地球物理学报  2017, Vol. 60 Issue (5): 1955-1978   PDF    
引用本文
李勇, 吴小平, 林品荣, 等. 2017. 电导率任意各向异性海洋可控源电磁三维矢量有限元数值模拟. 地球物理学报, 60(5): 1955-1978, doi: 10.6038/cjg20170528.  
Li Y, Wu X P, Lin P R, et al. 2017. Three-dimensional modeling of marine controlled-source electromagnetism using the vector finite element method for arbitrary anisotropic media. Chinese J. Geophys. (in Chinese), 60(5): 1955-1978, doi: 10.6038/cjg20170528.  
电导率任意各向异性海洋可控源电磁三维矢量有限元数值模拟
李勇1,2,3, 吴小平1 , 林品荣2,3, 韩思旭4, 李荡2,3, 刘卫强2,3     
1. 中国科学技术大学地球和空间科学学院 地震与地球内部物理实验室, 合肥 230026;
2. 中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所, 河北廊坊 065000;
3. 国土资源部地球物理电磁法探测技术重点实验室, 河北廊坊 065000;
4. 广东省核工业地质局二九三大队, 广州 510800
收稿日期 2016-08-28, 2016-10-26 收修定稿
基金项目: 国家自然科学基金项目（41504063，41374076，41130420），国家重大科学仪器设备开发专项（2011YQ050060），国家高技术研究发展计划项目（2014AA06A610，2012AA09A201），中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所基本科研业务费专项资金（AS2013R02），国土资源部国土资源杰出青年科技人才培养计划和中国地质调查局青年地质英才计划联合资助
第一作者简介: 李勇, 男, 1980年生, 高级工程师, 主要从事地球物理数值模拟与反演成像研究.E-mail:liyong@igge.cn
通讯作者: 吴小平, 男, 1967年生, 教授, 博士生导师, 研究方向为电磁测深和地球内部物理.E-mail:wxp@ustc.edu.cn
摘要: 现有海洋可控源电磁三维数值模拟方法大多基于电导率各向同性介质理论，不能模拟海底地层电导率各向异性的实际情况.本文给出了电导率各向异性三维介质中电性源海洋可控源电磁二次电场的边值问题以及相应的变分问题，采用长方体单元对研究区域剖分，将场分量定义在剖分单元的边上，利用矢量有限单元法求解变分问题，实现了电导率任意各向异性海洋可控源电磁三维矢量有限元数值模拟.这个新的正演方法可以计算电导率任意各向异性三维地电模型的海洋可控源电磁响应，基于二次场矢量有限元法直接求解电磁场，避免了传统有限元方法可能遇到的伪解问题和难于处理电场法向分量不连续的问题，提高了数值模拟计算精度.一维电导率各向异性模型电磁场数值解与解析解吻合得相当好，无论在源附近还是远离源处相对误差均不超过1%.电导率各向异性二维模型的计算结果与已有文献采用的非结构有限元模拟结果十分吻合.三维地电模型数值模拟结果显示，电导率各向异性张量电导率主轴分量和欧拉角对不同装置海洋可控源电磁响应均有着明显的影响.
关键词: 海洋可控源电磁法      电导率任意各向异性      矢量有限元      三维正演      二次场     
Three-dimensional modeling of marine controlled-source electromagnetism using the vector finite element method for arbitrary anisotropic media
LI Yong1,2,3, WU Xiao-Ping1, LIN Pin-Rong2,3, HAN Si-Xu4, LI Dang2,3, LIU Wei-Qiang2,3     
1. Laboratory of Seismology and Physics of Earth's Interior, School of Earth and Space Sciences, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China;
2. Institute of Geophysical and Geochemical Exploration, Chinese Academy of Geological Science, Hebei Langfang 065000, China;
3. Laboratory of Geophysical Electromagnetic Probing Technologies, Ministry of Land and Resources, Hebei Langfang 065000, China;
4. Geological Team No.293, Guangdong Geologic Bureau of Nuclear Industry, Guangzhou 510800, China
Abstract: Arrangement of underground media fractures, preferred orientation of mineral grains and mineral composition bedding stratification are the factors leading to anisotropy of electrical conductivity for submarine layers. It has been proved by many researches that the influence of conductivity anisotropy should not be ignored, because it may result in false geological structures in marine electromagnetic data explanation. Up to now, most of available methods used in three-dimensional (3D) modeling of marine controlled-source electromagnetism (MCSEM) are based on the theory of isotropic media, which cannot simulate MCSEM response in real submarine anisotropic layers. In this paper, the MCSEM boundary value problem for the secondary electric field in 3D anisotropic media is put forward. Its corresponding variational equation is derived and then solved with the vector finite element method, in which a rectangular mesh is applied to dissect the computational region and the field component is defined on the edge of the rectangular element. Consequently, a vector finite element method for 3D MCSEM modeling is developed to calculate electromagnetic response in arbitrary anisotropic media. Meanwhile, secondary field formulation is used to remove source singularity. Our vector finite element method is able to deal with the discontinuity of the normal component of the electric field in 3D anisotropic media, and the vector basis functions are divergence-free which avoids the spurious solution, showing obvious advantage over the traditional nodal finite element method. The comparison between the analytical and numerical solutions of a layered anisotropic model shows high accuracy of our algorithm with less than one percent of relative error. The numerical solutions from our 3D vector finite element modeling also match well with the results from an available 2D unstructured finite element method for a 2D anisotropic conductivity model. A three-dimensional model is then simulated which shows that the principal axis anisotropy of the conductivity and Euler angle have significant impact on Inline and Broadside electromagnetic responses.
Key words: Marine controlled-source electromagnetic method      Conductivity arbitrary anisotropic medium      Vector finite element method      Three-dimensional modeling      Secondary field     
1 引言

