地球物理学报  2016, Vol. 59 Issue (7): 2703-2712   PDF    
引用本文
郭江峰, 谢然红, 邹友龙. 2016. 砂岩核磁共振响应模拟及受限扩散. 地球物理学报, 59(7): 2703-2712, doi: 10.6038/cjg20160733.  
GUO J F, XIE R H, ZOU Y L. 2016. Simulation of NMR responses in sandstone and restricted diffusion. Chinese J. Geophys. (in Chinese), 59(7): 2703-2712, doi: 10.6038/cjg20160733.  
砂岩核磁共振响应模拟及受限扩散
郭江峰1,2 , 谢然红1,2 , 邹友龙1,2     
1. 油气资源与探测国家重点实验室, 中国石油大学(北京), 北京 102249;
2. 地球探测与信息技术北京市重点实验室, 中国石油大学(北京), 北京 102249
收稿日期 2015-06-24, 2016-06-07 收修定稿
基金项目: 国家自然科学基金(41272163)及高等学校博士学科点专项科研基金(20130007110012)资助.
作者简介: 郭江峰,男,1991年生,博士研究生,主要从事岩石物理及核磁共振测井方法研究.E-mail:jiangfeng_guo@163.com
通讯作者: 谢然红,女,1966年生,教授,主要从事岩石物理、核磁共振测井方法及测井储层评价等方面的研究及教学工作.E-mail:xieranhong@cup.edu.com
摘要: 本文运用随机游走方法模拟了砂岩储层中流体的核磁共振(NMR)响应及其受限扩散现象.通过改变数字岩心的分辨率模拟生成不同孔隙尺寸的砂岩,研究了不同孔隙尺寸砂岩饱含水时流体扩散系数随扩散时间的变化关系,同时模拟了砂岩饱和单相流体和两相流体的NMR响应;研究了流体的受限扩散系数与横向弛豫时间T2的关系,分析了表面弛豫率和胶结指数对润湿相流体受限扩散系数线位置的影响,并将其用于解释砂岩储层的D-T2分布.结果表明:孔隙流体的扩散系数会随扩散时间的增加而逐渐减小并趋于定值.随着岩石孔隙尺寸的减小,受限扩散现象越明显,受限扩散对岩石NMR响应的影响也越大.润湿相流体受限扩散系数线的位置受岩石胶结指数和表面弛豫率的影响较大.由于润湿相流体扩散系数减小,导致D-T2分布中润湿相流体信号偏离其自由扩散系数线,需要利用流体的受限扩散系数线准确识别D-T2分布中的润湿相流体.
关键词: 砂岩      NMR响应      随机游走方法      受限扩散      扩散系数线     
Simulation of NMR responses in sandstone and restricted diffusion
GUO Jiang-Feng1,2, XIE Ran-Hong1,2, ZOU You-Long1,2     
1. State Key Laboratory of Petroleum Resources and Prospecting, China University of Petroleum, Beijing 102249, China;
2. Key Laboratory of Earth Prospecting and Information Technology, China University of Petroleum, Beijing 102249, China
Abstract: Nuclear magnetic resonance (NMR) responses and restricted diffusion phenomenon of the fluids in sandstone were simulated by the Random-Walk method. Sandstone of different pore sizes was generated by changing digital cores' resolution, permitting to study how the fluid diffusion coefficient changes with time when the sandstone of different pore sizes were saturated with water, and to simulate the NMR responses of the either single or two phase fluids in the sandstone. Then the relationship between the fluid restricted diffusion coefficient and the T2 relaxation time was researched, and the influence on restricted diffusion phenomenon of wetting phase fluid posed by the surface relaxivity and cementation index of the sandstone was analyzed. Finally the analysis results were used to interpret the D-T2 distributions of the sandstone. It was concluded that the diffusion coefficient of fluid gradually decreases and tends to be constant with increase of diffusion time. The smaller pore size of the rock, the restricted diffusion phenomenon is more obvious, and the restricted diffusion has a greater influence on NMR responses. The position of the restricted diffusion coefficient line of wetting phase fluid is affected by the rock cementation index and surface relaxivity. The wetting phase fluid signal in the D-T2 distributions deviates from the unrestricted diffusion coefficient line due to the decreasing diffusion coefficient of the wetting phase fluid, hence the restricted diffusion coefficient line of fluid should be used to recognize the wetting phase fluid in D-T2 distributions..
Key words: Sandstone      NMR responses      Random-Walk method      Restricted diffusion      Diffusion coefficient line     
1 引言

