近年来，利用井中声源探测井外地质构造的远探测技术获得了长足的进展(Tang et al.，2007; Coates et al.，2000; Li et al.，2002; 薛梅，2002; 乔文孝等，2004)，并取得了较好的应用效果(唐晓明和魏周拓，2012a; 庄春喜等，2014).在远探测测井中常用的声源有单极(Hornby，1989; Meredith，1990; Haldorsen et al.，2010)，偶极(Tang and Patterson，2009; Tang et al.，2014; 唐晓明和魏周拓，2012b; 曹景记等，2014)，聚焦辐射的相控声源(车小花和乔文孝，2004)，另外，有人还提出了采用四极子声源(Geerits et al.，2009).不同声源的振动方式不同，它们表现出来的声学特性也不一样.目前，人们对井中单极和偶极声源的辐射指向性(Meredith，1990; 曹景记等，2014)已开展了相关研究，但对它们辐射效率的分析与比较尚未有报道.

源的辐射问题在电磁学中已有详尽的研究(如天线辐射)，常采用辐射能流密度和辐射功率(能流密度沿辐射面的积分)(郭硕鸿，2008)等物理量来表征它的辐射性能.与无界空间的源辐射(如上述的电磁辐射)不同的是，声源在向地层辐射弹性波的同时，还在井中产生导波，导波的激发和传播将消耗声源的大部分能量，使得声源的性能和功耗均受到较大的影响，而对依赖于电池提供能量的随钻声源来讲更是如此.因此，研究各种声源的辐射性能对远探测仪器的研制具有指导意义.

在研究井中低频单极声源的辐射问题中，Winbow(1991)引入了“辐射效率”的概念，其具体定义为声源向井外的辐射能流与沿井传播的导波能流之比，它体现了声源的辐射性能，其值越大，弹性波越容易从井中辐射到地层中去.本文将辐射效率的计算推广到充液井中单极、偶极和四极子声源的情况中，计算了声源激发的沿井传播的导波能流、井外地层辐射波能流以及辐射效率，分析了它们随频率的变化规律，优选出了这些声源的激发频段.本文的工作对井中辐射声源的研发具有理论意义和参考价值.

为了考察声源的辐射效率，需要推导声源激发的沿井轴传播的导波和辐射到地层中的弹性波的能流密度.推导采用了图 1所示的坐标系.声源置于坐标原点，井孔半径为a，r和z分别是辐射场点的径向和轴向距离；θ为声源到场点的辐射方向与z轴正方向之间的夹角；Φ为辐射方向与z轴所在竖直 平面的方位与x轴正方向之间的夹角；R是声源到场点的辐射距离.

图 1

Fig. 1

图 1 声源激发的充液井孔内外声场采用图示的坐标系描述 Fig. 1 coordinate system is used to analyze the wavefield of a source inside and outside the borehole

无界弹性空间中的充液井筒属于开波导(张海澜等，2004)，声源激发的导波声场在井内、外均有分布.因此，沿井传播的导波能流密度包括了井内流 体和井外地层两部分的贡献，分别用E_f和E_fm表示，导波能流的构成因声源类型不同而有所差异.对于偶极或四极子而言，在所关心的声源工作频域(< 10 kHz)内，声源仅仅激发了最低阶的弯曲波或螺旋波，对于多极子导波而言，尽管导波能流密度的计算包括了波在轴向、径向和环向三个方向上的应力和速度分量，但其能流的方向仅为井轴z的方向.与多极子不同的是，单极声源除了激发斯通利波之外，在频率较高时还会产生伪瑞利波，此时，沿井传播的能流包含了两种振型的贡献.综上所述，将单极和多极导波沿井轴z-方向传播的能流密度表示如下：