海洋可控源电磁法 (Marine controlled-source electromagnetic method，MCSEM) 是20世纪70年代末提出的一种低频人工源电磁法 (Cox, 1981; Cox et al., 1986).由于其对高阻油气层的有效分辨，近年来广泛地应用于海洋油气钻探前的储层价值预测与评估 (Edwards，2005；Constable and Srnka, 2007；He et al., 2008；Constable，2010；Zhdanov，2010).该方法通常使用拖曳在水中的可移动水平电偶极子 (Horizontal Electric Dipole source，HED) 作为发射源，并在被拖曳过程中发射低频电磁信号 (0.1~10 Hz)，通过放置于海水中不同深度 (离海底0~100 m) 的一系列电磁采集站来测量反映海底地质结构的电磁场信号，其电磁场振幅信号依赖于海底介质的电导率.

近年来，基于海底介质电导率各向同性的三维海洋电磁数值模拟研究进展迅速，主要有积分方程法 (Zhdanov et al., 2006；Gribenko and Zhdanov, 2007；何展翔等，2009；陈凯等，2013)、有限差分法 (付长民等，2009；Mittet，2010；杨波等，2012；韩波等，2015) 和有限元法 (Mukherjee and Everett, 2011；Schwarzbach et al., 2011；Puzyrev et al., 2013；Bakr et al., 2013；杨军等，2015).然而，地下介质裂隙的排列、矿物颗粒的优先排列方向和矿物组分的层理分层导致海底地层或岩体电导率各向异性客观存在 (Negi and Saraf, 1992；Yin，1999).而且，已有研究表明，在深入研究和解释海洋电磁资料时，电导率各向异性的影响不应该被忽略，否则会导致不容忽视的误差，甚至会得到错误的海底地电模型 (Li and Dai, 2011；Li et al., 2013；罗鸣和李予国，2015).因此，基于电导率各向同性介质理论的MCSEM正演方法不能满足实际海底油气探测的需求，电导率各向异性条件下MCSEM数值模拟方法研究越来越重要.Everett和Constable (1999)、Løseth和Ursin (2007)、Ramananjaona等 (2011)、Streich和Becken (2011)、罗鸣和李予国 (2015)、刘颖和李予国 (2015)采用不同方法实现了电导率各向异性一维MCSEM正演方法；Kong等 (2008)实现了2.5维电导率主轴各向异性MCSEM有限元正演计算，而Wiik等 (2013)发展了2.5维电导率垂直各向异性 (TI介质) MCSEM积分方程法正演算法；Li和Dai (2011)、Li等 (2013)实现了二维电导率各向异性MSCEM自适应有限元数值模拟.在电导率各向异性海洋可控源电磁三维数值模拟方面，陈桂波等 (2009)实现了海底地层为TI介质的MCSEM三维积分方程数值模拟；Newman等 (2010)利用非线性共轭梯度法实现了电导率TI介质中的MCSEM三维反演，并应用于实测数据解释；殷长春等 (2014)和贲放等 (2016)利用交错网格有限差分技术，开展了电导率任意各向异性介质海洋可控源电磁法三维正演研究，并分析了海底电导率各向异性对浅海数据的影响；Puzyrev等 (2013)、周建美等 (2014)和蔡红柱等 (2015)利用标量 (节点) 有限元法求解洛伦兹规范下电磁场的磁矢量位和电标量势，然后求导数获得电磁场，实现了电导率各向异性三维可控源电磁响应数值模拟计算.然而，求解电磁场位、势函数的标量有限元存在伪解问题，需要施加散度校正来解决；同时，先求解电磁势再经过导数运算间接获得电磁场的计算精度也明显会受到影响.各数值模拟方法的特点还可参见其他诸多文献 (Badea et al., 2001；Jin，2002；Avdeev，2005；汤井田等，2007；Börner，2010；徐志锋和吴小平，2010；殷长春等，2015).近年来发展的矢量有限元法采用一种新型的矢量插值基函数来近似未知函数，直接将电磁矢量场赋予单元的棱边而不是节点，其矢量插值函数能自动满足电磁场的切向连续性，并隐含矢量场散度为零的条件，在电磁法数值模拟计算中受到关注 (刘长生等，2010；Um et al., 2013；顾观文等，2014；Grayver and Bürg，2014；Ren et al., 2014；Hu et al., 2015；黄威等，2016).Mukherjee和Everett (2011)、杨军等 (2015)实现了电导率各向同性介质的MCSEM矢量有限元三维数值模拟并取得较好的结果，但考虑电导率任意各向异性的三维海洋可控源电磁矢量有限元数值模拟还未见相关文章发表.

本文在前人研究的基础上，研究新的基于二次场电导率任意各向异性三维海洋可控源电磁矢量有限元数值模拟方法.论文从麦克斯韦方程组出发，考虑场源的奇异性，导出了二次电场的非奇次亥姆霍兹方程，利用广义变分原理求得相应的泛函，然后采用长方体单元网格对研究区域进行剖分，将场置于长方体单元棱边上，对每个单元做线性插值，最后总体合成大型稀疏线性方程组，求解线性方程组获得二次电场，利用电场与磁场的旋度关系获得二次磁场，再加上由解析解获得的一次电磁场之后获得电磁总场.与一维解析结果对比显示了该算法具有较高的计算精度；与已有文献的电导率各向异性二维海洋可控源电磁非结构有限元计算结果进行对比，进一步验证程序的正确性；最后，对具有不同电导率各向异性参数 (包括3个电导率主轴分量和3个欧拉角) 的三维地电模型进行矢量有限元计算，分析电导率任意各向异性参数对海洋可控源电磁响应的影响.

