2016, Vol. 59
随着计算机技术和最优化方法的发展，非线性反演方法在地球物理领域逐步显示出强大的生命力(徐海浪和吴小平，2006；刘斌，2010；张凌云，2011； 戴前伟等，2014).近年来，国内外关于电阻率非线性反演方法进行了较深入的研究，取得了一些成果.目前非线性反演方法研究主要集中在一维、二维反演方面，其中神经网络算法以其较强的计算能力和学习能力在地球物理反演领域应用最为广泛(Poulton and El Fouly，1991；Calderon-Macis et al.，2000； Spichak et al.，2002；Fani et al.，2013).Jimmy(2004)、Singh(2005)等率先将神经网络算法引入电阻率测深的一维反演工作中.在2D、3D电阻率非线性反演中，采用神经网络法进行了电阻率反演研究，不依赖于初始模型，不需要求解偏导数矩阵且反演速度较快，取得了较好的反演效果(El-Qady and Keisuke，2001；Mann，2006； Ahmad and Samsudin，2009；Singh et al.，2010).但是由于神经网络的固有特性，存在网络结构不稳定，反演容易陷入局部极小、收敛慢等问题(Poulton et al.，1992；Cranganu et al.，2007；Vladimir and Krasnopolsky，2007).国内外学者对此进行了较为深入的研究，对神经网络算法做了进一步改进，通过蚁群算法、遗传算法等算法对网络进行优化(Dai et al.，2014；Marina et al.，2014)，克服了神经网络的上述缺点.Maiti等(2011)提出将蒙特卡罗法与神经网络相结合进行混合二维电阻率反演，张凌云和刘鸿福(2011)利用蚁群算法对神经网络的结构参数进行了优化，改善了神经网络容易陷入局部极小的问题，但是网络收敛速度慢，反演精度有待提高.通过对蚁群、模拟退火等多种非线性方法研究发现遗传算法与神经网络相结合进行混合反演，其反演精度最高(张凌云，2011).遗传算法属于随机优化算法，通过初始值的改变寻找最优解，而在网络维数较大的情况下，随机优化算法较组合排序算法具有更明显的优势.虽然遗传算法与神经网络混合反演的反演精度最高，但是遗传算法优化神经网络参数时间较长，遗传算法的解空间容易被相似性高的适应值个体充满而缺乏多样性，导致算法早熟，局部搜索能力变差(周明等，1999；单文桃等，2013).针对遗传算法的不足，本文尝试将免疫遗传算法与神经网络进行混合反演.通过在遗传算法中引入免疫算子并将BP算法嵌入其中，优化神经网络的反演参数.这种混合反演方法解决了单一遗传算法优化神经网络时间过长的问题，加快了遗传算法搜索速度，提高全局搜索能力，确保快速收敛于全局最优解.同时克服了BP神经网络容易陷入局部极小，容错能力差，网络结构不稳定等问题，减少了反演迭代次数，节约了运算时间，并且可以获得更好的电阻率反演结果，实现了快速、高精度反演.
2 电阻率二维免疫遗传算法与BP神经网络混合反演由于直流电阻率的建模与模型参数优化直接影响反演成像质量，因此对反演模型中的视电阻率进行预处理建模显得尤为重要.为满足地球物理反演高精度、快速、稳定的要求，并且适应复杂地质勘查情况，提高反演成像的快速性和准确性，本文应用BP神经网络算法对直流电阻率数据进行建模，利用免疫遗传算法对神经网络参数进行同步优化，模型输入为X、Z位置和视电阻率值D矩阵，U为D归一化处理的数据，yd和ya分别是参考模型和实际模型输出的真实电阻率矩阵，参考模型空间可通过地质信息或广义线性反演结果给定模型参数的变化范围.E为参考模型输出与实际输出电阻率值的均方差矩阵，BP神经网络反演参数通过免疫遗传算法进行在线和离线优化获得，从而使直流电阻率模型的实际电阻率能够准确跟踪参考模型输出，也就是均方差值E趋近于0.参考模型和BP神经网络模型都需要用BP神经网络.其中，参考模型是用来训练BP神经网络的初始反演参数，它是以离线的方式通过有限差分法正演数值计算产生训练集进而训练BP神经网络从而得到初始的反演参数(戴前伟等，2014).而作为反演模型的BP网络，其作用则是用以控制被控对象的输出能够跟随参考模型的输出.
