2016, Vol. 59
2. 中国石油大学(北京)CNPC物探重点实验室, 北京 102249;
3. 中国石油化工股份有限公司勘探分公司, 成都 610041
2. CNPC Key Lab of Geophysical Exploration, China University of Petroleum(Beijing), Beijing 102249, China;
3. Sinopec Exploration Company, Chengdu 610041, China
目前很多地震处理和解释技术基于平面波理论，比如反褶积、AVO分析、品质因子Q估计和反Q滤波等，其对反射特征的描述都是基于地震勘探重要的理论基础之一—Zoeppritz方程或其线性近似.然而实际地震采集激发的是点源，产生的是球面波，而不是平面波(Alulaiw and Gurevich, 2013).平面波相当于球面波在高频远距时的近似(徐基祥和吴律, 1997).通常认为在近场情况下，如果用平面波去近似传播波场，会产生较大误差.事实上，即使在远场情况下，在临界角附近，球面反射波与平面反射波也存在很大的差异( Červený, 1961; Ursenbach et al., 2007).除了上述的差异外，球面波与平面波另一大的差异在于，球面反射波是依赖于频率的，而平面反射波是与频率无关的.球面波携带有比平面波更丰富的动力学信息.为了更精确地描述地震波的传播机制和从地震记录中挖掘更多的有用信息，对球面波反射特征的研究具有重要的理论意义与实际价值.
迄今已有大量关于球面波的理论研究，但最重要和最基础的工作要追溯到Sommerfeld(1909)积分和Weyl(1919)积分的提出，其基本思想是将球面波分别分解为柱面波和平面波的叠加，这很大程度上降低了对球面波研究的复杂性.之后，在Sommerfeld积分或Weyl积分的基础上，人们通过一些渐近或近似方法建立球面反射波的简化表达式.具有代表性地Červený(1959)， Červený和Hron(1961)推导了球面反射波和首波的近似积分式，并分析了球面波反射系数与平面波反射系数的差异.Aki和Richards(1980), Brekhovskikh(1980), 杜世通和俞康胤(1985)用最陡降路法推导了球面反射波的零阶和一阶渐近解析式.Brekhovskikh和Godin(1999)提出了适用于临界角附近的球面声波反射系数的近似解析式；Alulaiw和Gurevich(2013)将这个近似式推广到弹性介质，得到球面波PP反射系数在临界角附近的近似解析式.Ursenbach等(2007)通过假设子波为Rayleigh子波，得到了一个半解析的球面波带限反射系数表达式，但对于其他子波，该表达式存在一定的误差.
近十年来，关于反射球面波的研究再次引起了地球物理学家的注意，研究内容主要聚焦于大偏移距的球面波AVO特征分析和AVO参数反演.这些研究的前提需要计算球面波反射系数，其计算方法大致可以分为两类：一类是通过Sommerfeld积分构建反射系数并对其进行数值计算(Haase, 2004; Ursenbach et al., 2007; 黄饶等, 2009)；另一类是利用反射率法或有限差分法进行全波场地震模拟来求取反射系数(印兴耀等, 2006; Alhussain et al., 2008; Zhu and McMechan, 2012; 杨心超, 2012).研究发现在临界角附近平面波反射系数和球面波反射系数之间存在很大的差异，此时平面波理论是失效的.鉴于此，Alhussain等(2008)，Skopintseva等(2011)，Zhu和McMechan(2012)利用球面波反射系数进行AVO反演，与常规的基于平面波反射系数的AVO反演相比，反演结果得到了显著的改善.
上述研究主要是利用大入射角度的球面波反射系数随入射角变化的特征，未对球面波反射系数与频率的关系做深入分析.根据经典的几何地震学，平面波反射系数是与频率无关的，但球面波反射系数是随频率变化(频变)的.忽略球面波反射系数的频变特征可能会导致不精确的、甚至错误的地下构造解释，尤其是对于浅层、低频率和反射界面曲率很大的情况.因此，为了更精确地描述实际地震波的反射特征、充分利用地震数据含有的有用信息，对球面波反射系数频变特征进行研究具有重要的意义.
目前并没有论文和著作阐述弹性介质中球面波反射系数的频变机制.本文对两层半无限大弹性介质中球面波PP反射系数的频变特征进行系统地研究，并与平面波反射系数进行对比.文中首先基于Sommerfeld积分建立球面波PP反射系数的积分表达式，采用自适应的Gauss-Kronrod求积算法(Shampine, 2008)对其进行稳定的数值计算.然后通过数值测试揭示球面波PP反射系数复杂的频变特征，并对频变特征进行分类.最后讨论该研究的意义.
