2016, Vol. 59
2. 山东省高校新能源物理与材料科学重点实验室(中国石油大学), 青岛 266580
2. Key Laboratory of New Energy Physics & Material Science in Universities of Shandong(China University of Petroleum), Qingdao 266580, China
偏心对电磁测井仪器在井眼中响应的影响一直是测井分析家极为关注的问题之一，对于测量数据的精确解释具有重要价值(Gianzero，1978).Gianzero(1978)分析了偏心对传统轴向感应线圈响应特性的影响，其给出的解析表达式包含两层介质，可适用于仅存在井眼和均质地层的模型，没有考虑金属心轴和绝缘保护层等因素的影响.另外，他在分析时将线圈系近似为磁偶极子，忽略了线圈具体尺寸，故模拟结果与真实结果存在差别.Hagiwara等(2005)基于Lovell和Chew(1987)的方法模拟了含心轴、井眼和侵入带的地层模型中倾斜线圈系在井眼内居中时的响应.Wang等(2008)利用给出的计算柱状成层各向异性介质(横向各向同性)中任意位置点源响应的解析表达式模拟了多分量感应测井仪器在井眼中居中和偏心时的响应特性，模拟时亦将线圈系近似为磁偶极子，且忽略了线圈具体尺寸以及金属心轴和绝缘保护层等因素.Lovell和Chew(1990)、Hue和Teixeira(2006)基于Lovell和Chew(1987)给出的计算柱状成层介质中任意位置点源响应的解析表达式，推导出了含心轴电磁测井仪器在井眼中偏心时的响应，并分别分析了偏心对传统轴向感应线圈系和倾斜线圈系响应特性的影响.上述推导假设线圈系位于仪器外侧的井眼中，忽略了金属心轴外面线圈系所处绝缘保护层的影响.对于实际电磁测井仪器如阵列感应测井仪器而言，其金属心轴外面一般含有一层绝缘介质以保护线圈系.这层绝缘介质占据了井眼中部分泥浆所占据的空间，其对仪器在井眼中居中和偏心时的响应均将产生影响.尽管通过在线圈系内侧增加一层介质的方式亦可直接利用上述推导模拟含绝缘保护层的仪器的响应，但仍须假设线圈系位于绝缘层外的井眼泥浆中而不是绝缘层内，与仪器实际结构仍存在差距.本文基于均匀介质和柱状成层介质中并矢Green函数的矢量本征函数展开式(戴振铎和鲁述，1996；魏宝君，2007；魏宝君等，2010，2012，2015；俞燕明等，2014)，经推导得到了计算含心轴和绝缘保护层的电磁测井仪器在井眼中偏心时响应的解析表达式，并利用该解析方法模拟了阵列感应测井仪器在井眼中偏心时的响应，重点分析了绝缘层对仪器响应的影响.与Lovell和Chew(1990)、Hue和Teixeira(2006)假设线圈系位于仪器外侧的井眼泥浆中相比，本文推导假设线圈系位于仪器内部的绝缘层中，更接近于仪器实际结构.
2 基本理论 2.1 均匀介质中谱域并矢Green函数采用圆柱坐标系并假设发射源随时间的变化关系为exp(－iωt)，其中ω为角频率.戴振铎和鲁述(1996)、魏宝君(2007)、魏宝君等(2010，2012)给出了圆柱坐标系下均匀介质中频率域并矢Green函数的矢量本征函数展开式，它们均可以表示为谱域并矢Green函数积分的形式.例如对电流源的电型和磁型并矢Green函数GEJ、GHJ，有：
|
(1a) |
|
(1b) |
式中：R(ρ，φ，z)为场点位置坐标，R″(ρ″，φ″，z″)为源点位置坐标，kz为积分变量，ν为阶数，gνEJ、gνHJ分别为谱域电流源电型和磁型并矢Green函数.式(1)的表达方式对于非均匀介质模型或其他类型并矢Green函数均适用.
