1 引言

近年来，页岩气等非常规资源的勘探开发逐渐成为油气勘探的热点.页岩气藏具有超低孔低渗特点，若开采则需要对其进行水力压裂改造，使页岩形成大量的裂缝，地应力是决定所生成裂缝的形态、方位以及延伸方向的关键因素，因此地应力的预测是进行页岩气藏开采的基础.目前, 非常规页岩油气勘探开发中进行的地应力研究及应用已受到国际石油界的普遍重视.从某种意义上讲，勘探开发过程中油气运移和聚集、钻井过程中井壁的稳定、水平井设计、油层改造以及注水开发中井网的布置等众多问题都与地应力密切相关，因此，地应力场对油气勘探开发有着重要的意义(李志明和张金珠，1997).

地应力概念最初是由Heim(1905—1912)提出，它是指存在于地层中未受工程扰动的天然应力.国内外地球物理学家对地应力做了大量的研究，包括地应力的测量、估算以及应力对地层参数的影响等方面(Mathar，1934；Stephasson, 1983a, 1983b；Cornet and Valette, 1984; Cornet，1986；Warpinski and Teufel, 1989；Matsuki and Takeuchi, 1993；黄荣樽等，1995；李志明和张金珠，1997；葛洪魁等，1998；Sayers，2002; Sayers et al., 2009；Zoback，2007；Sinha et al., 2009；Sena et al., 2011；Starr，2011；Lei et al., 2012；邓金根等，2013；Zong et al., 2013；孙东生，2014；张广智等，2015).起初，由于地应力成因复杂且状态多变，通过数学计算和理论推导计算地应力的大小和方向较为困难，因此，开始采用测量的方法得到地应力.地应力测量是获得地应力数据较为直接和有效的手段，但是地应力测量只能得到岩体某点的应力大小和方向，所测得的数据有限，为了得到沿井深连续分布的分层地应力剖面开展了利用测井资料计算地应力的方法，但是该方法不能得到连续的地应力剖面.1926年金尼克提出了针对均匀各向同性介质的金尼克模型，随后Biot和Willis(1957)、Anderson等(1973)、Bourgoyne等(1986)等通过对该模型添加校正项，以提高地应力预测的精度.Cleary(1993)提出了一个消除泊松比因子的地应力计算公式，它是一个线性的经验模型，该模型通过不断调整应力曲线，使其与应力测量数据点相匹配以获得模型中的参数.以上地应力计算模型都是以各向同性介质为基础，但实际地层是各向异性介质，因此计算的应力在某些程度上和实际应力不匹配.Iverson(1995)将地应力计算公式中的各向同性泊松比替换为各向异性泊松比，一定程度上解决了计算的应力与实际应力不匹配的问题，但公式中的参数难以直接获得.Gray等(2010a, 2010b, 2010c, 2012), Gray(2011)对Iverson的方法进行了修改，提出直接利用地震数据估算地层主应力的方法，该方法能够得到某个区域连续的地应力剖面，即使在井少的地区也能够计算出该区域的地应力，克服了井位置的约束，但利用地震资料计算的主应力受许多经验参数的影响，不确定性增强，因此他提出了DHSR(Differential Horizontal Stress Ratio)水平应力差异比这个概念，它是评价页岩气储层是否可压裂成网的重要参数，能够得到某个区域连续的DHSR剖面，寻找DHSR低值区域指导水力压裂的进行，实现了页岩气藏的有效开发，这是获取地应力数据的一种新的方法，即基于地震数据预测地应力的方法，但该方法得到的DHSR只是基于HTI(Horizontal Transverse Isotropy)介质，没有考虑介质的水平层理影响，而实际页岩具有很强的水平层理特征，且该方法通过弹性参数计算岩石力学参数，利用计算得到的岩石力学参数和各向异性参数得到地层的DHSR，增加了累积误差.

针对上述问题，本文针对实际页岩储层的各向异性特点，既考虑HTI介质垂直裂缝的影响又考虑VTI(Vertical Transverse Isotropy)介质水平层理的影响，基于正交各向异性介质理论，推导出水平应力差异比的计算公式.由于该公式是基于水平方向应变为零的假设条件下，因此该公式适用于构造不复杂的页岩储层，并提出了正交各向异性水平应力差异比(即ODHSR，Orthorhombic Differential Horizontal Stress Ratio)的概念，它是正交各向异性介质最大和最小水平应力变化差与最大水平应力的比值，是评价页岩气储层是否可压裂成网的重要参数.首先，本文通过分析应力应变本构方程，对正交各向异性介质(OA，Orthotropic Anisotropy)的本构方程进行推导，利用胡克定律一般形式得到正交各向异性介质的应力和应变关系；其次，在此应力和应变关系的基础上推导出最大水平应力、最小水平应力和水平应力差异比(ODHSR)与地层弹性参数和各向异性参数的关系.最后，对正交各向异性介质ODHSR与具有水平对称轴的横向各向同性介质的DHSR进行了对比，证明了本文的正交各向异性水平应力差异比(ODHSR)计算公式.