2 方法原理对于图 1所示的两均匀半空间弹性介质模型，当激发的P波震源位于上层介质时(图 1中的S点)，根据Aki和Richards (1980)，在接收位置P处的球面反射P波位函数可表示为
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图 1 本文研究的两层介质模型的观测系统.S和S*为点震源及其对应的虚震源，P是检波器位置.实线表示P波，虚线表示SV波 Fig. 1 Observation system of the two-layer model investigated in this study. S and S* are point source and the corresponding image source, respectively; P is a recording position. Solid lines represent P waves and dashed lines represent SV waves. |
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(1) |
其中，A是取决于震源强度的常数，i是复数单位，ω是角频率，t是时间，RPP是平面波PP反射系数，p=sini1/α1为水平慢度或射线参数，i1为入射角，ξ1=(1/α12-p2)1/2为上层介质的垂直慢度，α1为上层介质的纵波速度，J0是零阶贝塞尔函数，r是偏移距，h和z分别是震源和接收点到反射界面的垂直距离(如图 1).为表示简便，下文将忽略振幅因子A和时间因子e-iωt.
式(1)中的RPP可以通过求解Zoeppritz方程得到，Aki和Richards(1980)给出了RPP的解析表达式，即
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(2) |
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其中，ρ1和ρ2分别为上层和下层介质的密度，β1和β2分别为上层和下层介质的SV波速度，α2为下层介质的P波速度，i2是P波的透射角度，j1和j2分别是SV波的反射角度和透射角度.
球面反射P波的位移与位函数有如下关系：
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(3) |
其中，ur和uz分别为反射P波沿径向和垂直方向的位移分量.
本文考虑反射P波沿射线方向的位移分量，可表示为
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其中，J1是一阶贝塞尔函数，θ为射线入射角，注意这个角度为真实的入射角度，上述的i1为积分变量中的入射角.
不同于平面波，球面波在传播过程中会发生球面扩散，因此在定义球面波反射系数时，需要消除球面扩散的影响.定义球面PP波位移反射系数RPPsph为反射P波的位移uref与虚源入射波的位移uinc之比：
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(5) |
由于虚源入射波的位函数可以解析地表示为
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(6) |
则虚源入射波沿射线方向的位移可以容易地得到：
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(7) |
其中，R=(h+z)/cosθ，即地震波由震源出发到接收点的传播距离.
将(4)和(7)代入(5)式，则有
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(8)式的积分路径中含有奇点p=1/α1，这给数值计算带来了困难.参考Ursenbach等(2007)的做法，通过如下的变量代换来消除奇点：p=sini1/α1，ξ1=cosi1/α1，于是有(p/ξ1)dp=-d(cosi1)/α1，cosi1∈[1, 0]∪[0, i∞].将上述代换代到(8)中，并令x=cosi1，经过一系列推导和整理，最后可以得到球面反射P波的位移反射系数为
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(9) |
根据Snell定理，可用sini1表示(2)式中的cosi2、cosj1、cosj2和p，再用cosi1表示sini1，由于x=cosi1，最后便可以获得(9)式中的RPP(x).
从(9)式可见积分中的奇点已经消去.在积分路径为(0, ∞)的积分式中，被积函数含有衰减项
为深入探讨球面波PP反射系数的频变规律，下面针对不同的参数模型绘制其随频率的变化曲线并归纳分析.这里只考虑临界角前较小的入射角度.
对各种参数模式的频变规律进行了数值测试，从测试结果中选取两个典型的例子进行说明，即α1 < α2和α1>α2两种情况，如表 1所示.其他参数为h=500 m，z=500 m，入射角以0°为例.图 2和图 3分别为当α1 < α2和α1>α2时的球面波PP反射系数频变曲线.为了便于比较不同参数时球面波反射系数的频变规律，对反射系数幅值进行规零化，即用球面波和平面波反射系数的幅值与对应的平面波反射系数幅值的差值作为纵轴，如图 2a、3a所示，|Rsw|、|Rpw|分别表示球面波反射系数和平面波反射系数测试模型参数的幅值，则不同介质参数的平面波反射系数都由黑色虚线表示；反射系数的相位不做处理，如图 2b、3b所示.从图 2和图 3中可以看出，对于不同的介质参数，球面波PP反射系数的频变规律是很复杂的，通过详细地研究分析，可以归纳总结为如下.