随着石油工业的发展，勘探开发对象从常规储层逐渐转变为非常规储层，其中重要的一个特点是储层岩石的孔隙尺寸逐渐变小，其核磁共振(NMR)响应也会发生变化，研究不同孔隙尺寸岩石的NMR响应具有重要意义.近年发展的数字岩心技术为岩石的NMR响应研究提供了经济有效的解决途径.岩石NMR响应模拟可以采用随机游走方法(Toumelin et al.，2003，2004，2007;Jin et al.，2009;Talabi et al.，2009;蔡淑惠等，2009;肖立志等，2012;Alghamdi et al.，2013; 成家杰等，2013;邹友龙，2013;Tan et al.，2014)，有限元方法(Hagslätt et al.，2003)和有限差分方法(Zientara and Freed，1980)，而随机游走方法具有更高的灵活性且比较容易实现，最重要的是该方法能够适用于复杂的岩石孔隙结构，所以本文选用了随机游走方法模拟岩石的NMR响应.

岩石孔隙中的流体由于受到孔隙壁的影响，其扩散系数随扩散时间变化而变化(Valfouskaya et al.，2006;Luo et al.，2015;张宗富，2013)，具体表现为随着扩散时间的增加，扩散系数逐渐减小并趋于一个常数值.Minh等(2003) 定性地描述了受限扩散对D\|T2分布中水信号的影响，受限扩散使D\|T2分布中水信号向扩散系数减小的方向移动，此时水信号与油信号容易混淆，给D\|T2分布的解释带来困难.Zielinski等(2010) 研究了受限扩散对D\|T2分布计算碳酸盐岩饱和度的影响，根据计算的流体受限扩散系数线可以准确识别流体及获取流体的饱和度.Minh等(2012) 将该方法扩展应用于受限扩散更明显的页岩储层D\|T2分布中，可以准确识别页岩储层中的流体.

本文应用随机游走方法模拟砂岩的NMR响应，通过改变数字岩心分辨率来模拟不同孔隙尺寸的砂岩，并研究砂岩中流体扩散系数随扩散时间的变化，探究受限扩散和含水饱和度对砂岩NMR响应的影响.研究了流体的扩散系数与横向弛豫时间T2的变化关系，分析了影响因素，并验证了随机游走模拟得到的结果.本文的研究结果对非常规储层流体D\|T2分布解释有重要的指导意义.

2 NMR响应数值模拟基础 2.1 理论基础

在饱和流体介质中，磁化矢量的衰减遵循Bloch\|Torrey方程(Torrey，1956)

(1)

边界条件为

(2)

初始时刻的磁化矢量为

(3)

式中ρ为表面弛豫率，m(r，t)表示磁化矢量，γ为质子的旋磁比，Bz为静磁场，T2为横向弛豫时间， M(0) 是初始时刻总的磁化强度，VP是总的孔隙体积.

孔隙流体的横向弛豫时间T2由体弛豫时间、表面弛豫时间和扩散弛豫时间组成，且流体的体弛豫、表面弛豫和扩散弛豫都是同时发生的，也是彼此独立的(Talabi，2008).由此可知，流体NMR的弛豫信号强度M(t)随时间的变化关系为

(4)

式中MB(t)、MS(t)、MG(t)分别是t时刻的体弛豫信号强度、表面弛豫信号强度、扩散弛豫信号强度，M0是初始时刻总的弛豫信号强度.

随机游走方法通过模拟大量粒子的布朗运动求解方程(1) 来实现流体磁化强度衰减的模拟.由(4) 式可知，模拟NMR信号强度的衰减可以通过分别模拟体弛豫信号强度、表面弛豫信号强度和扩散弛豫信号强度的衰减来实现，其对应的方法步骤如图 1所示.

在随机游走方法模拟过程中，根据计算得到的粒子到最近颗粒表面的距离d与扩散半径r(r=的关系来选择游走模式，如果d＜3r，采用传统随机游走方法;如果d≥3r，则采用第一旅行时方法(Zheng and Chiew，1989).运用传统随机游走方法时，粒子扩散过程中可能会与颗粒表面发生碰撞，假设粒子碰撞之后被吸收的概率为δ，则粒子的表面弛豫信号强度以1-δ衰减(Toumelin，2006)，δ的计算公式为

(5)

没有被吸收的粒子将在界面上发生弹性碰撞，并保持相位和幅度的连续变化.从而整个数值模拟的过程中，表面弛豫信号的强度可以表示为

(6)

式中N(t)为t时刻没有被吸收的粒子总数，N(0) 是初始时刻的粒子总数.

