与我们的结果不同的是他们认为在近震震级大概在3.5级附近便出现M_L < M_W的情况，并且在严川等(2015)的结果中，地方震级为0级时，与矩震级的差异可达2级.斜率b < 1还表明相对于近震震级，矩震级在震级跨度上小于近震震级，即矩震级的“档”较近震震级少.不同学者给出的M_W－M_L关系不同的原因是多方面的.首先，测量都受到各种因素影响.理论上，一个地震的地震矩是唯一的，但在测量过程中受到Q值、辐射因子等因素的影响；而近震震级则受到量规函数、台基、辐射方位等因素的影响.其次，计算方法不同.Bakun(1984)、Hainzl和Fischer(2002)以及本文结果是基于震源谱计算地震矩，而严川等(2015)则基于的是震源机制反演.第三，样本量与震级跨度不同.较多的样本量和较大的震级跨度的拟合可能因为兼顾更多的数据而忽略掉局部细节，Bakun(1984)讨论的震级范围主要为1.5≤M_L≤3.5，Hainzl和Fischer(2002)讨论的震级范围为0.2≤M_L≤3.5，严川等主要讨论的近震(或面波)震级0~7级的地震，而陈培善和白彤霞(1991)主要讨论的是3级以上的地震.最后也是最重要的一点，矩震级与近震震级定义的不同本身就意味着两者在可观测的范围内的关系可能存在不同的关系式.矩震级由地震的标量地震矩确定，是面波震级在6.4 < M_S≤7.8范围内，向低震级和高震级两个方向的自然延伸(Kanamori, 1977；Hanks and Kanamori, 1979；陈培善和白彤霞，1991)；近震震级来源于对小地震的研究，由某个特定周期振幅的大小决定(Richter, 1935；陈运泰和刘瑞丰，2004)，可以看做是地震波辐射能量的表征.

采用震源谱拟合的方法计算出地震矩M₀的同时，还给出了拐角频率f_c，在Brune(1970)圆盘破裂模式下，可以通过以下两式求得震源破裂半径r_c和应力降Δσ：

(6)

(7)

地震矩M₀(或者矩震级M_W)与拐角频率f_c、破裂半径r_c、应力降Δσ之间的关系称为静力学定标关系，反应了地震大小与破裂持续时间、断层面积等静力学参数的关系.(7) 式给出的应力降严格意义上为静态应力降，Kanamori(1994)认为数值上它和动态应力降差别不大，因此在后面讨论中不加区分.