设电流源的体电流密度为JT，则介质各处的电磁场可表示为：
|
(2a) |
|
(2b) |
定义如下矩阵(Lovell and Chew，1990)：
|
(3a) |
|
(3b) |
式中：μ、ε分别为均匀介质的磁导率、复介电系数，
|
(4a) |
|
(4b) |
|
(4c) |
即ρ分量和φ分量均可用z分量表示.当ρ≤ρ″时，只需将式(3)至式(4)中的Hankel函数Hν(1)(kρρ)换成Bessel函数Jν(kρρ)，将Jν(kρρ″)换成Hν(1)(kρρ″)即可.相应地，式(3)中相关矩阵定义为Jν，φ(kρρ)和Jν，ρ(kρρ).
在谱域内无论是电流源还是磁流源，其沿不同方向的单位源在所有三个正交方向产生的电磁场(即并矢Green函数)的表达式可以统一表示为如下形式，式中aνh、bνh根据不同类型和方向的源具有不同的具体表达式.
|
(5a) |
|
(5b) |
|
(5c) |
结合式(1)，频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场可表示为
|
(6a) |
|
(6b) |
|
(6c) |
式中的
对于沿ρ方向柱状成层介质，设源在第0层，介质从里向外编号为－m，－m+1，…，0，1，…，n，半径分别为ρ－m，ρ－m+1，…，ρ0，ρ1，…，ρn－1，类比式(5)可写出任意第i层介质中谱域并矢Green函数的z分量、φ分量和ρ分量为
|
(7a) |
|
(7b) |
|
(7c) |
式中：
柱状成层介质各处频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场可表示为
|
(8a) |
|
(8b) |
|
(8c) |
式中的
图 1给出了电磁测井仪器轴心在井眼内偏离井轴距离为d、角度为φE时的示意图.不带撇的坐标系以井轴为轴心，带撇的坐标系以仪器轴为轴心.与Lovell和Chew(1990)、Hue和Teixeira(2006)假设线圈系位于仪器外侧的井眼泥浆中、忽略线圈系所处绝缘保护层的地层模型相比，图 1中的发射线圈和接收线圈均在第0层介质即绝缘层中(图中虚线所示)，而将井眼作为第1层介质.
|
图 1 井眼内仪器偏心示意图 Fig. 1 Illustration of eccentric borehole geometry |
在带撇的仪器坐标系中，设发射源径向坐标为ρ′T.根据式(7)，在绝缘层中ρ′≤ρ′T区域，谱域并矢Green函数的z分量、φ′分量和ρ′分量可表示为
|
(9a) |
|
(9b) |
|
(9c) |
频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场可表示为
|
(10a) |
|
(10b) |
|
(10c) |
在带撇的仪器坐标系中，借助式(5)，在绝缘层中ρ′ ＞ρ′T区域，谱域并矢Green函数的z分量、φ′分量和ρ′分量可表示为
|
(11a) |
|
(11b) |
|
(11c) |
式中a0ν′h和b0ν′h为式(5)中的aν′h、bν′h取第0层介质的参数得到.
频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场可表示为
|
(12a) |
|
(12b) |
|
(12c) |
在带撇的仪器坐标系中，第1层介质即井眼中谱域并矢Green函数的z分量、φ′分量和ρ′分量可表示为如下通式：
|
(13a) |
|
(13b) |
|
(13c) |
式中a1ν′和b1ν′为待定系数.
频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场可表示为
|
(14a) |
|
(14b) |
|
(14c) |
式中
在交界面ρ′=ρ0处，电磁场z分量和φ′分量连续，由式(12a)和式(14a)相等、式(12b)和式(14b)相等得到
|
(15a) |
|
(15b) |
利用上述两式，可用
定义如下矩阵：
|
经推导，
|
(16a) |
|
(16b) |
在不带撇的地层坐标系中，根据式(7)，在第1层介质即井眼中半径大于发射源的位置处，谱域并矢Green函数的z分量、φ分量和ρ分量可表示为
|
(17a) |
|
(17b) |
|
(17c) |
频率域内不同类型和尺寸的源产生的电磁场可表示为
|
(18a) |
|
(18b) |
|
(18c) |
式中ã1ν已经考虑到发射线圈的形状和尺寸.带撇的仪器坐标系中的式(14a)与不带撇的地层坐标系中的式(18a)等价.