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表 1 测试模型参数 Table 1 Parameters of tested models |
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图 2 α1 < α2时球面波PP反射系数幅值(a)和相位(b)的频变规律 α1=2000 m·s-1, α2=2500 m·s-1, ρ2=2 g·cm-3. Fig. 2 Frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient when α1 < α2. Magnitude (a) and phase (b) |
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图 3 α1>α2时球面波PP反射系数幅值(a)和相位(b)的频变规律 α1=2500 m·s-1, α2=2000 m·s-1, ρ2=2.5 g·cm-3. Fig. 3 Frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient when α1>α2. Magnitude (a) and phase (b) |
当α1 < α2时(见图 2).
1)当ρ1=2.50 g·cm-3时，平面波反射系数为零，而球面波反射系数是非零的，且其幅值随频率增加而单调递减，并在高频趋近于平面波反射系数的幅值；球面波反射系数的相位随着频率增加而减小，并在高频趋近于90°，这说明球面反射P波与入射波有90°的相位差.这一现象尚未在目前的文献中见诸.
2)当ρ1=2.42 g·cm-3时，平面波反射系数为较小的正数(0.0163)，球面波反射系数的幅值在很低频率处大于平面波反射系数，但在其他的频率小于平面波反射系数，且随频率增加而在高频趋近于平面波反射系数的幅值；球面波反射系数的相位随频率增加从一个较大的相位值(约120°)单调递减地趋近于平面波反射系数的相位(0°).当ρ1=1.90 g·cm-3时，平面波反射系数为较大的正数(0.1364)，球面波反射系数的幅值小于平面波反射系数的幅值，且随频率增大而增大并在高频趋近平面波反射系数的幅值；球面波反射系数的相位随频率增加从一个较小的相位值(约40°)逐渐趋近平面波反射系数的相位(0°).
3)当ρ1=2.65 g·cm-3时，平面波反射系数为负数(-0.0291)，球面波反射系数幅值总是大于对应的平面波反射系数幅值，且随频率增加而单调递减，并在高频趋近平面波反射系数的幅值；球面波反射系数的相位与平面波反射系数的相位在低频处有较小的差异，且随频率增加两者变得几乎相等(由于此时平面波反射系数为负数，其相位为180°).
当α1>α2时(见图 3).
1)当ρ1=2.00 g·cm-3时，平面波反射系数为零，但球面波反射系数是非零的，且其幅值随频率增加而单调递减，并在高频趋近于平面波反射系数的幅值；球面波反射系数的相位随着频率增加而减小，并在高频趋近于-90°，这说明球面反射P波与入射波相比有90°的相位旋转.
2)当ρ1=2.08 g·cm-3时，平面波反射系数为绝对值较小的负数(-0.0196)，球面波反射系数的幅值在低频处大于平面波反射系数，但在其他的频率小于平面波反射系数，且随频率增加在高频趋近平面波反射系数的幅值；球面波反射系数的相位随频率增加从约-50°单调递减地趋近平面波反射系数的相位(-180°).当ρ1=2.40 g·cm-3时，平面波反射系数为绝对值较大的负数(-0.0909)，球面波反射系数的幅值随频率增大而单调递增并在高频趋近平面波反射系数的幅值；球面波反射系数的相位随频率增加而减小，并在高频趋近平面波反射系数的相位.
3)当ρ1=1.80 g·cm-3时，平面波反射系数为正数(0.0526)，球面波反射系数幅值总是大于对应的平面波反射系数，且随频率增加而单调递减，并在高频趋近平面波反射系数的幅值；球面波反射系数的相位与平面波反射系数的相位在低频处有较小的差异，且随频率增加两者的差异逐渐减小，并在较高频率趋于相等.
从上述研究中可以看出，球面波反射系数是频变的，平面波反射系数是非频变的.需要特别说明的是，平面波反射系数是非频变的只是针对均匀平面波而言.实际上，非均匀平面波是频变的.Sommerfeld积分将球面波分解为均匀平面波和非均匀平面波的叠加，正是由于非均匀平面波的频变，导致了最后叠加得到的球面反射波是频变的，因此球面波反射系数是频变的.
3.2 单频的AVO特征这部分以AVO分析为例探讨球面波反射系数频变特征的应用.AVO分析广泛应用于地震勘探中，但通常基于平面波理论，如基于Zoeppritz方程或其线性近似.然而平面波理论预测的反射系数在临界角附近是失效的，这促使人们开始关注更接近真实情况的球面波的AVO响应.典型地，Haase(2004)、Alhussain等(2008)、李胜军等(2012)研究了球面PP波反射系数随入射角的变化规律，但其主要是在时间域求取球面波反射系数，即分析的是带限球面波反射系数随入射角变化的特征.为了研究单频的球面波AVO特征，这里根据(9)式计算不同频率时球面谐波反射系数随入射角变化的曲线，进而分析频率对球面波AVO特征的影响.