2 二次电场边值问题和变分问题

考虑如图 1a所示的三维MCSEM地电模型，全空间由空气、海水、异常体和大地组成，任意方向的水平电偶极子源置于海水中的任意位置.假定大地中的磁导率是自由空间的磁导率μ，取时谐因子e－iωt.根据电磁场理论，三维地电模型中任意位置的电场强度E和磁场强度H满足似稳态条件下的Maxwell方程式：

图 1 三维模型 (a) 及离散化 (b) 示意图 Fig. 1 Schematic diagram for (a) a three-dimensional model and (b) the model meshing

(1)

(2)

(3)

(4)

式中, ω是角频率；i是虚数单位；J是激励源，即水平电偶极子源Tx的电流密度；是全空间任意位置任意各向异性介质的电导率张量，其在直角坐标系 (x、y、z) 中表示为

(5)

在地球介质中，电导率张量是对称的、正定的，也就是说任意各向异性电导率张量有6个独立分量 (张量的上三角或下三角，σxy=σyx，σxz=σzx，σyz=σzy).借助欧拉坐标旋转 (Løseth and Ursin, 2007)，可以实现由主轴坐标系 (x′, y′, z′) 到直角坐标系 (x, y, z) 的转换.在主轴坐标系中，电导率张量可以由3个电导率主轴分量σx(第一主分量)、σy(第二主分量)、σz(第三主分量) 和3个欧拉角α(各向异性走向角)、β(各向异性倾角)、γ(各向异性偏角) 表示，有

(6)

式中，e11=cosαcosγ-sinαcosβsinγ；

e12=-cosαsinγ-sinαcosβcosγ；

e13=sinαsinβ；e21=sinαcosγ+cosαcosβsinγ；

e22=-sinαsinγ+cosαcosβcosγ；

e23=-cosαsinβ；e31=sinβsinγ；

e32=sinβcosγ；e33=cosβ.

对于电导率各向同性介质，有σxx=σyy=σzz和σxy=σxz=σyz=0.

对 (1) 式两边取旋度，并将 (2) 式代入可导出电场强度E所满足的微分方程，有

(7)

倘若利用矢量有限元直接求解 (7) 式 (Mukherjee and Everett, 2011；杨军等，2015)，场源点的奇异性将给三维数值模拟带来很大的计算误差.为此，需要推导二次电场Es的微分方程.

根据叠加原理，总电磁场可以分解为一次电磁场和二次电磁场的和，且一次电磁场和二次电磁场分别满足 (8) 式和 (9) 式.

(8)

(9)

式中，E0和H0分别为一次电场和一次磁场；Es和Hs分别为二次电场和二次磁场；0是背景模型电导率张量；是介质电导率张量；s是异常电导率张量，s=－0；且有

仿照 (7) 式，由 (8) 式和 (9) 式可推导出一次电场E0和二次电场Es分别满足如下双旋度方程：

(10)

(11)

其中E0是各向同性均匀海底半空间介质中水平电偶极子激发产生的一次电场，即0中σxx0=σyy0=σzz0、σxy0=σxz0=σyz0=0；或者是各向同性水平层状地层中水平电偶极子激发产生的一次电场，均可由解析法求得 (Key，2009).为了求解 (11) 式中的二次电场Es，将 (11) 式分解成场的三个分量Esx、Esy和Esz，有

(12)

(13)

(14)

式中，Esx、Esy和Esz分别是二次电场Es在x、y、z三个方向上的分量；E0x、E0y和E0z分别为一次场E0在x、y、z三个方向上的分量.

取外边界Γ足够大，使得异常体产生的二次电场Es衰减到外边界处趋于零，可获得足够精确的第一类边界条件，构成图 1a三维地电模型MCSEM二次电场Es的边值问题：

(15)

式中，Ω为求解区域，Γ为外边界.

根据广义变分原理 (徐世浙，1994)，二次电场Es边值问题 (15) 式对应的变分问题为

(16)

式中，V为三维研究区域，F(Es) 是Es的泛函，δF(Es) 为F(Es) 的变分，k2=iωμ，ks2=iωμs.

3 矢量有限元分析

利用节点有限元法求解 (16) 式MCSEM三维地电模型的二次电场变分问题，会遇到伪解和电场法向分量不连续的问题，即使采用强加散度条件也不能得到完全解决 (Jin，2002；李勇等，2015).而矢量有限元 (或称边有限元) 方法能够有效避免伪解和电场法向分量不连续的问题，其方法步骤如下.