经过归一化处理后，每个自旋的扩散弛豫信号可以由其相位的余弦计算得到，而Δt时间内质子自旋的相位偏移Φ可以由(7) 式计算得到

(7)

式中Normal()为高斯随机函数.为了符合CPMG(Carr\|Purcell\|Meiboom\|Gill)脉冲序列采集要求，当 t=(n+1/)TE时，相位发生反转，即Φ(t)=-Φ(t); 当t=nTE时，采集CPMG自旋回波信号.此时扩散弛豫信号强度是所有自旋散相的余弦和，即

(8)

2.2 方法验证

选取球形孔隙验证随机游走方法的有效性.首先构造球形孔隙，如图 2所示，正方体内部的球为孔隙流体部分，其余的为颗粒骨架.对于球形孔隙，磁化强度衰减可表达为

(9)

式中M0为初始磁化强度，设为1.假定孔隙半径r为2 μm，体弛豫时间T2B为3.0 s，表面弛豫率ρ为30 μm·s-1，磁场梯度G为0.3 T·m-1，TE为1 ms，流体扩散系数D为2.5×10-9 m2·s-1.由(9) 式计算得到的理论磁化强度衰减曲线和由随机游走方法模拟得到的磁化强度衰减曲线如图 3所示，可以看出结果一致性较好，验证了方法的有效性.

图 1 NMR随机游走方法流程图 Fig. 1 Flowchart of NMR random\|walk method
图 2 球形孔隙模型 Fig. 2 Sperical pore model
3 砂岩NMR响应数值模拟 3.1 单相流

本文所用的砂岩为英国帝国理工学院已公开的砂岩S，孔隙度为16.9%，分辨率为9.1 μm，体素为3003. 模拟时改变岩心的分辨率，数值分别为9.1 μm、0.91 μm和0.091 μm，这样可以在不改变孔隙度的情形下，改变岩心样品的孔隙尺寸.假设砂岩为水润湿，且孔隙中完全含水，其数字岩心模型如图 4a所示，黑色部分表示颗粒骨架，红色部分表示孔隙中的水;水的扩散系数为2.5×10-9 m2·s-1，体弛豫时间为3.0 s，砂岩的表面弛豫率ρ为30 μm·s-1.

图 3 球形孔隙中随机游走方法模拟的磁化强度衰减曲线与理论值的对比 Fig. 3 Comparison of magnetization decay curve in an sperical pore obtained from random\|walk simulation

在0.3 T·m-1的梯度场中，用随机游走方法模拟了不同分辨率下砂岩中水的扩散系数随扩散时间的变化，如图 5所示.从图中可以看出:(1) 随着扩散时间的增加，砂岩中水的扩散系数逐渐减小，并趋于定值，该定值随着分辨率的提高逐渐减小;(2)经过相同的扩散时间后，随着分辨率的提高(砂岩孔隙尺寸逐渐减小)，孔隙流体扩散系数逐渐减小，即受限扩散现象越明显.

图 4 砂岩数字岩心模型 (a)含水饱和度为100%的砂岩；(b)含水饱和度75%和含油饱和度25%的砂岩；(c)含水饱和度50%和含油饱和度50%的砂岩；(d)含水饱和度25%和含油饱和度75%的砂岩. Fig. 4 Digital core models of sandstone (a)Sandstone saturated with 100% water;(b)Sandstone saturated with 75% water and 25% oil;(c)Sandstone saturated with 50% water and 50% oil;(d)Sandstone saturated with 25% water and 75% oil.
图 5 砂岩中水的扩散系数随扩散时间的变化 Fig. 5 Changes of water diffusion coefficient with time in sandstone

用随机游走方法模拟了回波间隔TE=0.6 ms时不同分辨率情形下砂岩在0.3 T·m-1的梯度场下的CPMG自旋回波串，如图 6a所示，随着分辨率的提高，砂岩完全饱和水时回波串幅度衰减加快.利用奇异值分解法(Dunn and Latorraca，1999)分别对图 6a中的回波串反演得到各自的T2分布，如图 6b所示，随着分辨率的提高，砂岩完全饱和水时T2分布的峰值对应的T2值逐渐减小，说明砂岩孔隙尺寸越来越小.