2 方法原理 2.1 正交各向异性介质地应力公式推导

正交各向异性介质是由水平层状互层矿物组成的薄层和沿水平对称轴方向排列的裂缝共同构成的各向异性介质，它由三个相互垂直的对称面组成，其刚度矩阵为

(1)

式中c_ij为OA介质的弹性刚度常数.在弹性形变范围内，可以利用广义胡克定律描述弹性介质应力和应变的关系：

(2)

其中，σ_ij是应力张量，C_ijkl是弹性刚度张量(弹性矩阵)，其元素称为弹性刚度常数(简称弹性常数)，ε_kl是应变张量.对于一个三维的应力状态，可以将广义胡克定律的一般形式进行变换，将应力是应变的函数变换为应变是应力的函数形式：

(3)

其中，S_ijkl是柔度张量(柔度矩阵)，利用常规压缩的6×6矩阵表示，公式(3)可以表示为：

(4)

其中弹性矩阵元素下标的对应关系为：11→1，22→2，33→3，23或32→4，13或31→5，12或21→6.根据刚度矩阵C和柔度矩阵S之间的关系：

(5)

可以得到OA介质柔度矩阵，利用OA介质的柔度矩阵将胡克定律公式(4)表示为矩阵形式.根据Iverson(1995)，假设存在垂直方向的主应力和两个水平方向的应力，且假设地下岩石是有界的，不能移动，则水平方向上的应变为零，可得水平方向上应变与应力的关系表达式为

(6)

(7)

其中，s_ij为OA介质的柔度系数，通过公式(6)和(7)，可得到根据σ_z求得的最小水平地应力σ_x和最大水平地应力σ_y：

(8)

(9)

垂直地应力(σ_z或σ_v)表示为：

(10)

其中，h为地层厚度，H为深度，g为重力加速度，ρ为密度.从公式可以看出，垂直地应力是利用密度测井曲线进行积分估算得到.

此外，利用公式(8)和(9)可以从地震数据直接计算正交各向异性水平应力差异比(ODHSR，Orthorhombic Differential Horizontal Stress Ratio)，它是最大和最小水平应力变化差与最大水平应力的比值，是评价页岩气储层是否可压裂成网的重要参数，而不需要垂直地应力，ODHSR低值表明其所在区域易于压裂成网，ODHSR相对DHSR来说，既考虑了VTI介质的水平层状互层矿物的影响又考虑了垂直裂缝扰动的影响，ODHSR的定义如下所示：

(11)

正交各向异性介质的弹性矩阵有9个独立的弹性常数，Tsvankin提出用两个垂向速度和7个无量纲的参数来表征OA介质弹性性质.具体定义见附录A，通过推导可以得到各向异性参数表示的弹性常数c_ij，将其代入公式(12)中，最终得到各向异性参数表示的正交各向异性水平应力差异比(ODHSR)：

(12)

ODHSR同时考虑了各向异性垂向与水平对称轴的作用，更符合实际的页岩储层，它是评价储层是否适用于压裂开发的重要因子，它的值越低表明该区域的最小水平应力和最大水平应力越接近，当进行压裂开发的时候，越容易形成裂缝的网状结构，有利于储层中油气的运移和非常规储层的开采.

由于ODHSR公式复杂，为了验证该公式的合理性，将ODHSR进行退化，通过验证退化的DHSR与Gray的DHSR之间的关系证明ODHSR的合理性.横向各向同性介质(VTI与HTI)可以看作是正交各向异性介质退化而成的特例.根据OA介质各向异性参数退化成VTI介质和HTI介质各向异性参数的关系式(Tsvankin，1997)，可以将OA介质的主应力退化成VTI介质或HTI介质的主应力.在VTI约束下，独立参数由9个减为5个，则在新的参数下可重新表示为

(13)

(14)

(15)

(16)

其中，ε、δ和γ是Thomsen(1986)针对VTI介质中地震波的传播提出的三个各向异性参数.则由水平层状互层矿物组成的VTI介质的两个水平应力σ_x与σ_y大小相等，即

(17)

由于两个水平应力σ_x与σ_y大小相等，即在VTI介质某个水平层上的应力大小不发生变化，所以水平应力差异比(DHSR)为零.在HTI约束下，用新的参数可重新表示为

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

其中，ε^(V)、δ^(V)和γ^(V)是HTI介质中的各向异性参数(Rüger，1996).在HTI介质中，δ⁽³⁾不是一个独立的量，但当时，OA介质的主应力退化为HTI介质的主应力：

