场地自由场地震反应是研究地震波散射以及土-结构地震相互作用等问题的基础和前提，因此针对场地自由场地震反应的求解和分析有着重要的意义.目前场地自由场地震反应的研究主要是针对平面波进行的，且平面波的研究又包括一维自由场反应和二维自由场反应.一维自由场研究方面：Idriss和Seed(1968)提出了土层地震反应的等效线性化方法，并编制了计算场地一维自由场反应的计算程序SHAKE，此后也对层状场地的一维自由场地震反应进行了研究(高玉峰等，1999; 金星等，2004; 栾茂田和林皋，1992; 李小军，1987).

对于二维自由场地震反应，Thomson(1950)和Haskell(1953)开创性地给出了层状场地中波传播问题的传递矩阵方法，研究了层状半空间中波的传播问题；Kausel和Roёsset(1981)利用Thomson-Haskell传递矩阵方法给出了层状半空间的刚度矩阵，采用刚度矩阵方法对波的传播问题进行了研究；Wolf和Obernhuber(1982a，1982b)建立了层状半空间的平面外(平面SH波)和平面内(平面P-SV波)精确动力刚度矩阵，并采用刚度矩阵方法求解了层状半空间中SH、Love、P、SV和Rayleigh波的自由场；薛松涛等(2000，2004)在Wolf理论的基础上，建立层状TI介质的平面外和平面内刚度矩阵，求解了SH、P和SV波入射下层状TI半空间的自由场.刘晶波和王艳(2006)将波动输入转化为等效节点荷载施加在边界节点上，采用有限元法求解了SH波斜入射下弹性半空间的自由场.李山有等(2003)基于水平成层介质波动传播的特点建立了相邻节点间自由场运动的关系式，给出了计算水平成层半空间自由场的时域方程.梁建文等(2014)考虑波型转换，提出了一种层状弹性场地基岩斜入射地震动二维反演方法.Lin等(2005)求解了无黏性饱和半空间中入射P1和SV波的自由场，且考虑了自由表面透水和不透水两种情况.Liang和You(2004)将Wolf理论拓展到层状饱和半空间情况，建立了饱和土层和半空间的平面内精确动力刚度矩阵，并采用刚度矩阵方法求解了层状饱和半空间P1和SV入射下的自由波场.

值得指出的是以上关于地震波自由场的研究均假定入射波为平面波，这在震源距较大时是合适的.当震源距较小时，地震波传播的曲率影响将不能忽略，采用球面波来模拟地震波更为合理.然而目前关于球面波自由场的研究非常少，Lamb(1904)采用Hankel积分变换方法给出了均匀弹性半空间中球面膨胀波源(P波)自由场的计算公式，但没有给出数值结果，对于层状半空间中球面波源自由场，则未见报道.因此本文基于柱面SH、P和SV波势函数，建立了层状黏弹性半空间的反轴对称(柱面SH波)和轴对称(柱面P-SV波)精确动力刚度矩阵，进而采用刚度矩阵方法结合Hankel积分变换求解了层状黏弹性半空间中球面SH、P和SV波源的自由场.

本文关于层状黏弹性半空间中球面波源自由场的研究为今后将震源模拟为点震源，研究复杂场地(盆地、山脉和盆山复合)对地震波的散射以及土结构相互作用等问题提供了精确的自由场波场，另外本文层状黏弹性半空间中球面波的自由波场亦为层状黏半空间中球面波的格林函数，而层状黏半空间中球面SH、P和SV波格林函数构成了层状黏半空间中一组完备的基本解，也为今后建立以层状黏半空间中球面SH、P和SV波格林函数为基本解的边界元方法求解工程波动问题奠定了基础.

如图 1a所示，球面波源埋置于层状黏弹性半空间中.层状黏弹性半空间由任意水平层和其下弹性基岩组成，各土层参数包括质量密度ρ^Lj、泊松比υ^Lj和阻尼比ζ^Lj、复剪切波速c_s^Lj*=c_s^Lj[1+2i sgn(ω)ζ^Lj]^1/2和厚度h_j(j=1…N)，基岩参数包括质量密度ρ^R、泊松比υ^R、阻尼比ζ^R和复剪切波速c_s^R*=c_s^R[1+2isgn(ω)ζ^R]^1/2.球面波源可为球面SH、P或SV波，如图 1b所示，球面P波为膨胀波源，其振动方向与球面波射线方向一致，球面SV波源为剪切波源，其振动方向沿经度方向与射线方向垂直，球面SH波为剪切波源，其振动方向为沿纬度方向与射线方向垂直.球面SH波可认为是反轴对称波，球面SH波在半空间内传播与球面P和SV波不存在波型转换，球面P和SV波可认为是轴对称波，球面P和SV波在半空间内传播存在相互间的波型转换.

