从20世纪初以来，人们对于地震波在地下复杂孔隙流体传播过程中产生的衰减和频散研究一致持续不断，并取得了丰富的研究成果(Müller et al., 2010).人们对于地震波在含流体孔隙中传播时产生的衰减和频散机理研究的着重点不尽相同，有的是从流相和固相之间相互作用机制方面考虑，有的则是从不同流体间的相对运动机制方面考虑，后者又可分为由岩石骨架的非均匀性和由孔隙中流体的非均匀性引起的流体之间的流动两种诱导因素.

首先，Biot(1941，1956a、b，1962)在考虑了流相与固相相互摩擦的基础上推导了饱含流体孔隙介质情况下的本构方程，初步建立了地震波在双相介质中传播的理论框架.Brutsaert(1964)考虑了气水并存情况的三相孔隙介质情况，扩展了Biot双相介质传播理论，首次预测了三种纵波的存在，即一个快纵波和两个慢纵波.随后，Berryman(1981)、Garg和Nayfeh(1986)、Santos 等(1990)、Tuncay和Corapcioglu(1997)、Ghasemzadeh和Abounouri(2013)等系统分析了含两相流体的三相介质情况下地震波传播理论.针对两相固体单相流体三相介质情况，Leclaire 等(1994)建立了地震波在饱含冰水混合物孔隙介质中传播的弹性波动方程，同样预测了三类纵波的存在.Carcione 等(2000)研究了饱含单一流体含泥砂岩介质中地震波的传播规律，并与实验结果做了对比分析.Santos等(2004)在Biot理论框架下，利用虚功原理严格推导了地震波在三相介质中的传播方程.以上孔隙流体弹性波动理论主要侧重于固相和流相之间在宏观尺度的相互作用来展开研究的.

Mavko和Nur(1975)分析了部分熔融饱和岩石中扁平裂隙受压时产生的流体喷射流效应，并用其喷射流动机制解释了日本大地震(1946年)后所观测到的瞬间断层蠕动现象，随后又分析了纵波激励条件下含扁平裂隙非饱和岩石情况的地震波衰减和频散(Mavko and Nur， 1979)，其预测的衰减和频散值较Biot理论高出很多且与实验测量的幅值吻合(Murphy et al., 1986；Wang and Nur， 1990).Dvorkin和Nur(1993)假设饱和流体介质中含少量气体，首次将宏观尺度的Biot流动和微观尺度的喷射流动放在一个岩石力学模型中研究，建立了BISQ理论并随后扩展到饱和流体介质情况(Dvorkin et al., 1995).国内针对BISQ理论以及将其扩展到各向异性介质情况的研究较多，主要集中在波动方程和波场特征分析以及实际应用方面(杨宽德等，2002；聂建新，2004；申义庆和杨顶辉，2004；张显文等，2010；刘财等，2013).2010年，刘炯等利用Biot理论分析了随机介质模型中地震波衰减特征，进一步说明了骨架的非均匀性是地震波发生衰减和频散不可忽略的因素.2011年，唐晓明在Biot理论的基础上引入了硬币型裂隙“喷射流”的影响，建立了含孔隙、裂隙介质弹性波动理论，随后又考虑了另一种裂隙——尖灭型裂隙的喷射流动作用并应用到致密砂岩的储层预测中(Tang et al., 2012).孔隙介质中不仅含有扁平的裂隙可以引起孔隙结构的非均匀性，孔隙度的空间分布不同也会引起孔隙结构整体的非均匀性.由于地下岩石固结程度不同使得大小孔隙度发生区域混合，可抽象为双重孔隙介质模型. Pride和Berryman(2003)基于体积平均近似推导了地震波在其模型中传播的频率域动力学渗流控制方程.巴晶(2010)、Ba等(2011)和巴晶等(2012)对双重孔隙介质模型的地震波方程进行了分析研究.

本文假设地下多孔介质中同时含有硬币型、尖灭型裂隙以及相互连通的硬孔，在考虑硬币型、尖灭型裂隙对孔隙流体压力影响的基础上，构建了Biot理论框架下饱和流体时的含混合裂隙、孔隙介质的传播方程，并进一步得到了仅考虑不同类型裂隙情况下饱和流体时的岩石体积模量和剪切模量，分析 讨论了该模型地震波衰减和频散及其高低频极限，研究了渗透率参数、裂隙纵横比参数以及流体黏滞性参数对含混合裂隙、孔隙介质的地震波衰减和频散影响. 2 含混合裂隙、孔隙介质的传播方程

唐晓明(2011)和Tang等(2012)分别推导了封闭状态下(与排水状态相对应)含硬币型裂隙和尖灭型裂隙、孔隙介质的弹性波动理论，在Biot弹性波动理论下其饱和岩石中的流体压力分别为