已有的研究(Iglesias and Singh, 2007)表明，零频极限对选用衰减模型依赖性极弱.在王生文等(2014)的方法中，震源谱拟合无论是采用Brune衰减模型(公式(4) 中γ=1，n=2) 还是Boatwright衰减模型(公式(4) 中γ=2，n=2)，地震矩是一样的，而拐角频率则不同.图 7给出了矩震级M_W与拐角频率f_c、破裂半径r_c、应力降的对数之间的关系，其中，左侧列(图a1-c1) 对应Brune衰减模型所得参数，中间列(图a2-c2) 对应Boatwright衰减模型得到参数，右侧列(图a3-c3) 则对应于两种模型参数对应的差.为了更好地说明矩震级与其余三者的关系，我们对数据进行了M_W=a+bX(X代表拐角频率logf_c、破裂半径logr_c，应力降logΔσ)拟合，拟合的相关参数见表 2.由图 7及表 2可以看出，无论是Brune模型还是Boatwright模型，震级M_W与拐角频率logf_c、破裂半径logr_c线性关系都较弱.因为拐角频率与破裂半径的关系是由式(6) 确定的，所以震级M_W与拐角频率和破裂半径相关系数的绝对值及拟合优度完全相同.同一个地震，Brune衰减模型给出的拐角频率略大于Boatwright衰减模型，而破裂半径则正好相反.无论震级如何变化，两种模型给出的拐角频率与破裂半径的对数差都分布在一定区域内，似乎暗示着拐角频率对震源谱衰减模型的依赖程度不随矩震级的变化而变化.震级与应力降呈现非常好的正相关，这说明尽管地震矩与破裂半径的关系很弱，但是与破裂半径的三次方有很好的相关性.震级与两种震源谱衰减模型计算的应力降残差分布表明采用不同的模型得到的应力降值随着震级的增大而差异增大.拐角频率与震源处岩石破裂脉冲宽度的倒数正相关(Kanamori and Riversa, 2004)，由于岩石破裂的脉冲宽度正比于破裂尺度(陈运泰等，1976)，而地震矩与面积和错距的乘积成正比，因此理论(Brune, 1970; Hanks and Wyss, 1972)和许多观测(Abercrombie and Leary, 1993; Boatwright, 1994, 华卫，2007)表明M₀∝f_c^－3.然而，Kanamori和Rivera(2004)认为这种关系可能仅适用于较大地震，对微小地震应当调整为M₀∝f_c^－(3+ε)(ε < 1).在本文讨论的震级范围内，对于Brune衰减模型ε的平均值为0.81，对于Boatwright衰减模型ε平均值为0.66.从数值上看，拐角频率范围为10~30 Hz，破裂半径为30~90 m，与Abercrombie和Leary(1993)、Abercrombie(1995b)、Prejean和Ellsworth(2001)的结果相比，本文给出的拐角频率略偏低，破裂半径略偏大.在地震矩和应力降一定的情况下，较低的拐角频率意味震源处岩石较慢的破裂速度(Kanamori and Rivera, 2004)，具体可能与构造环境相关.对地震序列的研究(郑治中等，1977；张天中等，2000)表明余震序列的拐角频率低于前震的拐角频率，然而对于本文讨论的如此小震级地震，无法确定其“归属”.水库地震的研究(杨志高和张晓东，2010)表明水库蓄水后会削弱岩石的弹性，从而加剧地震波的高频衰减，使拐角频率向低值偏移.已有的研究发现，对地震矩在10¹⁸~10²³N·m范围内的地震，应力降几乎为常数(Aki，1972；Thatcher and Hanks，1973；Kanamori and Anderson, 1975；Kanamori et al., 1993；Kanamori, 1994)，但是关于微小地震的应力降与地震矩的关系很具有争议，Archuleta等(1982)、Mayeda和Walter(1996)、Hardebeck和Hauksson(1997)均发现小地震应力降随着地震矩的增减而增减，而Abercrombie和Leary(1993)、Abercrombie(1995b)则认为小地震应力降与地震矩没有明显关系.表 2中矩震级与应力降的关系换算成地震矩与应力降的关系，发现对Brune模型Δσ∝M₀^0.95，对Boatwright模型Δσ∝M₀^0.98，两者差别不大，都非常接近于Δσ∝M₀，与Mayeda和Walter(1996)观测到的Δσ∝M₀^0.250出入较大.Abercrombie和Leary(1993)、Hardebeck和Hauksson(1997)认为，由于微小地震辐射的地震波在传播过程中衰减严重，通过震源谱获得的M₀－Δσ关系未必能反映真实的震源性质，考虑到在较小的研究区域内地震波衰减应该具有相似，尽管高频衰减会让测量精度降低，但不会影响M₀－Δσ关系的整体形态，M_W－logΔσ关系如此高的相关系数和拟合优度表明我们的结果是可信的.

图 7

Fig. 7

图 7 矩震级与静力学参数关系 (a1)-(a3) 拐角频率与矩震级的关系；(b1)-(b3) 破裂半径与矩震级的关系；(c1)-(c3) 应力降与矩震级的关系.下标1、2分别代表基于Brune模型和Boatwright模型得到结果. Fig. 7 The relationship between moment magnitude and static parameters The relationship between (a1-a3) corner frequency and moment magnitude; (b1-b3) Rupture radius and moment magnitude; (c1-c3) Stress drop and moment magnitude. Subscripts 1 and 2 represent the parameters derived by the Brune model and the Boatwright model respectively.

表 2(Table 2)

表 2 矩震级与震源静力学参数拟合相关的系数 Table 2 Fitting coefficients of the relationships between moment magnitude and static parameters

表 2 矩震级与震源静力学参数拟合相关的系数 Table 2 Fitting coefficients of the relationships between moment magnitude and static parameters

地震波辐射能量E_R与地震矩M₀的关系被称为动力学定标关系，两者的比值E_R/M₀称为折合能量e_R，是刻画一个地震的动力学性质的重要参数(Aki，1967；Kanamori and Rivera, 2004).地震波辐射能量由(8) 式给出：

(8)

式中，V(f)为震源速度谱.由于受到仪器频带的限制及数值截断的影响，(8) 式的积分限不可能得到满足，通常(8) 式积分下限取仪器可用频率的下限，上限取拐角频率6倍以上(Singh and Ordaz, 1994；Iglesias and Singh, 2007).为了弥补高频损失，Snoke(1987)还引入了高频补偿.图 8a和8b灰色点为利用(8) 式求得地震波能量后得到的折合能量，计算过程中频率上限取150 Hz，为拐角频率的5~6倍，并且加入了Snoke(1987)的高频补偿.由图 8可以看出，折合能量随着震级的减小而减小，量级可达到10^-8以下. Kanamori和Rivera(2004)研究发现，对于M_W7.0左右的地震，折合能量量级在10^-5左右，而对于M_W1.0左右的地震，折合能量量级大约在10^-7左右，与我们的结果基本吻合，并且本文的结果表明向震级更小一端延伸时，折合能量仍然是随着震级而减小.