用随机游走方法模拟回波间隔分别为0.6 ms、 1.2 ms、2.4 ms、4.8 ms、9.6 ms、12 ms、20 ms和40 ms 时不同分辨率情形下完全饱和水的砂岩在0.3 T·m-1 的梯度场下的CPMG自旋回波串，对应的回波个数NE=int(1200 ms/TE)，运用多回波串联合反演方法(谢然红等，2009)对8组回波串反演得到不同分辨 率下砂岩的D\|T2分布，如图 7所示，图中红色实线、蓝色实线、绿色实线分别代表气、水和油的自由扩散系数线(下文D\|T2分布中的线条含义也是如此).从图中可以看出，随着分辨率的提高，D\|T2分布中水信号逐渐偏离水的自由扩散系数线，且水信号对应的T2值逐渐减小，由于当砂岩孔隙尺寸逐渐减小时，水在孔隙中随机运动时受到岩石颗粒表面的影响越大，即受限扩散现象越来越明显，导致D\|T2分布中水信号向扩散系数减小方向移动.

3.2 两相流

不同含水饱和度的砂岩数字岩心模型如图 4所示，黑色部分表示骨架，红色部分表示孔隙中的水，蓝色部分表示孔隙中的油.设水的自由扩散系数为2.5×10-9m2·s-1，体弛豫时间为3.0 s;而油的自由扩散系数为1×10-10m2·s-1，体弛豫时间为0.2 s; 砂岩为水润湿，其表面弛豫率ρ=30 μm·s-1，分辨率取0.91 μm; 在0.3 T·m-1的梯度场中，设置回波间隔为0.6 ms、1.2 ms、2.4 ms、4.8 ms、9.6 ms、12 ms、 20 ms和40 ms，对应的回波个数NE=int(1200 ms/TE)，分别对不同含水饱和度砂岩采用随机游走方法模拟得到8组CPMG自旋回波串，运用多回波串联合反演方法得到其D\|T2分布，如图 8所示.从图中可以看出，随着含水饱和度的减小，D\|T2分布中水信号偏离水的自由扩散系数线越来越大;而油信号在油的自由扩散系数线上，其位置不受含油饱和度的影响.这是因为随着含水饱和度的减小，水所占据孔隙的表面积与体积比值越来越大，粒子运动过程中与岩石颗粒发生碰撞的概率越来越大，它们的运动方向更容易发生改变，导致受限扩散现象越来越明显;而油由于不接触岩石颗粒表面，所以不存在受限扩散现象.

图 6 砂岩完全饱和水时的(a)回波串及(b)T2分布 Fig. 6 Echo trains(a)and T2 distributions(b)of sandstone fully saturated with water
图 7 砂岩完全饱和水时的D\|T2分布 (a)分辨率为9.1 μm；(b)分辨率为0.91 μm；(c)分辨率为0.091 μm. Fig. 7 distributions of sandstone fully saturated with water (a)Resolution of 9.1 μm；(b)Resolution of 0.91 μm；(c)Resolution of 0.091 μm.
图 8 砂岩不同含水饱和度时D\|T2分布(分辨率为0.91 μm) (a)含水饱和度75%和含油饱和度25%的砂岩；(b)含水饱和度50%和含油饱和度50%的砂岩；(c)含水饱和度25%和含油饱和度75%的砂岩. Fig. 8 D\|T2 distributions of the sandstone with different water saturation(resolution of 0.91 μm) (a)Sandstone saturated with 75% water and 25% oil;(b)Sandstone saturated with 50% water and 50% oil; (c)Sandstone saturated with 25% water and 75% oil.
图 9 流体的受限扩散系数线分布特征 Fig. 9 Distribution features of fluid restricted diffusion coefficient lines
4 流体的受限扩散系数线 4.1 流体的受限扩散系数线特征