图 1

Fig. 1

图 1 (a) 层状黏弹性半空间中埋置球面波源； (b) 球面SH、P和SV示意图Fig. 1 (a) Buried spherical sources in a layered half-space； (b) Spherical SH-, P- and SV-waves

具体求解时，首先通过Hankel积分变换将球面波展开为相应柱面波的叠加，也即将球面波由空间域变换到波数域中；如图 2所示，在波数域中将球面波源所在土层上下端面固定，求得固定层内的动力响应，同时计算满足这样条件的相应反力(其中固定层内动力响应以及固定端面反力又分别由相应的特解和齐次解组成)，然后将反力以相反的方向作用到总体系上，采用直接刚度法计算固定端面反力引起的动力响应；叠加固定层内动力响应和固定端面反力产生动力响应，可求得层状黏弹性半空间中任意点波数域中的动力响应；最后采用Hankel积分逆变换，将动力响应由波数域变换到空间域内，求得球面波源空间域内的动力响应，也即层状黏弹性半空间中球面波源自由场.时域自由场则可通过对频域结果的傅里叶逆变换求得.以下将对层状黏弹性半空间的反轴对称(柱面SH波)和轴对称(柱面P-SV波)情况精确动力刚度矩阵的建立和层状半黏弹性空间中球面SH、P和SV的自由场求解进行介绍.

图 2

Fig. 2

图 2 球面波源自由场求解示意图 球面波为SH波时，固定层上下端面上仅有剪应力τzθ，固定端面的反力仅有沿环向的力Q1和Q2；球面波为P或SV波时， 固定层上下端面上有剪应力τzr和正应力σz，固定端面的反力有沿径向的力P1和P2以及沿竖向的力R1和R2. Fig. 2 Diagram for calculation of dynamic responses of buried spherical sources For spherical SH-waves, there is only shear stress τzθ on the top and bottom interfaces of the fixed layer, and there are only the corresponding circumferential reaction forces Q1 and Q2 are exist. For spherical P- and SV-waves, there are shear stress τzr and normal stress σz on the top and bottom interface of the fixed layer, and there are the corresponding radial reaction forces P1 and P2 and vertical reaction forces R1 and R2 exist.

假定土层中上行和下行的柱面SH波的势函数为

在形成刚度矩阵时，施加的荷载要按整体坐标系表示.在层单元的负微面上，用以定义应力的局部坐标系与整体坐标系反向.将外加荷载幅值Q₁=-τ_zθ1和Q₂=τ_zθ2代入式(5)，并将式(4)和式(5)联立，消去系数C₁和C₂，可得土层的反轴对称(柱面SH波)动力刚度矩阵[S_SH^L]为

在半空间的表面施加反轴对称荷载，只会产生幅值为C₂的去波，以下标“0”表示半空间自由表面，在式(5)和(6)中，令C₁=0，Q₀=-τ_zθ0，消去C₂得半空间的动力刚度系数SH^R为

由于半空间多用作模拟基岩，故用上标“R”表示.集整各土层的精确动力刚度矩阵[S_SH^L]和基岩动力刚度系数SH^R，可得整体动力刚度矩阵[S_SH]：

假定土层中上行和下行的柱面P和SV波的势函数为

同柱面SH波情况，在半空间的表面施加轴对称荷载，只会产生幅值为A₂和B₂的去波，以下标“0”表示半空间自由表面，在式(20)和(21)中，令A₁=B₁=0，P₀=-τ_zr0和R₀=-σ_z0，消去A₂和B₂得半空间的动力刚度矩阵[S_P-SV^R]为

设空间域内稳态球面SH波为 ，其中R为球半径，为求解方便将e^iωt略去.空间域内球面波通过Hankel变换，可展开为波数域内柱面波的叠加：

同球面SH情况，空间域内球面P或SV波可通过Hankel变换，展开为波数域内柱面波的叠加：

为验证本文方法的正确性，图 3给出本文计算结果与Lamb(1904)给出均匀弹性半空间中埋置球面膨胀P波对应的地表水平和竖向位移幅值的比较，值得注意的是Lamb(1904)中只给出了均匀半空间中埋置膨胀P波自由场的计算公式，并没有给出数值结果，图 3中文献结果为按照Lamb(1904)中给出计算公式(142)至(147)求得到的结果.图 3中半空间介质泊松比为0.25，取无量纲频率η=ωd/c_s=1.0，其中ω为球面膨胀波源振动频率，d为其埋深，c_s为剪切波速.图 3中连续结果为本文结果，离散结果为按Lamb(1904)计算结果.从图 3中可以看出本文结果与Lamb(1904)结果非常吻合，说明了本文方法的正确性.

