2. 中国科学院大学地球科学学院, 北京 100049
2. College of Earth Science, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China
利用卫星轨道数据解算地球重力场的理论与方法很早就被提出了(例如:Kaula, 1966; Taff,1985;Reigber, 1989;Wolff, 1969),早期主要是利用激光测距等手段来求解重力场的低阶次位系数.随着测量技术的发展,先后实施了诸如CHAMP、GRACE以及GOCE专项重力卫星计划(ESA,SP-1233(1),1999;Reigber,2012;Rummel,2012),卫星重力才取得了丰硕的成果.目前利用重力卫星观测数据解算的重力场模型已经成为了许多学科的基础数据.正因为如此,研究或拓展利用重力卫星观测数据来解算重力场的方法无论在理论上、还是在应用上都具有很重要的意义.为了表述的方便,这里先给出CHAMP型卫星的定义.CHAMP卫星搭载了GPS接收机、姿态照相机以及加速度计,因此CHAMP卫星的位置与作用于卫星的非惯性加速度是可观测的,本文将称具有这样观测量的卫星为CHAMP型卫星.按照CHAMP型卫星这样的定义,无论是GOCE卫星,还是单个GRACE卫星都属于CHAMP型卫星.这意味着CHAMP型卫星是构成卫星重力计划的基础,因此研究CHAMP型卫星的定轨理论在处理重力卫星观测数据中起着基础性的作用.
众所周知,卫星的运动方程为
(1) |
其中r是卫星在地球惯性系中的位置矢量,g (t, r)是地球引力,而a (t, r,
(2) |
这里GM是万有引力质量常数,a是赤道半径,λ和θ分别是经度和余纬,Pnm(t)是规范化的n阶m次连带Legendre函数,anm和bnm便是u的球谐展开系数.虽然(2)式中和式对n求和理论上需要达到无穷大,但实际处理数据过程中仅取到某个特定的阶数,常用N表示,例如:N通常可取为N=60, 120, 180等.
若卫星运动方程(1)有解析解,那么在CHAMP型卫星的观测数据与系数anm、bnm之间便能够建立起相应的函数关系(该函数关系通常称为法方程组),然后求解法方程组便可得到系数anm、bnm,从而得到地球重力场模型(或引力场模型).然而方程(1)是非线性极强的微分方程组,至少目前仍然无法对其进行解析求解,因而便产生了卫星轨道扰动理论.所谓卫星轨道扰动理论就是基于某种线性化途径来建立观测数据与系数anm、bnm之间的函数关系,这在处理卫星重力数据时也常被称为动力学定轨方法.
通常有两种途径来实现对观测数据的线性化处理.第一是(Montenbruck and Gill, 2000)引入状态转移矩阵(State transition matrix)和参数响应矩阵(Sensitivity matrix),然后通过求解变分方程求出这些矩阵,最后利用这些矩阵来建立初始状态、模型参数(包含了系数anm、bnm)与观测数据之间的线性观测方程组;第二(Reigber, 1989; Tapley, 1989; Tapley et al., 2004a, 2004b)是将卫星运动的二阶微分方程组化简为一阶微分方程组,引入参考轨迹后将该一阶微分方程组在参考轨迹处进行Taylor展开得到相应的线性化轨道扰动微分方程组,然后由此解得初始状态、模型参数与观测数据之间的函数关系.虽然形式上这两种途径存在着差异,但是本质上它们是一致的,其原因是在推导过程中只有线性扰动项被保留下来了.