图 8

Fig. 8

图 8 动力学参数与矩震级的关系 (a)和(b)为折合能量与矩震级的关系，灰点为观测值，黑点为根据震源谱零频极限和拐角频率求得的解析值，其中(a)、(b)分别是基于Brune和Boatwright模型得到的结果；(c)为观测能量值与解析值的比例；(d)和(e)为视应力与矩震级的关系及其拟合，(d)和(e)分别是基于Brune和Boatwright模型得到的结果. Fig. 8 The relationship between dynamical parameters and moment magnitude (a) and (b) The relationships between reduced energy and moment magnitude derived based on Brune model and Boatwright model, respectively. The gray dots represent the observed values and the black dots represent the analytical values based on zero frequency limits and corner frequencies derived from source spectra fitting; (c)The ratio of observed energy values to corresponding analytical values; (d) and (e) The relationship between apparent stress and magnitude derived from source spectra fitting, which are based on Brune and Boatwright models, respectively.

震源位移谱具有(4) 式的解析形式，若零频极限Ω₀与拐角频率f_c已知，我们将分别利用Brune震源谱衰减模型与Boatwright衰减模型得到的零频极限Ω₀与拐角频率f_c代入(4) 式，再根据速度谱与位移谱的关系V(f)=2πfΩ(f)直接对(8) 式积分求出解析解，这种做法类似于Ide和Beroza(2001)对辐射能量的“修正”，由于地震波的频率总在一定的频带范围内，因此解析解可以看作是真实辐射能量的上限.可以证明，对于Brune模型，对于Boatwright模型，两者仅在系数上存在差别.图 8a和8b中黑点分别给出了基于Brune模型和Boatwright模型求得零频极限Ω₀和拐角频率f_c后通过解析解求得的折合能量ẽ _R.可以看出，基于Brune模型得到的折合能量与解析解更为接近.图 8c给出不同模型观测折合能量与解析值的比值e_R/ẽ _R，由图可知在Brune模型中e_R/ẽ _R集中在40%~60%，而在Boatwright模型中e_R/ẽ_R主要集中在40%.这是因为解析解中总能量主要由零频极限Ω₀和拐角频率f_c决定，无论采用哪种模型，Ω₀是一样的，而基于Brune模型得到的拐角频率略大于Boatwright模型得到的拐角频率，另外，基于Brune模型给出的辐射能量Ẽ_R仅为Boatwright模型得到的Ẽ_R的，因而整体而言基于Brune模型得到的观测折合能量与理论折合能量比值大于基于Boatwright模型的比值.很多研究表明(Singh and Ordaz, 1994；Abercrombie, 1995a, b；McGarr，1999；Ide and Beroza, 2001；Iglesias and Singh, 2007)，基于实际观测谱对(8) 式积分可能低估了地震波的辐射能量，Iglesias和Singh(2007)认为(8) 式的积分上限取6倍的拐角频率时，采用(8) 式积分求得的能量就可以达到地震波辐射总能量的80%，我们的结果低于80%，这一方面因为解析式给出的能量是一种理想情形，实际上地震波总在一定的频带范围内，应低于解析值；另一方面，实际震源谱衰减在高频部分可能偏离f^－2规律而以更快的方式衰减(图 5)，从而使观测到的地震波能量低于理论辐射能量.尽管存在多种因素使实测的能量偏小，但本文的结果表明实测结果与理论辐射能量上限在同一个量级，更为重要的是，在零频极限与拐角频率确定的情况下估算出来的能量上限依然满足随地震矩增加的规律，这意味着折合能量并非标度独立的.Izutani和Kanamori(2001)指出，折合能量标度独立意味着M₀∝f_c^－3，而在本文的结果中M_W-f_c较差的拟合也意味着折合能量e_R并非独立.

