世界上大约有30%的油气赋存于砂-泥岩薄交互层中，这种层序的地层厚度远小于感应仪器的最小分辨率，其宏观电阻率表现为横向各向同性 (简记为TI)，通常也被称为各向异性地层 (Moran and Gianzero, 1979).传统的感应测井仪器由于只采用共轴发射-接收线圈，其响应主要与地层水平电阻率信息有关，视电阻率值偏低，不能反映井眼周围地层的实际特征 (Clavaud et al., 2005).多分量感应测井仪器由一组或多组沿三个方向彼此正交的发射-接收线圈阵列组成，可同时测量磁场的九个分量，能够从测量结果中直接获得地层电阻率各向异性信息 (Kriegshauser et al., 2000；Mallan and Torres-Verdin, 2006).层厚、井眼、侵入、地层各向异性、仪器结构等因素均会影响多分量感应测井的响应，系统地分析这些因素的影响规律对测量数据的解释具有重要价值，一般需采用运算效率很低的有限差分或有限元算法 (Wang et al., 2008).在上述各种因素中，仪器在井眼中居中或偏心时钻井液对响应产生的影响一直是测井分析家关注的问题之一，在分析时可采用柱状成层介质模型进行高效解析求解 (Gianzero，1978；Lovell and Chew, 1990；Hagiwara et al., 2003；Hue and Teixeira, 2006；Wang et al., 2008；魏宝君等，2015).已有大量文献采用柱状成层各向同性介质模型对传统感应测井仪器和随钻电磁波测井仪器的偏心响应进行了模拟和分析 (魏宝君等，2016a).基于Lovell和Chew (1987)的思路，在前期推导的共轴情况下柱状成层各向异性介质谱域并矢Green函数 (魏宝君等，2016b) 的基础上，本文采用魏宝君等 (2016b)在各向同性地层中模拟阵列感应测井仪器井眼偏心响应的方法，经推导得到了在柱状成层各向异性地层中模拟多分量感应测井仪器井眼偏心响应的解析算法.该算法在推导过程中既考虑到了金属心轴和线圈系所处绝缘保护层的存在，也考虑到了各分量线圈系的具体形状，所采用的模型更接近于仪器实际结构.

假设均匀各向异性介质是磁各向同性的，其磁导率为μ，ε=diag (ε_h, ε_h, ε_v) 为介质的复介电常数张量.采用圆柱坐标系并假设发射源随时间的变化关系为exp (-iωt)，其中ω为角频率，场点和源点位置坐标分别用 (ρ, φ, z) 和 (ρ″, φ″, z″) 表示.将电磁场分解为纵向分量与横向分量，即E=E_s+e_zE_z、H=H_s+e_zH_z，则在无源区域中由Maxwell方程组经推导可以得到电磁场的横向分量与纵向分量之间的关系为

(1a)

(1b)

式中为横向微分算符.

考虑到频率域电磁场均可表示为谱域电磁场积分的形式 (Chew，1990)，即

(2)

将式 (1) 与式 (2) 结合，则在谱域内有

(3a)

(3b)

即在谱域内电磁场的横向分量可用纵向分量表示.

对比均匀各向同性介质中谱域内并矢Green函数的矢量本征函数展开式的各分量 (戴振铎和鲁述，1996)，可以得到均匀各向异性介质中谱域内磁流源和电流源并矢Green函数的所有分量.例如，当ρ>ρ″时谱域内沿ρ方向单位磁流源产生的电磁场的z分量可表示为

(4a)

(4b)

式中k_vρ=k_hρ/K，K=k_h/k_v为各向异性系数，k_v²=ω²με_v.J_ν是Bessel函数，H_ν⁽¹⁾是第一类Hankel函数.又例如当ρ>ρ″时沿φ方向单位电流源产生的电磁场的z分量可表示为

(5a)

(5b)

类似地可写出谱域内其他方向单位磁流源或电流源产生的电磁场的z分量.

