2016, Vol. 59
2. 中国地质大学(武汉)地球内部多尺度成像湖北省重点实验室, 武汉 430074;
3. 同济大学海洋地质国家重点实验室, 上海 200092
2. Hubei Subsurface Multi-scale Imaging Key Laboratory (SMIL), China University of Geosciences, Wuhan 430074, China;
3. State Key Laboratory of Marine Geology, Tongji University, Shanghai 200092, China
在当前地球物理联合反演研究中，不同岩石物性参数之间的耦合方式主要有两种：一种为构造几何约束，要求不同的岩石物性参数的分布或变化特征在空间上保持一定的一致性；另一种是岩石物性约束，要求不同的岩石物性参数可以通过某种经验性、统计性的岩石物性关联耦合起来.
作者曾在多篇文献(Chen et al., 2010, 2015; 陈晓等，2011a; 陈晓，2013)中从不同角度分析过MT和地震联合反演的发展概况和趋势.本文仅从岩石物性约束角度，回顾一下电阻率和速度耦合在MT和地震联合反演中的应用.Dell′Aversana (2001)利用测井资料确定了电阻率、速度和密度的经验关系，运用顺序反演的方法研究了地质情况复杂的逆冲断层带.Heincke等(2006, 2010, 2014)利用岩石物性约束，实现了MT、重力以及地震数据的联合反演，并指出联合反演可以确定出单一方法无法确定的玄武岩下伏地层的空间分布.Colombo和De Stefano (2007)通过测井资料确定了电阻率和速度的经验关系，利用地震资料联合重力和MT数据重建速度分布，进而进行叠前深度成像, 并指出联合反演可以减少解的多解性并提高非地震方法的分辨率，非地震方法可以为低信噪比的地震资料提供有益的补充.Jegen等(2009)利用大洋钻探资料，以电阻率、速度和密度的岩石物性关联为出发点，实现了MT、重力和地震数据的联合反演，获得了玄武岩下伏地层的分布.在国内，陈晓等(2011b)将电阻率和速度的岩石物性关联引入MT和地震的正则化同步联合反演中，检验了岩石物性约束在MT和地震联合反演中的可行性.构造几何约束灵活方便，对先验信息要求相对较少.交叉梯度(Gallardo and Meju, 2004; Gallardo et al., 2012)是一种典型的构造几何约束方式.有学者(Moorkamp et al., 2011; Lelièvre et al., 2012)研究了多种联合反演耦合方式，指出与交叉梯度约束相比，岩石物性约束可更好地促进岩石物性耦合, 但这种约束方式的适用性较弱.
作者认为开展基于岩石物性约束的联合反演研究存在以下几点制约：第一，岩石物性关联不易建立，不是所有的勘探区域都有详细的测井或岩石物性统计资料；第二，传统的点对点映射式的岩石物性关联不够精确，一条拟合曲线不能完全反映岩石物性参数之间的空间对应关系；第三，岩石物性关联区域特征明显，适应性有限，一或几“孔”所得的岩石物性关联容错率低，用于整条剖面乃至整个研究区是不严谨的.基于此，本文以MT和地震联合反演为例，尝试探索一种容易实现、空间对空间、容错率高的岩石物性关联技术，进而提高岩石物性约束方式应用的灵活性.
2 电阻率和速度岩石物性关联 2.1 传统的岩石物性约束电阻率和速度之间的岩石物性关联很难用一个明确的、通用的表达式来确定.虽然Faust公式(格劳尔, 1987)可以将速度、电阻率和埋深联系在一起，但不断有学者(徐群洲等，2000；严良俊等，2004)对Faust公式提出疑问：Faust公式是在深层地层中得到的关系，是否具有广泛的适用性？因此鲜见文献利用Faust公式开展MT和地震联合反演研究.从作者所查阅的文献来看：根据测井钻孔资料拟合出岩石物性关联曲线是耦合电阻率和速度的重要途径，且速度或速度的对数，和电阻率或电阻率的对数之间满足某种线性或非线性的经验性关联.
需要指出，测井钻孔资料所展示的岩石物性关联特征并不是一一对应的，通常一种岩石物性参数(比如：速度)的取值对应了另外一种岩石物性参数(比如：电阻率)一个可能的分布空间，即真实的岩石物性关联特征应该是空间对空间的.但在以往应用中，学者们大多利用的是一个线性或非线性的关联公式将一种岩石物性参数直接映射到另外一种岩石物性参数，即利用的是一种点对点的映射.虽然这种映射在一定程度上反映了岩石物性参数的分布特征，但无法完整地反映岩石物性参数之间的空间对应关系.因此利用点对点映射式的岩石物性关联来耦合两种岩石物性参数，进而缩小联合反演的解空间，是以抛弃部分解空间为代价的，当经验性的岩石物性关联“不精确”时，被抛弃的解空间反而可能包含真实解.
