1 引 言

在目前的工业生产中，主流的地震成像技术是基于一次波的反射能量.地震处理的一个基本假设是：反射数据体只是由一次波所组成的(渥·伊尔马滋，1994).没有被压制的多次波会被错误地认为是一次波或者混合在一次波中的一部分.由于海水表面是一个强反射界面，多次波问题在海洋地震勘探资料处理中更为严重.

目前，主流的多次波压制技术可以分为两大类(Weglein，1999)：第一类是基于信号分析的滤波方法，它通过寻找一次波和多次波之间的差别来进行多次波压制；第二类是基于波动方程的预测减去法，它利用给定类型多次波产生的波场理论，设法求得准确的多次波模型，随后将多次波模型从原始数据中减去，从而达到压制多次波的目的.

SRME(Surface Related Multiple Elimination)是一种基于波动理论的完全数据驱动的表面多次波压制方法(Verschuur et al.，1992，Berkhout and Verschuur，1997).相对于基于波动理论的模型驱动的压制海底多次波方法(Stork et al.，2006; Weisser et al.，2006)，SRME具有不需要任何近地表和地下地质信息以及可预测所有类型自由表面多次波的优点.和基于信号分析的滤波类压制多次波方法相比，SRME可压制复杂海底和复杂地下构造所产生的复杂形态的多次波，尤其是近炮检距范围内的多次波.目前，二维SRME已经是工业生产中成熟的主流技术.但是二维SRME在处理实际的三维海洋资料时遇到了一些困难.首先，由于二维SRME算法没有考虑横测线方向上多次波的贡献，从而导致在处理三维资料时存在比较大的误差；其次，目前实际采集的三维海洋资料的观测系统存在拖揽漂移，而且横测线方向采样过于稀疏，不能满足三维SRME算法的前提要求.

针对横测线方向采样过于稀疏对于多次波预测的不利影响，Biersteker(2001)提出在原始数据域进行内插以便构建无假频求和所需的数据；Sun(1999)通过先进行多次波的预测，而后插值来得到三维表面多次波的预测结果.但是数据内插也就意味着数据量的增加，在海洋三维资料处理中这种数据量的增加就更为庞大.Dedem和Verschuur(2002)提出一种利用稀疏反演的方法直接对横测线方向采样稀疏的多次波贡献道集进行多次波预测.但是他们的方法希望相邻航线之间有着一定的重叠，以便在横测线方向上得到足够的多次波贡献道.Van Borselen等(2004)提出通过缩小航线间距的方法来得到足够的多次波贡献道.

针对这种实际三维海洋资料与SRME算法之间的矛盾，本文提出了一种使用数据规则化配合稀疏反演来预测三维实际海洋地震资料中表面多次波的方法.本文通过空间位置最小二乘拟合映射和迭代抛物线Radon变换插值技术，实现了数据规则化与反规则化技术，将实际野外采集数据转换为符合三维SRME前提要求的数据；通过研究顶点移动的双曲Radon变换算法，实现了基于稀疏反演的三维表面多次波预测算法，有效解决了横测线方向采样稀疏对于多次波预测的影响，完成了对于三维资料的表面多次波预测.

本文提出的方法无需在原始数据域内插，也不需要对相邻航线间距进行假设，因此更加适合于实际的三维海洋地震资料处理.通过对三维实际海洋资料中表面多次波的压制，验证了本文所提出方法的有效性和可行性.通过与二维SRME处理效果的对比，本文所提出方法对于多次波的预测更加准确，对于多次波的压制效果也更加明显.

2 三维SRME的基本原理

Berkhout和Verschuur(1997)阐述了SRME方法的基本原理.在空间频率域，迭代形式的表面多次波压制可以表示为

由式(1)可以看出，表面多次波的压制可以由迭代的两步来实现：首先用包含多次波的地震数据 P和前一次迭代所估算出的无多次波数据 P₀⁽ⁱ⁾ 进行褶积来得到新预测的多次波模型，然后使用一个匹配算子 A⁽ⁱ⁺¹⁾ 将预测的多次波模型从原始数据中减去.

在二维情况下，表面多次波的预测过程可以写成离散表达式为

将式(2)推广到三维情况后，三维表面多次波的预测公式可以写为

其中(x_s，y_s)和(x_r，y_r)分别代表炮点和接收点的坐标.

由式(3)可以看出，三维情况下表面多次波预测可以分成两步来进行，首先在纵测线方向上对相应的共接收点道集和共炮点道集进行褶积形成多次波贡献点道集M_xy⁽ⁱ⁾，然后对多次波贡献点道集M_xy⁽ⁱ⁾进行求和，即：

其中(x_k，y_k)表示进行褶积的多次波贡献点的坐标.