考虑到式 (3)，定义如下矩阵：

(6a)

(6b)

(6c)

则在ρ>ρ″时，均匀各向异性介质中谱域内沿ρ方向磁流源并矢Green函数的三个正交分量可表示为

(7)

式中系数a_{ν, ρ}^{M, h}由式 (4) 得到.均匀各向异性介质中谱域内沿φ方向电流源并矢Green函数的三个正交分量可表示为

(8)

系数a_{ν, φ}^{J, h}由式 (5) 得到.类似地可写出磁流源或电流源并矢Green函数的其他六个分量.

若ρ≤ρ″，只需将上述各表达式中的J_ν(k_hρρ″) 换成H_ν⁽¹⁾(k_hρρ″)、J_ν(k_νρρ″) 换成H_ν⁽¹⁾(k_νρρ″)、H_ν⁽¹⁾(k_hρρ) 换成J_ν(k_hρρ)、H_ν⁽¹⁾(k_vρρ) 换成J_ν(k_νρρ) 即可.相应地，式 (6) 中相关矩阵定义为J_{ν, z}(k_ρρ)、J_{ν, φ}(k_ρρ) 和J_{ν, ρ}(k_ρρ)，式 (7) 和式 (8) 中的系数分别定义为b_{ν, ρ}^{M, h}和b_{ν, φ}^{J, h}.

综合上述各种情况，在谱域内无论是电流源还是磁流源，其沿不同方向的单位源在所有三个正交方向产生的电磁场 (即并矢Green函数) 的表达式可以统一表示为如下形式，式中a_ν^h、b_ν^h根据不同类型和方向的源具有不同的具体表达式.

(9a)

(9b)

(9c)

结合式 (2)，可得到频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场的表达式，

(10a)

(10b)

(10c)

式中的a_ν^h、b_ν^h已经考虑到不同类型和方向的发射线圈的形状和尺寸，是对发射源的空间积分.

对于沿ρ方向柱状成多层各向异性介质 (图 1)，设介质从里向外的编号依次为-m, -m+1, …, 0, 1, …, n，半径分别为ρ_-m, ρ_-m+1, …, ρ₀, ρ₁, …, ρ_n-1，源在第0层，类比式 (9) 可写出任意第i层介质中谱域内并矢Green函数的z、φ和ρ分量，

图 1

Fig. 1

图 1 柱状成层各向异性介质模型 Fig. 1 Model of cylindrically stratified anisotropic media

(11a)

(11b)

(11c)

式中k_{ρ, i}可表示k_{hρ, i}和k_{vρ, i}，k_{hρ, i}²=k_hi²-k_z²，k_hi²=ω²μ_iε_hi，k_{vρ, i}=k_{hρ, i}/K_i，K_i=k_hi/k_vi为每层介质各向异性系数，k_vi²=ω²μ_iε_vi.M_iν和N_iν分别是内层界面和外层界面的2×2阶广义反射矩阵，满足M_{-m, ν}=0、N_nν=0.为获得任意层中的并矢Green函数，需针对所有i和ν确定矩阵M_iν、N_iν和列向量a_iν、b_iν.

参考Lovell和Chew (1987)针对柱状成层各向同性介质模型的推导思路，下面给出在柱状成层各向异性介质中确定M_iν、N_iν、a_iν、b_iν的方法.在界面ρ_i处定义局域反射系数矩阵Γ_iν^-、Γ_iν⁺和局域透射系数矩阵T_iν^-、T_iν⁺假设有一幅度为a_ν的电磁波从第i+1层介质向里入射到界面ρ_i上，该波在ρ_i处被反射和透射.根据电磁场z分量和φ分量的连续性条件，有

将上述两式联立，先消去T_iν⁺，经整理得到

(12)

其中：

(13)

再消去Γ_iν^-，经整理得到

(14)

其中：

(15)

再假设有一幅度为a_ν的电磁波从第i层介质向外入射到界面ρ_i上，该波在ρ_i处被反射和透射.根据电磁场z分量和φ分量的连续性条件，有

将上述两式联立，先消去T_iν⁺，经整理得到

(16)

再消去Γ_iν⁺，经整理得到

(17)

利用下列递推公式可得到源内侧i≤0所有层的M_iν(Lovell and Chew, 1987)：

(18)

利用式 (18) 从M_{-m, ν}=0开始递推，一直到M_{0, ν}.