测试了四类AVO模型，其中第一、二类模型根据Haase(2004)所用的模型做了小的修改，第三、四类模型为Castagna等(1998)所用的模型，具体参数如表 2所示.其他的参数为h=500 m, z=500 m, 入射角范围为0~80°.根据上述方法分别计算四类模型参数在地震频段内三个频率5 Hz、30 Hz和80 Hz(分别代表低频、中频、高频)时的球面波反射系数随入射角变化的曲线，为便于比较，也给出了根据(2)式计算的平面波反射系数随入射角变化的曲线，如图 4—7所示，其中PRC代表平面波反射系数.对比四个图可以发现，第一、二类AVO的幅值和相位都有较大的频变；第三、四类AVO的幅值有很小的频变，相位的频变也较小.
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表 2 第1—4类AVO模型参数 Table 2 Parameters of Class 1—4 AVO models |
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图 4 第一类AVO，PP反射系数幅值(a)和相位(b)随入射角的变化 Fig. 4 Class 1 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles |
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图 5 第二类AVO，PP反射系数幅值(a)和相位(b)随入射角的变化 Fig. 5 Class 2 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles |
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图 6 第三类AVO，PP反射系数幅值(a)和相位(b)随入射角的变化 Fig. 6 Class 3 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles |
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图 7 第四类AVO，PP反射系数幅值(a)和相位(b)随入射角的变化 Fig. 7 Class 4 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles |
如图 4和图 5，对于第一类和第二类AVO模型，不同频率时球面波反射系数随入射角的变化趋势是类似的.在小入射角处，中频和高频(30 Hz和80 Hz)的球面波反射系数与平面波反射系数之间差异很小，两者的曲线几乎是重合的，将图放大后发现两者存在很小的差异.但是低频(5 Hz)的球面波反射系数与平面波反射系数之间有较大的差异.随着入射角增大，两者的差异变得更加明显，尤其是在临界角附近，球面波反射系数与平面波反射系数有很大的差异.平面波反射系数在临界角处是突变的，而球面波反射系数在临界角处是光滑渐变的，且球面波反射系数(幅值和相位)在临界角之后的某一入射角处达到最大，此外还表现出了振荡的特征，这是因为首波干涉的影响( Červený，1961)，此时的反射系数也被称为广义反射系数.单频球面波反射系数在临界角后振荡的特征与Skopintseva等(2011)文中的结果类似.而带限球面波反射系数在临界角后并无明显的振荡现象(Haase, 2004; 李胜军等, 2012)，这是因为带限子波频带范围内不同单频成分的加权叠加使得振荡被压制(Skopintseva et al., 2011).由图 4和图 5可见，随频率的增大，球面波反射系数(幅值和相位)在临界角后第一极大值的位置逐渐向临界角靠近，第一极大值之后振荡的幅值也逐渐变小，可见随频率增大临界角附近的球面波反射系数逐渐逼近对应的平面波反射系数.这说明随频率增大，球面波反射趋于几何射线理论下的结果，但是即使在高频(80 Hz)时球面波反射系数与平面波反射系数之间仍然存在很大的差异.Alhussain等(2008), Skopintseva等(2011), Zhu和McMechan(2012)正是根据这一特征利用球面波反射系数进行大偏移距AVO反演，并获得了比用平面波反射系数更加精确的反演结果.对于临界角之后较大的入射角度，球面波反射系数与平面波反射系数的差异逐渐变小，且频率越高，这种差异越小，这可能是由于此时首波和反射波逐渐分离、首波对反射波的干扰减小的原因.
对于第三、四类AVO模型，如图 6和图 7所示，在这两种模型参数下不会产生首波，因此AVO曲线都比较光滑，没有出现在第一、二类AVO情况下临界角后的振荡现象.中高频(30 Hz和80 Hz)球面波反射系数的幅值和平面波反射系数的幅值差异很小，几乎是相等的；低频时(5 Hz)球面波反射系数幅值与平面波反射系数幅值之间有较小的差异.另外，不同频率的球面波反射系数的相位与平面波反射系数的相位之间存在一定的差异，且频率越小这种差异越大，尤其是对于低频，在某些入射角两者差异较大.总的来说，频率对第三、四类AVO模型的球面波AVO响应的影响较小，只有当频率很低时这种影响才相对较大.