经过纵测线方向的褶积求和以后，就得到了横测线方向上的多次波贡献点道集 M_y⁽ⁱ⁾，再对横测线方向上的多次波贡献点道集M_y⁽ⁱ⁾沿横测线方向进行求和，就可以得到在(x_s，y_s)处激发并在(x_r，y_r)处接收的三维表面多次波.公式为

采用这种方式所预测出的表面多次波模型和原始数据中实际存在的多次波相比，存在着一定的振幅、相位的差别，在后续的处理步骤中需要采用自适应的方式将所预测的多次波模型进行匹配后再从原始数据中减去.

3 数据规则化与反规则化

三维SRME方法是数据驱动的，在预测过程中无需有关地下结构的信息.但是这种优点同时也带来了一些限制.由式(3)所表示的三维表面多次波预测公式可以看出，三维表面多次波是由一个三维共炮点道集和一个三维共接收点道集在空间域的二维褶积而得出的.该处理隐含了激发点和接收点在空间是密集均匀采样的要求.

但是在实际的海洋资料采集中，由于海浪、风、潮汐等因素的影响，导致采集数据存在炮点位置偏移和接收拖缆的羽角漂移，另外海洋地震勘探中普遍存在着近炮检距数据缺失.这些情况使得实际采集到的资料不能满足三维SRME对于多次波预测的前提条件.因此如果要将三维SRME应用到实际的三维海洋地震资料中，就需要先对实际地震资料进行规则化预处理，以得到符合三维SRME前提要求的数据.

本文提出了一种通过三维数据规则化和迭代抛物Radon变换来得到满足三维SRME前提要求数据的方法.首先通过对原始观测系统进行统计，使用最小二乘法拟合出各航线的规则方向，并根据给定的理论观测系统参数生成符合三维SRME要求的规则化观测系统信息.然后对原始观测系统的地震数据的坐标信息和规则化观测系统中的地震数据的坐标信息进行统计，并拟合出两个观测系统之间的互相映射关系，然后在规则化观测系统下的所有检波点的位置处生成零值道.

由于CMP道集的同相轴在经过动校正后近似为抛物线，使用抛物Radon变换可以很好地描述CMP道集中的非线性同相轴.通过迭代使用正逆抛物Radon变换，可以较好地重建缺失的地震道(Darche，1990).因此根据两个观测系统之间的互相映射关系，采用迭代抛物Radon正反变换的方法就可以从原始观测系统的数据重建出规则化观测系统下的地震道.三维SRME数据规则化的处理流程为：

(1)根据原始数据统计原始观测系统信息.

(2)根据原始观测系统信息和输入参数统计规则化观测系统信息和两个观测系统之间的互相映射关系.

(3)生成规则化观测系统下的地震道，对规则化观测系统范围内的原始数据进行动校正.

(4)选择合适的曲率参数，根据抛物Radon正变换公式对数据进行最小平方带限变换.

(5)根据抛物Radong逆变换公式进行逆变换，数据中的零值道被部分重建.

(6)用部分重建的道代替数据中的零值道，重复步骤(4)和(5)，经过一定的迭代次数后，就可得到较好重建效果的道.

(7)对重建后的数据进行反动校正，就可以得到规则观测系统下的数据.

图 1是数据规则化前后的接收点位置分布图，可以看到，经过数据规则化处理后，数据在空间上已经是均匀分布了.

图 2是迭代抛物Radon变换重建前后的道集，可以看出，缺失位置处的零值道被很好地重建出来.

在利用规则化后的数据预测出三维表面多次波以后，再利用同样的原理，将预测出的多次波从规则化观测系统上反规则化回到原始观测系统上，并进行迭代抛物Radon重建，就可以得到原始观测系统上的预测多次波数据，最终将多次波从原始数据中减去，就可以实现对于三维实际拖揽资料中表面多次波的压制.

这种利用数据规则化、地震道重建、多次波预测、数据反规则化来进行三维表面多次波预测的一个关键之处是数据规则化和地震道重建的精度.为了验证这个方法的精度，我们采用对原始数据进行数据规则化、地震道重建后直接将重建的数据反规则化回原始观测系统，然后与原始数据进行对比.图 3a是原始单炮，图 3b是经过数据规则化和反规则化后数据与原始单炮的差.可以看出，经过数据规则化和反规则化后的数据与原始单炮相比，存在着一些误差，但是这些误差是比较小的，而且由于实际处理流程是对预测的多次波模型进行反规则化，这些误差可以通过后续的自适应相减来消除.