除了上述讨论的动力学定轨方法外,还有其他的处理CHAMP型卫星观测数据的方法.例如:Douglas等(1980)、Jekeli (1999)和Visser等(2003)讨论过能量法;Ditmar等(2004, 2006, 2012)利用CHAMP卫星的加速度恢复了重力场模型.需要指出的是:在这些方法中使用了诸如卫星速度和加速度这样的量,这些量不是CHAMP型卫星的直接观测量,而是从位置数据派生出来的,因此这些方法是存在瑕疵的.为了能够直接处理直接观测量,Mayer-Gürr等(2005)、IlK等(2005, 2008)、Rowlands等(2002)、Wagner (2006)还将边值问题用于处理CHAMP或GRACE数据,并称这样的方法为短弧法.理论上看,短弧法与基于初始问题的动力学定轨方法一样都是直接处理观测数据,但要注意的是二阶常微分方程组边值问题在特定的边界条件下会出现解不唯一的情况,这也许正是短弧法对求解弧段需要进行约束的原因,即:弧段较长时会产生无解或多解的情况.另外还有基于Kaula解析方法的研究(Kaula,1966;Cui and Lelgemann, 2000)以及Boutler等(2010)对常用方法进行了分析比较;Chen等(2004)、Cheng (2002)对模型结果进行了验证与分析.
尽管在现有的处理卫星重力数据的方法中动力学定轨方法具有一定的优势,但是该方法仍存在着某些缺陷.例如:Xu (2008)曾指出对于动力学定轨方法而言线性化产生的误差随着弧段长度的增加会迅速地增大,因而在应用该方法时弧段的长度仍然受到限制.为了使得弧段的长度取的更长,Xu提出了利用卫星观测的位置矢量作为参考轨迹.由于这样的参考轨迹不再满足微分方程,所以Xu将卫星运动的微分方程转换成Volterra型积分方程,然后再进行线性化处理.由于利用位置观测数据得到的参考轨迹与实际轨道的偏差很小,所以线性化产生的误差就会相应减小,从而能够在更长的弧段内来针对重力场的位系数建立法方程组.理论上讲,Xu提出的方法确实可以减少线性化产生的误差,然而相应的计算复杂性也会有所增加,从而在应用上有一定的难度.
本文的目标是针对CHAMP型卫星的特点,在动力学定轨方法的基础上引入非线性改正从而提高定轨结果的精度,以便达到在更长的时间弧段内能够处理重力卫星的观测数据.为了便于理解与导出非线性改正项,本文以某种新的方式对动力学定轨方法进行了推导,该推导方法具有下列优点:第一、推导过程简洁,便于理解;第二、能够有效地估算线性化过程中略去的误差;第三、能够引入非线性改正项,从而提高定轨的精度;第四、相对于目前已有的关于动力学定轨方法的计算而言,解算的复杂性并没有增加.此外,本文还进行了系列的模拟计算,结果表明:无论是计算精度、还是时间弧段的延长,引入非线性项后的计算结果都比动力学定轨方法的计算结果有较大的提高.
为了使得后面的推导过程便于理解,这里事先对卫星轨道微分方程(1)的相关记号作出说明.例如:若用r来表示卫星的位置矢量,则用
首先引入正常引力位U,该正常引力位应该是地球真实引力位u的足够好的近似,例如:U可以取为EGM2008等引力场模型.然后引入下列微分方程的初始问题:
(3) |
这里初始位置r1(0)与速度v 1(0)都是已知的,并且取的足够接近CHAMP型卫星相应的真实值.由于(3)中的U、
(4) |
其中Anm和Bnm是T的无量纲的球谐系数,而Rnm(θ, λ)与Snm(θ, λ)的表达式为
(5) |
使用记号r=r2(t)表示卫星轨道方程(1)的解,并记r=r2(t)在t=0时刻的初始位置与速度分别是r2(0)和v 2(0),那么则有
(6) |
由于u=U+T,所以方程(6)可改写为
(7) |
引入记号ρ=r2-r1,并将方程(7)与方程(3)对应相减,则有
(8) |
其中ρ0=r2(0)-r1(0), η0=v 2(0)-v 1(0).在方程(8)中将gradU(t, r2)在r1处作Taylor展开,则有
(9) |
这里运算都是在地固坐标系中进行的,而
(10) |
是由U的二阶导数构成的3阶矩阵(通常称H是U的Hessian矩阵),M(t, r1, ρ)则是O(ρ2)的高阶小量,其中ρ=|ρ|.事实上,M(t, r1, ρ)可表示为
(11) |
这里Mj(t, r1)(ρ)是ρ的j次齐次多项式,例如:M2(t, r1)(ρ)和M3(t, r1)(ρ)的第i个分量可分别表示为
(12) |
和
(13) |
将(9)式代入(8)式,便有
(14) |
这里E(t)是从惯性系到地固坐标系的转换矩阵.