图 3

Fig. 3

图 3 本文结果与Lamb(1904)结果的比较 Fig. 3 Comparison with the results given by Lamb(1904)

以均匀半空间和基岩上单一土层中埋置球面波源为例进行数值计算分析.基岩和土层的泊松比为v^r和v^L，阻尼比为ζ^R和ζ^L，质量密度比为ρ^R/ρ^L，剪切波速比c_s^r/c_s^L(c_s^r/c_s^L=1.0即为均匀半空间).土层厚度为h，d为球面波源埋深.定义无量纲频率为η=ωd/c_s^L.以下计算中：对于球面SH波定义无量纲位移和应力为u_θ^*=u_θ/k_s和τ_zθ^*=τ_zθ/(μ^Lk_s²)，对于球面P波定义无量纲位移和应力为u_r^*=u_r/k_p、u_z^*=u_z/k_p、τ_zr^*=τ_zr/(μ^Lk_p²)和σ_z^*=σ_z/(μ^Lk_p²)，对于球面SV波定义无量纲位移和应力为u_r^*=u_r/k_s²、u_z^*=u_z/k_s²、τ_zr^*=τ_zr/(μ^Lk_s³)和σ_z^*=σ_z/(μ^Lk_s³)，其中μ^L为土层的剪切模量，k_s=ω/c_s^L和k_p=ω/c_p^L为土层中的剪切波(S波)和纵波(P波)波数.

图 4首先给出了球面波源为P波时，对应不同基岩与土层剪切波速比、位移和应力的实部和虚部沿深度的变化.计算中取剪切波速比分别为c_s^r/c_s^L=1.0、2.0和5.0，质量密度比ρ^R/ρ^L=1.0，v^R=v^L=0.25，阻尼比ζ^R=ζ^L=0.01，土层厚度h/d=2.0，无量纲频率η=3.0.

图 4

Fig. 4

图 4 球面波源为P波时，位移和应力沿深度的变化(基岩与土层刚度比不同) Fig. 4 Displacements and stresses along depth for spherical P-waves (different stiffness ratio between the layer and bed rock)

从图 4中可以看出，位移以及应力的实部和虚部沿深度波动，且位移和应力沿深度衰减明显，在球面波源作用水平面(z/a=1.0)处，竖向位移和剪应力较小，而径向位移和正应力较大，这是因为球面P波的振动方向与射线方向一致，如果不考虑来自半空间表面和基岩面的反射波P波和反射SV波，球面P波作用水平面上仅存在径向位移而不存在竖向位移，仅存在正应力而不存在剪应力.同时由于基岩面对球面的反射，使得土层中球面波的相干机理与均匀半空间不同，进而使得基岩上单一土层(c_s^r/c_s^L=2.0和5.0)和均匀半空间(c_s^r/c_s^L=1.0)情况对应的位移和应力有着显著的差别.基岩上单一土层情况，径向和竖向位移均在基岩面处(z/a=2.0)出现折角，基岩面以下径向和竖向位移均非常小.比较不同基岩与土层刚度比(c_s^r/c_s^L=2.0和5.0)结果发现，刚度比的变化对位移和应力也有着显著影响，且从图 4中可以看出，刚度比对位移和应力的虚部影响明显大于对实部的影响.因此考虑到实际场地的层状特性，采用层状半空间模型研究球面波的传播是必要的.