圆柱坐标系中，多极子声场位移势函数在频率-波数域内可以表示为(唐晓明和郑传汉，2004)：

由位移势函数得到径向、环向和轴向的位移表达式如下(唐晓明和郑传汉，2004)：

为求流体中的能流密度，运用压力-位移势函数关系P_f=ρ_fω²Φ_f和速度-位移关系式V_fz=iωu_fz，得到流体压力P_f和质点轴向速度V_fz的表达式：

为求井外地层导波的能流密度，首先将(3)式中各位移分量乘以iω因子得到质点速度V_r、V_Φ和V_z，然后，把位移分量代入到应变-位移关系式，利用胡克定律得到应力分量(唐晓明和郑传汉，2004)：

上述表达式中声场在井内、外的振幅系数(见(2)式)由下面的矩阵方程决定(矩阵元素及推导参见唐晓明和郑传汉，2004)：

以上得到的应力和速度是波数k域中的表达式，将它们沿波数的实轴积分后得到频域内的响应谱.对于井中导波而言，该积分值等于(9)式确定的导波极点留数的贡献.以P_f(ω，k)为例，利用留数定理得到它的频域响应函数：

在远探测测井中，声源到场点的辐射距离远大于弹性波波长，满足远场近似的条件.多极子声源辐射纵波、SH横波和SV横波位移的远场渐近解如(12)式(Tang et al.，2014)：

与沿井传播的导波的情况不同，声源辐射到无限大地层中的弹性波以球面波的形式向外传播.半径为R的球面上一面元上的能流密度表达式为：

将(12)式中的各位移分量乘以iω因子可得到速度v_R、v_Φ和v_θ.再利用球坐标系下位移-应变关系(程昌钧和朱媛媛，2005)和胡克定律进一步得到地层应力σ_RR、σ_RΦ和σ_Rθ的表达式：

表 1给出了计算所用的井内流体和地层的弹性参数，其中地层1、2和3分别表示常见的灰岩、砂岩和泥岩地层(Q_p和Q_s的默认值为100).根据以上 多极声源导波和辐射波能流的计算公式，本文首先计算了砂岩地层中单极、偶极和四极等不同类型声源辐射的频率特性和辐射效率；其次，以偶极声源为 例，考察了三种不同岩性地层对声源辐射效率的影响.

表 1(Table 1)

表 1 模型计算参数 Table 1 Model calculation parameters 参数 纵波速度/(m·s -1) 横波速度/(m·s -1) 密度/(kg·m -3) 品质因子 Q p或 Q s 半径/m 井内流体 1500 — 1000 50 0.1 地层1 5400 2900 2700 100 地层2 4000 2300 2500 50/80/100 地层3 3500 1900 2500 100 声源半径 0.01

表 1 模型计算参数 Table 1 Model calculation parameters

图 2是砂岩地层条件下单极、偶极和四极声源在充液井中产生的斯通利波、伪瑞利波、弯曲波以及螺旋波的频散曲线.其中实线表示导波的相速度，虚线表示导波的群速度.单极斯通利波在整个频段都存在，其相速度和群速度大小相近，都略低于流体速度.而对于单极伪瑞利波，其相速度和群速度差异相对较大，低频时二者趋于地层横波速度，高频时二者速度与流体速度相近.与斯通利波有所不同，当频率小于7.5 kHz时，井中不存在伪瑞利波，表明了该模式波存在截止频率，只有在截止频率以上，单极声源才能够激发伪瑞利波.另外，偶极弯曲波和四极螺旋波的频散特征与单极伪瑞利波的情况相似，所不同的是三者的截止频率不一样，偶极弯曲波截止频 率为2.5 kHz左右，四极螺旋波的截止频率在6.0 kHz 左右.因此，下文只给出了截止频率之上的导波能流和声源辐射效率.