在复杂地下孔隙介质中很有可能既含有连通其 它孔隙的硬币型裂隙又有附着在硬孔隙中的尖灭型裂隙.如图 1所示，为含有混合裂隙、孔隙介质的情况.外界载荷作用时，这两种裂隙易受压缩而使流体流向圆形的硬孔中，从而产生喷射流动现象，则此时在Biot弹性波动理论下孔隙中流体压力为

类似于唐晓明(2011)和Tang等(2012)建立的含孔隙、裂隙介质波动方程，利用流体压力方程(2)可得含混合裂隙、孔隙介质的弹性波动方程频率域形式为

图 1

Fig. 1

图 1 含混合裂隙、孔隙结构Fig. 1 The mixed cracked porous construction

第2节所描述的含混合裂隙、孔隙介质弹性波动理论是在Biot弹性波动理论框架下建立的.当我们仅考虑图 1中裂隙的喷射作用时，即硬孔中流体位移和固体位移相等，假设条件与Gassmann方程的条件类似，则此时由于裂隙中流体的挤喷而引起的流体压力为

同理可得含硬币型和尖灭型裂隙、孔隙介质挤喷流条件下的饱和岩石的体积模量：

饱和流体体积模量的高低频极限特征是研究和检验特定孔隙弹性理论的重要方面，本节将讨论含混合裂隙、孔隙介质饱和流体情况下体积模量和剪切模量的高低频极限. 4.1 封闭状态下的低频极限

含流体混合裂隙、孔隙介质为封闭状态情况时，所研究特征单元内的流体不与外界发生质量交换，如图 1所示，即圆形硬孔中的流体只和其相连接的裂隙发生质量交换，不与周围圆孔进行质量交换.

考虑低频极限(ω→0)，地震波在含混合裂隙、孔隙介质中传播时，特征单元内流体压强有充足的时间发生均衡松弛，从而使得混合裂隙、孔隙中的流体压力均匀分布.混合裂隙与孔隙之间的压力均衡是通过质量交换进行的，而质量交换是以喷射流的形式完成的，所以在考虑含混合裂隙、孔隙介质封闭状态下的低频极限时需考虑混合裂隙喷射流作用的影响.在此特别指出，Gassmann(1951)在介质内孔隙形状不做任何假设情况推导的低频极限饱和流体体积模量表达式适用于排水情况下，即孔隙内的流体不会发生压缩且流体压力处处相等，与文本研究所假设的封闭状态条件不同.

通过对含混合裂隙、孔隙介质饱和岩石体积模量K_sq和剪切模量μ求取低频极限可得

仅考虑混合裂隙“喷射流”特征时，高频极限条件下(ω→∞)，地震波在含混合裂隙、孔隙介质中传播时，特征单元内流体压强来不及发生均衡松弛，即混合裂隙中的流体来不及发生“喷射流”效应，进而不会对圆孔中的流体压强产生影响，此时含混合裂隙、孔隙介质高频极限岩石模量等效为排水状态下的低频极限岩石模量，即Gassmann体积模量和剪切模量：

当考虑宏观尺度“Biot流”和微观尺度“喷射流”作用时，高频极限条件下(ω→∞)，含混合裂隙、孔隙介质中混合裂隙的“喷射流”作用的影响基本消失，此时可近似看作Biot高频极限情况，其快慢纵波速度和横波速度的高频极限为

首先对含混合裂隙、孔隙介质中仅考虑微观挤喷流(第3节所述)以及在宏观尺度Biot理论框架下(第2节所述)的地震波衰减和频散进行分析研究.所选用的孔隙介质参数如表 1所示，含不同类型裂隙模型之间比较时，为保证不同类型裂隙对干岩石模量的影响一致，仅讨论含不同类型裂隙、孔隙介质地震波衰减和速度频散特征，文中不同类型裂隙及混合裂隙的总裂隙密度均为0.05，图 2为仅考虑微观挤喷流情况下含不同类型裂隙、孔隙介质中纵 横波衰减和频散.Crack1表示含硬币型裂隙、孔隙 介质，Crack2表示含尖灭型裂隙、孔隙介质，Crack1 +2表示含混合裂隙、孔隙介质，Crack1+2_low、Crack1_low、Crack2_low表示含不同裂隙、孔隙介质低频极限的纵横波速度，Gassmann表示通过公式(17)、(18)求取出的纵横波速度极限.可见，当孔隙介质中含有两种不同类型的裂隙时，其地震波衰减曲线会存在两个峰值，速度频散发生在两个不同频段，这是由于不同类型裂隙的喷射衰减机制的衰减主频不同引起的.当孔隙介质中所含的裂隙类型不同时，在低频极限情况下，纵横波速度不同且含混合裂隙、孔隙介质的低频极限地震波速度相对较低，在高频极限情况，地震波速度趋近于Gassmann情 况下的纵横波速度，也可理解为，随着地震波频率的 升 高，孔隙中流体由封闭状态向排水状态(与Gassmann低频极限条件一致)转变，与文中第四节讨论的情况一致，进一步证实了该模型的合理性.