2.2 宽范围岩石物性约束技术针对传统的岩石物性约束技术的不足，作者结合非常快速的模拟退火算法(VFSA)，提出了宽范围岩石物性约束技术.VFSA是一种常见的全局寻优的算法，其基本原理、技术细节请参见文献(杨辉等，2002；于鹏等，2009；Chen et al., 2011).下面以速度映射电阻率为例来介绍新技术的具体流程：
(1)在某一温度，利用(1)式(Ingber, 1989)随机产生与温度有关的物性模型：
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(1) |
其中，mi为当前速度模型的第i个参数，[Ai, Bi]为mi的扰动区间，该区间可以根据先验信息来确定，m′ i为新的速度模型中第i个参数，yi为与温度有关的随机扰动系数.
(2)根据已有的经验性的速度-电阻率岩石物性关联，由速度映射出电阻率，这一步和传统的岩石物性约束方式相同.
(3)不直接将映射所得的电阻率值进行正、反演运算，而是将映射出的电阻率进行上下浮动，获得一个新的电阻率分布区间[Ai, Bi].
(4)根据新的电阻率扰动区间，再根据VFSA的模型扰动方式(公式(1))，扰动出新的电阻率.
(5)将扰动所得速度、电阻率模型进行正演，然后根据VFSA的模型接受准则来判断是否接受新的速度、电阻率模型.
(6)假如新的速度、电阻率模型被接受，则成功地完成一次速度到电阻率的映射，反之，当前温度当次模型扰动失败，进行下一次扰动.重复步骤(1)-(6)直至达到当前温度下的最大扰动次数.
(7)降低温度，重复步骤(1)-(7)直至满足模拟退火迭代终止条件.
宽范围岩石物性约束技术的核心是不再简单地将点对点映射所得的岩石物性参数直接代入正、反演运算，而是对所获得岩石物性参数进行再次加工，获得新的岩石物性分布空间，并结合全局寻优的VFSA算法进行重新搜索，进而实现电阻率和速度参数的耦合.
3 MT和地震联合反演的实现MT和地震正则化同步联合反演的目标函数由数据拟合和模型约束两部分组成(Zhdanov, 2002；Chen et al., 2010)：
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(2) |
其中，m为待解模型，Pα(m)为目标函数，ϕ(m)为数据拟合函数，ϕMT是视电阻率或相位的观测值和计算值的均方根误差，ϕS是地震走时的观测值和计算值的均方根误差，WMT、WS为两方法的权重，S(m)为模型稳定函数，本文选择最小模型约束，α为正则化因子.
MT二维正演采用通用的有限单元法(陈乐寿和王光锷，1990)，地震正演采用简单而快速精确的二维速度随机分布的射线追踪方法(高尔根和徐果明，1996)，具体正演公式，自适应正则化算法、物性参数随机分布的建模方法和VFSA技术细节，在相关文献中(于鹏等，2009；陈晓等，2011a；Chen et al., 2011；陈晓，2013)有详细描述，本文不再赘述.
4 模型试验为了模拟经验性的岩石物性关联不一定存在、存在也不一定精确这些在实际资料处理中经常遇到的情况，本文设计了三个模型试验来检验新技术的适用性.
4.1 相对精确的岩石物性关联条件设计了如图 1所示的地球物理模型.四套地层自上而下的电阻率分别为：5、10、300和1000 Ωm，异常块体A和B的电阻率分别为30和15 Ωm；四套地层自上而下的速度分别为：3.2、3.6、5.0和5.5 km·s-1，异常块体A和B的速度分别为4.3和4.0 km·s-1.反演目标是异常体A和B，即电阻率差异仅为15 Ωm的两个低阻异常.MT模拟测点共33个，测点间距为1 km.MT计算频点在320~0.00055 Hz之间取40个.
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图 1 模型试验1设计的模型(色标同图 3) (a)电阻率模型；(b)速度模型. Fig. 1 Designed models for model test 1 (color scale is the same as the Fig. 3) (a) Resistivity model; (b) Velocity model |
作者借鉴文献(Dell′Aversana P, 2001)中的电阻率和速度之间的关联表达式，结合上述地球物理模型，利用线性回归方法，重新计算了相关待定系数(公式(3))，得到如图 2所示的相对精确的岩石物性关联.