图 2

Fig. 2

图 2 砂岩地层条件下，不同声源激发的井中导波的频散曲线Fig. 2 Dispersion curves of monopole, dipole, and quadrupole guided waves along a borehole for the sandstone formation

单极子声源除了激发斯通利波之外，还会产生伪瑞利波，沿井轴传播的导波能流包括了这两种振型的贡献.图 3a和3b分别给出了砂岩地层条件下斯通利波和伪瑞利波能流的频率变化特征.能流的单位是声源的单位发射功率，它正比于式(7)定义的声源强度的平方.对于不同类型的声源而言，声源发射功率大小不同，我们用单位声源功率来分别刻度单极、偶极和四极声源产生的能流.斯通利波能流变 化很大，故采用了对数坐标，纵坐标表示斯通利波能流大小，横坐标表示声源频率.从图中可以看出，斯通利波的能流随着频率的增加急剧下降，但低频(几十到几百赫兹)时的能流非常大，这说明了低频时井中声波或地震波测量常常出现振幅很强的筒波(tube wave，即低频斯通利波)的原因.图 3b中只给出了最低阶伪瑞利波的能流大小，这是因为在所关心的单极声源工作频域(< 15 kHz)内，仅仅激发了最低阶的伪瑞利波.随着频率增加，伪瑞利波的能流总体呈现先增大，达到最大值后逐渐减小的变化趋势，能流最大值对应的声源频率在13 kHz附近.结合图 3a和3b可知，声源频率较低时，沿井轴传播的导波的能流完全由斯通利波所控制.

图 3

Fig. 3

图 3 砂岩地层条件下，单极声源激发的沿井传播的斯通利波(a)和伪瑞利波(b)的能流Fig. 3 Energy flux of Stoneley (a) and pseudo-Rayleigh (b) waves along the borehole for the sandstone formation

远探测测井利用了声源辐射到地层中的弹性波经地质体反射后被井中接收器探测到的反射波进行成像测井，因此研究声源的辐射能流及其变化特征十分重要.对单极子而言，声源除了激发沿井传播的斯通利波和伪瑞利波之外，还有部分弹性波从井中辐射到地层中.本文利用公式(13)分别计算了单极辐射P波和SV横波的能流，如图 4所示，其中，实线和虚线分别表示P波和SV波的辐射能流.由图可知，随着频率增加，P波和SV波辐射能流变化趋势一致：先增大达到最大值后逐渐减小.但二者的最大值和极值频率(能流最大值对应的声源频率)有所不同，与SV波相比，P波辐射能流的最大值有所增加，而极值频率略微降低.单极纵波远探测测井常采用频率上万赫兹的声源(柴细元等，2009)，图 4的结果也说明在此频段附近辐射的P波能量最大.

图 4

Fig. 4

图 4 砂岩地层条件下，单极声源辐射到地层中的P波和SV横波的能流Fig. 4 Energy flux of P- and SV- wave radiated by a monopole source for the sandstone formation

将单极声源的辐射能流和沿井传播的导波能流做一比较，以考察单极子声源的辐射效率.图 5给出了单极P波和SV波辐射效率随频率变化的规律，其中，实线和虚线分别代表P波和SV波的辐射效率.从图中可以看出，声源频率为9 kHz左右时，二者的辐射效率均达到最大值，此时声源辐射到地层中的P波和SV波的能量约为沿井传播的导波能量的一半.与SV波相比，P波的最大辐射效率有所升 高，但没有量级上的差别.另外，辐射效率在7.5 kHz 出现的一个小谷值对应着伪瑞利波的出现.结合图 5辐射效率和图 4辐射能流可知，当频率为9~10 kHz 时，不仅声源辐射效率最高，而且声源辐射到地层中弹性波的能流也最大，表明了单极子声源的优势激发频率在上万赫兹左右.但是，这么高频率的辐射波在地层中衰减很快，所以穿透深度有限.若将频率降到低频段，辐射效率又很低，因为声源产生的能量主要化为斯通利波沿井轴流失.Winbow(1991)的计算结果表明在数百赫兹的频率范围内单极声源的辐射效率仅为10^－4的量级，我们的结果与之相符.图 5的结果表明：将单极声源作为低频辐射器，其效率是十分低下的.