在推导方程(14)时没有舍去任何项,因此方程(14)是严格成立的.事实上,方程(14)仅是在引入参考轨道并将求解函数转换成ρ后方程(1)的变形.
2.2 线性化的轨道扰动方程如果在方程(14)中略去εa(t)和O(ρ2)、O(Anm·ρ)、O(Bnm·ρ)量级的小量,则方程(14)可写为
(15) |
由于r1=r1(t)是已知的,所以H3×3(t, r1(t))仅是时间t的函数,这意味着方程(15)关于求解对象ρ是线性的.以后将方程(15)称为线性化轨道扰动方程.
注意:本文推导线性化轨道扰动方程的出发点是基于卫星运动的二阶微分方程(1),这与Tapley (1989)、Montenbruck和Gill (2000)的推导方法不一样,然而其结果在本质上应该是等价的.
2.3 线性化轨道扰动方程的误差估计
根据从方程(14)到方程(15)的简化过程,容易看出被舍去的量分别是εa(t)、M(t, r1, ρ)和gradT(t, r2)-gradT(t, r1).因为εa(t)是a(t, r,
因为
(16) |
对于CHAMP型卫星来说,r的变化范围几乎总在6700 km与6800 km之间,于是近似地有
根据(4)式,gradT(t, r2)-gradT(t, r1)可写成
(17) |
因为
(18) |
注意
(19) |
因此便有
(20) |
令
总之,如果a(t, r,
在推导线性化轨道扰动方程时诸如M(t, r1, ρ)和gradT(t, r2)-gradT(t, r1)这样O(ρ2)以上的小量被略去了.对于CHAMP型卫星而言,卫星位置是可测量的,其观测值为
(21) |
这里
(22) |
以及
(23) |
以后称方程(21)为顾及非线性改正的轨道扰动方程.与线性化轨道扰动方程(15)比较可见,方程(21)中不是简单地舍去O(ρ2)以上的小量M(t, r1, ρ)和gradT(t, r2)-gradT(t, r1),而是使用观测值
为了分析方程(21)的精度,需对| M(t, r1,
(24) |
这里εr2是
(25) |
如果仍以δ作为舍去误差标准,则有2.428×10-7×
类似于(17)式,可得
(26) |
从而有
(27) |
如果扰动位T的阶方差仍然满足
(28) |
这意味着使用gradT(t,
事实上,此时即使扰动位的阶方差满足
总之,对于顾及非线性改正的轨道扰动方程而言,若仍以εa(t)作为精度指标,则此时对ρ的限制要比线性化轨道扰动方程的限制弱得多.例如:在扰动位的阶方差满足
由于r1(t)和
(29) |
这里
事实上,线性化轨道扰动方程(15)也可以写成方程(29)的形式,此时没有b1(t)项.这就是说,无论线性化轨道扰动方程、还是顾及非线性改正的轨道扰动方程,其最终的数学形式是一致的,因而它们在解算难度上也是一样的.但需要指出的是:在非惯性力精度maxεa≤3×10-10m·s-2下,顾及非线性改正的轨道扰动方程对ρ的要求是ρ≤4.14×103 m,而线性化轨道扰动方程对ρ的要求是ρ≤4.7 m,因此解算顾及非线性改正的轨道扰动方程的弧段要比线性化轨道扰动方程的弧段长得多.
注意在计算M(t, r1,
(30) |
本节讨论方程(29)的求解方法.注意到方程(29)关于ρ是线性的,因此可使用叠加原理对其进行求解.事实上,方程(29)可分解为
(31) |
(32) |
(33) |
这里O3和I3分别是三阶零矩阵和单位阵.因为初始问题(31)、(32)和(33)都是线性的,使用他们的解是唯一存在的,以Φ3×3(1)(t)、Φ3×3(2)(t)和Bk(t)分别表示它们的解,那么便有
定理1 方程(29)的解为
(34) |
因为Φ3×3(1)(t)、Φ3×3(2)(t)和Bk(t)的导数
(35) |
至此,关于方程(29)的求解转换为初始问题(31)、(32)和(33)的求解.事实上,初始问题(31)、(32)和(33)在某种意义下等价于卫星轨道精密定轨理论中解算状态转移矩阵和参数响应矩阵的变分方程(Montenbruck and Gill, 2000).
