库仑应力模型在研究余震触发及主震对后续强震的触发方面发挥着非常重要的作用，国内外很多科学工作者研究了地震触发问题，并取得了引人瞩目的成果(King and Stein，1994; Harris，1998; Stein，1999; King and Cocco，2001; Freed，2005; Toda et al.，2008；Parsons et al.，2008; 万永革等，2000；石耀霖，2001；张竹琪等，2008；缪淼和朱守彪，2012，2013).特别是Stein等(1997)通过计算1939—1992年发生在土耳其North Anatolian断裂带10个6.7级以上地震的库仑破裂应力变化，发现其中90%的地震是被先前地震所触发，从而成功地预测了1999年Izmit地区强震的发生.同样，Parsons等(2008)计算了2008年汶川地震产生的库仑应力变化，发现雅安地区为库仑应力的增加区域，该区域为地震危险区.果然，在2013年雅安地区发生了芦山M_S7.0地震，这进一步说明了库仑触发模型的有效性和可预测性(缪淼和朱守彪，2013).

根据前人的研究(King et al.，1994;Harris，1998)，库仑破裂应力变化(ΔCFS)可以用下式表示：

式中，Δτ为接受断层上的剪切应力(与滑动方向一致为正)，Δσ_n为正应力变化(压为负)，μ′为有效摩擦系数(或视摩擦系数).特别是，很多研究者为考察库仑应力触发地震的效果，通常要改变模型参数，将摩擦系数从小到大变化(如:从0.0到0.8).在研究地震触发方面有代表性的经典著作中，King等(1994)计算了1992年美国L and ers地震(M_W=7.3)引起的库仑应力变化沿着San Andreas断层的分布，其结果清晰地展示: 在摩擦系数为0.75时的应力值明显高于摩擦系数为0.0时的结果; 同样，Freed和Lin(2001)计算了L and ers地震在1999年Hector Mine地震(M_W=7.1)震源处的库仑应力变化，结果也是摩擦系数为0.8的库仑应力明显高于摩擦系数为0.2时的库仑应力变化.类似的情况还有：Parsons等(1999)计算了Santa Clara Valley地区逆冲断裂带上4条断层面上的库仑应力，发现地震活动与断层面的库仑应力在摩擦很大时存在强相关；Bilek与Bertelloni(2005)计算了1999年Quepos地震(M_W=6.9)在深度为15 km的断层面造成的库仑应力变化，并让摩擦系数在0.1~0.9之间变化，结果表明库仑应力随着摩擦系数的增大而增大；Gahalaut和Gahalaut(2008)也通过计算发现对于所有正断层型地震，当摩擦系数从0.0到1.0之间变化时，库仑应力随着摩擦系数的增大而升高.同样，Toda等(2011)计算了2011年日本东北地震(M_W=9.0)同震位错造成的在余震震源机制解中2个节面上的库仑应力，分别让摩擦系数为0.4和0.8，结果也是摩擦系数大者，库仑应力就大.此类的结果还有很多，这里不再赘述.事实上，根据公式(1)，我们很容易看到，只要断层面上的正应力变化大于0，不管在什么情况下，库仑应力都是随着摩擦系数的增大而增大的.

然而另一方面，库仑应力变化越大说明断层越是接近于破裂，即越容易发生地震.所以，根据上面讨论的结果，可以得出这样的结论：“摩擦系数越大，地震就越容易被触发”.显然，这个结论与常识相违背.常识告诉我们，摩擦是阻碍断层相互滑移的，摩擦越大断层就越不容易产生滑动，即摩擦系数越大地震就越不容易发生.

那么上文的矛盾是如何产生的？这是在利用库仑模型研究地震触发现象时应该正视的一个基本力学问题，但迄今为止没有人对这一基本问题进行讨论.本文将从库仑应力计算的基本定义出发，分析由于摩擦系数变化带来的库仑应力改变，解释矛盾产生的根源，并给出解决的办法.

通常断层面上的库仑应力利用下面公式来表达(如：Harris and Simpson，1992; Reasenberg and Simpson，1992; Stein et al.，1997，1999; Simpson and Reasenberg，1994; King et al.，1994; Harris et al.，1995; Nostro et al.，1997).

这里τ为断层面上的剪切应力，σ_n为正应力，μ₀为摩擦系数，P为孔隙压(其中P=-Bσ_n，B为Skempton系数，一般在0~1之间变化)，μ′₀即为视摩擦系数，由下式决定：

B是用来考虑孔隙压引起的有效正应力的改变.