附录A推导出润湿相流体的扩散系数D随横向弛豫时间T2的变化关系.假设岩石饱含单相流体(气、水或油)时，且其润湿性随着饱含的单相流体变化而变化，根据(A) 分别在其D\|T2分布中绘出各自流体的受限扩散系数线，如图 9所示，图中红色、蓝色和绿色实线分别代表气、水和油的自由扩散系数线;红色和蓝色虚线分别代表气和水的受限扩散系数线;由于不同黏度的油对应不同的自由扩散系数和体弛豫时间，图中从上到下的三条绿色虚线分别代表 1 cp的轻质油(D0，oil=5×10-10m2·s-1，T2B，oil=1.0 s)、10 cp的中等黏度油(D0，oil=5× 10-11m2·s-1，T2B，oil=0.1 s)和100 cp的稠油(D0，oil=5×10-12m2·s-1，T2B，oil=0.01 s)的受限扩散系数线.可以看出，润湿相流体的受限扩散系数线在D\|T2分布中表现为:随着T2值的减小，流体受限扩散系数逐渐减小并趋于稳定，且不同流体的受限扩散系数线变化趋势一致.主要原因如下:在只考虑表面弛豫，忽略体弛豫和扩散弛豫时，岩石的表面弛豫率是一定的，这样T2值减小的原因只能是孔隙尺寸的减小.依据受限扩散的机理可知，随着孔隙尺寸的减小，自旋粒子扩散过程中与岩石颗粒发生碰撞的概率就会增大，从而导致单位时间步长内粒子随机运动方向被改变的概率增大，岩石孔隙中流体受限扩散现象会越明显，表现为受限扩散系数越来越小;当孔隙尺寸减小到一定程度时，在单位时间步长内粒子随机运动方向被改变的概率逐渐趋于1，此时岩石孔隙中流体的受限扩散系数不再减小，而趋于一个定值.不同类型流体作为润湿相在相同孔隙尺寸的孔隙中扩散机理是相同的，所以它们的扩散系数随T2的变化趋势也一致.

4.2 影响因素分析

流体受限扩散系数线的位置不是一成不变的，它与很多因素有关，例如岩石胶结指数和表面弛豫率等.下面具体讨论岩石胶结指数m和表面弛豫率ρ对水的受限扩散系数线的影响.图 10a中蓝色虚线和红色虚线分别代表m=2、ρ=3 μm·s-1及m=3、ρ=3 μm·s-1时水的受限扩散系数线，从图中可以看出，当T2较小时，胶结指数m对孔隙中润湿相流体(水)受限扩散系数线位置的影响占主导地位，且胶结指数m越大，受限扩散越显著，流体受限扩散系数线偏离自由扩散系数线越远.这是因为岩石胶结指数m越大，孔隙结构越复杂，孔隙网络弯曲度越大，粒子扩散过程中与岩石颗粒发生碰撞的概率就会越大，岩石孔隙中流体受限扩散就会越明显.图 10b中绿色虚线和蓝色虚线分别代表m=2、ρ=30 μm·s-1及m=2、ρ= 3 μm·s-1时水的受限扩散系数线，从图中可以看出，当胶结指数m一定时，即岩石孔隙结构一定，随着T2的逐渐增加，岩石表面弛豫率ρ不同，孔隙中润湿相流体(水)受限扩散系数线的位置不同，表现为表面弛豫率ρ越小，水的受限扩散系数线偏离自由扩散系数线越远.

图 10 水的受限扩散系数线影响因素分析 (a)胶结指数；(b)表面弛豫率. Fig. 10 Analysis on influencing factors for water restricted diffusion coefficient line (a)Cementation index；(b)Surface relaxivity.
图 11 砂岩D\|T2分布中水信号的识别 (a)含水饱和度为100%的砂岩；(b)含水饱和度为75%和含油饱和度25%的砂岩；(c)含水饱和度为50%和含油饱和度50%的砂岩；(d)含水饱和度25%和含油饱和度75%的砂岩. Fig. 11 Water signal identification in D\|T2 distributions of sandstone (a)Sandstone saturated with 100% water;(b)Sandstone saturated with 75% water and 25% oil;(c)Sandstone saturated with 50% water and 50% oil;(d)Sandstone saturated with 25% water and 75% oil.
4.3 砂岩D\|T2分布中水信号的识别

由第3节亲水砂岩的模拟结果可知，当砂岩孔隙尺寸较小时，水的受限扩散使D\|T2分布中水信号的位置向扩散系数减小的方向移动，随含水饱和度的减小，D\|T2分布中水信号偏离水的自由扩散系数线越来越大，此时依据水的自由扩散系数线识别水信号变得困难，下面研究依据水的受限扩散系数线来识别水信号.亲水砂岩有效表面弛豫率ρeff随含水饱和度的改变而变化，通过(A) 计算出不同含水饱和度时该砂岩的有效表面弛豫率，如表 1所示，随含水饱和度的减小，有效表面弛豫率ρeff逐渐减小.通过(A) 计算分辨率为0.91 μm的砂岩不同含水饱和度时的受限扩散系数线，如图 11所示，蓝色虚线代表水的受限扩散系数线，可以看出，随着含水饱和度的减小，蓝色虚线在D轴上的截距越来越小，即受限扩散现象越来越明显;D\|T2分布中水信号落在蓝色虚线上，说明依据水的受限扩散系数线可以准确识别水信号.