基于IGA算法的电阻率神经网络反演成像主要分为三部分：BP神经网络建模、IGA算法优化神经网络反演参数、神经网络反演成像.图 1为IGA优化的神经网络反演成像模型系统结构图.
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图 1 IGA优化的反演成像模型系统结构图 Fig. 1 The system structure diagram of inversion imaging model |
BP神经网络拓扑结构如图 2a所示.神经网络包括输入层、隐含层和输出层.其中，输入层神经元的数量等于输入变量的个数，输出层神经元的数量等于输出变量的个数，隐含层神经元的数量可以依据输入信息量的大小和复杂度作相应的改变.本文将X、Z位置和视电阻率作为神经网络的输入，以真实电阻率作为神经网络的输出，这样的数据类型最适合神经网络的训练和测试.具体讨论参见第3节.BP神经网络的主要思想就是通过样本集训练网络，使得神经网络的输出与期望输出的误差平方和达到最小.它是通过反复迭代使相对误差函数在斜率下降的方向上计算网络权阈值和偏差的变化而逐渐达到目标.每一次权值和偏差的变化都与网络误差的响应成正比，并以发射传播的方式传到每一层.
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图 2 神经网络结构示意图 (a)神经网络拓扑结构;(b)神经网络算式. Fig. 2 A neural network structure diagram (a)The neural network topology; (b)The expression of neural network. |
BP神经网络具体的结构算式如图 2b所示.其中神经网络的每一隐含层都需要用到激活函数，本文选择logsig函数，其函数表达式如式(1)所示：
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(1) |
输入层到隐含层单元 J 表达式如下：
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(2) |
其中xi是神经网络的输入变量，netj是隐含层第j个神经元的输出，wij是神经网络的连接权值，bj是单元j第j个神经元的阈值.
隐含层单元J到输出层aj表达式为
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(3) |
BP神经网络训练算法一般采用梯度下降法来计算神经网络权值，权值更新规则如下：
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(4) |
式中，ε为学习动量，η为学习率，t为训练次数.
BP神经网络的学习误差 E 为
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(5) |
最终BP神经网络通过不断地迭代直到误差函数 E 足够小，网络训练结束.式中P为样本总数，N为输出节点数，apj和dpj分别为第p个样本中输出层神经网络第j个神经元实际输出和期望输出值.
2.2 免疫遗传算法免疫遗传算法就是将免疫理论(Immune Algorithm，IA)和基本遗传算法(Simple Genetic Algorithm，SGA)各自的优点结合起来的一个多学科相互交叉、渗透的优化算法.免疫遗传算法可以看作一种新型融合算法，罗小平(2002)在遗传算法中加入免疫算子，使遗传算法变成具有免疫功能的新算法，是一种改进的遗传算法，该算法既保留了遗传算法的搜索特性，又利用了免疫算法的多机制求解多目标函数最优解的自适应特性，在很大程度上避免了“早熟”，收敛于局部极值.
2.3 IGA算法优化神经网络反演参数本文应用免疫遗传算法优化神经网络的反演参数.对神经网络反演参数进行优化设计时，应在保证神经网络结构稳定的前提下，力求加快网络收敛速度，以实现高精度反演.在优化设计时，本文使用的目标函数与约束函数均是高度非线性的，属于多目标优化问题，适合于免疫遗传算法的求解.
2.3.1 建立目标函数对于神经网络的优化设计可建立多种目标函数，但通常多以目标最小为目标函数，本文设计的目标函数为
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(6) |
将公式(1)、(2)、(3)代入(6)可以得到：
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(7) |
式(7)为IGA优化的目标函数，其中目标函数内变量wij、bpj为免疫遗传算法优化的变量X.根据相关文献资料以及实验测试，本文确定选择有一个隐含层的三层IGA-BP神经网络进行训练.免疫遗传算法优化神经网络步骤如下：
(1) 编码
将待寻优变量X作为抗体.标准遗传算法一般采用二进制编码，其搜索能力强，交叉变异计算方便，但需要频繁的编码与解码，计算量较大而且精度不高.由于十进制编码精度更高，搜索空间更大，待优化参量较多，因而本研究采用十进制编码，可以减小搜索空间，有利于加快收敛速度.