根据针对Bessel函数的Graf加法定理(Abramowitz and Stegun，1970)，
|
其中Ψν既可以是Bessel函数Jν也可以是第一类Hankel函数Hν(1).式(14a)中，
|
将上述两式与式(18a)对比，有：
|
两式联立消去ã1ν，得到下列针对所有ν的线性方程组，
|
(19) |
通过求解式(19)，可以得到针对不同ν和ν′的系数${{\tilde{b}}_{0{v}'}}$.在求解式(19)时，根据仪器实际偏心程度，给出ν和ν′的最大阶数νmax，则针对从－νmax到νmax的2νmax+1个形如式(19)的线性方程组进行求解，对ν′的求和亦从－νmax到νmax，从而得到2νmax+1个系数${{\tilde{b}}_{0{v}'}}$.当kρ，1=kρ，0即忽略绝缘保护层时，有Bν′=Eν′=Aν′，Cν′=Dν′=0.式(19)与Hue和Teixeira(2006)所给表达式相同.
当发射源和场点均在第0层介质中时，由于电磁场包含背景项，式(19)的收敛速度较慢，为加快式(19)的收敛速度，令：
|
(20) |
式中${{\tilde{\Omega }}_{0{v}'}}$对应于偏心地层的贡献.将式(20)代入式(19)，经简化得到：
|
(21) |
考虑到式(20)，式(10)或式(12)扣除背景项后的散射部分表达式相同，为
|
(22a) |
|
(22b) |
|
(22c) |
通过求解式(21)，可以得到针对不同ν和ν′的系数${{\tilde{\Omega }}_{0{v}'}}$.代入式(22)可以得到仪器偏心情况下线圈系所在绝缘保护层中不同类型、不同方向、不同形状的发射源产生的电磁场散射项的分布.
2.4 阵列感应测井仪器响应的计算利用式(22)并结合接收线圈的形状和尺寸，可以计算含心轴和绝缘保护层的电磁测井仪器在井眼中偏心时的感应电动势，仪器的线圈系可以是任意结构，也可以是任意方向.本文以阵列感应测井仪器为例计算其偏心响应.设阵列感应测井仪器发射电流强度为IT，轴向发射线圈匝数为NT、中心点轴向坐标为zT、轴向宽度为ΔzT、线圈半径为ρT，轴向接收线圈匝数为NR、中心点轴向坐标为zR、轴向宽度为ΔzR、线圈半径为ρR.在仪器坐标系中发射线圈电流源沿eφ′方向，表达式为：
|
(23) |
结合式(1a)、式(2a)，有
|
(24) |
式中aν′，φ′J，h由式(4a)令ρ″=ρT得到，类似方法可得到
接收线圈处感应电动势的散射项为：
|
(25) |
根据发射线圈在均匀介质中产生的电场强度的辐射积分形式，经推导得到仪器坐标系中接收线圈处感应电动势的背景项为：
|
(26) |
其中：
下面利用上述解析方法模拟阵列感应测井仪器不同子阵列的线圈系在井眼内居中和偏心时的响应，重点对比忽略绝缘层和考虑绝缘层时线圈系的响应.采用4层介质模型，-1层为金属心轴，0层为绝缘层，1层为井眼，2层为均质地层.