下面介绍方程(29)的求解结果(34)与(35)式的潜在应用.
3.1 CHAMP卫星计划
对于CHAMP卫星而言,
(36) |
这里tk是给出测量点的时刻.从(36)式极易看出,该式就是关于未知数ρ0、η0和Tk(k=2, …, K)的线性函数.因此只要观测数据足够多,便能构建关于这些未知数的法方程组,从而解得扰动位的位系数Tk.
3.2 GRACE卫星计划GRACE卫星计划由两颗卫星GRACE-A和GRACE-B组成,其中每颗星都是CHAMP型卫星,而两颗卫星之间的距离变化率是主要的观测量.为了表述方便,下面分别使用上标(A)和(B)来表示对应于卫星GRACE-A和GRACE-B的观测量.
根据(35)式,对于卫星GRACE-A和GRACE-B来说,分别有
(37) |
与
(38) |
因为
(39) |
所以将(37)与(38)式代入(39)式,便得
(40) |
注意在(40)式中
本节将做系列模拟CHAMP与GRACE卫星计划的计算,以便验证顾及非线性改正的轨道扰动方程比线性化的轨道扰动方程在恢复地球引力场方面具有更高的精度,而且更适合用于在更长弧段上建立法方程组.为了避免计算的复杂性对验证效果的影响,假设模拟计算中卫星轨道都是仅由引力场生成的.显然在上述假设下,方程(1)中的作用力a(t, r,
将前60完整阶次的EGM2008引力场模型作为真实的引力场,然后利用该引力场生成半长轴近似为6820 km、倾角近似为89°、偏心率近似为0.002的卫星轨道.在生成卫星轨道以及后面微分方程的数值求解时本文使用的解法都是8阶Runge-Kutta算法与8阶Adams算法的组合,即前10次迭代计算使用Runge-Kutta算法,以后的迭代计算则使用Adams算法,计算的步长均取为5 s.用r(t)表示生成的轨道的位置矢量,则r(t)是已知的(依次5 s间隔给出r(t)的值).下面就从已知的r(t)(即
例1 选择前完整60阶次的EGM96引力场模型作为正常引力场,并以与真实轨道相同的初始位置与速度来生成参考轨道(得到了r1(t)),然后分别利用线性化的轨道扰动方程与顾及非线性改正的轨道扰动方程(即(36)式)来恢复真实的引力场.在具体计算中对时间弧段分别选取了4组值:3、6、9、12天.恢复的引力场模型的误差阶方差由图 1给出.图中LOPE与NLOPE分别表示使用线性化与顾及非线性改正的轨道扰动方程恢复位系数的阶方差.
从图 1可见,利用顾及非线性改正的轨道扰动方程恢复的引力场的精度明显要优于线性化的轨道扰动方程的结果,特别是随着时间弧段的增长,利用线性化轨道扰动方程(例如弧段长度超过9天)不再能够完全恢复真实引力场了,而利用顾及非线性改正的轨道扰动方程恢复仍能至少将引力场恢复2个量级以上.
例2 在例1中仅变换初始条件如下:参考轨道的初始位置与速度和真实轨道的相应初始值分别偏差3 cm与0.05 cm·s-1,然后进行相同的计算,其恢复的引力场误差阶方差由图 2给出.