(2) 初始抗体的生成
随机产生种群，为了避免无效抗体的产生，本文将变量的取值控制在规定范围内.
(3) 疫苗的提取
在免疫遗传算法中，疫苗是指从具体的待求解问题的先验知识中提取的一种特征信息.免疫遗传算法的运行效率和性能很大程度上取决于疫苗的合理选择.优良的疫苗对免疫算法的收敛速度有着决定性的影响.本文将每一代的最优解作为疫苗，动态地建立疫苗库，当前的最优解比疫苗库中的最差疫苗的亲和力高时，则取代该最差疫苗.
(4) 抗体产生(交叉与变异)
用设定的交叉概率Pc和变异概率Pm，按照标准遗传算法进行交叉和变异操作.
(5) 接种疫苗
从种群中选择要进行接种的个体，按照动态计算的接种率将疫苗的基因片段依次接入，即用疫苗基因置换抗体相应基因位上原有的基因，形成更好的免疫种群.
(6) 计算适应度和浓度
本文选择种群大小为100.运用IGA来搜索最优的函数参数X，计算抗体的适应度.公式(7)为本文参数寻优目标函数，而免疫遗传算法中的适应度函数通常为目标最大化问题，因此，适应度函数Fitness(x)为
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(8) |
(7) 免疫机制选择
免疫机制选择指每次遗传操作后，随机抽取一些个体注射疫苗，然后进行免疫检测.若亲和度提高，则继续；反之，说明在交叉、变异的过程中出现了严重的退化现象，这时该个体将被父代中对应的个体所取代.
(8) 终止条件的判断
免疫遗传算法在神经网络的优化过程中，本文定义终止条件为三种形式:
(a) 达到设定的循环迭代次数；
(b) 连续几代优化解没有改善；
(c) 达到最大优化时间.
满足其一，则将与抗原亲和度最高的抗体加入免疫记忆数据库中，输出最优结果并进行下一步.
(9) 获取神经网络参数
通过免疫遗传算法的深度优化，提供了一组最佳的网络参数，然后再进行神经网络反演，若满足反演效果，则进行下一步，否则，继续进行训练，直到达到满意结果.
(10) 仿真测试，结果输出.免疫遗传算法优化神经网络框图如图 3所示.
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图 3 免疫遗传神经网络框图 Fig. 3 The flowchart of Immune Genetic Algorithm |
电阻率的反演建模是一个极其复杂的问题，Singh等(2010)使用采集的视电阻率和基单元作为网络模型的输入节点，真实的电阻率作为模型的输出节点，通过改变异常体的大小和位置作为网络训练样本，对于复杂的地质结构，则需要建立大量训练样本，耗费运算时间.徐海浪等(2006)考虑上述缺点，使用视电阻率作为网络模型的输入节点，真实电阻率作为网络模型的输出.但是由于输入和输出节点过大，导致网络收敛速度降低，训练和测试需要大量的时间.针对这个问题，戴前伟等(2014)提出了新的建模方式，将采集并预处理后的视电阻率数据按分布区域分组，以每个分组数据为神经网络的一个训练样本.虽然通过分割样本的大小来控制输入输出节点的数量，提高了网络收敛的速度并且节约了运算时间，但是依然存在输入输出节点过多的问题.Ahmand等(2010)使用采集的视电阻率和相应的水平、垂直位置作为网络模型的输入节点，相应位置的真实电阻率作为输出节点，其特点是输入输出节点少，网络结构简单，网络收敛速度最佳，但是要求建立足够多训练网络的样本.
对于IGA-BP神经网络，以上四种建模方法均有不足，Singh等(2010)采用的建模方法网络结构复杂，训练样本数目过多，网络收敛速度慢；徐海浪等(2006)采用的建模方法输入输出节点过多，网络结构臃肿，参数过多，不便于IGA优化；戴前伟等(2014)采用的样本分割建模方法，虽然是输入输出节点有所减少，网络收敛速度加快，但是依然存在节点过多的问题.对于IGA优化设计来讲，参数过多容易导致优化时间较长；Ahmand等(2010a，2010b)提出了很好的建模方法，输入输出节点少，网络结构精炼，但是单个样本集数量过大.