表 1(Table 1)

表 1 孔隙介质参数 Table 1 Parameters of the porous medium 骨架及固体 硬币型、尖灭型裂隙 水 Ks=33.4 GPa ε1=0.025 Kf=2.2 GPa μs=22 GPa γ1=0.002 η=0.6×10－2Pa·s φ=0.3 ε2=0.025 ρf=1000 kg·m-3 ρs=2650 kg·m-3 γ2=0.001 k=1×10－13m2 Kd=6 GPa κ0=0.1×10－12m2 τ=2.4 μd=5 GPa

表 1 孔隙介质参数 Table 1 Parameters of the porous medium

图 2

Fig. 2

图 2 仅考虑喷射流情况下含不同类型裂隙、孔隙介质中的纵横波衰减(a，b)和频散速度(c，d)Fig. 2 The attenuation(a，b) and dispersion(c，d)of seismic wave for the porous medium including different kinds of cracks considering the effect of squirt flow of the cracks

在Biot理论框架下引入含混合裂隙、孔隙介质中微观喷射流影响建立的地震波传播方程，即公式(3)，求取并讨论了含不同类型裂隙条件下及传统Biot理论(即图中Biot曲线)的纵横波速度和吸收参数以及频散速度极限，如图 3所示.具体的求解步骤和方法可参见附录C(唐晓明，2011；Tang et al., 2012)，所选用的孔隙弹性参数参见表 1，图 3a、3b为快纵波的频散速度和吸收参数，图 3c、3d为慢纵波的频散速度和吸收参数，图 3e、3f为横波的频散速度和吸收参数.从图可见，快慢纵波和横波的吸收参数曲线呈现多个衰减峰值，其幅值和频带范围也不尽相同，快慢纵波和横波的速度随频率变化的频散程度和频带范围也相应不同，这是由于不同类型裂隙的喷射衰减机制以及Biot衰减机制的机理过程不同造成的.以快纵波的吸收参数和频散速度曲线图 3a、3b为例，在图 3a中，通过与含硬币型裂隙、孔隙介质和含尖灭型裂隙、孔隙介质中的吸收参数曲线对比可知，含混合裂隙、孔隙介质吸收参数曲线所指示的衰减峰值表示硬币型、尖灭型裂隙的喷射流动作用机制产生的衰减峰，Biot所指示的衰减峰值表示由宏观Biot衰减作用机制产生的衰减峰. 在图 3b中，Biot_high曲线表示利用公式(19)计算的快纵波速度的高频极限，由图可见，在封闭条件下含不同类型裂隙、孔隙介质的低频极限不同，且都小于排水条件下的低频极限速度(Gassmann曲线)，在Biot弹性理论框架下，高频极限情况下含不同类型裂隙、孔隙介质的速度都趋于Biot理论的高频极限速度.在图 3中，通过与含硬币型裂隙、孔隙介质和含尖灭型裂隙、孔隙介质中的频散速度曲线对比，可知含混合裂隙、孔隙介质快纵波的频散速度的不同频段的频散也相应地由不同的衰减作用机制引起的.而值得注意的是不同类型裂隙的“喷射流”作用对于慢纵波的频散速度的影响相对较小，如图 3d所示.

图 3

Fig. 3

图 3 Biot理论框架下含不同类型裂隙、孔隙介质的快慢纵波和横波的衰减与频散 (a)、(b)为含不同类型裂隙、孔隙介质快纵波的衰减和速度；(c)、(d)为含不同类型裂隙、孔隙介质慢纵波衰减和速度；(e)、(f)为含不同类型裂隙、孔隙介质横波衰减和速度.Fig. 3 The attenuation and dispersion of the fast and slow P waves and S wave for the porous medium including different kinds of cracks in the frame of Biot theory The attenuation(a) and dispersion velocity(b)for the fast P wave，the attenuation(c) and dispersion velocity(d)for the slow P wave，the attenuation(e) and dispersion velocity(f)for the S wave.