3.1 网格剖分

首先对研究区域剖分将其离散化.用一系列平行的平面沿x、y、z三个坐标轴方向将研究区域划分成M×N×L个小的长方体单元.这里，研究区域分成两部分，一部分是目标区域，另一部分是网格外延区域 (主要是为了模拟无穷边界).目标区域x、y方向采用等间隔网格，网格外延区域采用不等距网格，z方向 (包括空气层、海水层) 采用不等距网格.目标区域为地质体赋存区域，也是数据采集区域，海水中的水平电偶极子源可以在目标区域也可以在网格外延区域，如图 1b所示.这样，式 (16) 在整个研究区域V的积分可分解为各长方体单元的积分，有

(17)

3.2 矢量插值基函数

设长方体矢量子单元在x、y、z三个方向上的边长分别为lx、ly和lz，其中心点坐标为 (x0, y0, z0)，且将单元中每条边的正方向规定为与x、y、z轴正方向相同的方向，把单元内各个方向的场置于与坐标轴同向的棱边上，场的正方向也就是边的正方向，对应于图 2所示单元节点和边的编号关系，定义在x、y、z方向12个边上的矢量有限元基函数 (也称为单元形状函数) 分别为

图 2 长方体矢量子单元中边的编号规则 Fig. 2 Edge numbering rule of cuboid elements

(18)

(19)

(20)

则单元内任意点的二次电场矢量可表示为

(21)

式中Exie、Eyie、Ezie分别为x、y、z方向的切向电场.

从式 (21) 可以看出，单元平面及内部的电场，均由棱边上的切向电场和矢量基函数构建的插值函数进行描述，能够同时保证电场穿越棱边时和穿越单元界面时的切向连续性，并且具备零散度和非零旋度的特征，因此，矢量有限元法不需要在变分问题中强加散度校正项 (Jin，2002).

3.3 单元分析

式 (17) 第一项单元积分

(22)

式 (17) 第二项单元积分

(23)

式 (17) 第三项单元积分

(24)

其中，

3.4 总体合成及求变分

在单元e内, 将 (22)、(23)、(24) 式的积分结果相加，有

(25)

按照剖分棱边的总体序号，将单元系数矩阵中的各元素进行扩展总体合成，有

(26)

泛函的极值等于多元函数的极值，用多元函数求极值的方法，对式 (26) 求微分，有

(27)

由于式 (27) 中δ[Ese]T≠0，有

(28)

将方程 (28) 三项合并写为矩阵的形式，可获得复数阵的线性方程组：

(29)

代入边界条件，解线性方程组，获得二次电场Es，再加上一次电场E0之后获得总电场E.式 (29) 中K是超大型稀疏矩阵，其条件数较大，线性代数方程组解法的选择是得到正确解的关键，这里采用不完全Cholesky分解-双复共轭梯度法求解 (张永杰和孙秦，2007).

4 磁场的计算

将式 (9) 展开，二次磁场Hsx、Hsy和Hsz的表达式为

(30)

(31)

(32)

其中，

i=1, 2, …, 12为长方体剖分单元棱边编号，lx、ly分别为单元x、y方向的网格间距.

求得和后代入式 (30) 至式 (32)，便可计算出二次磁场Hsx、Hsy和Hsz，加上由解析解计算的一次磁场H0x、H0y和H0z获得总磁场Hx、Hy和Hz.

5 模型计算与结果分析

为了检验算法的正确性，我们设计了电导率各向异性一维、二维模型，并进行矢量有限元模拟计算.其中，一维模型存在解析解，可对比矢量有限元计算结果与解析解，用之分析计算精度；二维模型已有非结构网格有限元模拟结果，可进一步检验矢量有限元算法的正确性.另外，对三维地电模型不同电导率任意各向异性参数情况进行矢量有限元计算，分析电导率任意各向异性参数对海洋可控源电磁响应的影响.

在数值模拟中，考虑空气层的影响，并假定空气层为电导率各向同性介质；x、y方向采用均匀网格剖分，z方向采用非均匀网格剖分，网格大小100×50×50；计算中采用两种装置：(1) Inline装置，即单位电偶极子Tx沿着x轴方向，测线方向与x轴方向一致，测量水平电场Ex分量和水平磁场Hy分量.(2) Broadside装置，即水平单位电偶极子沿着y轴方向，测线方向与x轴方向一致，测量水平电场Ey分量和水平磁场Hx分量.

5.1 电导率各向异性一维模型算例

如图 3a所示一维模型，中间层为电导率各向异性且相对高阻的薄层；海水层厚度为1 km，电导率主轴分量σx1=σy1=σz1=4.0 S·m-1，欧拉角α1=β1=γ1=0°；海底覆盖层厚度1 m，覆盖层电导率主轴分量σx2=σy2=σz2=1.0 S·m-1，欧拉角α2=β2=γ2=0°；高阻薄层厚度0.5 km，其电导率主轴分量σx3=σy3=0.02 S·m-1、σz3=0.004 S·m-1，欧拉角α3=β3=γ3=0°；底层为基底层，其电导率主轴分量σx4=σy4=σz4=1.0 S·m-1，欧拉角α4=β4=γ4=0°；水平电偶极子位于海平面下方0.95 km处，方向分沿x轴方向 (IDX，Inline装置) 和沿y轴方向 (IDY，Broadside装置) 两种情况，其中心坐标均为 (0 km, 0 km, 0.95 km)，发射频率均为0.25 Hz；位于海平面下方0.9 km的测线Re平行x轴且在-10 km＜x＜10 km范围内以间隔0.2 km均匀布设 (Re的y坐标为0.1 km、z坐标为0.9 km).

图 3 电导率各向异性一维模型示意图 (a) 计算模型；(b) 背景模型. Fig. 3 Schematic diagram for the one-dimensional conductivity anisotropic model (a) Calculation model; (b) Background model.

图 4是利用本文三维矢量有限元计算的Inline装置总电场Ex、总磁场Hy响应和Broadside装置总电场Ey、总磁场Hx响应结果与解析解结果的对比曲线，有限元模拟中取电导率各向同性的海底半空间为背景模型，如图 3b所示.从图 4可以直观地看出，三维海洋可控源电磁矢量有限元法求得的电磁场数值解和解析解吻合非常好，用|-/×100%表示矢量有限元法计算的电磁场振幅与电磁场解析解比较的相对误差，测线Re无论在源附近还是离开电偶极子较远处相对误差均不超过1%，说明本文基于二次场电导率任意各向异性三维海洋可控源电磁矢量有限元数值模拟算法具有较高的计算精度.