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(3) |
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图 2 模型试验1的速度和电阻率物性关联 Fig. 2 Relationship between velocity and resistivity for model test 1 |
其中，V为速度，ρ为电阻率.
模型试验中，作者设定异常块体A、B存在相同的电阻率扰动空间(10~40 Ωm)，并将两个异常块体的顶界面和物性分布予以松约束，即放开反演，其余反演参数予以紧约束.异常块体A、B的速度变化空间分别为：4.1~4.5 km·s-1，3.8~4.2 km·s-1.异常块体A、B顶界面的变化空间为其真实数值的±30%.
本文设计了三种联合反演方案：方案一，无岩石物性约束的联合反演；方案二，基于点对点映射的岩石物性约束的联合反演；方案三，基于宽范围岩石物性约束的联合反演，其中速度映射出电阻率重新扰动±20%作为电阻率再次搜索所需要的物性范围.模拟退火初始扰动结果见图 3(a，b)，三种方案的反演结果见图 3(c-h)，迭代误差曲线见图 3i, 联合反演结果的耦合情况见图 3j.联合反演结果的定量统计见表 1.
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图 3 模型试验1不同方案联合反演结果(色标同图 1) (a)电阻率初始扰动模型；(b)速度初始扰动模型；(c)方案一电阻率反演结果；(d)方案一速度反演结果；(e)方案二电阻率反演结果；(f)方案二速度反演结果；(g)方案三电阻率反演结果；(h)方案三速度反演结果；(i)迭代误差曲线图；(j)联合反演结果耦合图(黑线为公式(3)). Fig. 3 Joint inversion results by different schemes for model test 1 (color scale is the same as the Fig. 1) (a) Initial perturbed resistivity model; (b) Initial perturbed velocity model; (c) Resistivity inversion by scheme 1; (d) Velocity inversion by scheme 1; (e) Resistivity inversion by scheme 2; (f) Velocity inversion by scheme 2; (g) Resistivity inversion by scheme 3; (h) Velocity inversion by scheme 3; (i) Curves of iteration errors; (j) Coupling diagram of joint inversion (black line represents Equation (3)). |
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表 1 模型试验1反演结果定量统计表 Table 1 Quantitative statistics of inversion results for model test 1 |
分析图 3和表 1，可见无岩石物性约束的联合反演(方案一)对两套低阻层识别不清，其余两种基于岩石物性约束的联合反演(方案二、三)都可以较好地区分这两套低阻层.分析图 3i，可见与方案一相比，方案二、三迭代效率更高.分析图 3j，可见通过岩石物性约束电阻率和速度耦合在一起，可以有效地缩小联合反演的解空间，反演结果更接近真实值.根据表 1，可以看出，在岩石物性经验关系相对精确的条件下，传统的点对点映射约束和宽范围岩石物性约束的联合反演效果相当，均可以提高解的分辨能力，优于无岩石物性约束的联合反演效果.
4.2 “不精确”的岩石物性关联条件为了检验新的岩石物性约束技术在先验的岩石物性关联信息“不精确”时的适用性，作者对4.1节中的模型进行修改(图 4)，增加了一个尖灭层，且使目标地层分布得更深.此外作者调整了目标体的岩石物性取值使其与公式(3)存在一定偏差，具体如下：异常块体A、B电阻率分别为50和15 Ωm, 尖灭层电阻率为80 Ωm，尖灭层速度为4.5 km·s-1.
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图 4 模型试验2设计的模型(色标同图 6和8) (a)电阻率模型；(b)速度模型. Fig. 4 Designed models for model test 2 (color scale is same as Figs. 6 and 8) (a) Resistivity model; (b) Velocity model. |
如图 5所示，公式(3)此时不是严格精确的.模型试验中，作者设定异常块体A、B存在相同的电阻率扰动空间(5~60 Ωm).此外，将两个异常块体的顶界面和物性分布，以及尖灭层的物性分布予以松约束，即放开反演.其余反演参数予以紧约束.异常块体A、B以及尖灭层的速度变化空间分别为：4.1~4.5 km·s-1，3.8~4.2 km·s-1，4.3~4.7 km·s-1，电阻率变化空间分别为：5~60 Ωm，5~60 Ωm，40~120 Ωm.异常块体A、B顶界面的变化空间为其真实数值的±30%.