另一个与地震辐射能量相关的量是地震视应力σ_app=μE_R/M₀，μ为剪切模量，通常取3×10¹⁰Pa.由于视应力σ_app在数值上与折合能量仅相差一个系数，因此它与地震矩的关系和折合能量与地震矩的关系相同.图 8d及8e给出了矩震级与视应力的关系，σ_app和分别为基于观测震源谱和基于辐射能量解析值得到的视应力，对Brune模型有

(9a)

对Boatwright模型有

(9b)

(9) 式中，两种模型对观测数据的拟合相关系数均达到0.91，拟合优度0.83；对解析值拟合相关系数都为0.93，拟合优度为0.87.较高的相关系数和拟合优度表明了矩震级与视应力存在较强的线性关系.如果对(9) 式向震级增大的方向做外推，那么震级在3级以内视应力就可以达到1 MPa.已有研究(Kanamori et al，1993；Kanamori，1994；Mayeda and Walter, 1996)表明大地震的视应力多数都在几个MPa的量级，对于中小地震，这依然是一个争论不休的科学问题.视应力为常数还是随着地震矩增加对应不同的物理意义，为常数则说明大地震和微小地震具有相同的地震效率，随地震矩增加而增加意味着大地震有更高的地震效率，微小地震的地震效率低于大地震，意味着大地震和微小地震的物理过程是不同的，自相似性被打破(Kanamori and Heaton, 2000；Izutani，2005; Yamada et al，2005).本文的结果表明在-0.5≤M_W≤1.2范围内应力降随地震矩的减小而减小，与Abercrombie(1995b)、Prejean和Ellsworth(2001)等的结果相一致.Ide和Beroza(2001)，Ide等(2003)认为，有频带响应的地震仪器使得微小地震相对大地震丢失更多的高频信息，对能量集中在低频的大地震来说不明显，但是对于微小地震丢失高频信息会导致地震辐射能量被低估，但是我们仪器频带在最高达2000 Hz，足以覆盖这些微震地震波的频带，说明从仪器的角度来看我们的结果是可信的.

根据P、S波到时差小于1 s的限制，我们筛选出了218个微震.采用和达法与盖戈法相结合对微震定位发现这些微震大体呈NE-SW方向展布，与龙门山断裂带走向基本一致.采用震源谱拟合求得218个微震的矩震级主要分布在-0.5~1.2之间，但采用不同的量规函数计算的近震震级有一定的差异，采用《规范》中的量规函数，这些微震震级主要分布在-0.5~1.7级，数值上接近于矩震级；而采用李学政等(2003)的量规函数，这些微震近震震级主要在-1.3~1.0级，数值上偏离矩震级较大.对矩震级M_W和地方震级M_L关系进行M_W=a+bM_L拟合，无论采用哪种量规函数，均有b < 1，向震级小的一端延伸时总表现为M_L < M_W，与前人(Bakun，1984；Hainzl and Fisher, 2002；严川等，2015)的结果一致.

分别采用Brune震源谱衰减模型与Boatwright震源谱衰减模型对微震震源谱拟合的结果表明，基于Brune模型得到的拐角频率略高于Boatwright模型得到的拐角频率；相反，Brune模型给出的破裂半径略低于Boatwright模型给出的破裂半径.拐角频率、破裂半径的对数均与矩震级呈现出微弱的线性关系，大体满足震级越大，拐角频率越低，破裂半径越大的规律，但相关系数不高，拟合优度较小.与部分地震学家(Aki，1967；Thatcher and Hanks, 1973；Kanamori and Anderson, 1975；Kanamori et al., 1993；Kanamori, 1994)认为的大地震应力降为常数的观点不同.本文的结果表明，在我们讨论的震级范围内应力降对数与矩震级呈现很好的线性关系，即应力降随着震级增减而增减，换算成应力降与地震矩的关系，对Brune模型Δσ∝M₀^0.95，对Boatwright模型Δσ∝M₀^0.98，非常接近于Δσ∝M₀.吴忠良等(1999)、陈运泰等(2000)认为，大小地震应力降不同的原因是大地震对局部地质条件不敏感，而微小地震对局部地质条件敏感，因此与大地震不同，微小地震可以用应力降来表征它的大小，这与本文中应力降与地震矩近似呈线性关系相吻合.另外，本文的结果还表明，虽然矩震级与应力降的关系不因采用的震源谱衰减模型而改变，但由于其依赖于拐角频率，数值是变化的，而且随着震级增大差异越大，差异的量级可能与应力降自身相当.从(3) 式来看，本文中人工拾取震相会对几何扩散(震源距)和非弹性衰减(走时)的精度产生影响，从而影响应力降等静力学参数与地震矩的关系，但由于采用了和达法约束发震时刻，减弱了盖戈定位法中发震时刻与位置的耦合，既保证了走时的可靠性，也约束了震源距，因此因到时拾取误差对震源谱拟合产生的影响不大，不会对应力降等参数与地震矩的关系产生明显影响.