图 5给出了球面波源为SV波时，对应不同基岩与土层剪切波速比、位移和应力的实部和虚部沿深度的变化，图 5中计算参数同图 4.从图 5中可以看出，与球面P波结果(图 4)不同，球面波源为剪切SV波时，在球面波源作用水平面位置(z/a=1.0)处，径向位移和正应力较小，而竖向位移和剪应力较大，这是因为球面SV波是剪切波且其振动方向沿经度方向与射线方向垂直，如果不考虑来自半空间表面和基岩面的反射波(P波和SV波)，球面SV波作用水平面上仅存在竖向位移而不存在径向位移，仅存在剪应力而不存在正应力.另外相对于球面P波情况，基岩上单一土层(c_s^r/c_s^L=2.0和c_s^r/c_s^L=5.0)情况对应位移和应力与均匀半空间(c_s^r/c_s^L=1.0)情况差异较小，同时不同基岩与土层剪切波速比情况对应的位移和应力也较为接近.

图 5

Fig. 5

图 5 球面波源为SV波时，位移和应力沿深度的变化(基岩与土层刚度比不同) Fig. 5 Displacements and stresses along depth for spherical SV-waves (different stiffness ratio between the layer and bed rock)

图 6给出了球面波源为SH波时，对应不同基岩与土层剪切波速比、位移和应力的实部和虚部沿深度的变化，图 6中计算参数仍同图 4.与球面P波和SV波不同，球面SH波在半空间中的传播不存在波型转换，也即半空间表面和基岩面产生的反射波仅为球面SH波，因此半空间中仅有环向位移和剪应力，同时图 6中的结果也显示在球面SH波作用水平面位置(z/a=1.0)处，环向位移和剪应力均较大.另外，同球面SV结果(图 5)相似，基岩上单一土层情况与均匀半空间情况差异要小于球面P波情况，不同基岩与土层刚度比情况的差异也较小.

图 6

Fig. 6

图 6 球面波源为SH波时，位移和应力沿深度的变化(基岩与土层刚度比不同) Fig. 6 Displacements and stresses along depth for spherical SH-waves (different stiffness ratio between the layer and bed rock)

图 7给出了球面波源为P波时，对应不同土层厚度，地表不同观测点的位移幅值频谱，计算中取剪切波速比分别为c_s^r/c_s^L=5.0，质量密度比ρ^R/ρ^L=1.0，v^R=v^L=0.25，阻尼比ζ^R=ζ^L=0.01，土层厚度h/d=2.0、4.0和∞，其中h/d=∞代表均匀半空间情况.地表三个观测点的坐标分别为r/d=1.0、3.0和5.0.

图 7

Fig. 7

图 7 球面波源为P波时，地表不同观测点位移幅值频谱(土层厚度不同) Fig. 7 Spectrum of surface displacement amplitudes for spherical P-waves (different depth of the layer)

从图 7中可以看出，由于考虑了场地自身的动力特性(具有场地固有频率)，基岩上单一土层情况(h/d=2.0和4.0)对应的地表位移幅值频谱与均匀半空间情况(h/d=∞)有着本质的差异.均匀半空间情况地表位移幅值整体上随频率的增大逐渐减小，而基岩上单一土层情况位移幅值频谱表现为以均匀半空间情况为中心的上下振荡，出现多个峰值频率，且在峰值频率处，基岩上单一土层情况对应地表位移幅值显著大于均匀半空间情况.另外不同土层厚度对应的位移幅值频谱(h/d=2.0和4.0)也有着明显的差异，这是因为土层厚度的改变直接导致了土层自身动力特性的改变，也即改变了球面波在土层中的相干方式.

图 8给出了球面波源为SV波时，对应不同土层厚度，地表不同观测点的位移幅值频谱.图 8中计算参数同图 7.从图 8亦可以看出，与球面P波结果(图 7)相同，球面波源为SV波时，基岩单一土层情况与均匀半空间情况地表位移幅值有着显著的差别，基岩上单一土层情况存在多个峰值频率，同时随着土层厚度的增大，峰值频率点逐渐向低频迁移.另外，球面SV波情况，土层厚度对位移幅值频谱的影响整体上要低于球面P波情况，尤其在r/d=1.0位置，h/d=4.0与h/d=∞对应的位移幅值频谱非常接近.

图 8

Fig. 8

图 8 球面波源为SV波时，地表不同观测点位移幅值频谱(土层厚度不同) Fig. 8 Spectrum of surface displacement amplitudes for spherical SV-waves (different depth of the layer)

图 9给出了球面波源为SH波时，对应不同土层厚度，地表不同观测点的位移幅值频谱.图 9中计算参数同图 7.从图 9中可以看出，与球面P波结果(图 7)和SV波结果(图 8)相同，球面波源为SH时，基岩上单一土层情况与均匀半空间情况地表位移幅值存在较大差异，同时不同的土层厚度也对应不同的位移幅值频谱，但对应于相同的土层厚度，球面SH波对应的峰值频率相对小于球面P和SV波情况.