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图 5 模型试验2的速度和电阻率物性关联 Fig. 5 Relationship between velocity and resistivity for model test 2 |
本文设计了三种联合反演方案：方案一，无岩石物性约束的联合反演；方案二，基于点对点映射的岩石物性约束的联合反演；方案三，基于宽范围岩石物性约束的联合反演，并将由速度映射出电阻率重新扰动±80%作为电阻率再次搜索所需要的物性范围.模拟退火初始扰动结果见图 6(a，b)，三种方案的反演结果见6(c-h)，迭代误差曲线见图 6i, 联合反演结果的耦合情况见图 6j.联合反演结果的定量统计见表 2.
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图 6 模型试验2不同方案联合反演结果(色标同图 4和8) (a)电阻率的初始扰动模型；(b)速度的初始扰动模型；(c)方案一电阻率反演结果；(d)方案一速度反演结果；(e)方案二电阻率反演结果；(f)方案二速度反演结果；(g)方案三电阻率反演结果；(h)方案三速度反演结果；(i)迭代误差曲线图；(j)联合反演结果的物性耦合图(黑线为公式(3)). Fig. 6 Joint inversion results by different schemes for model test 2 (color scale is the same as the Figs. 4 and 8) (a) Initial perturbed resistivity model; (b) Initial perturbed velocity model; (c) Resistivity inversion by scheme 1; (d) Velocity inversion by scheme 1; (e) Resistivity inversion by scheme 2; (f) Velocity inversion by scheme 2; (g) Resistivity inversion by scheme 3; (h) Velocity inversion by scheme 3; (i) Curves of iteration errors; (j) Coupling diagram of joint inversion (black line represents Equation (3)). |
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表 2 模型试验2反演结果定量统计表 Table 2 Quantitative statistics of inversion results for model test 2 |
对比图 6(c-h)，可见无岩石物性约束的联合反演(方案一)对两套低阻层的区分效果不佳，电阻率高低相间分布，不能还原真实的电阻率模型，考虑岩石物性的两种联合反演(方案二、三)均可以将两套低阻层区分开来；分析图 6i，可见基于岩石物性约束的联合反演迭代效率更高，对比图 3i, 可见当先验的岩石物性关联“不精确”时，方案二迭代效率要低于方案三.
分析表 2，可见方案二、三对两套低阻层的刻画明显优于方案一，但方案二在尖灭层处的速度反演结果偏高，电阻率反演结果偏低，这是引用“不精确”岩石物性关联所带来的不稳定因素造成的，由于宽范围岩石物性约束技术对“不精确”岩石物性关联的映射结果进行了重新扰动、搜索和判断，降低了“不精确”先验信息的束缚.
图 7展示了方案三第1、50、100和250次迭代所接受的电阻率和速度模型的岩石物性耦合情况.可以看出在宽范围岩石物性约束技术约束下，电阻率和速度呈现一种空间对空间的映射关系.迭代初期，模拟退火有较高的概率接受高能量状态，接受的模型与真实的模型偏差较大，模型参数分布在“不精确”的物性关联附近，随着反演迭代的进行，目标函数的下降，模拟退火算法不断筛选新模型，模型参数分布逐渐偏离“不精确”的物性关联，接受的模型逐渐接近真实值.图 4清晰地展示出：当先验的岩石物性关联条件“不精确”时，新的岩石约束技术结合VFSA算法的模型扰动和接受准则，确定岩石物性参数的空间分布，进而促进岩石物性耦合是可行的.
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图 7 不同迭代次数对应的反演结果的物性耦合(黑线为公式(3)) (a) 1次迭代；(b) 50次迭代；(c) 100次迭代；(d) 250次迭代. Fig. 7 Coupling relationships of inversion results to different iterative numbers (black line represents Equation (3)) (a) 1 iteration; (b) 50 iterations; (c) 100 iterations; (d) 250 iterations. |
通过该模型试验，可以看出与以往点对点映射式的岩石物性关联方式相比，宽范围岩石物性约束技术具有较高的容错率，可适用于先验的岩石物性关联“不精确”的条件.
4.3 不存在岩石物性关联条件在4.1节和4.2节中，宽范围岩石物性约束技术的应用是以存在先验的岩石物性经验关系为前提的.但假如连这个条件都不存在或者不易获得呢？即电阻率和速度不存在明确的岩石物性经验关系.基于这种条件，对上文提出的岩石物性约束技术进行拓展：首先根据各套地层的电阻率和速度的可能分布范围，建立简单灵活的线性关系，以此来代替经验性的岩石物性关联，然后套用宽范围岩石物性约束技术的相关流程.