利用下列递推公式可得到源外侧i>0所有层的N_iν(Lovell and Chew, 1987)：

(19)

利用式 (19) 从N_nν=0开始递推，一直到N_{0, ν}.

利用谱域并矢Green函数的z分量确定列向量a_iν、b_iν.在第0层，根据式 (11a) 有

(20)

在源ρ=ρ_T^-和ρ=ρ_T⁺处z分量满足场的阶跃变化条件，结合式 (9a) 和式 (20) 有

式中a_0ν^h和b_0ν^h由式 (9) 的a_ν^h和b_ν^h取第0层介质的参数得到.于是有

即

(21)

利用式 (21) 可确定列向量a_0ν、b_0ν，若利用φ分量或ρ分量所满足的场的阶跃变化条件可得到与式 (21) 完全相同的形式.确定列向量a_{i+1, ν}、b_iν可由Lovell和Chew (1987)给出的方法递推，

(22a)

(22b)

由式 (11)，任意第i层介质中频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场可表示为

(23a)

(23b)

(23c)

式中a_iν、b_iν已经考虑到不同类型和方向发射线圈的形状和尺寸，可通过将式 (21) 中的a_0ν^h和b_0ν^h换成a_0ν^h和b_0ν^h得到列向量a_0ν、b_0ν，并由式 (22) 确定出所有的a_iν、b_iν.

图 2给出了仪器轴心在井眼内偏离井轴距离为d、方位角为φ_E时的示意图.不带撇的坐标系以井轴为轴心，带撇的坐标系以仪器轴为轴心.在带撇的仪器坐标系中场点位置坐标用 (ρ′, φ′, z) 表示 (沿轴心方向坐标均为z).图中发射线圈和接收线圈均在第0层介质即绝缘层中 (虚线所示)，而井眼为第1层介质.

图 2

Fig. 2

图 2 井眼内仪器偏心示意图 Fig. 2 Illustration of eccentric borehole geometry

在带撇的仪器坐标系中，设发射源径向坐标为ρ′_T.根据式 (11)、式 (9)，绝缘层中ρ′>ρ′_T区域内谱域并矢Green函数的z、φ′和ρ′分量可分别表示为

(24a)

(24b)

(24c)

式中和为式 (9) 中的取第0层介质的参数得到.根据式 (2)，频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场可表示为

(25a)

(25b)

(25c)

在带撇的仪器坐标系中，第1层介质即井眼中频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场的z、φ′和ρ′分量可表示为

(26a)

(26b)

(26c)

式中待定系数已经考虑到发射线圈的形状和尺寸，由ρ′=ρ₀处电磁场连续性条件得到.

在交界面ρ′=ρ₀处，电磁场z分量和φ′分量连续，由式 (25a) 和式 (26a) 相等、式 (25b) 和式 (26b) 相等得到

(27a)

(27b)

利用上述两式，可用表示和.

定义如下矩阵：

当k_{ρ, 1}=k_{ρ, 0}即忽略绝缘保护层时，有.将式 (27a) 和式 (27b) 联立求解，有

(28a)

(28b)

在不带撇的地层坐标系中，第1层介质即井眼中半径大于发射源的位置处，频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场的z、φ和ρ分量可表示为

(29a)

(29b)

(29c)

带撇的仪器坐标系中的式 (26a) 与不带撇的地层坐标系中的式 (29a) 等价.根据Graf加法定理 (Abramowitz and Stegun, 1965)，

式中的k_ρ既可以表示k_hρ也可以表示k_vρ，Ψ_ν既可以是J_ν也可以是H_ν⁽¹⁾.考虑到、的对角性特点，式 (26a) 中，

式中：

将上述两式与式 (29a) 对比，有

两式联立消去a_1ν，得到下列针对所有ν的线性方程组，

(30)

通过求解式 (30)，可以得到针对不同ν和ν′的系数b_0ν′.在求解式 (30) 时，根据仪器实际偏心程度，给出ν和ν′的最大阶数ν_max，则针对从-ν_max到ν_max的2ν_max+1个形如式 (30) 的线性方程组进行求解，对ν′的求和亦从-ν_max到ν_max，从而得到2ν_max+1个系数_0ν′.