图 9

Fig. 9

图 9 球面波源为SH波时，地表不同观测点位移幅值频谱(土层厚度不同) Fig. 9 Spectrum of surface displacement amplitudes for spherical SH-waves (different depth of the layer)

为进一步研究基岩上单一土层情况位移幅值频谱对应的峰值频率与基岩上单一土层场地固有频率之间的关系，表 1给出了按P波和S波波速计算出的、对应土层厚度分别为h/d=2.0和h/d=4.0的第1阶和第2阶无量纲固有频率.表 2则给出了图 7、8和9中位移幅值频谱第1和第2峰值频率值.按P波和S波波速计算基岩上单一土层的无量纲固有频率公式为 和η_sn=πd(2n-1)/(2h)，其中n为固有频率的阶数，公式可由土层的固有频率ω_pn=π(2n-1)c_p^L/(2h)或ω_sn=π(2n-1)c_s^L/(2h)与无量纲频率η=ωd/c_s^L换算求得.表 2中的结果显示，对应不同的观测点(r/d=1.0、3.0和5.0)，位移幅值频谱的第1峰值频率和第2峰值频率非常一致，同时对于球面P和SV波，径向位移和竖向位移对应的第1和第2峰值频率也非常一致.另外，表 2中结果显示，对于球面P和SV波，基岩上单一土层情况的第1和第2峰值频率与基岩上单一土层按P波波速计算的第1和第2固有频率非常接近，而对于球面SH则与按S波波速计算的第1和第2固有频率非常接近.

表 1(Table 1)

表 1 基岩上单一土层固有频率 Table 1 Fundamental frequencies of a single layered half-space 土层厚度 h/d=2.0 h/d=4.0 第1阶固有频率 第2阶固有频率 第1阶固有频率 第2阶固有频率 土层固有频率 P波 1.36 4.08 0.68 2.04 S波 0.78 2.36 0.39 1.18

表 1 基岩上单一土层固有频率 Table 1 Fundamental frequencies of a single layered half-space

表 2(Table 2)

表 2 基岩上单一土层球面P、SV和SH波频谱第1和第2峰值频率 Table 2 First and second fundamental frequencies corresponding to spherical P, SV- and SH waves buried in a single layered half-space 土层厚度观测点峰值频率 h/d=2.0 h/d=4.0 r/d=1.0 r/d=3.0 r/d=5.0 r/d=1.0 r/d=3.0 r/d=5.0 峰值1 峰值2 峰值1 峰值2 峰值1 峰值2 峰值1 峰值2 峰值1 峰值2 峰值1 峰值2 球P ｜ur*｜ 1.30 3.65 1.30 3.70 1.30 3.70 0.65 1.85 0.65 1.85 0.65 1.85 ｜uz*｜ 1.30 3.65 1.30 3.70 1.35 3.80 0.65 1.80 0.65 1.80 0.65 1.85 球SV ｜ur*｜ 1.30 3.65 1.40 3.65 1.40 3.60 0.65 1.85 0.65 1.80 0.65 1.85 ｜uz*｜ 1.35 3.65 1.45 3.65 1.45 3.65 0.65 1.85 0.75 1.80 0.75 1.85 球SH ｜u*｜ 0.85 2.30 0.90 2.90 1.15 2.30 0.45 1.15 0.45 1.15 0.50 1.15

表 2 基岩上单一土层球面P、SV和SH波频谱第1和第2峰值频率 Table 2 First and second fundamental frequencies corresponding to spherical P, SV- and SH waves buried in a single layered half-space

为研究黏弹性因素对球面波自由场的影响，图 10以埋置于基岩上单一土层中球面SV波源为例，给出了阻尼比不同时位移和应力的实部和虚部沿深度的变化曲线.计算中取阻尼比分别为ζ^R=ζ^L=0.01、0.02和0.05，剪切波速比分别为c_s^r/c_s^L=2.0，质量密度比ρ^R/ρ^L=1.0，v^r=v^L=0.25，土层厚度h/d=2.0，无量纲频率η=6.0.图 10中无量纲频率以及无量纲位移和应力的定义方式均同图 5.