选择4.2节中的模型，反演过程中各种参数的选择(包括物性和界面的扰动空间)和4.2节完全相同.但假设这次模型试验不存在先验的岩石物性经验关系，仅有以下先验信息：目标层的电阻率变化大体范围分别为：5~60 Ωm，5~60 Ωm，40~120 Ωm；目标层速度变化大体范围分别为：4.1~4.5 km·s-1，3.8~4.2 km·s-1，4.3~4.7 km·s-1；目标层的电阻率和速度大体为正比例关联.
首先，根据目标层物性参数可能的分布范围，运用两点公式，建立线性的岩石物性关联式.考虑到异常块体A、B和尖灭层的空间位置，建立两套岩石物性关联.对于异常块体A和B，岩石物性参数的上限为lnln60 Ωm, 4.5 km·s-1, 下限为lnln5 Ωm, 3.8 km·s-1，套用两点公式，电阻率和速度满足：
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(4) |
对于尖灭层，岩石物性参数的上限为lnln120 Ωm, 4.7 km·s-1, 下限为lnln40 Ωm, 4.3 km·s-1，套用两点公式，电阻率和速度满足：
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(5) |
然后，进入宽范围岩石物性约束流程，将由速度映射出电阻率重新扰动±80%，作为电阻率再次搜索所需要的物性范围.电阻率和速度联合反演结果见图 8(a，b)，联合反演结果的耦合情况见图 8c.联合反演结果的定量统计见表 3.
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图 8 模型试验3联合反演结果(色标同图 4和图 6) (a)电阻率反演结果；(b)速度反演结果；(c)联合反演结果的物性耦合图. Fig. 8 Joint inversion results for model test 3 (color scale is the same as the Figs. 4 and 6) (a) Resistivity inversion; (b) Velocity inversion; (c) Coupling of physical properties in joint inversion results. |
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表 3 模型试验3反演结果定量统计表 Table 3 Quantitative statistics of inversion results for model test 3 |
本次联合反演结果要逊于4.2节中宽范围岩石物性约束的联合反演结果，这是因为本次模型试验只采用了一个根据目标层大体物性分布范围快速建立的、简单的岩石物性关联，这样的“经验关系”势必是不精确的，但与4.2节中无岩石物性约束的联合反演结果(图 6c，6d)相比，本次联合反演依然可以清晰地揭示目标层电阻率的高低分布.
通过建立一个大体的物性关联，进而套用宽范围岩石物性约束技术，是宽范围岩石物性约束技术的拓宽，不必要求“精确”或“不精确”的岩石物性经验关系的存在，只需知道目标层的岩石物性参数的大体分布范围.
简而言之，本文提出的新技术，是利用先验的岩石物性参数分布范围构建某种岩石物性关联，再将通过岩石物性关联映射所得岩石物性参数进行再扰动，结合模拟退火算法的模型产生和模型接受准则进而实现宽范围岩石物性约束.根据先验信息确定的岩石物性关联的精确程度、岩石物性参数的再扰动量均会影响模拟退火算法的解空间，进而影响联合反演目标函数的收敛速度和联合反演的精度.重新确定出的模拟退火的解空间越接近真实解，模拟退火算法便越容易实现全局寻优.本次模型试验中，作者以模拟退火算法的解空间需要包含真实解为基本要求，设计了模型的电阻率和速度的分布以及物性参数的再扰动量.因为从理论上分析，只要真实解分布在再次扰动出的区间，联合反演便可能反演出真实的物性参数分布，而不必要求先验的岩石物性关联是严格精确的.
5 结论通过模型试验，可以看出：与传统的点对点映射式岩石物性关联相比，宽范围岩石物性约束技术对先验信息要求更低，容易实现；借助模拟退火可以实现空间对空间的映射关联；并可以降低由于“不精确”岩石物性经验关联带来的风险，容错性高.
总结一下该技术的应用条件：(1)当先验的岩石物性经验关系可信度比较高时，选用点对点映射或宽范围岩石物性约束技术进行联合反演都是可行的；(2)当先验的岩石物性经验关系可信度不高时，建议选用宽范围岩石物性约束技术以降低“不精确”信息引入带来的风险.(3)不存在明确的岩石物性经验关系时，可选择一个大体的岩石物性关联，进而套用宽范围岩石物性约束技术.
需要指出的有两点，第一，新技术不局限于电阻率和速度的物性耦合约束，其适用于所有两两可能的岩石物性参数之间物性耦合；此外，新技术不局限于模拟退火这一种算法，其具有运用到其他优化算法中的可能.第二，如何在“宽范围”内实现高效便捷的岩石物性参数耦合，是该技术进一步改进和完善的重点.
致谢感谢同济大学张罗磊副教授对本文撰写提出的有益意见和建议.感谢两位审稿专家的宝贵意见.
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