1 引言

电法测井是地球物理测井最重要的方法之一.随着石油资源的不断减少，开发薄储集层显得更加重要.双侧向测井是一种聚焦型电阻率测井方法，纵向分层能力强，适于划分薄层.屏蔽电极使发射电极的电流垂直电极系流入目的层，减小井眼和低阻围岩的影响，增加了探测深度.

高精度、高灵敏度的电法测井仪器是寻找油气的基本保证和重要前提.设计具有优良性能的测井仪器，首先需要了解仪器对地层的响应特征.电法测井数值模拟是仪器研制及应用的基础手段，可以提高测井仪器的建模效率，达到事半功倍的效果.

自有限元法引入电法测井领域以来(Coggon，1971)，国内外学者采用有限元法对电阻率测井数值模拟问题进行了系统的研究(李大潜等，1980；张庚骥，1996；Chemali et al.，1988)，该方法已经成为最常用和最有效的电测井数值模拟方法.众多学者开展了复杂地层环境下直井侧向测井响应有限元数值模拟研究，如井眼影响(Chew et al.，1991)、侵入和围岩影响(Shen et al.，2000；范晓敏，2007；王欣等，2012；刘得军等，2013).在水平井(Deng et al.，2009；夏培等，2011；刘迪仁等，2012)、斜井(谭茂金等，2012)、洞穴型储层(Tan et al.，2011；Zhao et al.，2015)、裂缝性储层(史謌等，2004；高杰等，2012；Tan et al.，2014；Deng et al.，2012)双侧向测井响应有限元数值模拟方面取得了关键成果.有限元法在侧向测井仪器设计和性能分析(Cozzolino and da Conceição da Silva，2007；Yin et al.，2014)方面发挥着重要作用.

电流线可以直观地显示双侧向测井仪器周围地层电流的聚焦情况，对仪器设计提供有益参考，同时也是评价仪器性能的一种辅助手段.但是，目前传统的有限元数值模拟方法都是采用电位法，即通过求解拉普拉斯方程获得电位分布，再对电位微分获得电流线的分布.为了获得更高精度的电流线分布，本文提出一种基于周向磁场强度的双侧向测井响应有限元数值模拟方法，可以直接得到电流线分布，避免微分运算产生的误差.本文对二维轴对称分区均匀模型进行双侧向测井数值模拟，比较了周向磁场强度法在获取电流线分布方面相对于电位法的优势，分析了不同泥浆侵入状态对视电阻率响应和电流线分布的影响规律.

2 双侧向测井原理 2.1 双侧向测井电极系

双侧向测井电极系包括9个电极，如图 1所示.主电极A₀，两对监督电极M₁，M′₁和M₂，M′₂.深侧向模式下两对屏蔽电极A₁，A′₁和A₂，A′₂均作为屏蔽电极供屏流，无穷远电极N为回路电极；浅侧向模式下A₁，A′₁作为屏蔽电极供屏流，B₂和B′₂作为回路电极.以主电极为中心，每一对电极相对主电极对称排列，并且每对电极之间相互短路连接.

2.2 深侧向测井原理

深侧向测井模式下，主电极发出单位电流I₀，屏蔽电极A₁和A′₁发出总电流I₁，屏蔽电极A₂和A′₂发出总电流I₂.I₀是给定的，I₁和I₂是待定的.电极系的设计方案有两种：控制屏蔽电极电位比和控制屏蔽电极电流比.对于控制屏蔽电极电位比的方案，通过调节使监督电极M₁和M₂之间电位差

(1)

两对屏蔽电极之间的电位保持一定的比例

(2)

测量监督电极和无穷远处参考电极之间的电位差u(M)，则深侧向测井的视电阻率为

(3)

其中，K_0d为深侧向测井的仪器常数.

采用控制屏蔽电极电位比的方法进行深侧向模拟时，求解区域可以归结为求解以下三个场：

第一个场u₁：I₀=1，I₁=0，I₂=0;

第二个场u₂：I₀=0，I₁=1，I₂=0;

第三个场u₃：I₀=0，I₁=0，I₂=1.

利用电场叠加原理，电位分布函数u为三个场的叠加

(4)

式(4) 代入式(1) 和式(2) ，建立关于c和d的方程组，求解得到c和d的值.屏蔽电极A₁和A′₁的总电流为c，屏蔽电极A₂和A′₂的总电流为d.

采用控制屏蔽电极电流比的方法进行深侧向模拟时，与控制屏蔽电极电位比方式不同的是，控制两对屏蔽电极之间的电流比为常数

(5)

求解区域可以归结为求解以下两个场：

第一个场u₁：I₀=1，I₁=0，I₂=0；

第二个场u₂：I₀=0，I₁=1，I₂=γ.