本文充分考虑以上多种建模的优缺点，采用如下的建模方法:首先，确定模型的输入输出节点，对采集的视电阻率进行预处理，然后将预处理后的视电阻率和相应的水平、垂直位置作为网络模型输入节点，真实的电阻率作为网络模型的输出节点，这样构建的网络结构参数最小，模型结构精简，收敛速度快.其次分割训练样本集.由于单个样本集整体输入网络训练，数量过大，我们将大的样本集分隔开成多个小样本集，来训练网络，这样在保证网络收敛快的同时节约了运算时间，构建的模型反演效果更好.
为了验证不同学习算法对神经网络反演的影响，本文采用温纳-斯伦贝格装置进行测量，共使用37个测量电极，测量极距为1 m.共采集210个数据点.通过上述的讨论，本文IGA-BP神经网络模型使用三层神经网络结构.网络的样本集通过改变异常体的大小、位置、形态来获得，其中测试样本集不参与网络的训练，图 4为构建的部分训练样本模型.图 5为用于测试的样本模型.
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图 4 用于训练的部分样本模型 Fig. 4 The sample models for network training |
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图 5 用于测试的样本模型 Fig. 5 The sample models for network test |
其中在构建训练样本集时要尽可能考虑反演目标中异常体的形态、大小以及反演目标的周围环境测试样本集应该与反演目标较为接近.本文使用RES2DMOD软件获得的2D数据集作为训练与测试数据集.
在人工神经网络中，BP神经网络占据了重要的位置，许多研究对其内部的训练算法做了进一步的改进，从而提高收敛速度.其中比较有代表的是附加动量法、自适应学习速率法、弹性BP算法(简称RPROP).弹性BP算法只取偏导数符号，不考虑偏导数的幅值，偏导数的符号决定权值更新的方向.该训练算法收敛速度较前述两种方法快，因而在大量实际应用中，弹性BP算法非常有效.
Ahmand(2010a，2010b)、张凌云等(2011)均采用弹性BP算法作为网络训练算法，对于大数据来说，该算法收敛速度最快，因而在地球物理中得到广泛应用.
BP算法大多是局部优化算法，这些算法本身自然在训练过程容易陷入局部小的问题，即在训练过程中可能找不到某个具体问题的解.针对这个问题，张凌云等(2010)提出混合算法进行优化设计，并指出遗传算法优化神经网络的反演精度最高，但是基本的遗传算法优化时间过长，本文在基本遗传算法的基础上，又引进了免疫算法，通过引入免疫机制提高遗传算法的优化速度，使其在优化过程中，快速得到最佳解.
本文分别用三种算法——采用弹性BP训练算法的神经网络算法、遗传神经网络算法(简称GABP法)和免疫遗传神经网络算法(简称IGA-BP法)对所建立的训练样本集进行训练和测试.实验中算法的运行参数分别设置如下:种群规模均为100，疫苗接种概率:a=0.7，交叉概率:Pc =0.67，变异概率:Pm= 0.05，最大代数为1000，动态疫苗库的疫苗数量M=8.目标误差均设置为0.01，具体的参数设置如表 1所示.
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表 1 不同算法的参数设置 Table 1 The parameter settings of different algorithm |
三种不同学习算法性能如表 2、3所示，从中我们可以清晰地看出非线性算法混合反演的优越性，反演计算时间短、精度高.本文选取50个样本集和12个测试集进行试验验证，其中表 2性能对比为50次训练的平均值，学习步数和时间均是在目标收敛的情况下.表 3、4为分别使用BP法、GABP法和IGA-BP法的进行训练和测试的结果对比表，由此得到以下结论：
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表 2 反演算法权重优化过程对比 Table 2 The comparison of the optimization process of the three kinds of inversion algorithms weight |
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表 3 三种反演算法性能对比 Table 3 The three kinds of inversion algorithm performance comparison |
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表 4 三种反演算法试验结果对比 Table 4 The comparison of the three inverse algorithm test result |
(1) 针对神经网络容易陷入局部小，收敛性相对较差的问题，应用多种算法对神经网络进行权重优化，从表 2中，IGA-BP神经网络算法明显优于GABP神经网络，优化时间明显少于GABP神经网络，而且迭代次数要明显少于GABP神经网络，大大节约了运算时间.