当发射源和场点均在第0层介质中时，由于电磁场包含背景项，式 (30) 的收敛速度较慢，为加快其收敛速度，令

(31)

式中对应于偏心地层的贡献.式 (30) 因而变为

(32)

考虑到式 (31)，式 (25) 扣除背景项后的散射部分的表达式为

(33a)

(33b)

(33c)

通过求解式 (32)，可以得到针对不同ν和ν′的系数.代入式 (33) 可以得到仪器偏心情况下线圈系所在绝缘保护层中不同类型、不同方向、不同形状的发射源产生的电磁场散射项的分布.

根据式 (33) 并结合接收线圈的形状和尺寸，可以计算含心轴和绝缘保护层的多分量感应测井仪器所有分量的线圈系在井眼中偏心时的感应电动势.在模拟时将多分量感应测井仪器的z向发射和接收线圈视为圆柱面，x、y方向的发射和接收线圈视为扇面，设发射电流强度为I_T、发射线圈匝数为N_T、接收线圈匝数为N_R.

设z向发射线圈中心点轴向坐标为z_T、线圈半径为ρ_T，发射线圈沿轴向均匀缠绕在宽度为Δz_T的圆柱面上.z向接收线圈中心点轴向坐标为z_R、线圈半径为ρ_R，接收线圈沿轴向均匀缠绕在宽度为Δz_R的圆柱面上.扇面形x或y方向接收线圈中心点坐标为 (ρ_R, φ_R, z_R)、轴向宽度为Δz_R、张角为Δφ_R.考虑到在仪器坐标系中发射线圈电流源只沿e_φ′方向，对发射电流源所在的圆柱面形空间进行积分，得到

(34)

类似方法可得到的表达式.将上述表达式取第0层介质即绝缘保护层电参数后代入式 (32) 求得，再代入式 (33) 可分别得到.

z向接收线圈处感应电动势的散射项为

(35)

x(或y) 方向接收线圈处感应电动势的散射项为

(36)

设扇面形x(或y) 方向发射线圈中心点坐标为 (ρ_T, φ_T, z_T)、轴向宽度为Δz_T、张角为Δφ_T，该类型发射线圈产生的电磁场可以看作是许多沿e_ρ′方向磁偶极子单元产生的电磁场的叠加.对发射源所在的扇面形空间进行积分，得到

(37)

类似方法可得到的表达式.将上述表达式取第0层介质即绝缘保护层电参数后代入式 (32) 求得，再代入式 (33) 可分别得到，最后根据式 (35)、(36) 得到z向、x(或y) 向接收线圈处感应电动势的散射项.接收线圈处感应电动势的背景项部分可单独由发射线圈在各向异性均匀介质中产生的电磁场的辐射积分形式得到.

下面利用上述解析方法模拟含金属心轴和绝缘保护层的多分量感应测井仪器在有井眼各向异性地层中的响应，仪器在井眼中既可以居中也可以偏心.模拟时采用柱状成4层介质模型，第-1层为金属心轴，第0层为绝缘层，第1层为井眼，第2层为均质各向异性地层.假设发射线圈电流I_T=1 A，金属心轴电导率σ_-1=2.9×10⁷ S·m^-1、半径ρ_-1=0.015 m，绝缘保护层半径ρ₀=0.045 m，井眼半径ρ₁=0.1 m.主要模拟共面线圈系产生的xx分量和共轴线圈系产生的zz分量这两个主分量的感应电动势，每个分量均包含多个具有不同线圈距的子阵列.