图 4 电导率各向异性一维模型三维矢量有限元计算结果与解析解结果对比 (a) Inline装置|Ex|；(b) Inline装置|Hy|；(c) Broadside装置|Ey|；(d) Broadside装置|Hx|. Fig. 4 Comparison of analytical and three-dimensional vector finite element solutions for the one-dimensional conductivity anisotropic model (a) |Ex| curve with Inline geometry; (b) |Ey| curve with Inline geometry; (c) |Ey| curve with Broadside geometry; (d) |Ex| curve with Broadside geometry.
5.2 电导率各向异性二维模型算例

为了进一步验证三维MCSEM矢量有限元数值模拟计算程序的正确性，设计了如图 5所示的各向异性二维地电模型 (Li and Dai, 2011; Li et al., 2013)，海水的电导率是各向同性的，为3.33 S·m-1，深度为1 km；顶界面距海底1 km处有一个6 km×0.1 km的高阻油气薄层，中心坐标为 (0 km, 0 km, 2.05 km)，其电导率是各向同性的，为0.02 S·m-1；高阻油气薄层周围沉积层的电导率为各向异性，电导率主轴分量σx2=σy2=1.0 S·m-1、σz2=0.25 S·m-1，欧拉角α2=β2=γ2=0°.沿x方向的水平单位电偶极子源发射频率为0.25 Hz，中心坐标为 (0 km, 0 km, 0.95 km)；接收站置于海底，沿x方向以0.2 km等间距布置.图 6是位于海底三维矢量有限元 (3D VFEM) 数值模拟结果与海洋电磁二维非结构有限元 (2D FEM) 数值模拟结果的对比，海洋电磁二维非结构有限元数值模拟结果由中国海洋大学罗鸣博士提供.从图 6对比曲线可以看出，三维MCSEM矢量有限元数值模拟程序计算结果和二维非结构有限元计算结果十分吻合，这也进一步验证了基于二次场电导率任意各向异性三维海洋可控源电磁矢量有限元数值模拟计算程序的正确性.

图 5 各向异性二维地电模型 Fig. 5 Schematic diagram for the two-dimensional geoelectric model
图 6 三维矢量有限元与二维非结构有限元计算结果对比 (a) Ex振幅；(b) Hy振幅. Fig. 6 Comparison between the three-dimensional vector finite element and two-dimensional unstructured finite element solutions (a) |Ex|; (b) |Hy|.
5.3 电导率任意各向异性三维模型算例

为了模拟分析海底介质电导率主轴分量σx、σy、σz和欧拉角α、β、γ变化对海洋可控源电磁响应的影响，本文设计了如图 7a所示MCSEM三维地电模型.厚度为1 km的海水层是电导率各向同性介质，且电导率σ1为4.0 S·m-1；海底下方1 km处存在两个低电导率各向同性的三维异常体，异常体中心坐标分别为 (3 km，0 km，2.25 km) 和 (-3 km，0 km，2.25 km)，大小均为2 km×1 km×0.5 km，其电导率σ3均为0.01 S·m-1，x-z平面和x-y平面内的投影如图 7b和图 7c所示；水平电偶极子位于海底上方0.05 km处，方向分沿x轴方向 (IDX, Inline装置) 和沿y轴方向 (IDY, Broadside装置) 两种情况，其中心坐标均为 (0 km, 0 km, 0.95 km)，两种情况发射频率均为0.25 Hz；电磁采集站以0.2 km×0.2 km的网格均匀分布在海底-10 km≤x≤10 km、-10 km≤y≤10 km范围内；测线Re位于海底，其x、y、z坐标分别为-10 km＜x＜10 km、y=0.1 km、z=1 km；海底围岩为电导率各向异性介质，其张量电导率的3个电导率主轴分量和3个欧拉角分别为σx、σy、σz、α、β、γ.

图 7 电导率各向异性三维理论地电模型 (a) 三维模型；(b) 断面图；(c) 平面图. Fig. 7 Schematic diagram for the three-dimensional conductivity anisotropic model (a) Three-dimensional model; (b) Section view; (c) Planar view.
5.3.1 电导率主轴分量对海洋可控源电磁响应的影响

假定σx=σy=1 S·m-1、α=β=γ=0°，分别对σz(第三主分量) 为1 S·m-1、0.25 S·m-1、0.0625 S·m-1和0.04 S·m-1四种情况进行正演计算.图 8是σz取不同值测线Re上Inline装置和Broadside装置水平电磁场的振幅曲线，图 9是σz取不同值时Inline装置和Broadside装置海底电磁场的分布.由图 8可见，电磁场振幅随着收发距的增大快速衰减，同一个收发距电磁场振幅随着电导率第三主分量σz的降低而增大；由图 9可见，电磁场分布以海底中心和水平电偶极子源中心对称，呈辐射花样，当σz取1 S·m-1时，电磁场在x方向和y方向的衰减没有明显的差异，但是随着σz的降低，Inline装置x方向电磁场的衰减小于Broadside装置x方向电磁场的衰减，而Inline装置y方向电磁场的衰减大于Broadside装置y方向电磁场的衰减.为了更好地了解电导率各向异性σz变化对电磁场响应的影响，定义归一化电磁场Φz/Φ，其中Φz表示σz变化时正演计算的电磁场振幅，Φ表示海底半空间无异常体 (σ3=1 S·m-1) 且电导率各向同性时的电磁场振幅，图 8中实圆圈是σz变化Re测线不同装置归一化电磁场曲线，图 10是σz变化不同装置海底电磁场归一化响应分布，电磁场归一化响应更加直观地反映了电导率各向异性σz变化对电磁场响应的影响.