利用电场叠加原理，电位分布函数u为两个场的叠加

(6)

式(6) 代入式(1) 确定p的值.屏蔽电极A₁和A′₁的总电流为p，屏蔽电极A₂和A′₂的总电流为γp.

2.3 浅侧向测井原理

浅侧向测井模式下，主电极发出单位电流I₀，屏蔽电极A₁和A′₁发出总电流I₁，回路电极B₂和B′₂发出总电流I₂=－(I₀+I₁).I₀是给定的，I₁和I₂是待定的.通过调节使监督电极M₁和M₂之间电位差满足式(1) ，来确定I₁和I₂的取值.浅侧向测井的视电阻率为

(7)

其中，K_0s为浅侧向测井的仪器常数.

浅侧向模拟时，求解区域可以归结为求解以下两个场：

第一个场u₁：I₀=1，I₁=0，I₂=－1；

第二个场u₂：I₀=0，I₁=1，I₂=－1.

根据电场的叠加原理，电位分布函数u为两个场的叠加

(8)

式(8) 代入式(1) 求解得到q的值.则屏蔽电极A₁和A′₁的总电流为q，回路电极B₂和B′₂的总电流为-(1+q)，代入式(8) 求得电位的分布.

3 基于周向磁场强度法的双侧向测井数学物理方程

供电电极发出直流电流，根据安培环路定理，在非电极区域满足方程

(9)

式中，H为磁场强度，σ为电导率，E为电场强度.

式(9) 两端同时乘以电阻率ρ，然后取旋度得

(10)

对于二维轴对称模型，磁场强度只有周向分量(φ分量)，即H=H_φe_φ，电流密度只有r分量和z分量，将rH_φ简记为X，则式(10) 在圆柱坐标系下展开得到偏微分方程：

(11)

电流密度J的r分量和z分量分别为

(12)

在金属电极表面和无穷远边界，电流密度的切向分量为零，则有

(13)

式中，n表示金属电极表面和无穷远边界的法向分量.

在绝缘环表面电流密度的法向分量为零，则有

(14)

式中，t表示绝缘环表面的切向分量.

假设第i个电极的电流为I_i，则电极表面满足

(15)

X_i和X_i+1分别表示与第i个电极相邻的绝缘环表面的X值，N为电极个数.

综上所述，最终得到双侧向测井所满足的定解问题为

式中，区域边界包括电极边界Γ_el，无穷远边界Γ_∞，绝缘环边界Γ_in，记求解区域的总边界为Γ.

选取虚位移δX满足一阶导数连续，且在绝缘环边界Γ_in上为0，则可导出定解问题对应的弱形式为

(17)

对求解区域进行网格剖分，采用伽辽金有限元，则可得到式(17) 对应的有限元方程

(18)

式(16d)本质上是第一类边界条件，需要在方程(18) 中强制施加，X_i为常数，可以假定X₁值为零，则其他绝缘环的X值可以通过式(15) 依次导出.

通过求解方程(18) ，得到整个求解区域的值X，代入式(12) 获得电流密度.则第i个电极的电位为电场强度从电极上任意点P_i到无穷远处的积分

(19)

对于双侧向测井，根据式(19) 得到监督电极M的电位，代入式(3) 或(7) 得到视电阻率值.

需要说明的是，X的等值线就是电流线.这是因为，电流线满足方程

(20)

X的全微分dX为

(21)

将式(12) 、(20) 代入式(21) ，有dX=0，即X为常数.

因此，可以通过求解X直接得到电流线.

4 双侧向测井周向磁场强度法与电位法的数值模拟对比 4.1 验证性比较

双侧向测井数值模拟选择圆柱坐标系，建立二维轴对称地层模型，如图 2所示，z方向表示纵向，r方向表示径向，井轴和z轴重合.地层纵向分为三层：上围岩、目的层(包括侵入带和原状地层)和下围岩.仪器位于井眼中心位置，上下围岩电阻率相同.采用的电极系尺寸为(张庚骥，1996)：

(1) 视电阻率曲线

假设原状地层电阻率10 Ωm，上下围岩电阻率均为1 Ωm，泥浆电阻率1 Ωm，目的层厚2 m，无侵入.当测井仪器处于深侧向工作模式时，电位法采用控制屏蔽电极电流比方式、电位法采用控制屏蔽电极电压比方式和周向磁场强度法得到的视电阻率曲线如图 3所示.可以看出，三种方法得到的测井响应曲线相吻合，曲线对称于目的层中部，在目的层的上下界面附近出现两个小尖峰.由于受低阻围岩的影响，视电阻率小于原状地层电阻率.