综合图 1和图 2可得出下列结论:第一、顾及非线性改正的轨道扰动方程恢复引力场的效果明显优于线性化轨道扰动方程;第二、利用顾及非线性改正的轨道扰动方程来恢复引力场时可以有效地增加时间弧段;第三、参考轨道初始条件对线性化轨道扰动方程恢复引力场的结果影响很大,而参考轨道初始条件的偏差对顾及非线性改正的轨道扰动方程的影响不大.在例2中初始位置与速度的偏差是依据CHAMP和GRACE的实际观测误差给出的,而这样的偏差能使得在长时间的弧段(例如:6天)上无法使用线性化轨道扰动方程来有效地恢复真实引力场.这也许正是Reigber等(2002)和Tapley等(2004)建议使用线性化轨道扰动方程来构建引力场位系数的法方程组时时间弧长不要超过1天的原因.反观顾及非线性改正的轨道扰动方程,在初始条件存在偏差时即使时间弧长达到12天,仍然能够有效地恢复出真实的引力场.
另外需要说明的是,尽管可以通过不断迭代的方式来改进线性化轨道扰动方程的计算精度,但由于观测误差的原因,参考轨道初始条件的偏差总是存在的,因此如何控制线性化轨道扰动方程的迭代次数在应用上是很难把握的.与之相对应,由于参考轨道初始条件的偏差对于非线性改正的轨道扰动方程的计算结果影响很小,因此这也证明了非线性改正的轨道扰动方程的抗干扰性更强.
例3 将正常引力场选择为完整前3阶次EGM96模型,参考轨道的初始条件按例2给出,然后进行例2的计算,其结果由图 3给出.
从图 3可见,除了例1与例2得到的结论外,选择较为简单的正常引力场或参考轨道对顾及非线性改正的轨道扰动方程用于恢复真实引力场的影响仍然较小.例如:即使正常引力场仅取到3阶次,但时间弧长仍然可以达到了6天.从轨道扰动方程的建立来看,Hessian矩阵H3×3(t, r1(t))是由正常引力位U的二阶导数构成的,若U的表达式简单,则H3×3(t, r1(t))的计算量将会极大地减少.因此从计算的角度看,选择顾及非线性改正的轨道扰动方程无疑是非常有益的.
上述3个例子是针对CHAMP计划给出的,现在转向GRACE计划的模拟计算.依然用前60完整阶次EGM2008引力场模型作为真实引力场,GRACE两颗卫星的轨道设计仍与上面一致,此外两颗卫星之间的距离近似地等于220 km.这里将时间弧段的长度固定为6天,首先计算出两颗卫星的位置r2(A)(t)、r2(B)(t)与速度
例4 将6天的数据r2(A)(t)、r2(B)(t)和v2(AB)作为观测值,取完整前60阶次EGM96引力场模型作为正常引力场,在子弧段给出参考轨道的原则是参考轨道的初始条件与真实轨道的值相同.然后利用(40)式来恢复真实的引力场.恢复的引力场的误差阶方差由图 4给出.
例5 设观测数据r2(A)(t)、r2(B)(t)、v2(AB)以及作用于卫星的非惯性力具有误差,其误差服从均值为零的正态分布,各项标准差如下:对于位置矢量r2(A)(t)和r2(B)(t),标准差为3 cm、对于距离变化率v2(AB),标准差为0.6×10-6m·s-1、对于非惯性力,标准差为3×10-10m·s-2.需要说明的是,这里标准差是依据GRACE计划对观测量的误差指标设定的.然后按照例4的方法来恢复真实引力场,恢复的引力场的误差阶方差由图 5给出.
综合图 4和图 5可知,无论观测数据r2(A)(t)、r2(B)(t)、v2(AB)以及作用于卫星的非惯性力是否存在误差,是否以分段的形式对顾及非线性改正的轨道扰动方程求解几乎没有任何影响.这说明了顾及非线性改正的轨道扰动方程适合在较长的时间弧段上建立关于引力场位系数的法方程组.例如:例5的结论说明可以在6天的弧段上利用顾及非线性改正的轨道扰动方程来恢复引力场,这显然比目前针对线性化轨道扰动方程仅使用最多1天的弧段要长的多.事实上,在使用线性化轨道扰动方程时有将弧段取得更短的趋势,例如:Arsov和Pail (2003)曾认为将弧段取为4 h是合适的.此外,对比图 4和图 5可知,图 4显示的恢复真实引力场的精度要远高于图 5的结果,其主要原因是在例5中对直接用于建立法方程组的v2(AB)项增加了误差.事实上,这也同时说明了若v2(AB)的误差不超过0.6×10-6m·s-1,那么恢复的引力场的误差阶方差将好于10-10.5≈3×10-11(至少60阶次之前是这样).另外,顺便指出,针对GRACE计划的模拟计算,并没有使用线性化轨道扰动方程来恢复引力场,其原因是:第一、前面3个算例已经证明了线性化轨道扰动方程的精度远低于顾及非线性改正的轨道扰动方程,而且线性化轨道扰动方程不适合在较长弧段上建立引力场位系数的法方程组;第二、进行例4和例5计算的原因就是要验证顾及非线性改正的轨道扰动方程适合在长弧段上建立法方程组.