图 8 第三主分量变化测线Re不同装置MCSEM电磁响应曲线 图中实线表示电磁场响应曲线，实圆圈表示电磁场归一化曲线. (a) Inline装置|Ex|及归一化曲线；(b) Inline装置|Hy|及归一化曲线；(c) Broadside装置|Ey|及归一化曲线；(d) Broadside装置|Hx|及归一化曲线. Fig. 8 MCSEM responses of different geometries at survey line Re with the third principal component changes Solid line indicates electromagnetic response curve. Solid circle shows the normalized curve of electromagnetic field. (a) |Ex| and normalized field curves with Inline geometry; (b) |Hy| and normalized field curves with Inline geometry; (c) |Ey| and normalized field curves with Broadside geometry; (d) |Hx| and normalized field curves with Broadside geometry.
图 9 第三主分量变化不同装置海底电磁场分布 子图号 (如a4) 中的字母a、b分别表示Inline装置海底电场Ex、磁场Hy响应，c、d分别表示Broadside装置海底电场Ey、磁场Hx响应；1、2、3、4分别表示σz=1、0.25、0.0625和0.04 S·m-1. Fig. 9 Contours of electromagnetic fields on the surface of the seabed for different geometries with third principal component changes In the panel (such as a4), the letters a and b show submarine Ex and Hy responses with Inline geometry. Letters c and d indicate submarine Ey and Hx responses with Broadside geometry. Numerals 1, 2, 3, 4 represent third principal component values 1, 0.25, 0.0625 and 0.04 S·m-1, respectively.
图 10 第三主分量变化不同装置海底电磁场响应归一化等值线图 子图号 (如a4) 中的字母a、b分别表示Inline装置海底归一化电场Ex、归一化磁场Hy响应，c、d分别表示Broadside装置海底归一化电场Ey、归一化磁场Hx响应；1、2、3、4分别表示σz=1、0.25、0.0625和0.04 S·m-1. Fig. 10 Contours of normalized electromagnetic fields on the surface of the seabed for different geometry with the third principal component changes In the panel (such as a4), letters a and b show the submarine normalized Ex and Hy responses with Inline geometry. Letters c and d indicate submarine normalized Ey and Hx responses with Broadside geometry. Numerals 1, 2, 3, 4 represent third principal component values 1, 0.25, 0.0625 and 0.04 S·m-1, respectively.

假定σx=σz=1 S·m-1、α=β=γ=0°，分别对σy(第二主分量) 为1 S·m-1、0.25 S·m-1、0.0625 S·m-1和0.04 S·m-1四种情况进行正演计算，定义归一化电磁场Φy/Φ，其中Φy表示σy变化时正演计算的电磁场振幅.图 11是σy取不同值测线Re上Inline装置和Broadside装置水平电磁场的振幅曲线及归一化响应曲线，图 12是σy变化Inline装置和Broadside装置海底电磁场归一化响应分布，从图 11、图 12可以看出，电磁场响应及归一化响应以海底中心和水平电偶极子源中心对称，σy变化对电磁场幅值的影响较小.另外，从图 12a1、图 12b1、图 12c1和图 12d1可以看出海底归一化电磁场分布不全为1，这主要是由于海底半空间中存在两个低电导率异常体的影响.

图 11 第二主分量变化测线Re不同装置MCSEM电磁响应曲线 图中实线表示电磁场响应曲线，实圆圈表示电磁场归一化曲线. (a) Inline装置|Ex|及归一化曲线; (b) Inline装置|Hy|及归一化曲线; (c) Broadside装置|Ey|及归一化曲线; (d) Broadside装置|Hx|及归一化曲线. Fig. 11 MCSEM responses of different geometries at survey line Re with the second principal component changes Solid line indicates electromagnetic response curve. Solid circle shows the normalized curve of the electromagnetic field. (a) |Ex| and normalized field curves with Inline geometry; (b) |Hy| and normalized field curves with Inline geometry; (c) |Ey| and normalized field curves with Broadside geometry; (d) |Hx| and normalized field curves with Broadside geometry.
图 12 第二主分量变化不同装置海底电磁场响应归一化等值线图 子图号 (如a4) 中的字母a、b分别表示Inline装置海底归一化电场Ex、归一化磁场Hy响应，c、d分别表示Broadside装置海底归一化电场Ey、归一化磁场Hx响应；1、2、3、4分别表示σy=1、0.25、0.0625和0.04 S·m-1. Fig. 12 Contours of normalized electromagnetic fields on the surface of the seabed for different geometries with the second principal component changes In the panel (such as a4), letters a and b show the submarine normalized field Ex and Hy responses with Inline geometry. Letters c and d indicate submarine normalized field Ey and Hx responses with Broadside geometry. Numerals 1, 2, 3, 4 represent second principal component values 1, 0.25, 0.0625 and 0.04 S·m-1, respectively.