图 10

Fig. 10

图 10 球面波源为SV波时，位移和应力沿深度的变化(阻尼比不同) Fig. 10 Displacements and stresses along depth for spherical SV-waves (different damping ratio)

图 10对应不同阻尼比的结果表明，阻尼对位移和应力的实部和虚部均有较为显著的影响.随着阻尼比的增大，位移以及应力的实部和虚部均表现为逐渐变小，尤其在位移和应力的峰值处.另外，比较基岩面以上位置(z/a≤2.0)和基岩面以下位置(z/a>2.0)处的位移和应力发现，阻尼比的变化主要影响基岩面以上位置的动力响应，这是因为基岩面的刚度大于土层的刚度，动力响应主要集中在土层内且阻尼使得位移和应力沿深度衰减所致.

图 11进一步以埋置于基岩上单一土层中的球面P波源为例，给出对应不同阻尼比时地表不同观测点的位移幅值频谱曲线.计算中取剪切波速比分别为c_s^r/c_s^L=5.0，质量密度比ρ^r/ρ^L=1.0，v^R=v^L=0.25，土层厚度h/d=2.0，阻尼比分别为ζ^R=ζ^L=0.01、0.02和0.05，地表三个观测点的坐标分别为r/d=1.0、3.0和5.0.图 11中无量纲频率以及无量纲位移和应力的定义方式均同图 7.

图 11

Fig. 11

图 11 球面波源为P波时，地表不同观测点位移幅值频谱(阻尼比不同) Fig. 11 Spectrum of surface displacement amplitudes for spherical P-waves (different damping ratio)

从图 11中可以看出，阻尼对基岩上单一土层表面各观测点的位移幅值频谱有着显著影响.随着阻尼比的增大，各观测点位移幅值频谱的峰值显著降低，但阻尼比改变并不改变位移幅值频谱的峰值频率.阻尼对位移幅值的影响，随着频率的增大逐渐增大，尤其在峰值频率处.对比不同阻尼比径向和竖向位移幅值频谱发现，阻尼对径向位移幅值频谱的影响更为明显.对比不同观测点位移幅值频谱发现，阻尼对距离波源更远观测点(r/d逐渐增大)的影响更为明显，尤其在较高频率处(η>4.0).

以均匀半空间和基岩上单一土层中埋置球面波源为例，求解了球面SH、P和SV波的自由场.输入Ricker时程为u(τ)=(2π²η_c²τ²-1)exp(-π²η_c²τ²)，特征频率定义为η_c=ωd/πc_s^L=1.5，c_s^L为土层的剪切波速(均匀半空间情况为均匀半空间剪切波速).时域动力响应通过对频域内动力响应的积分求得，计算中无量纲频率计算范围为η=ωd/πc_s^L=0.0-5.0，采用分段高斯积分完成，共取积分频率点116个.地表沿径向共81个观测点均匀分布在0≤r≤10d的范围内.

图 12首先给出了均匀半空间中球面SH、P和SV波对应不同观测点的位移幅值时程|u_θ^*|、|u_r^*|和|u_z^*|.计算中取均匀半空间泊松比v=0.25，阻尼比ζ=0.01.

图 12

Fig. 12

图 12 (a) 球面波为SH波时，地表位移时程(均匀半空间)；(b)球面波为P波时，地表位移时程(均匀半空间)； (c) 球面SV波时，地表位移时程(均匀半空间) Fig. 12 (a) Time histories of displacement amplitudes for spherical SH-waves (uniform half-space)；(b) Time histories of displacement amplitudes for spherical P-waves (uniform half-space); (c) Time histories of displacement amplitudes for spherical SV-waves (uniform half-space)

从图 12中可以清晰看出球面波的传播过程.对于图 12a所示的球面SH波，由于其不存在波型转换现象，直达SH波传播到地表后，反射波也仅为SH波，所以在地表仅存在传播的SH波迹线.同球面SH波不同，对于图 12b所示球面P波，存在波型转换现象，直达P波到达地表后，会同时产生反射的P波和SV波，因此在地表可观测到以较快速度传播的P波迹线和以较慢速度传播的SV波迹线，同时球面P波情况，主要能量由P波携带，因此对于任一观测点，先发生以较快速度较强能量传播来的P波振动，再发生以较慢速度较弱能量传播来的SV波振动，且地表观测点越远，P波和SV波到达的时间差越大.同球面P波情况相同，图 12c所示的球面SV波亦存在波型转换问题，因此地表也出现P波和SV波两条迹线，但球面SV波情况，主要能量由SV波携带，因此对于任一观测点，先发生以较快速度较弱能量传播来的P波振动，再发生以较慢速度较强能量传播来的SV波振动.