图 5

Fig. 5

图 5 砂岩地层条件下，单极P波和SV横波辐射效率随频率的变化规律Fig. 5 P-and SV-wave radiation efficiency of a monopole source and its variation with frequency for the sandstone formation

已有的反射声波测井仪器的声源采用了相控线阵声源(柴细元等，2009)，它是多个点源的叠加，根据多极分解原理，其辐射声场包含了单、偶、四极乃至高阶多极的成分，每一成分的贡献大小由源的构造决定，这与理想单极子点声源的情况有所不同，但本文方法可以分析上述多极成分对相控线阵声源辐射声场的贡献.

图 6是砂岩地层条件下偶极弯曲波沿井传播的能流随频率的变化曲线，它与单极伪瑞利波相似，随着频率增加，能流先增大后减小，在5 kHz左右达到最大值.由于偶极声源具有环向变化，声源辐射到地层中的弹性波包括了纵波、SH和SV横波三种类型，图 7给出了P波、SH和SV横波的辐射能流.与SV波相比，P波的辐射能流有所降低，而SH横波的辐射能流明显升高，这与三者的辐射指向特性有关(曹景记等，2014).上述结果表明了在快速地层偶极远探测测井中SH横波的成分占据了主导地位.相比而言，地层纵波的辐射则可以忽略不计.

图 6

Fig. 6

图 6 砂岩地层条件下，偶极声源激发的沿井传播的弯曲波的能流Fig. 6 Energy flux of flexural wave along the borehole for the sandstone formation

图 7

Fig. 7

图 7 砂岩地层条件下，偶极声源辐射到地层中的P波、SH横波和SV横波的能流Fig. 7 P-, SH- and SV-wave energy flux radiated by a dipole source for the sandstone formation

图 8给出了弯曲波截止频率以上的P波、SH和SV横波的辐射效率.由图可知，各弹性波的辐射效率随着频率的增加总体先增大，达到最大值后再逐渐减小，这与单极声源的情况相似.SH横波的辐射效率远高于P波和SV横波的辐射效率，声源总的辐射效率大部分来自SH横波的贡献.另外，图中细实线(Q_p/Q_s=50)、中实线(Q_p/Q_s=80)和粗实线(Q_p/Q_s=100)给出了不同衰减下砂岩地层中SH横波的辐射效率.从图中可以看出，地层衰减越大，声源的辐射效率越低.但三种不同地层衰减下SH横波的辐射效率随频率的变化规律大致相同：随着频率增加，SH横波辐射效率先增大，在4 kHz左右达到最大值后逐渐减小.对比图 8和图 5可知，偶极极值频率为4 kHz左右，较单极上万赫兹的极值频率明显降低；偶极声源的最大辐射效率约为0.9，较单 极0.6的最大辐射效率有所增加.另外，在低于5 kHz 的频率范围内，偶极声源的辐射效率远大于单极声源，而这个频段又正是常规偶极声波仪器进行远探测测井的工作频带.图 8的结果表明了偶极声源作为低频远探测声源要优于单极声源.

图 8

Fig. 8

图 8 砂岩地层条件下，偶极P波、SH横波、SV横波辐射效率随频率的变化规律Fig. 8P-, SH- and SV-wave radiation efficiency of a dipole source and its variation with frequency for the sandstone formation

值得指出的是，在截止频率以下的低频区域内，井中不存在弯曲波形式的导波，沿井传播的波与向井外辐射的波能量相当，都可以由(12)式描述.正因为如此，人们提出了在弯曲波截止频率以下进行横 波远探测的方法(唐晓明等，2012; 魏周拓等，2013).