(24)

(25)

由公式(24)和(25)可以得到HTI介质的水平应力差异比(DHSR)：

(26)

2.2 正交各向异性介质地应力近似表征

上面推导的OA介质的主应力和ODHSR公式复杂，不便于实际应用，所以将OA介质的一般公式进行近似简化.正交各向异性介质是由水平层状互层矿物组成的薄层和沿水平对称轴方向排列的裂缝共同构成的各向异性介质，根据Schoenberg和Sayers的线性滑动理论，可以将OA介质的柔度矩阵近似等价于具有垂直对称轴的横向各向同性背景介质的柔度矩阵与扰动裂缝的柔度矩阵之和.根据Schoenberg和Sayers，扰动裂缝的柔度张量S_f可以写成如下形式：

(27)

其中，Z_N为法向柔度，Z_T为切向柔度.用弹性常数表示的VTI背景介质的刚度矩阵为

(28)

其中，c_ijb为VTI介质的弹性常数，则通过对VTI背景介质的刚度矩阵C_v求逆得到其柔度矩阵S_v，根据Schoenberg和Sayers提出的线性滑动理论，OA介质柔度矩阵的近似公式等价于VTI背景介质的柔度矩阵S_v与扰动裂缝的柔度矩阵S_f的和，即：

(29)

则根据胡克定律，经过一系列推导，可以得到OA介质主应力的近似表达式：

(30)

(31)

其中，ε、δ和γ为VTI介质的各向异性参数(Thomsen，1986).利用最大水平地应力σ_y和最小水平地应力σ_x可以得到正交各向异性水平应力差异比(ODHSR)近似公式：

(32)

其中，

(33)

(34)

(35)

(36)

λ和μ为各向同性介质的拉梅参数，Δ_N为裂缝的法向弱度.基于ODHSR公式，利用叠前方位地震反演方法获得的弹性参数和各向异性参数可以计算得到某个区域连续的ODHSR剖面，实现基于正交各向异性介质的地应力地震预测方法.进而综合应用多种反映地层岩性、物性、含油气性以及可压裂性等储层预测结果(陈怀震等，2014；印兴耀等, 2014a, 2014b, 2015; 印兴耀和刘欣欣，2016；Zhang and Li, 2015，2016；宗兆云等，2012；Zong et al., 2012)指导油气的勘探与开发.

3 ODHSR公式的验算 3.1 公式验证

HTI介质等效为具有水平对称轴的横向各向同性介质，该介质中的岩石发育着大量定向排列的垂直或者近似垂直的裂缝.根据其刚度矩阵与广义胡克定律可以将HTI介质的应力和应变关系表示为

(37)

式中c_ijr为HTI介质的弹性刚度常数，对于一个三维的应力状态，根据广义胡克定律，可以得到应变是应力的函数形式：

(38)

其中，σ_j是应力张量，ε_i是应变张量, S_ijr是HTI介质的柔度张量，又称为柔度矩阵.根据Iverson(1995)，假设存在垂直方向的主应力和两个水平方向的应力，且假设地下岩石是有界的，不能移动，则水平方向上的应变为零.

(39)

(40)

通过公式(39)和(40)得到最小水平地应力σ_x、最大水平地应力σ_y，即：

(41)

(42)

由公式(41)和(42)得到HTI介质的水平应力差异比(DHSR)：

(43)

通过HTI介质本构方程和胡克定律计算得到的DHSR与本文ODHSR精确公式退化得到的DHSR计算公式完全相同，且该DHSR是HTI介质DHSR的精确公式，消除了Gray利用线性滑动理论简化胡克定律产生的误差.

正交各向异性介质的主应力和ODHSR近似公式既有HTI介质的各向异性参数也有VTI介质的各向异性参数，为了验证近似公式的合理性，进一步将OA介质主应力近似公式(30)和(31)及其ODHSR近似公式(32)中的VTI介质的各向异性参数消去，即令VTI介质的各向异性参数ε、δ和γ等于零，只含有HTI介质的各向异性参数，可以得到HTI介质的主应力及其DHSR表示形式.

(44)

(45)

(46)

由于且，将公式(44)、(45)和(46)进行变化，得到：

(47)

(48)

(49)

公式(47)、(48)和(49)与Gray(2011)提出的HTI介质计算的主应力以及水平应力差异比(DHSR)完全一致，因此，证明了本文推导的主应力及其ODHSR近似公式的合理性.