表 1 不同含水饱和度砂岩的有效表面弛豫率 Table 1 Effective surface relaxivity of sandstone with different water saturation
5 结论

(1) 通过改变岩心分辨率模拟生成不同孔隙尺寸的砂岩，随着砂岩孔隙尺寸逐渐变小，砂岩中润湿相流体受限扩散现象越明显，其扩散系数随扩散时间的增加逐渐减小并趋于定值，该定值随着孔隙尺寸的减小而减小.

(2) 当砂岩饱含单相流体时，随孔隙尺寸的减小，其T2分布峰值逐渐向短弛豫时间方向移动，其D\|T2分布中流体信号向扩散系数减小方向以及短弛豫时间方向移动;当砂岩含有两相流体时，随润湿相流体饱和度的减小，润湿相流体受限扩散越来越明显，D\|T2分布中润湿相流体信号逐渐偏离自由扩散系数线，非润湿相流体信号的位置不变.

(3) 岩石胶结指数和表面弛豫率都影响D\|T2分布中润湿相流体受限扩散系数线的位置.当T2较小时，胶结指数对润湿相流体受限扩散系数线位置的影响占主导地位，胶结指数越大，受限扩散越明显，即润湿相流体受限扩散系数线偏离自由扩散系数线越远;当岩石胶结指数一定时，随着T2的逐渐增大，表面弛豫率对润湿相流体受限扩散系数线位置的影响表现为:表面弛豫率越小，流体受限扩散系数线偏离自由扩散系数线越远.

(4) 受限扩散使D\|T2分布中润湿相流体信号偏离其自由扩散流体线，需要利用润湿相流体的受限扩散系数线准确识别D\|T2分布中的润湿相流体.

附录A 流体受限扩散系数线推导

流体在无限介质中扩散为随机的布朗运动，其均方根位移由爱因斯坦方程(Einstein，1956)决定，为

(A1)

式中r(t)是任意t时刻粒子的位置，r(0)是初始时刻粒子的位置，D0为粒子的自由扩散系数.

岩石孔隙中的流体由于受到孔隙壁的影响，流体中粒子的运动表现为受限扩散，孔隙中的流体扩散系数随着扩散时间变化而变化，其在三维空间中的扩散系数表达式(Mitra et al.，1992)为

(A2)

当孔隙中的流体在t时间内扩散距离小于孔隙半径，即扩散时间t较小时，其扩散系数表达式(Mitra et al.，1993)为

(A3)

式中S/V是孔隙的表面积与体积的比值，当孔隙中存在多种流体时，S和V分别是各自流体的表面积与体积.

当孔隙中的流体在t时间内扩散距离大于孔隙半径，即扩散时间t较大时，其扩散系数趋于孔隙的曲折度，即

(A4)

式中，Φ是孔隙度，m是胶结指数，τ是曲折度.

根据Padé近似(Hürlimann et al.，1994)可将以上两种情况综合表示为

(A5)

式中是介质的非均质性参数.

岩石孔隙中的流体横向弛豫过程受体弛豫、表面弛豫和扩散弛豫三种机理的作用，孔隙流体的横向弛豫时间T2可表示为

(A6)

式中ρeff指有效的表面弛豫率，在只含润湿相流体时，ρeff=ρ;当饱含两种流体时，

(A7)

式中Sg，1是润湿相流体与岩石颗粒表面的接触面积，S1，2是润湿相流体与非润湿相流体的接触面积.

当岩石孔隙尺寸较小时，流体服从快扩散，主要受到表面弛豫的影响，其体弛豫和扩散弛豫项可以忽略，故(A) 可写为 ，此时

(A8)

将式(A4) 和式(A8) 代入式(A5) 中，并用T2取代t，可以得到润湿相流体的扩散系数随横向弛豫时间T2的变化关系为

(A9)

式中是有效的回波间隔时间，对于CPMG脉冲序列而言，TD≈〈TE〉2，TE为回波间隔，〈〉表示均方根的平均.是介质的非均质性参数，通常LM»LD.

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