综上所述，对于四类AVO模型，球面波反射系数与平面波反射系数在临界角附近或低频时差异很大.因此在临界角附近或低频时，需要考虑球面波反射的频变效应.
4 讨论从上述的数值测试(图 2和图 3)中可以发现，球面波PP反射系数的频变规律是很复杂的.对于上述的两种典型情况(α1 < α2和α1>α2)，球面波PP反射系数幅值的频变规律大体是一致的，其相位的频变规律存在较小的差异(比较图 2b和3b).尤其地，当平面波PP反射系数为零时，球面波PP反射系数却是非零的，且球面波反射系数的相位随频率增加在高频趋近于90°或-90°.值得注意的是，这种现象在基于平面波理论的几何地震学中是不会发生的，这丰富了我们对波传播规律的认识.按照几何射线理论或平面波理论，当平面波入射到界面上某一点后，根据Snell定理，其反射只对应着一条确定的射线路径.但是根据Sommerfeld积分，球面波可以分解为平面波的叠加，具体地说，球面波入射到界面上某一点后的反射，可以看作是围绕着中心射线的一束射线对应的平面波反射的加权叠加(Alhussain et al., 2008)，这束射线中的每一条射线都有不同的入射角度，并且都满足Snell定理.因此尽管图 2和图 3的测试中射线角度是0°，但球面反射波却是包含0°在内的一定范围入射角的平面反射波的叠加，对于图 2中蓝色虚线或图 3中红色实线对应的参数，非零度的平面波反射系数是非零的，故最后得到的球面波反射系数也是非零的.
球面波反射系数的频变规律可以带给我们很多启发性的思考.首先，这一发现可以丰富我们对地震波反射机制的认识，有助于更好地了解实际地下介质中地震波的传播规律.通过测试可以看出球面波PP反射系数的频变规律在低频、浅层尤为显著，因此其对于近地表球面波传播及反射规律的研究更有帮助；另外，近些年来随着低频勘探技术的发展，现已可采集到低至1.5 Hz的地震数据(Wang et al., 2013)，在如此低的频率下球面波的频变效应将会很明显，更精确的勘探需要考虑球面波反射系数的频变.另一方面，球面波反射系数的频变特征与地下介质参数是紧密相关的，利用其可能为反演地下介质的弹性参数提供一种新的思路，可以参考王静波(2014)利用球面声波反射系数进行反演的思路，基于(9)式用全局反演方法来反演介质的弹性参数.关于球面波反射系数频变特征的具体应用需要进一步地研究.
5 结论本文根据Sommerfeld积分公式建立了两层弹性介质中球面波PP反射系数的积分表达式，基于此研究分析了不同参数情况下球面波PP反射系数的频变特征，并对其总结分类；探讨了四类AVO模型的单频球面波反射系数随入射角的变化规律.概括地，得到了以下几方面的结论和认识.
1)当α1 < α2、平面波反射系数为较大的正数或当α1>α2、平面波反射系数为绝对值较大的负数时，球面波反射系数幅值小于平面波反射系数幅值，并随频率的增加而增大，在高频趋于平面波反射系数；球面波反射系数相位大于平面波反射系数相位，且随频率增加而减小，在高频趋于平面波反射系数相位.
2)当α1 < α2、平面波反射系数为较小的正数或当α1>α2、平面波反射系数为绝对值较小的负数时，球面波反射系数幅值在很低频率时大于平面波反射系数幅值，在其他频率时小于平面波反射系数幅值，并随频率的增加在高频趋于平面波反射系数；球面波反射系数相位大于平面波反射系数相位，且随频率增加而减小，在高频趋于平面波反射系数相位.
3)无论α1 < α2还是α1>α2，当平面波反射系数为零时，球面波反射系数不为零：球面波反射系数幅值大于平面波反射系数幅值，并随频率的增加而减小，在高频趋于平面波反射系数；球面波反射系数的相位随频率增加在高频趋近于90°或-90°.
4)当α1 < α2、平面波反射系数为负数或当α1>α2、平面波反射系数为正数时，球面波反射系数幅值大于平面波反射系数幅值，并随频率的增加而减小，在高频趋于平面波反射系数；球面波反射系数相位与平面波反射系数相位在低频时有较小差异，且随频率增加两者趋于相等.
5)对于第一、二类AVO模型，球面波反射系数与平面波反射系数在临界角附近和低频时差异都很大；对于第三、四类AVO模型，球面波反射系数与平面波反射系数仅在频率很低时才有相对大的差异.
致谢感谢休斯顿大学黄龙博士对论文撰写提供的帮助.
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