产生zz分量的共轴线圈系的发射线圈由两部分组成，匝数N_T=50、半径ρ_T=0.03 m、轴向宽度Δz_T=0.052 m、中心点轴向坐标分别为z_T=±0.0565 m.根据线圈距由小到大共模拟四组接收线圈系的响应，每一组接收线圈系均由主接收线圈和屏蔽接收线圈组成，ρ_R=ρ_T.第一组主接收线圈匝数N_R=12、中心点轴向坐标z_R=0.1524 m、轴向宽度Δz_R=0.01166 m，屏蔽接收线圈匝数N′_R=-4、中心点轴向坐标z′_R=0.1175 m、轴向宽度Δz′_R=0.00318 m.第二组主接收线圈匝数N_R=22、中心点轴向坐标z_R=0.254 m、轴向宽度Δz_R=0.02226 m，屏蔽接收线圈匝数N′_R=-8、中心点轴向坐标z′_R=0.1907 m、轴向宽度Δz′_R=0.00742 m.第三组主接收线圈匝数N_R=32、中心点轴向坐标z_R=0.4572 m、轴向宽度Δz_R=0.03286 m，屏蔽接收线圈匝数N′_R=-10、中心点轴向坐标z′_R=0.3174 m、轴向宽度Δz′_R=0.00954 m.第四组主接收线圈匝数N_R=90、中心点轴向坐标z_R=1.143 m、轴向宽度Δz_R=0.09434 m，屏蔽接收线圈匝数N′_R=-40、中心点轴向坐标z′_R=0.8737 m、轴向宽度Δz′_R=0.04134 m.该分量发射频率取为20 kHz.

产生xx分量的共面线圈系的发射线圈由方位角分别在φ_T=0°和φ_T=180°处完全相同的两个线圈组成，匝数N_T=39、中心点轴向坐标z_T=0.0 m、中心点径向坐标ρ_T=0.03 m、高度Δz_T=0.036 m、张角Δφ_T=π/3.根据线圈距由小到大共模拟两组接收线圈系的响应，每一组接收线圈系均由方位角分别在φ_R=0°和φ_R=180°的两对完全相同的主接收/屏蔽接收线圈组成.所有接收线圈中心点径向坐标ρ_R=ρ_T、高度Δz_R=Δz_T、张角Δφ_R=Δφ_T.第一组主接收线圈匝数N_R=44、中心点轴向坐标z_R=0.762 m，屏蔽接收线圈匝数N′_R=-16、中心点轴向坐标z′_R=0.5453 m.第二组主接收线圈匝数N_R=44、中心点轴向坐标z_R=1.6 m，屏蔽接收线圈匝数N′_R=-22、中心点轴向坐标z′_R=1.27 m.该分量发射频率取为28 kHz.

首先取井眼内钻井液电导率σ_m=1.0 S·m^-1，均质各向异性地层的水平电导率为σ_ht=0.1 S·m^-1、垂直电导率σ_vt=0.02 S·m^-1.图 3给出了四组zz分量线圈系、两组xx分量线圈系的响应随仪器偏心率Φ的变化关系，仪器偏心率Φ与偏心距离d之间的关系定义为d=Φ·(ρ₁-ρ₀).再取井眼内钻井液电导率σ_m=0.001 S·m^-1，均质各向异性地层的水平电导率为σ_ht=1.0 S·m^-1、垂直电导率σ_vt=0.2 S·m^-1.图 4给出了上述线圈系的响应随仪器偏心率Φ的变化关系.

图 3

Fig. 3

图 3 钻井液电导率σm=1.0 S·m-1、地层水平电导率σht=0.1 S·m-1、垂直电导率σvt=0.02 S·m-1时接收线圈响应随偏心率的变化关系 (a) 四组zz分量线圈系实部感应电动势；(b) 两组xx分量线圈系实部感应电动势. Fig. 3 Relationship between receiver coil′s response and eccentricity ratio when the drilling fluid′s conductivity σm=1.0 S·m-1, the formation′s horizontal conductivity σht=0.1 S·m-1 and vertical conductivity σvt=0.02 S·m-1

图 4

Fig. 4

图 4 钻井液电导率σm=0.001 S·m-1、地层水平电导率σht=1.0 S·m-1、垂直电导率σvt=0.2 S·m-1时接收线圈响应随偏心率的变化关系 (a) 四组zz分量线圈系实部感应电动势；(b) 两组xx分量线圈系实部感应电动势. Fig. 4 Relationship between receiver coil′s response and eccentricity ratio when the drilling fluid′s conductivity σm=0.001 S·m-1, the formation′s horizontal conductivity σht=1.0 S·m-1 and vertical conductivity σvt=0.2 S·m-1