迄今为止，远探测测井中采用的是单极和偶极子声源，尚未使用四极子声源.然而，Geerits等(2009)提出了利用四极子进行声波远探测测井的方法，但相关理论研究较少.因此，研究四极子声源的辐射性能具有一定的理论意义.本文利用(1)式计算了砂岩地层条件下四极子声源激发的沿井传播的螺旋波的能流，如图 9所示.从图中可以看出，对表 1的模型参数螺旋波的截止频率为6 kHz，最大能流对应的极值频率约为9 kHz.图 10是四极子声源辐射到地层中的P波、SH和SV横波能流.其中，SH横波能流远大于P波能流，且二者之间的差异较偶极的情况更加明显，与P波能流相比，SV横波能流虽然有所增大，但远小于SH横波能流，上述结果从理论上说明了四极子远探测测井中SH横波仍然占据了主导地位.

图 9

Fig. 9

图 9 砂岩地层条件下，四极声源激发的沿井传播的螺旋波的能流Fig. 9 Energy flux of spiral wave along the borehole for the sandstone formation

图 10

Fig. 10

图 10 砂岩地层条件下，四极声源辐射到地层中的P波、SH横波和SV横波的能流Fig. 10 P-, SH- and SV-wave energy flux radiated by a quadrupole source for the sandstone formation

为了进一步分析四极子声源的辐射性能，图 11给出了不同频率下P波、SH横波和SV横波的辐射效率.其中，SH横波的辐射效率最大，P波和SV横 波的辐射效率大小相近，远小于SH横波.与单偶极的情况相比，四极子的辐射效率略有升高，最大总辐射效率对应的极值频率介于单极和偶极声源之间.图 10和图 11的计算结果从理论上表明：若将四极子声源引入到远探测测井中，声源采用的激发频率应控制在7~8 kHz左右为宜，此时，可利用声源辐射到地层中的SH横波进行反射成像.

图 11

Fig. 11

图 11 砂岩地层条件下，四极P波、SH横波和SV横波辐射效率随频率的变化规律Fig. 11 P-, SH- and SV-wave radiation efficiency variation with frequency for the sandstone formation

在截止频率以下，不存在四极螺旋波，沿井传播的波与向井外辐射的波能量相当，这与偶极的情况相似，不再赘述.

为了考察不同岩性对声源辐射效率的影响，本文以偶极子声源为例，分别计算了不同频率下砂岩、灰岩和泥岩地层中偶极P波、SH横波和SV横波的辐射效率，如图 8、12a和12b所示.从图中可以看出，随着地层速度变慢，声源辐射效率所跨频段变宽.在上述三种不同的岩性地层中，声源辐射效率都随频率的增加先增大，在4 kHz左右达到最大值后逐渐减小，且最大辐射效率大小相近，这表明了灰岩、砂岩和泥岩地层中声源辐射性能随激发频率的变化规律是相似的.

图 12

Fig. 12

图 12 灰岩(a)和泥岩(b)地层条件下，偶极P波、SH横波、SV横波辐射效率随频率的变化规律Fig. 12 P-, SH-, and SV- wave radiation efficiency of a dipole source and its variation with frequency for the limestone (a) and mudstone (b) formations

本文对充液井中多极子声源激发的沿井传播的导波能流和辐射到地层中的纵横波能流及其频率变化特征进行了详细的讨论，提出了用辐射能流与导波能流之比的辐射效率来评价声源辐射效能的方法，得到以下几点认识：

(1)单极声源最佳辐射能流和最大辐射效率约在9 kHz左右，而对于偶极声源，最佳辐射频段应在5 kHz以下或更低，四极子声源的最佳辐射频段在8 kHz以下，介于两者之间，本文的结果为井中多极子辐射器的设计提供了理论依据.

(2)井中声源产生的部分声能以导波的形式沿井筒流失，因此，避免或减少井中导波的激发是提高辐射效率的有效途径.

(3)由于低频斯通利波极易激发且沿井的能流很大，将单极子声源用作低频辐射器，其辐射效率将非常得低，相比而言，偶极声源在低频段内的辐射效率远大于单极声源，表明了偶极声源作为低频远探测声源要优于单极声源.