随后，笔者分析了不同渗透率条件下含混合裂隙、孔隙介质的地震波衰减和频散，结果如图 4所示.由图可见，渗透率参数仅对含混合裂隙、孔隙介质中由“Biot流”衰减机制引起的地震衰减和频散产生影响，且随着渗透率参数的升高，其地震波衰减和频散向低频移动，振幅不会发生变化，进一步说明了渗透率参数为频率控制参数.而介质的渗透率大小与孔隙中的裂隙密切相关，本文中的裂隙是由裂隙纵横比和裂隙密度来刻画的，至今，针对裂隙与渗透率之间定量关系的研究未见报道，本文分析了不同裂隙纵横比参数(以尖灭型裂隙为例)条件下含混合裂隙、孔隙介质的地震波衰减和频散，结果如图 5所示.由图可见，随着裂隙纵横比参数的增加，由尖灭型裂隙“喷射流”衰减机制引起的地震波衰减和频散向高频段移动，而其振幅值没有变化，说明裂隙纵横比参数也是一个频率控制参数，与渗透率参数类似，也进一步说明了裂隙与渗透率参数之间必然存在密切联系.值得注意的是，随着裂隙参数的变化，有一部分地震波衰减移向了地震频带，说明了微观尺度的“喷射流”衰减机制也可能会对地震波地震频带的衰减和频散产生一定的影响.

图 4

Fig. 4

图 4 不同渗透率条件Biot理论框架下含混合裂隙、孔隙介质的快慢纵波和横波的衰减与频散 (a)、(b)为含混合裂隙、孔隙介质快纵波的衰减和速度；(c)、(d)为含混合裂隙、孔隙介质慢纵波衰减和速度；(e)、(f)为含混合裂隙、孔隙介质横波衰减和速度. Fig. 4 The attenuation and dispersion of the fast and slow P waves and S wave for the porous medium including mixed cracks in the frame of Biot theory for different condition of permeability The attenuation(a) and dispersion velocity(b)for the fast P wave，the attenuation(c) and dispersion velocity(d)for the slow P wave，the attenuation(e) and dispersion velocity(f)for the S wave.

图 5

Fig. 5

图 5 不同裂隙纵横比条件Biot理论框架下含混合裂隙、孔隙介质快慢纵波和横波的衰减与频散 (a)、(b)为含混合裂隙、孔隙介质快纵波的衰减和速度；(c)、(d)为含混合裂隙、孔隙介质慢纵波衰减和速度；(e)、(f)为含混合裂隙、孔隙介质横波衰减和速度.Fig. 5 The attenuation and dispersion of the fast and slow P waves and S wave for the porous medium including mixed cracks in the frame of Biot theory for different conditions of crack aspect ratio The attenuation(a) and dispersion velocity(b)for the fast P wave，the attenuation(c) and dispersion velocity(d)for the slow P wave，the attenuation(e) and dispersion velocity(f)for the S wave.

流体的黏滞性大小对于地下储层流体类型识别和油气田开发十分重要，针对含混合裂隙、孔隙介质，笔者又分析了流体黏滞性对地震波衰减和频散的影响，其结果如图 6所示.由图可见，随着流体黏滞性的增加，由混合裂隙(硬币型、尖灭型)“喷射流”衰减机制引起的地震波衰减和频散向低频段移动，由“Biot流”衰减机制引起的地震衰减和频散向高频段移动，两者的振幅值都未发生变化，说明流体黏滞性也为一个频率控制参数.

图 6

Fig. 6

图 6 不同流体黏滞性条件Biot理论框架下含混合裂隙、孔隙介质快慢纵波和横波的衰减与频散 (a)、(b)为含混合裂隙、孔隙介质快纵波的衰减和速度；(c)、(d)为含混合裂隙、孔隙介质慢纵波衰减和速度；(e)、(f)为含混合裂隙、孔隙介质横波衰减和速度. Fig. 6 The attenuation and dispersion of the fast and slow P waves and S wave for the porous medium including mixed cracks in the frame of Biot theory for different conditions of fluid viscosity The attenuation(a) and dispersion velocity(b)for the fast P wave，the attenuation(c) and dispersion velocity(d)for the slow P wave，the attenuation(e) and dispersion velocity(f)for the S wave.

本文鉴于地下复杂介质中孔隙形状的多样性，同时考虑了孔隙中硬币型和尖灭型两种裂隙形状微观尺度喷射流衰减机制，建立了饱和流体情况下含混合裂隙、孔隙介质模型，并针对该模型分析讨论了其地震波衰减和频散的高低频极限，进一步分析了渗透率、裂隙纵横比和流体黏滞性对于地震波衰减和频散的影响.

由于不同孔隙形态、不同尺度的固体和流体非均匀性引起的地震波衰减机制不同，其作用的频带范围也不相同.且考虑的非均匀因素越多，地震波的吸收参数曲线的衰减峰值越多，地震波速度在多个频带发生衰减，最终导致地震波的吸收参数曲线呈现“多峰”，速度曲线呈现“多频段”频散现象，渗透率参数、裂隙纵横比参数以及流体黏滞性参数均为频率控制参数，各参数对于地震波衰减的频散的影响规律各不相同. 致谢 感谢两位匿名审稿专家对本文提出的宝贵修改意见. 附录A

含混合裂隙、孔隙介质的弹性波动方程的地震波衰减和频散速度为