对比图 3和图 4可以看出，对同一线圈系而言，高钻井液电导率值情况下仪器偏心率对线圈系响应的影响更大，这是因为井眼内钻井液电导率越高其对线圈系响应的贡献越大.相同地层参数情况下，线圈距越小仪器偏心率对线圈系响应的影响越大，这是因为线圈距越小井眼内钻井液电导率对其响应的贡献越大.因此对位于低钻井液电导率井眼中的线圈系而言，除线圈距极短的特殊情况外，偏心率对线圈系各分量响应的影响可忽略不计.而对位于高钻井液电导率井眼中的线圈系而言，除非线圈距较大，一般情况下需要考虑偏心率对线圈系各分量响应的影响.

取仪器的偏心率Φ分别为0.3、0.6、0.9，首先取井眼内钻井液电导率σ_m=1.0 S·m^-1，均质各向异性地层的水平电导率为σ_ht=0.1 S·m^-1、垂直电导率σ_vt=0.02 S·m^-1.图 5给出了两组xx分量线圈系的响应随仪器方位角φ_E的变化关系，由于zz分量线圈系的响应与方位角φ_E无关，故没有给出.再取井眼内钻井液电导率σ_m=0.001 S·m^-1，均质各向异性地层的水平电导率为σ_ht=1.0 S·m^-1、垂直电导率σ_vt=0.2 S·m^-1.图 6给出了上述线圈系的响应随仪器方位角φ_E的变化关系.需说明的是，方位角φ_E=90°时的计算结果相当于yy分量线圈系的偏心响应.

图 5

Fig. 5

图 5 钻井液电导率σm=1.0 S·m-1、地层水平电导率σht=0.1 S·m-1、垂直电导率σvt=0.02 S·m-1时xx分量接收线圈响应随方位角的变化关系 (a) 第一组xx分量线圈系实部感应电动势；(b) 第二组xx分量线圈系实部感应电动势. Fig. 5 Relationship between xx-component receiver coil′s response and azimuth angle when the drilling fluid′s conductivity σm=1.0 S·m-1, the formation′s horizontal conductivity σht=0.1 S·m-1 and vertical conductivity σvt=0.02 S·m-1

图 6

Fig. 6

图 6 钻井液电导率σm=0.001 S·m-1、地层水平电导率σht=1.0 S·m-1、垂直电导率σvt=0.2 S·m-1时xx分量接收线圈响应随方位角的变化关系 (a) 第一组xx分量线圈系实部感应电动势；(b) 第二组xx分量线圈系实部感应电动势. Fig. 6 Relationship between xx-component receiver coil′s response and azimuth angle when the drilling fluid′s conductivity σm=0.001 S·m-1, the formation′s horizontal conductivity σht=1.0 S·m-1 and vertical conductivity σvt=0.2 S·m-1

由图 5和图 6可以看出，对位于低钻井液电导率井眼中的线圈系而言仪器方位角的影响可忽略不计，而当线圈系位于高钻井液电导率井眼中时仪器方位角的影响极为明显，这是因为井眼内钻井液电导率相对较低时其对线圈系响应的贡献亦相应减小.由于xx分量线圈系结构的对称性，其响应随方位角呈现周期性变化且相对于φ_E=90°对称.由图 5，当仪器偏心率Φ较小时线圈系的响应随仪器方位角的变化较小，仪器偏心率越大线圈系的响应随仪器方位角的变化越明显，并且在方位角φ_E=90°处不同偏心率对应的线圈系响应差别最大.这说明当线圈系位于相对高钻井液电导率井眼中时，方位角越趋近于90°，偏心率对xx分量线圈系响应的影响越大.

取仪器的偏心率Φ=0.8，均质各向异性地层的水平电导率为σ_ht=0.5 S·m^-1、垂直电导率σ_vt=0.1 S·m^-1.井眼内钻井液电导率σ_m从0.01 S·m^-1连续增加到20 S·m^-1.图 7给出了四组zz分量线圈系、两组xx分量线圈系偏心响应与居中响应的比值随钻井液电导率σ_m的变化关系.作为对比，图 7b还给出了地层垂直电导率σ_vt分别为0.2 S·m^-1、0.5 S·m^-1时针对线圈距较短的第一组xx分量线圈系的计算结果.由于第二组xx分量线圈系的线圈距较大，受井眼偏心的影响可忽略，故只给出了垂直电导率σ_vt=0.1 S·m^-1的一种结果.