假定σy=σz=1 S·m-1、α=β=γ=0°，分别对σx(第一主分量) 为1 S·m-1、0.25 S·m-1、0.0625 S·m-1和0.04 S·m-1四种情况进行正演计算，定义电磁场归一化Φx/Φ，其中Φx表示σx变化时正演计算的电磁场振幅.图 13是σx取不同值测线Re上Inline装置和Broadside装置水平电磁场的振幅曲线及归一化响应曲线，图 14是σx变化Inline装置和Broadside装置海底电磁场归一化响应分布，从图 13、图 14可以看出，同一收发距随着σx的降低Inline装置的电磁场振幅增大，σx变化对Broadside装置的电磁场响应影响较小且曲线形态变化复杂，σx变化对Inline装置电磁场的影响大于σx变化对Broadside装置电磁场的影响.图 8至图 14相比较可知，无论是Inline装置还是Broadside装置，σz变化对电磁场响应的影响大于σx、σy对电磁场响应的影响；σx、σy对装置的电磁场影响较弱，发射源方向与主轴σx方向一致时σx变化对Inline装置的电磁场影响较强.

图 13 第一主分量变化测线Re不同装置MCSEM电磁响应曲线 图中实线表示电磁场响应曲线，实圆圈表示电磁场归一化曲线. (a) Inline装置|Ex|及归一化曲线; (b) Inline装置|Hy|及归一化曲线; (c) Broadside装置|Ey|及归一化曲线; (d) Broadside装置|Hx|及归一化曲线. Fig. 13 MCSEM responses of different geometries at survey line Re with the first principal component changes Solid line indicates electromagnetic response curve. Solid circle shows the normalized curve of electromagnetic field. (a) |Ex| and normalized field curves with Inline geometry; (b) |Hy| and normalized field curves with Inline geometry; (c) |Ey| and normalized field curves with Broadside geometry; (d) |Hx| and normalized field curves with Broadside geometry.
图 14 第一主分量变化不同装置海底电磁场响应归一化等值线图 子图号 (如a4) 中的字母a、b分别表示Inline装置海底归一化电场Ex、归一化磁场Hy响应，c、d分别表示Broadside装置海底归一化电场Ey、归一化磁场Hx响应；1、2、3、4分别表示σx=1、0.25、0.0625和0.04 S·m-1. Fig. 14 Contours of normalized electromagnetic fields on the surface of the seabed for different geometries with the first principal component changes In the panel (such as a4), letters a and b show the submarine normalized field Ex and Hy responses with Inline geometry. Letters c and d indicate submarine normalized field Ey and Hx responses with Broadside geometry. Numerals 1, 2, 3, 4 represent first principal component values 1, 0.25, 0.0625 and 0.04 S·m-1, respectively.
5.3.2 欧拉角变化对海洋可控源电磁响应的影响

为了研究海底介质电导率欧拉角α(各向异性走向角)、β(各向异性倾角) 和γ(各向异性偏角) 变化对MCSEM电磁响应的影响，固定σx=1 S·m-1、σy=0.25 S·m-1和σz=0.0625 S·m-1.首先，假定β=γ=15°，分别对α为15°、30°、45°和60°的四种情况进行数值模拟计算；然后，假定α=γ=15°，分别对β为15°、30°、45°和60°的四种情况进行数值模拟计算；最后，假定α=β=15°，分别对γ为15°、30°、45°和60°的四种情况进行数值模拟计算.定义电磁场归一化′/，其中′表示α、β和γ分别变化时正演计算的电磁场振幅，表示电导率各向同性的海底半空间 (σx=σy=σz=1 S·m-1) 存在异常体 (σ3=0.01 S·m-1) 时的电磁场振幅.图 15是α取不同值测线Re上Inline装置和Broadside装置水平电磁场的振幅曲线及归一化响应曲线，图 16是α变化Inline装置和Broadside装置海底电磁场归一化响应分布；图 17是β取不同值测线Re上Inline装置和Broadside装置水平电磁场的振幅曲线及归一化响应曲线，图 18是β变化Inline装置和Broadside装置海底电磁场归一化响应分布；图 19是γ取不同值测线Re上Inline装置和Broadside装置水平电磁场的振幅曲线及归一化响应曲线，图 20是γ变化Inline装置和Broadside装置海底电磁场归一化响应分布.从图中可以看出，三个欧拉角对海洋可控源电磁响应有着明显的影响，α、β、γ的变化使得电磁场响应和电磁场归一化响应不对称，随着欧拉角α、β、γ的增大，Inline装置电磁场振幅减小，而Broadside装置电磁场振幅变化相对复杂.总的来说，欧拉角α、β、γ的变化对MCSEM电磁场的影响相对复杂，但对Inline装置和Broadside装置的电磁场响应造成明显影响.