假设发射线圈电流IT=1 A，金属心轴电导率σ－1=2.9×107 S·m-1、心轴半径ρ－1=0.016002 m，绝缘保护层半径ρ0=0.046038 m.发射线圈匝数NT=100、半径ρT=0.0337185 m、轴向宽度ΔzT=0.1016 m、线圈中心点的轴向坐标为zT=0.0 m.共模拟三组接收线圈的井眼偏心响应，每一组接收线圈均由主接收线圈和屏蔽接收线圈组成，ρR=ρT.第一组主接收线圈匝数NR=12、中心点轴向坐标zR=0.1524 m、轴向宽度ΔzR=0.012192 m，屏蔽接收线圈匝数N′R=-4、中心点轴向坐标z′R=0.1067 m、轴向宽度Δz′R=0.004064 m.第二组主接收线圈匝数NR=56、中心点轴向坐标zR=0.7620 m、轴向宽度ΔzR=0.056896 m，屏蔽接收线圈匝数N′R=－18、中心点轴向坐标z′R=0.520659 m、轴向宽度Δz′R=0.018288 m.第三组主接收线圈匝数NR=200、中心点轴向坐标zR=2.3622 m、轴向宽度ΔzR=0.2032 m，屏蔽接收线圈匝数N′R=-86、中心点轴向坐标z′R=1.780957 m、轴向宽度Δz′R=0.087376 m.模拟时取发射频率为40 kHz.
取井眼直径dh=0.20 m、泥浆电导率σ1=1.0 S·m-1、均质地层电导率σ2=0.001 S·m-1，考虑绝缘层的存在，表 1和表 2分别给出了偏心率Φ为0.45和0.9时本文解析方法得到的视电导率与商用有限元软件计算结果的对比.由表 1和表 2可以看出，两种方法的计算结果是一致的，说明了本文解析方法的正确性.需指出的是，在同一计算机上运算，本文解析方法比有限元软件的计算速度快一个数量级以上，体现了该算法的高效性.
|
表 1 偏心率为0.45时解析方法与有限元计算结果的对比(单位：S·m-1) Table 1 Results from the analytical algorithm and FEM when the eccentricity ratio is 0.45(unit: S·m-1) |
|
|
表 2 偏心率为0.9时解析方法与有限元计算结果的对比(单位：S·m-1) Table 2 Results from the analytical algorithm and FEM when the eccentricity ratio is 0.9(unit: S·m-1) |
取井眼直径dh=0.20 m，图 2为泥浆电导率σ1=1.0 S·m-1、均质地层电导率σ2=0.01 S·m-1时接收线圈的感应电动势随偏心距离d的变化关系.图 3为泥浆电导率σ1=0.001 S·m-1、均质地层电导率σ2=1.0 S·m-1时接收线圈的感应电动势随偏心距离d的变化关系.两幅图均对无绝缘层和有绝缘层两种情况下的响应进行了对比.由图 2可以看出，对于相对高泥浆电导率情况而言，绝缘层对线圈系响应的影响明显，且仪器偏心距越大影响越大，线圈距越短影响越大.由图 3可以看出，对于相对低泥浆电导率情况而言，无论线圈距长短，线圈系所处绝缘层对仪器响应的影响均较小，可忽略不计.另通过图 2和图 3可以看出，相同泥浆电导率情况下线圈距越短偏心对线圈系响应的影响越大，同一组线圈系在相对高泥浆电导率井眼中偏心对其响应的影响更大.
|
图 2 泥浆电导率σ1=1.0 S·m-1、地层电导率σ2=0.01 S·m-1时接收线圈响应随偏心距离的变化关系 (a)第一组；(b)第二组；(c)第三组. Fig. 2 Relationship between receiver coil′s response and eccentric distance when the drilling fluid′s conductivity σ1=1.0 S·m-1 and the formation′s conductivity σ2=0.01 S·m-1 |
|
图 3 泥浆电导率σ1=0.001 S·m-1、地层电导率σ2=1.0 S·m-1时接收线圈响应随偏心距离的变化关系 (a)第一组；(b)第二组；(c)第三组. Fig. 3 Relationship between receiver coil′s response and eccentric distance when the drilling fluid′s conductivity σ1=0.001 S·m-1 and the formation′s conductivity σ2=1.0 S·m-1 |
取泥浆电导率σ1=1.0 S·m-1、地层电导率σ2=0.01 S·m-1，图 4为仪器在井眼中居中时线圈系几何因子g随井眼直径dh的变化关系.正如前面所述，由于仪器居中，无论井眼直径是大是小，线圈系所处绝缘层对仪器响应的影响均较小.除线圈距最短的第一组线圈系响应区别较明显外，绝缘层对另外两组线圈距较长的线圈系的响应可忽略不计.利用图 4可以分析仪器在井眼中居中时不同线圈系的径向探测深度.