4 三维稀疏反演多次波预测

数据规则化处理能够使实际采集的数据符合三维SRME前提.但是在实际的海洋资料采集中，由于施工成本的限制，拖揽间距与接收点间距相比非常稀疏，一般都在100 m以上，这就导致经过纵测线方向褶积求和后形成的横测线方向上的多次波贡献道集非常稀疏，如果直接在横测线方向进行求和，则预测出的多次波会带有假频，而且振幅失真.如图 4所示.

对于这种横测线方向稀疏采样的多次波贡献道集，需要找到一种方法能够取代式(5)中的求和.Dedem和Verschuur(2002)已经证明，经过纵测线方向求和后所得到的横测线方向多次波贡献道集中的同相轴具有双曲动校时差，而且双曲线的顶点并不固定位于道集中点，而是有可能位于横测线方向的任何位置.因此，本文研究了通过顶点偏移的双曲Radon变换对多次波贡献道集进行变换，然后通过非线性反演来得到预测的多次波.

首先采用顶点偏移的双曲Radon变换将横测线方向稀疏采样的多次波贡献道集从数据空间域变换到模型空间域，公式为

其中 d(y_k，t)表示数据空间域，(q，y₀，τ)表示模型空间域，τ 表示双曲同相轴的顶点时间，y₀ 表示 双曲同相轴的顶点位置，q 表示双曲同相轴的曲率，即 q=1/(v/2)².

式(6)用矩阵形式可以表示为

而从模型空间域反变换回数据空间域的公式为

如果定义算子 L 的共轭矩阵 L^T 为其近似逆，则反变换可以表示成矩阵形式为

由于横测线方向多次波贡献道集中数据分布很稀疏，导致从数据空间域变换到模型空间域后出现严重的混淆现象，降低了模型空间域数据的保真性.为了解决这个问题，可以先定义从模型空间域到数据空间域的反变换，然后估计模型算子 L^T 的最小平方逆，这样从数据空间域到模型空间域的正变换就可以定义为一个反问题.此时 L^T 的最小平方逆可以表示为

其中阻尼因子Q 为一个对角矩阵，其对角线上的元素为

此时，从数据空间域到模型空间域的正变换可以表示为

式(12)是一个非线性反问题，可以通过非线性共轭梯度优化算法进行求解.通过 σ_n和σ_m 来控制这个非线性反问题的解.其中 σ_n 表示对数据中的高斯噪声的估计，这个估计包括了数据中的随机噪声以及定义正变换算子 L 过程中的不确定性而导致的噪声；而 σ_m 控制了求解过程中的稀疏程度.利用阻尼因子 u 将上面两个参数联系起来控制反演的稳定性.在实际处理中，一般对 σ_n 取固定值，而利用 σ_m 来调节反演的效果.

利用(12)式将数据变换到模型空间域以后，对于模型空间域中的每一道数据都用一个校正因子进行振幅和相位校正，校正因子是 q和τ 的函数，公式为

对经过校正的模型空间域数据进行求和，就可以得到最终的多次波预测道，公式为

可以看出，通过先参数化模型反演，然后进行振幅和相位校正，最后求和就可以完成横测线方向稀疏采样数据的表面多次波预测.

5 实际资料应用

为了验证本文所提出的数据规则化与反规则化、稀疏反演三维表面多次波预测方法的有效性，采用某三维海洋拖揽资料进行了处理实验.该资料为8缆采集，每缆接收点为480道，接收点间距为12.5 m，拖揽间距为100 m.分别采用2D SRME和稀疏反演三维SRME进行了处理.处理流程见图 5.

图 6是分别使用2D SRME和稀疏反演三维SRME所预测的多次波.从中可以看出，2D SRME所预测出的多次波和原始资料中的多次波相比，无论在多次波的时间还是多次波的形态，相差都比较大；而稀疏反演三维SRME所预测出的多次波与原始资料中的多次波吻合得非常好.

图 7是分别使用2D SRME和稀疏反演三维SRME进行多次压制后的叠加剖面对比，可以看出，经过2D SRME后，剖面中还可以看到一定程度的多次波残留，而经过稀疏反演三维SRME后，剖面中的多次波都已经完全被压制掉了.

6 结 论

本文针对实际采集的三维海洋资料与三维SRME算法之间的矛盾，通过研究数据规则化与反规则化，使得地震数据分布能够满足三维SRME算法的前提要求；通过研究稀疏反演多次波预测技术，解决了由于横测线方向采样稀疏对于多次波预测的不利影响.通过对于实际三维海洋资料的应用，证明了本文提出的数据规则化与反规则化、基于稀疏反演的三维表面多次波压制技术是有效的，对于多次波的压制效果明显优于常规二维表面多次波压制技术.