当仪器处于浅侧向工作模式时，电位法和周向磁场强度法得到的视电阻率曲线如图 4所示.可以看出，两种方法得到的视电阻率结果相吻合.和同样参数下的深侧向结果相比，因为深侧向探测范围比较大，所以上下围岩对深侧向结果影响比较大，使得深侧向结果小于浅侧向的探测结果.

(2) 电流线分布

电流线能够直观清楚地显示电极发出的电流在地层中的分布和走向，通过电流在地层中的分布情况，可以迅速地对仪器的性能做出定性的评价.本文数值模拟过程中采用两种方式获得仪器周围地层中的电流线分布，第一种是采用电位法，先求出仪器周围的电位分布，然后通过对电位求微分来获得电流分布.第二种是采用周向磁场强度法，X的等值线就是电流线，是场求解的一次结果，无需微分运算.

深侧向工作模式下，电位法获得的电流分布如图 5所示，周向磁场强度法获得的电流分布如图 6所示，电流线只代表电流方向不代表电流大小.由于深侧向电极系中两对屏蔽电极A₁、A′₁和A₂、A′₂的聚焦作用，主电极电流被束缚在一个狭长的区域之内，电流径向流入地层很远处才开始缓慢发散，达到了增加探测深度和提取原状地层真实电参数的目的.

浅侧向工作模式下，分别采用电位法和周向磁场强度法得到的电流线分布如图 7和图 8所示.由于浅侧向电极系的两个柱状电极B₂和B′₂为回路电极，屏蔽电极A₁和A′₁对主电流的屏蔽能力较弱，主电极发出的电流径向流入地层大于3 m处就开始发散，返回回路电极.浅侧向测井电极系的探测范围较深侧向小，在有泥浆侵入的地层中，视电阻率响应结果主要反映侵入带的电阻率.

从给定参数下三层地层的计算结果可以看出，电位法和周向磁场强度法得到的电流分布趋势基本一致.因为电位法和周向磁场强度法分别是从法拉第电磁感应定律和安培环路定律出发进行相关电磁场量的求解，二者分别是基于电场和磁场的对偶计算方法，描述的是同一物理规律(Ren，2000).

4.2 优越性比较

当存在与周围介质具有高电阻率差异的小尺度区域时，采用周向磁场强度法获得的电流分布往往明显优于电位法.建立图 9所示计算模型，对比分析采用电位法和周向磁场强度法获得电流分布的差异.模型区域1~5对应的电阻率参数如下：ρ₁=10 Ωm，ρ₂=0.1 Ωm，ρ₃=1 Ωm，ρ₄=10 Ωm，ρ₅=100 Ωm，泥浆电阻率ρ_m=1 Ωm.区域5和其相邻介质相比为高阻小尺度区域，径向尺寸4 cm，纵向尺寸40 cm.

仪器工作于深侧向测井模式时，采用周向磁场强度法获得井眼附近区域电流线分布如图 10所示.

分别采用电位法和周向磁场强度法计算电流密度，为了清晰地比较二者之间的差异，提取图 10中虚线圆圈所包围区域电流密度矢量图，如图 11所示.可以看出，在区域的大部分二者吻合得很好，但在区域5与其相邻介质的交界面AB段和BC段，二者明显不同.相对相邻介质，区域5的电阻率高，理论上电流线应该沿着交界面流动，图 11b的计算结果与理论分析是一致的，而图 11a的计算结果相对较差.这说明，在计算电流密度上，周向磁场强度法优于电位法.

5 双侧向测井响应侵入带影响分析

测井仪器在井中测量地层响应的过程中，会受到侵入带的影响，测得的视电阻率与实际地层电阻率存在偏差，所以有必要分析侵入半径、侵入带电阻率对测井响应的影响规律.数值模拟采用如图 2所示的地层模型.

5.1 视电阻率响应

(1) 侵入带电阻率影响

泥浆低侵情况下，原状地层电阻率50 Ωm，井径0.2 m，围岩电阻率1 Ωm，井眼内泥浆电阻率1 Ωm，侵入半径为0.4 m，目的层厚3 m，侵入带电阻率分别取1、5、10、20、40、50 Ωm，对比深、浅双侧向响应，如图 12a所示，d表示深侧向，s表示浅侧向.侵入带电阻率取50 Ωm的结果为无泥浆侵入结果，作为对照.相同条件下，目的层浅侧向响应大于深侧向响应.侵入带电阻率较低时，视电阻率曲线平滑，随着侵入带电阻率的增大，深浅侧向响应视电阻率值都增大，高阻地层出现两个峰值，曲线形状和幅值都趋向于无泥浆侵入地层的响应结果.