(2) BP神经网络法进行反演时需要用双隐含层才可以获得较好的网络进行预测，需要多次调整隐含层节点数，因此迭代次数较多、费时较长，而IGA-BP法反演和GABP反演时，由于先优化了BP神经网络初始的权阙值，所以在训练时仅单隐含层网络就可得到更优的结果，反演速度较快.
(3) 收敛比是指在50次训练的过程中收敛的次数占总数的比例，表明算法的优越性.综合对比不难发现IGA-BP反演收敛效果最好.
(4) 反演时间是指训练好神经网络的权阙值参数之后，实际反演所需的时间.IGA-BP神经网络的反演时间在相同情况之下，所需时间最短，其次为GABP神经网络，而BP神经网络的时间较长，表明神经泛化能力不及前两者.
(5) (MSE)，判断系数R2通常用于判定自变量和因变量之间的符合度，通常介于0~1之间，R2越大符合性越好(张凌云，2011；戴前伟，2014)，这两者是表明数据稳定性的参数.从三种神经网络方法的预测误差值看，IGA-BP要优于GABP和BP算法，在测试的样本模型中预测最大绝对值误差，前者仅为12.3，后两者高达32.19和82.28.因此，通过上述五点的对比，可见IGA-BP和GABP神经网络算法无论训练成功率还是数据稳定性都要明显好于BP算法.从收敛速度和运算时间上看，IGA-BP算法反演效果是最优的.
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表 5 反演算法试验结果对比 Table 5 The comparison of the inverse algorithm test result |
为了进一步验证上述反演算法的性能，本文选择的算例模型为经典的垂直双阻模型和3个异常体的组合模型，并将其用于IGA-BP和最小二乘法RES2DINV、GABP、BP反演结果的对比.
模型1采用温纳-斯伦贝格装置，电极极距为1 m，共使用37个电极.背景场的电阻率为100 Ωm，其中的两处异常均为高阻500 Ωm，地下埋深分别为1 m和3 m，在水平16 m和19 m之间，异常体的尺寸大小均为1 m×3 m，如图 6a所示.在电阻率二维神经网络反演测试中，神经网络输入节点为X、Z位置和视电阻率数据，网络输出为真实电阻率参数，网络输出的反演结果如图 6所示.
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图 6 样本模型1的示意图及不同方法的反演结果 (a)模型示意图;(b)IGA-BP反演结果;(c)RES2DIV软件反演结果. Fig. 6 The model 1 and inversion results of different algorithms (a)The Schematic model;(b)IGA-BP inversion results;(c)RES2DIV software inversion results. |
从图 6和表 5的反演结果分析可知，从异常体形态上来看，IGA-BP神经网络反演的结果能较为准确地反应异常体的位置和电阻率，异常体形态和轮廓清晰，最小二乘法反演结果没有区分开异常体之间的间隙，IGA-BP反演效果明显优于RES2DINV软件的反演结果.从反演时间上来看，IGA-BP算法首先利用IGA法对神经网络进行初始权值、阙值的最优寻找，为神经网络算法提供较好的训练初始权值、阙值，优化好神经网络参数后，神经网络可以直接反演，而且不需要重复训练反演时间只需要1.6 s，而最小二乘法反演时间为2.7 s.仅单纯从反演时间来看，IGA-BP反演时间最短，具有较高的反演效率.
模型2为3个异常体的组合模型，主要用于检验IGA-BP和GABP、BP的反演性能的差异，模型2的基本参数设置如下：依然采用温纳-斯伦贝格装置，接收电极37个，电极极距1 m，背景场的电阻率为150 Ωm，高阻异常体1的形态大小为1 m×3 m，电阻率值为800 Ωm，在水平13 m和16 m之间，低阻异常体2的形态大小均为0.5 m×1 m，顶部埋深2 m，在水平14.75 m和15.25 m之间，电阻率值为20 Ωm，低阻异常体3的形态大小均为12 m×2 m，顶部埋深1 m，在水平25 m和37 m之间，电阻率值为20 Ωm，顶部埋深1 m，在电阻率二维神经网络反演测试中，神经网络输入节点为 X、Z位置和视电阻率数据，网络输出为真实电阻率参数，网络输出的反演结果如图 7所示.