|
图 4 仪器在井眼中居中时线圈系几何因子随井径变化关系 A1n—第一组线圈无绝缘层，A1y—第一组线圈有绝缘层，其余类推. Fig. 4 Relationship between coil′s geometric factor and borehole diameter with tool being in the borehole center |
仍取泥浆电导率σ1=1.0 S·m-1、地层电导率σ2=0.01 S·m-1，图 5为第一组线圈系几何因子g随井径dh及偏心率Φ的变化关系，图 6为第二组线圈系几何因子随井径及偏心率的变化关系.由于在正常的井径范围内线圈距最长的第三组线圈系的几何因子接近于零，受井径及偏心率的影响可忽略不计，故没有给出.对比图 5a、5b可以发现，对于第一组短线圈距线圈系，在偏心率较小时，无论井径是大是小，无绝缘层时的几何因子比有绝缘层时的几何因子数值大.随着偏心率的增加，两种情况下的几何因子数值均逐渐减小.在井径较小时，无绝缘层几何因子减小速度比有绝缘层几何因子减小速度要慢，但随着井径的增加，无绝缘层几何因子减小速度逐渐加快，最终高于有绝缘层几何因子的减小速度.总体上，第一组短线圈距线圈系有绝缘层几何因子比无绝缘层几何因子随井径及偏心率的变化要平缓一些.对比图 6a、6b可以发现，绝缘层对第二组线圈系几何因子的影响要小于对第一组线圈系的影响.在井径较小时，几何因子随偏心率的增加而增加.但随着井径的增加，偏心率较小时几何因子增加速度更快，偏心率越大几何因子随井径增加而增加的速度越慢甚至出现减小现象.因而在井径较大时，几何因子随偏心率的增加而减小.利用图 5、图 6可以分析仪器在不同直径井眼中偏心程度不同时不同线圈系的径向探测深度.
|
图 5 第一组线圈系几何因子随井径及偏心率的变化关系 (a)无绝缘层；(b)有绝缘层. Fig. 5 Relationship between coil′s geometric factor，borehole diameter and eccentricity ratio for the first coils |
|
图 6 第二组线圈系几何因子随井径及偏心率变化关系 (a)无绝缘层；(b)有绝缘层. Fig. 6 Relationship between coil′s geometric factor，borehole diameter and eccentricity ratio for the second coils |
(1) 本文基于柱状成层介质的并矢Green函数得到解析表达式，可高效模拟电磁测井仪器在井眼中偏心时的电磁场分布及响应，并且在模拟时既可考虑金属心轴的存在也可考虑线圈系所处绝缘保护层的存在.由于在推导过程中假设线圈系位于仪器内部的绝缘层内而非仪器外侧的井眼中，所采用模型更接近于仪器实际结构.
(2) 对于相对高泥浆电导率情况而言，绝缘层对线圈系响应的影响明显，且仪器偏心距越大影响越大，线圈距越短影响越大.对于相对低泥浆电导率情况而言，无论线圈距长短，线圈系所处绝缘层对仪器响应的影响均较小，可忽略不计.相同泥浆电导率情况下线圈距越短偏心对线圈系响应的影响越大，同一组线圈系在相对高泥浆电导率井眼中偏心对其响应的影响更大.