图 7

Fig. 7

图 7 钻井液电导率连续变化时线圈系偏心响应与居中响应的比值 (a) 四组zz分量线圈系实部感应电动势比值；(b) 两组xx分量线圈系实部感应电动势比值. Fig. 7 Ratio between the coil′s eccentric response and centric response with continuously varying drilling liquid conductivity

由图 7可以看出，无论是长线圈距线圈系还是短线圈距线圈系，当井眼内钻井液电导率σ_m较小时，线圈系偏心响应与居中响应的比值接近于1，仪器偏心造成的影响可忽略不计.当σ_m增加到一定数值后，随着σ_m的继续增加，短线圈距线圈系的井眼偏心效应快速增大，必须进行仪器偏心效应校正.而长线圈距线圈系受井眼偏心的影响仍然很小，可忽略不计.另由图 7b，对第一组xx分量线圈系，地层各向异性程度越高，仪器偏心造成的影响越大.

取仪器的偏心率Φ=0.8、井眼内钻井液电导率σ_m=1 S·m^-1，保持均质各向异性地层水平电导率与垂直电导率的比值为σ_ht/σ_vt=5不变，水平电导率σ_ht从0.01 S·m^-1连续增加到20 S·m^-1.图 8给出了四组zz分量线圈系、两组xx分量线圈系偏心响应与居中响应的比值随地层水平电导率σ_ht的变化关系.作为对比，图 8b还给出了σ_ht/σ_vt分别为1、3时针对线圈距较短的第一组xx分量线圈系的计算结果.由于第二组xx分量线圈系的线圈距较大，受井眼偏心的影响可忽略，故只给出了σ_ht/σ_vt=5的一种结果.

图 8

Fig. 8

图 8 地层水平电导率连续变化时线圈系偏心响应与居中响应的比值 (a) 四组zz分量线圈系实部感应电动势比值；(b) 两组xx分量线圈系实部感应电动势比值. Fig. 8 Ratio between the coil′s eccentric response and centric response with continuously varying formation′s horizontal conductivity

对比图 8和图 7可以看出，地层电导率对多分量感应测井偏心效应的影响与钻井液电导率的影响规律相反.当地层电导率相对较小时，井眼内钻井液电导率的影响大，偏心效应的影响也大，尤其是对短线圈距线圈系的影响更为明显，必须进行仪器偏心效应校正.当地层电导率相对较大时，井眼内钻井液电导率的影响变小，仪器偏心造成的影响可忽略不计.

(1) 本文基于柱状成层各向异性介质并矢Green函数的解析表达式，可高效模拟多分量感应测井仪器在井眼中偏心时的响应，所采用模型可同时考虑金属心轴和绝缘保护层的存在，更接近于仪器实际结构.

(2) 对同一线圈系而言，高钻井液电导率情况下仪器偏心率对线圈系响应的影响更大.相同地层参数情况下，线圈距越小仪器偏心率对线圈系响应的影响越大.对位于低钻井液电导率井眼中的线圈系而言，仪器偏心对线圈系响应的影响可忽略不计.而对位于高钻井液电导率井眼中的线圈系而言，除非线圈距较大，一般情况下需要对仪器偏心效应进行校正.

(3) 对位于低钻井液电导率井眼中的线圈系而言仪器方位角的影响可忽略不计，而当线圈系位于高钻井液电导率井眼中时仪器方位角的影响极为明显.当仪器偏心率较小时线圈系的响应随仪器方位角的变化较小，仪器偏心率越大线圈系的响应随仪器方位角的变化越明显.

(4) 当地层电导率相对较小时，井眼内钻井液电导率的影响大，偏心效应的影响也大，尤其是对短线圈距线圈系的影响更为明显，必须进行仪器偏心效应校正.当地层电导率相对较大时，井眼内钻井液电导率的影响变小，仪器偏心造成的影响可忽略不计.对xx分量线圈系而言，地层各向异性程度越高，仪器偏心造成的影响越大.