但是，当断层面上的摩擦系数从μ′₀变为μ′₁时，根据公式(2)，则断层上的库仑应力成为(假定在没有外界应力扰动的情况)：

显然，在没有地震时，由于摩擦系数的变化，断层上的库仑破裂应力的变化量为

假定地壳中有一个深度为15 km的接受断层，断层面上的正应力假设为静岩压力，其值约为-400 MPa.因此，当视摩擦系数从μ′₀=0.3变化为μ′₁=0.4时，则库仑应力变化 ΔCFS₀=(0.4-0.3)×(-400 MPa)=-40 MPa.可见，尽管断层面上的摩擦系数变化较小，但库仑应力的变化却很大，并且这个变化量远远超过了目前认为的触发地震所需的下限0.01 MPa(King et al.，1994; Harris，1998; Freed，2005).当断层在其他深度时(如：10 km)，情况也类似.

由此可见，只要断层面上的摩擦系数发生改变，就导致库仑应力发生很大的变化.但是，这个变化往往被不少研究触发的人员在计算库仑应力时，特别是在考察摩擦系数变化时所忽略.

当地震发生时，同震位错将造成断层周边应力状态发生改变，这样根据公式(2)，断层面上的库仑应力为

式中，Δτ是由于同震位错在断层面上产生的剪切应力变化，Δσ_n是地震对断层产生的正应力变化.

在这种情况下，若断层面上的视摩擦系数从μ′₀变化为μ′₁，则库仑破裂应力为：

这样，地震同震位错及摩擦系数变化两者共同作用造成的综合库仑应力变化就可以写为下式：

可是，在实际计算中，特别是考察库仑模型在摩擦系数变化对库仑应力大小的影响时，不少研究人员都忽略了上式中的第一项(ΔCFS₀)(例如：Deng and Sykes，1997; Parsons et al.，1999; Toda and Stein，2011; Bilek and Bertelloni，2005; Parsons et al.，2008)，他们仅仅考虑公式(8)中的最后一项(μ′₁Δσ_n)的贡献.

在公式(8)中，假设地震在深度15 km的断层面上造成的正应力变化为Δσ_n=2 MPa，当摩擦系数从0.3变为0.4时，虽然综合库仑应力中μ′₁Δσ_n这一项的增加量只有0.8 MPa，但同时构造应力让库仑应力下降了约40 MPa.因此，总体上综合库仑应力仍然是降低了39.2 MPa，而不是增加了0.8 MPa.即：摩擦系数的增大(从0.3变为0.4)并没有导致库仑应力的增大，而还是让其减小，并且幅度很大；这与常识是不矛盾的.大多数研究人员在计算库仑应力变化时不从整体上综合考察断层面上的总体库仑应力变化，而是片面的只看一个方面.所以，摩擦系数从小到大变化0.1，本来是断层面上有39.2 MPa的库仑应力下降，却被认为是0.8 MPa的上升，导致了计算结果与常识相违背的错误.

利用库仑破裂应力变化研究地震触发问题越来越受到广泛的关注，模型本身由原来的基于Okada(1985，1992)提出的解析解发展到分层均匀模型、甚至还可以考虑介质不均匀、各向异性等更为复杂的符合地质实际的情况.由于实际计算库仑应力变化是利用公式(1)来完成的，所以有时会忽视综合库仑破裂应力的计算形式，从而没有考虑构造应力场对计算的影响.这也是目前利用库仑模型研究地震触发的缺点之一.随着近于符合实际地质构造的数值模型的不断引入，通过计算库仑应力变化来研究地震触发问题可能会更加符合实际，库仑模型在理论上会更加科学与完善，因而更有利于对地震灾害的评估.

顺便指出，目前基于库仑破裂应力变化模型研究地震触发问题，几乎都没有考虑初始应力场的作用.实际上，若一个区域，应力的初始状态远离破裂水平，即使大地震造成很高的库仑应力增加，这里的断层也很难被触发而产生地震；反之，若一个地区，已经达到临界破裂状态，这时若给一个不太大的作用力，也可以触发产生地震.可见，在研究地震触发时，最好能够将库仑模型与局部的构造应力场结合进行全面分析.

通过以上分析与推导，得出如下初步认识：

1)若摩擦系数有一个很小的变化，断层面上的库仑破裂应力就会有很大的改变；对于一个深度为15 km的断层表面，若摩擦系数变化0.1，则库仑应力变化可达40 MPa.

2)地震同震位错产生的库仑应力模型，当断层面上的摩擦系数改变时，综合库仑破裂应力由两个部分组成：一部分来自于构造应力，另一部分来自地震位错，而构造应力导致的库仑应力变化比地震引起的还要大.当摩擦系数变化0.1时，断层面上的传统库仑应力增大0.8 MPa，但综合库仑应力可以降低39.2 MPa.这就解释了目前研究中库仑应力随着摩擦系数增大而增大的矛盾，其根本原因是忽略了构造应力场的作用.

因此，在利用库仑模型研究地震触发时，当涉及到摩擦系数改变的情况时，要特别谨慎，尤其注意构造应力场本身的影响，这样才能不断地完善库仑模型，使之在研究地震触发及灾害评估中发挥更加重要的作用.