最后对为何要将时间弧段进行延长说明一下.首先是相对于短弧段来说,在长弧段上利用轨道扰动方程来建立法方程组在算法要简单一些,至少关于初始值的未知数要少很多.其次更重要的是卫星经过长时间的运行,某些作用于卫星的弱力对轨道的作用将表现出来,也就是说,这些弱力经过长时间对卫星的作用,其作用的效果将会被观测数据反映出来,因此建立适合在长时间弧段上的轨道扰动方程有助于进一步分析除引力场之外的弱力.另外,通过本文的研究发现,使用动力学方法处理CHAMP和GRACE数据时非惯性力的测量精度εa仅影响积分弧长,也就是说,提高εa的测量精度的本质就是延长积分弧长.
5 结论本文基于卫星运动满足的二阶微分方程,在引入参考轨道后针对CHAMP型卫星直接推导出了相应卫星轨道的线性化轨道扰动方程以及顾及非线性改正的轨道扰动方程.该推导方法是首次给出,具有推导形式简洁,便于理解的特征.
对推导出的线性化轨道扰动方程与顾及非线性改正的轨道扰动方程,分别估计了相应的误差.在定位精度为3cm、非惯性力测量精度3×10-10 m·s-2的情况下证明了:只有当参考轨道与实际轨道的距离ρ≤4.7 m时线性化轨道扰动方程的精度才能达到非惯性力的测量精度以及当ρ≤4.14×103 m时顾及非线性改正的轨道扰动方程就能够达到非惯性力的测量精度.由此可知,在同样的参考轨道下顾及非线性改正的轨道扰动方程比线性化轨道扰动方程具有更高的精度,同时这也意味着顾及非线性改正的轨道扰动方程能够在更长的时间弧段上建立关于引力场位系数的法方程组.
利用叠加原理,给出了轨道扰动方程的求解方法,从而完整地建立起了利用顾及非线性改正的轨道扰动方程建立位系数的理论和方法.
针对CHAMP计划进行了模拟计算,其结果表明:正常引力场的选择以及参考轨道初始条件的选择对顾及非线性改正的轨道扰动方程的精度影响较小,而对线性化轨道扰动方程的精度影响较大.其原因在于线性化轨道扰动方程仅适合较小的ρ值,而顾及非线性改正轨道扰动方程适合较大的ρ值.这也验证了顾及非线性改正的轨道扰动方程能够在更长的时间弧段上建立关于引力场位系数的法方程组这样的结论.
利用顾及非线性改正的轨道扰动方程对GRACE卫星计划进行了模拟解算,解算过程中采用了3种子弧段方式(2天、1天、6天)来分段建立位系数的法方程组,计算结果表明:这3种不同的弧段方式几乎对恢复引力场不产生影响.这也就验证了对于GRACE卫星计划而言,顾及非线性改正的轨道扰动方程依然适合在长的时间弧段(例如:6天)上建立关于位系数的法方程组.
随着GRACE-follow-on卫星计划的即将实施(Loomis et al., 2012; Sheard et al., 2012),非惯性力的测量精度将会极大地提高,预计该精度将达到10-12 m·s-2,更高就需要适合这样精度的轨道扰动方程.相比于线性化轨道扰动方程,显然顾及非线性改正的轨道扰动方程将会更适合用于处理GRACE-follow-on数据.
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