折合能量e_R与矩震级呈很好的线性关系，支持微小地震折合能量不再是标度独立的观点.从物理上来说，折合能量e_R=E_R/M₀，其中地震矩M₀由震源位移的积分决定，能量E_R由速度的积分决定.对于给定的位移，只要它在持续时间内的积分一样，地震矩M₀就是一样的，但作为其导数的速度可以有不同的形式，能量不是唯一确定的，因而折合能量就不是唯一的.Kanamori和Rivera(2004)认为由于折合能量随着震级减小，意味着M₀∝f_c^－3不再成立，更一般的关系式应该改为M₀∝f_c^－(3+ε)(ε≤1)，通过对M_W-f_c关系的拟合我们给出了在本文讨论震级范围内ε的平均值对Brune模型为0.81，对Boatwright模型为0.66，但这不严谨，更合理的做法是对相同震级M_W-f_c进行统计分析，求出特定震级对应的ε，然而由于求取的拐角频率f_c本身误差较大，目前尚缺少这方面的研究.

应力降与视应力的对数均与矩震级呈较好的线性关系，表明应力降与视应力之间的关系也是线性的，可以求出对Brune震源谱衰减模型观测值有σ_app≈0.15Δσ，解析值有≈0.27Δσ；对Boatwright衰减模型观测值有σ_app≈0.13Δσ，解析值有≈0.38Δσ，无论哪种情况下视应力与应力降的比值均小于0.5，表明破裂动力学模式为Savage和Wood(1971)的“错动过头”模式.

地震矩和应力降、视应力的关系与拟合关系M_W=a+bM_L中b的取值相关.地震波辐射能量为(Hanks and Kanamori, 1979)

(10)

将(10) 式代入面波震级与能量的关系式可得到

(11)

根据Purcaru和Berckhemer(1978)的观点，(11) 式中面波震级完全由能量确定，因此一般地由(11) 式右端确定的震级也称为能量震级M_E.对大地震，Δσ/μ≈10^－4，并用矩震级M_W代替面波震级M_S便得到矩震级的定义.近震震级由地震图上最大振幅决定，代表了地震波周期为1 s时的能量(陈章立等，2014)，尽管“周期为1 s”常常得不到满足，但是通过量规函数来补偿，仍使其具有表征地震波辐射能量的特征，可近似认为M_L≈M_E.假设地震矩在某一值M_0c以下，应力降随着地震矩减小而减小，则Δσ/μ < 10^－4，因此有

(12)

对于Δσ∝M₀情况，设Δσ=kM₀，其中k < 1，则由(11) 式可得

(13)

即在M_W=a+bM_L中拟合系数b为0.5，同理可得对Mayeda和Walter(1996)观测到的Δσ∝M₀^0.25情况b为0.8.更一般地，对Δσ∝M₀^γ的情形，b=1/(1+γ).考虑到测量误差，对于微小地震，拟合关系M_W=a+bM_L中系数b值总会与理论上的0.5或者0.8偏离，但可以得到两个结论：(1) 由于应力降随地震矩减小而减小，因此近震震级小于矩震级；(2) 拟合关系M_W=a+bM_L中b值的大小暗示着应力降与地震矩的关系，b值在0.5左右说明Δσ∝M₀，在0.8左右则说明Δσ∝M₀^0.25，b值接近于1则暗示着应力降为常数.由于视应力(或折合能量)也与地震矩呈线性关系，因此上面的推导也可以从视应力(或折合能量)与地震矩的关系得到.本文中使用李学政等(2003)的量规函数时系数b=0.53，非常接近0.5，与应力降和地震矩近似成线性关系对应，说明李学政等(2003)的量规函数更全面地考虑了微震的辐射能量，这与李学政等(2003)0~5 km内的量规函数是基于爆破当量测定得到的事实非常契合.基于《规范》的量规函数得到近震震级与矩震级的拟合关系M_W=a+bM_L中b=0.66，处于0.5~0.8之间，说明单纯地从地震波辐射能量的角度上考虑，《规范》中将0~5 km范围内量规函数视为一个常数误差较大.

感谢两位匿名审稿人为完善本文提出了宝贵意见.中国地震局地球物理研究所周晓峰高工在微震台网运维和数据采集中付出了大量心血，张旭博士在编程方面给予了热心指导；中国科学院测量与地球物理研究所陈浩朋、王清东两位博士阅读了初稿；在此一并表示感谢.