图 15 走向角变化测线Re不同装置MCSEM电磁响应曲线 图中实线表示电磁场响应曲线，实圆圈表示电磁场归一化曲线. (a) Inline装置|Ex|及归一化曲线; (b) Inline装置|Hy|及归一化曲线; (c) Broadside装置|Ey|及归一化曲线; (d) Broadside装置|Hx|及归一化曲线. Fig. 15 MCSEM responses of different geometries at survey line Re with the strike-angle changes Solid line indicates electromagnetic response curve. Solid circle shows the normalized curve of electromagnetic field. (a) |Ex| and normalized field curves with Inline geometry; (b) |Hy| and normalized field curves with Inline geometry; (c) |Ey| and normalized field curves with Broadside geometry; (d) |Hx| and normalized field curves with Broadside geometry.
图 16 走向角变化不同装置海底电磁场响应归一化等值线图 子图号 (如a4) 中的字母a、b分别表示Inline装置海底归一化电场Ex、归一化磁场Hy响应，c、d分别表示Broadside装置海底归一化电场Ey、归一化磁场Hx响应；1、2、3、4分别表示走向角度α=15°、30°、45°和60°. Fig. 16 Contours of normalized electromagnetic fields on the surface of the seabed for different geometries with strike-angle changes In the panel (such as a4), letters a and b show submarine normalized field Ex and Hy responses with Inline geometry. Letters c and d indicate submarine normalized field Ey and Hx responses with Broadside geometry. Numerals 1, 2, 3, 4 represent strike-angle values 15°, 30°, 45° and 60°, respectively.
图 17 倾角变化测线Re不同装置MCSEM电磁响应曲线 图中实线表示电磁场响应曲线，实圆圈表示电磁场归一化曲线. (a) Inline装置|Ex|及归一化曲线; (b) Inline装置|Hy|及归一化曲线; (c) Broadside装置|Ey|及归一化曲线; (d) Broadside装置|Hx|及归一化曲线. Fig. 17 MCSEM responses of different geometry at survey line Re with the dip-angle changes Solid line indicates electromagnetic response curve. Solid circle shows the normalized curve of electromagnetic field. (a) |Ex| and normalized field curves with Inline geometry; (b) |Hy| and normalized field curves with Inline geometry; (c) |Ey| and normalized field curves with Broadside geometry; (d) |Hx| and normalized field curves with Broadside geometry.
图 18 倾角变化不同装置海底电磁场响应归一化等值线图 子图号 (如a4) 中的字母a、b分别表示Inline装置海底归一化电场Ex、归一化磁场Hy响应，c、d分别表示Broadside装置海底归一化电场Ey、归一化磁场Hx响应；1、2、3、4分别表示倾角β=15°、30°、45°和60°. Fig. 18 Contours of the normalized electromagnetic fields on the surface of the seabed for different geometry with dip-angle changes In the panel (such as a4), letters a and b show the submarine normalized field Ex and Hy responses with Inline geometry. Letters c and d indicate submarine normalized field Ey and Hx responses with Broadside geometry. Numerals 1, 2, 3, 4 represent dip-angle values 15°, 30°, 45° and 60°, respectively.
图 19 偏角变化测线Re不同装置MCSEM电磁响应曲线 图中实线表示电磁场响应曲线，实圆圈表示电磁场归一化曲线. (a) Inline装置|Ex|及归一化曲线; (b) Inline装置|Hy|及归一化曲线; (c) Broadside装置|Ey|及归一化曲线; (d) Broadside装置|Hx|及归一化曲线. Fig. 19 MCSEM responses of different geometry at survey line Re with partial-angle changes Solid line indicates electromagnetic response curve. Solid circle shows the normalized curve of electromagnetic field. (a) |Ex| and normalized field curves with Inline geometry; (b) |Hy| and normalized field curves with Inline geometry; (c) |Ey| and normalized field curves with Broadside geometry; (d) |Hx| and normalized field curves with Broadside geometry.
图 20 偏角变化不同装置海底电磁场响应归一化等值线图 子图号 (如a4) 中的字母a、b分别表示Inline装置海底归一化电场Ex、归一化磁场Hy响应，c、d分别表示Broadside装置海底归一化电场Ey、归一化磁场Hx响应；1、2、3、4分别表示偏角γ=15°、30°、45°和60°. Fig. 20 Contours of the normalized electromagnetic fields on the surface of the seabed for different geometries with partial-angle changes In the panel (such as a4), letters a and b show submarine normalized field Ex and Hy responses with Inline geometry. Letters c and d indicate submarine normalized field Ey and Hx responses with Broadside geometry. Numerals 1, 2, 3, 4 represent partial-angle values 15°, 30°, 45° and 60°, respectively.
6 结论

针对地下介质电导率往往具有明显的任意各向异性，本文实现了电导率任意各向异性介质三维海洋可控源电磁矢量有限元模拟算法.与常规的节点有限单元法将自由度赋予单元节点不同，矢量有限单元法使用矢量基函数来近似未知函数，将矢量场赋予单元网格棱边上，消除了节点有限元插值基函数散度不为零及其带来的伪解问题，同时，采用直接从二次电场的双旋度矢量方程出发求解电场，避免了场源的奇异性.一维电导率各向异性理论计算结果与解析解的对比表明，本文采用的基于二次场矢量有限元技术直接求解电磁场取得了很高的计算精度，无论在发射源附近还是10 km范围处的计算误差均不超过1%，电导率各向异性二维模型的计算结果与已有文献采用的非结构有限元模拟结果也十分吻合，为进一步开展电导率任意各向异性海洋可控源电磁三维反演研究提供了基础.

电导率各向异性三维地电模型的矢量有限元数值模拟结果表明，各向异性张量3个电导率主轴分量和3个欧拉角对Inline装置和Broadside装置的电磁响应均有明显的影响.无论是Inline装置还是Broadside装置，σz变化对电磁场响应的影响大于σx、σy对电磁场响应的影响；σx、σy对Inline装置的电磁场影响相对较弱，而当发射源方向与主轴σx方向一致时σx变化对Inline装置的电磁场影响较强；欧拉角α、β、γ的变化对电磁场响应的影响相对复杂.

致谢

在本文程序正确性验证过程中，以电子邮件的形式与吉林大学地球探测科学与技术学院贲放博士进行过咨询与讨论，中国海洋大学罗鸣博士提供了文中二维模型海洋可控源电磁非结构有限元数值模拟结果，中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所郭友钊博士审阅了修改稿，两位匿名审稿专家提出了宝贵的修改意见和建议，在此一并表示感谢.

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