图 13则给出了基岩上单一土层中球面SH、P和SV波对应的位移幅值时程|u_θ^*|、|u_r^*|和|u_z^*|.计算中取剪切波速比分别为c_s^r/c_s^L=5.0，质量密度比ρ^R/ρ^L=1.0，v^R=v^L=0.25，阻尼比ζ^R=ζ^L=0.01，土层厚度h/d=2.0.

图 13

Fig. 13

图 13 (a) 球面SH波时，地表位移时程(基岩上单一土层)；(b) 球面P波时，地表位移时程(基岩上单一土层)；(c) 球面SV波时，地表位移时程(基岩上单一土层) Fig. 13 (a) Time histories of displacement amplitudes for spherical SH-waves (single layered half-space)； (b) Time histories of displacement amplitudes for spherical P-waves (single layered half-space)； (c) Time histories of displacement amplitudes for spherical SV-waves (single layered half-space)

比较图 12中均匀半空间结果与图 13中基岩上单一土层结果发现，对于球面SH、P和SV波均表现出基岩上单一土层情况对应的地表位移幅值时程较均匀半空间情况要复杂的多，同时地表位移的振动时间也有明显的延长，这是由于波在土层中来回反射形成的(对于均匀半空间情况，反射波传向无穷远处，不会再返回).球面P波和SV波情况，土层中同时存在来回反射的P和SV波，而球面SH波情况，土层中仅存在来回反射的SH波，因此图 13b和图 13c对应的球面P和SV波位移时程较图 13a对应的SH波位移时程更为复杂.

为进一步研究阻尼对球面波时域动力响应的影响，图 14以基岩上单一土层中球面SH波为例，给出了阻尼比分别为ζ^R=ζ^L=0.02和0.05时的地表位移时程u_θ^*.图 14中的其他计算参数同图 13.比较图 13a阻尼比为ζ^R=ζ^L=0.01的结果与图 14阻尼比分别为ζ^R=ζ^L=0.02和0.05的结果发现，随着阻尼比的增大，地表位移幅值逐渐减小的同时振动持续时间明显缩短，这是因为随着阻尼的逐渐增大，位移随时间的衰减逐渐增大，也即阻尼的增大显著减少了波在土层中的往复次数.

图 14

Fig. 14

图 14 球面SH波时，地表位移时程(不同阻尼比) Fig. 14 Time histories of displacement amplitudes for spherical SH-waves (different damping ratio)

基于柱面SH、P和SV波的势函数，在柱坐标系下分别建立了黏弹性土层和半空间的反轴对称(柱面SH波)和轴对称(柱面P-SV)波的精确动力刚度矩阵，进而采用刚度矩阵方法结合Hankel积分变换给出了层状黏弹性半空间中球面SH、P和SV波自由波场的计算公式.文中以均匀半空间和基岩上单一土层中球面SH、P和SV波的自由波场为例，分别在频域和时域内进行了数值计算分析，得到了以下主要结论.

(1)基岩面的存在使得球面波在土层中多次反射，进而使得基岩上单一土层中球面波自由波场与均匀半空间情况有着本质的差异.通过对不同基岩与土层剪切波速比的结果分析发现，基岩与土层剪切波速比的变化对球面P波自由场的影响大于球面SV和SH波自由场的影响.

(2)基岩上单一土层对应的球面波自由场位移幅值频谱存在多个峰值频率，球面P和SV波对应的第1和第2峰值频率与按P波波速计算求得场地第1和第2阶固有频率非常接近，而球面SH波对应的第1和第2峰值频率则与按S波波速计算求得场地第1和第2阶固有频率非常接近.

(3)球面波源为球面P或SV波时，均匀半空间地表可观测到以较快P波波速和以较慢S波波速传播的两条迹线，而球面SH波仅存在以S波传播的一条迹线.基岩上单一土层中情况的地表点的位移时程较均匀半空间情况要复杂的多，同时振动时间也有明显延长.

(4)阻尼的增大会显著降低位移幅值频谱的峰值，但不改变峰值频率，且随着频率的增大，阻尼的影响更加明显.随着阻尼比的增大，地表位移幅值逐渐减小的同时振动持续时间明显缩短.