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图 7 样本模型2的示意图及不同方法的反演结果 (a)模型示意图;(b)IGA-BP反演结果;(c)GABP反演结果;(d)BP反演结果. Fig. 7 The model 2 and inversion results of different algorithms (a)Schematic model;(b)IGA-BP inversion results;(c)GABP inversion results;(d)BP inversion results. |
从表 5和图 7的反演结果分析可知，从预测误差和判断系数来看，IGA-BP算法的MSE和R2仅为3.07%和0.97，反演性能最优.从异常体形态上来看，三种神经网络反演的结果均能较为准确地反映异常体的位置和电阻率，异常体形态和轮廓都较为清晰.BP算法的反演结果在高阻异常体1、低阻异常体2处出现了较大失真，多了一些冗余构造，同时低阻异常体的电阻率值与实际差异较大.GABP反演算法较BP算法得到一些改善，但在低阻异常体2依然存在较大的失真.IGA-BP算法的反演结果与实际模型更为接近，异常体的形态结构、位置、电阻率值均得到较好的反映，证实了算法具有较好的泛化能力和稳定性.
5 野外实验验证为了进一步验证IGA-BP算法的优越性，本文进行了野外工程实验，实验区域为吉林省长春市吉林大学朝阳校区原日伪时期留下的防空洞区域，图 8a为防空洞示意图.图中A处为下水管道口，下水管道口径为1 m×2 m，深度为3 m，在第12个电极和第14个电极之间.B处为防空洞区域.防空洞走向为由东向北，顶部距离地面0.5 m，深度为3 m，在第25个电极和第37个电极之间，本次探测在测区内由南向北布设1条测线，使用GenPenE60D分布式高密度电法仪器进行实地测量，采用温纳-斯伦贝格装置，电极极距为1 m，共使用37个电极，共完成测点210个.
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图 8 采空区示意图及视电阻率断面图 (a)野外示意图;(b)视电阻率断面图. Fig. 8 The schematic of Goaf and its apparent resistivity cross-sectional view (a)The Goaf schematic view;(b)The apparent resistivity cross-sectional view. |
本文用三种算法分别对采集的视电阻率进行反演成像，视电阻率断面图、反演结果分别如图 8b、图 9所示.由反演结果图 9可知，从异常体形态上来看，IGA-BP算法和BP算法均较正确地反映了异常体的位置和电阻率值，而在异常体轮廓上IGA-BP算法反演结果更为清晰.而线性反演方法反演结果与实际结果相比失真很大，并且异常体的阻值也与实际值相差很大，无法观测数据末端的异常体.基于以上判断，不难发现IGA-BP算法的优越性，从而验证了IGA-BP算法具有较强的泛化能力和稳定性.
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图 9 不同方法的反演结果 (a)IGA-BP反演结果;(b)BP反演结果;(c)线性反演结果. Fig. 9 The inversion results of different algorithms (a)IGA-BP inversion results;(b)BP inversion results;(c)RES2DIV software inversion results. |
本文联合多种算法实现了高密度电阻率法的非线性混合反演，克服了单独使用BP神经网络易陷入局部极小、依赖初始权阈值、反演时间长及收敛速度慢等缺点.文中提出将免疫遗传算法与神经网络混合进行反演，提出了最小精炼的反演模型结构，通过模型仿真与实验验证，并与BP等反演算法对比，该算法反演误差较小，反演时间较短，较传统的线性反演成像更加清晰准确，具有很好的应用前景.总之，IGA-BP反演方法是一种新型的直流电法非线性反演成像技术，对复杂地质构造和三维电阻率反演成像的问题，IGA-BP反演方法有待进一步进行理论研究，需在以后的工作中不断完善.
致谢感谢吉林大学地球信息探测仪器教育部重点实验室提供了研究平台，感谢吉林大学时间域电磁组的全体成员给予的帮助和指导，感谢审稿专家对该文的审定.
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