泥浆高侵情况下，原状地层电阻率10 Ωm，井径0.2 m，围岩电阻率1 Ωm，井眼内泥浆电阻率1 Ωm，侵入半径为0.4 m，目的层厚3 m，侵入带电阻率分别取10、20、40、50 Ωm，对比深、浅双侧向响应，如图 12b所示.侵入带电阻率取10 Ωm的结果为无泥浆侵入结果，作为对照.从图中可以看出，相同条件下，目的层浅侧向响应大于深侧向响应.随着侵入带电阻率的增大，深浅侧向视电阻率值都增大，视电阻率响应曲线的形状与无泥浆侵入时基本一致.

(2) 侵入半径影响

泥浆低侵情况下，原状地层电阻率50 Ωm，井径0.2 m，围岩电阻率1 Ωm，井眼内泥浆电阻率1 Ωm，目的层厚3 m，侵入带电阻率10 Ωm，侵入半径分别取0、0.2、0.4、0.7、1.0、1.5 m，深、浅双侧向响应如图 13a所示.泥浆高侵情况下，原状地层电阻率10 Ωm，井径0.2 m，围岩电阻率1 Ωm，井眼内泥浆电阻率1 Ωm，目的层厚度3 m，侵入带电阻率取40 Ωm，侵入半径分别取0，0.2、0.4、0.7、1.0、1.5 m，深、浅双侧向响应如图 13b所示.从数值模拟结果可以看出，相同条件下，无论是高侵地层还是低侵地层，目的层浅侧向响应大于深侧向响应.低侵情况下，随着侵入半径的增大，深浅侧向响应都减小.高侵情况下，随着侵入半径的增大，深浅侧向响应都增大.

5.2 电流线分布

假设井径0.2 m，井眼内泥浆电阻率1 Ωm，目的层厚度3 m，围岩电阻率5 Ωm，侵入半径0.4 m.泥浆低侵情况下，原状地层电阻率100 Ωm，侵入带电阻率10 Ωm.泥浆高侵情况下，原状地层电阻率2 Ωm，侵入带电阻率40 Ωm.

深侧向模式下主电极发出的电流线如图 14所示，浅侧向模式下主电极发出的电流线如图 15所示.可以看出，无论是低侵地层还是高侵地层，深侧向测井屏蔽电极对主电极电流都有很强的聚焦作用.低侵地层，电流主要集中在目的层和围岩的交界面处；高侵地层，电流大部分分布于目的层中.浅侧向屏蔽电极对电流的控制作用较弱，电流较早地发散流回回路电极，测量结果主要反映侵入带的特性.低侵地层，由于高阻目的层的排斥作用和低阻围岩的吸引作用，电流离开电极不远后便向围岩分流.高侵地层，由于低阻目的层的吸引作用，电流到达地层较深处才开始发散.

6 结论

本文提出基于周向磁场强度的有限元数值模拟方法，建立二维轴对称模型进行了大量的双侧向测井响应数值模拟和分析，可以得到以下结论：

(1) 采用周向磁场强度法和电位法对纵向三层无侵入二维轴对称地层模型进行双侧向测井数值模拟，计算了深侧向和浅侧向测井视电阻率曲线，并对电流线分布进行了分析.结果表明两种方法得到的视电阻率响应曲线相吻合，电流线分布趋势一致，验证了周向磁场强度法模拟双侧向测井响应的正确性.

(2) 电位法计算电流密度需对电位进行微分计算，周向磁场强度法可以直接得到电流线分布，避免了微分计算引入的误差.模拟了介质存在高电阻率差异时，采用电位法和周向磁场强度法的电流线分布.在相邻高电阻率差异介质的交界面周向磁场强度法获得的电流密度分布优于电位法.

(3) 分析了侵入带对双侧向测井响应的影响规律.高侵情况下，视电阻率幅值随着侵入半径的增加而增大，随侵入带电阻率增大而增大.低侵情况下，视电阻率幅值随着侵入带半径的增加逐渐降低，随着侵入带电阻率的增大而增大，曲线形态逐步接近无侵入时的高阻地层的响应曲线.电流的分布情况蕴含着地层信息，可根据电流线分布研究不同探测模式、不同侵入状态下的仪器探测特性.

致谢

中国科学院电工研究所吴石增研究员提出了许多建设性的修改意见及建议，特此表示衷心感谢！