3.2 实例分析

选取中国东部某页岩储层工区的A井建模，A井的纵波速度V_P0、横波速度V_S0、密度ρ以及各向异性参数ε^(V)、δ^(V)、γ^(V)、γ如图 1所示，其中ε^(V)、δ^(V)、γ^(V)是HTI介质的各向异性参数，它们是由构建的裂缝岩石物理等效模型估测得到，γ是VTI介质的各向异性参数，它可以通过HTI介质与VTI介质的各向异性参数的关系，由HTI介质的各向异性参数γ^(V)经过转化得到.

由于ODHSR精确公式过于复杂，因此，可以通过ODHSR精确公式退化的HTI介质DHSR与Gray(2011)提出的DHSR对比证明ODHSR精确公式的合理性.先计算Gray(2011)提出的HTI介质水平应力差异比(DHSR), 利用A井的弹性参数计算得到岩石力学参数，然后利用计算得到的岩石力学参数和各向异性参数得到地层的DHSR.其次，计算由本文提出的ODHSR精确公式退化的HTI介质DHSR，直接利用A井的弹性参数和各向异性参数即可得到地层的DHSR，省去了利用弹性参数计算岩石力学参数这一步骤，减小了累积误差，两者的对比，如图 2a所示，从图中可以看出两者趋势基本一致，可以证明退化得到的HTI介质DHSR公式的合理性，进而证明ODHSR精确公式的合理性.最后，再计算本文提出的ODHSR近似公式，利用A井的弹性参数和各向异性参数计算地层的ODHSR，结果如图 2b所示.

从图 2b HTI介质DHSR和OA介质ODHSR的对比可以看出，两者的趋势基本一致，ODHSR低值部分与DHSR低值部分相同，ODHSR的高值部分则略高于DHSR高值部分，考虑到VTI介质各向异性参数γ的影响，令VTI介质各向异性参数γ等于零，消去VTI各向异性参数γ的影响，得到的ODHSR与DHSR一致，也说明了ODHSR公式的合理性，如图 3b所示.

通过分析ODHSR曲线，我们可以找到ODHSR值相对较低的位置，ODHSR低值表示该位置容易压裂成网，高值表示该位置容易压裂成定向排列的裂缝，因此可以利用ODHSR曲线指导水平井的压裂开发.

4 结论

本文主要研究了正交各向异性介质水平应力差异比的预测方法，该方法同时考虑了各向异性垂向和水平对称轴对地应力的影响，以正交各向异性介质为基础进行推导更符合实际页岩地层需求，并提出了正交各向异性介质水平应力差异比(即ODHSR，Orthorhombic Differential Horizontal Stress Ratio)这个概念.推导出了正交各向异性水平应力差异比(ODHSR)的计算公式，实现了正交各向异性介质水平应力差异比的求解，这是一种页岩气地层地应力的评价方法，由于该公式是在水平两个方向应变为零的假设条件下推导得到，因此该公式适用于构造不复杂的页岩储层.最后，对正交各向异性介质ODHSR计算公式进行了验证；选取了某页岩储层的工区测井数据对本文推导的正交各向异性ODHSR计算公式进行验证.结果表明，本文ODHSR精确公式退化的HTI介质DHSR与Gray推导的DHSR生成的曲线基本一致，存在的差异考虑是消除了由于近似和累积误差产生的影响，因此本文推导的DHSR更加准确，同时证明了ODHSR精确公式的合理性.本文通过线性滑动理论得到的ODHSR近似公式与Gray推导的DHSR生成的曲线趋势基本一致，ODHSR高值略高于DHSR高值，存在的差异考虑是VTI介质各向异性参数的影响，因此本文推导的ODHSR更接近于实际页岩储层.综上可知，本文通过公式推导和实际分析验证了正交各向异性水平应力差异比(ODHSR)计算公式的合理性.

此外，该方法还有后续工作有待研究，因为本文的ODHSR计算公式是在岩石位移为零的情况下推导得到的，以后需要研究构造应力对地应力的影响，提高预测地应力的精度.同时本文中的ODHSR精确公式过于复杂，需要进一步研究正交各向异性介质各向异性参数表征的ODHSR近似公式.

附录A

Tsvankin提出用两个垂向速度和7个无量纲的参数表征正交各向异性介质的弹性性质，其具体定义为：

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A9)

其中，V_P0表示为准纵波的垂向速度；V_S0表示为极化方向为x方向的准横波垂向速度；ε⁽¹⁾、ε⁽²⁾、γ⁽¹⁾、γ⁽²⁾、δ⁽¹⁾、δ⁽²⁾和δ⁽³⁾表示OA介质各向异性强度的7个无量纲因子.根据OA介质弹性常数与Tsvankin速度各向异性参数的关系，可将OA介质的弹性刚度常数表示为

(A10)

(A11)

(A12)

(A13)

(A14)

(A15)

(A16)

(A17)

(A18)

(A19)