2015, Vol. 58
2. 中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所, 廊坊 065000;
3. 深部岩土力学与地下工程国家重点实验室, 中国徐州 221008
2. Institute of Geophysical and Geochemical Exploration, Chinese Academy of Geological Science, Langfang 065000, China;
3. State Key Laboratory for GeoMechanics and Deep Underground Engineering, Xuzhou 221008, China
On the basis of Maxwell's equations, the electromagnetic field is separated into background field with analytical solution of a layered media and the secondary field caused by anomalous bodies, which is numerically computed by the finite element method, to avoid the source singularity. Firstly, the corresponding variation question of the three-dimension boundary value problem for CSEM is given according to the generalized variational principle. Secondly, the FEM is implemented to solve the variational equation. The computational area is divided into many arbitrary hexahedral element meshes, in which the tri-linear interpolation is performed on the electromagnetic field and conductivity parameter simultaneously to simulate the model with electrical conductivity of continuous variation. Thus the variational equation is converted into a linear equation system, and it is solved to obtain the secondary electric field at each node. In the process, the divergence condition is added to eliminate the spurious solution. Using the relation between the electric fields and the magnetic fields, the secondary magnetic field value of each node is also obtained. In combination with the background field, the total electromagnetic fields of each node can be calculated, resulting in apparent resistivity and impedance phase values on the ground surface. Finally, numerical modeling results for a series of models are carried out to validate the effectiveness of our 3D CSEM finite element algorithm.
The result of our method shows 0.002 percent error in apparent resistivity and 0.0005°error in impedance phase for a homogeneous half-space model. The FEM modeling for a continuous multilayer model shows obviously differences in comparison to analytic solutions for its corresponding layered model, which are up to 44.43% for apparent resistivity and 13.27° for impedance phase. For more complicated models, such as the combined model with multiple 3D anomaly bodies or sloping interface anomaly bodies, our FEM method works well and illustrates subsurface structures effectively.
A CSEM modeling method is developed using FEM to compute the electromagnetic responses for three-dimensional models. The main feature of our method is that the secondary electrical field is solved by FEM with arbitrary hexahedral element meshing, in which the tri-linear interpolation is performed on the electromagnetic field and conductivity parameter simultaneously. In addition, the divergence condition is used to overcome the spurious solution. Finally the total field is obtained by adding the secondary electrical field to the analytical background field. Numerical experiments show our new three-dimensional CSEM forward modeling algorithm ensures the accuracy of the solution and is able to simulate more complicated model with arbitrarily shaped structures and continuous variation of electrical conductivity.
可控源电磁法(Controlled source electromagnetic method，CSEM)是金属矿、石油天然气、地下水、地热等资源勘查的重要方法(何继善，1990；石昆法，1999；汤井田，2005；底青云等，2008).由于数据解释的需要，二、三维CSEM数值模拟一直是国内外学者研究的热点.Coggon(1971)首次提出2.5维电磁波场问题的有限元理论；Unsworth等(1993)提出了基于二次场CSEM二维有限元数值模拟系统，并重点讨论有限长度电偶源激发场的特征；Mitsuhata(2000)借用地震数值模拟中震源的加载方法，使用伪delta函数的方法模拟了2.5维可控源电磁响应；Li和Key(2007)提出基于后验误差估计的自适应有限元算法并进行二维海洋可控源电磁法模拟；孟永良和罗延钟(1996)实现了基于总场的二维CSEM正演；陈小斌和胡文宝(2002)采用有限元直接迭代算法实现了线源频率域响应的二维正演计算；王若等(2006)、张继锋等(2009a)实现了频率域线源大地电磁法有限元正演模拟；底青云(2004a，2004b)建立了2.5维有限元CSAMT数值模拟方法，较准确地获得复杂介质结构的波场特征；雷达(2010)针对起伏地形下CSAMT二维地电模型，采用加权余弦数值积分法，进行了波数域电磁场二维有限单元法正演.三维CSEM正演模拟多采用有限差分法(沈金松，2003；Weiss and Constable， 2006；付长民等，2009；邓居智等，2011)和积分方程法(Zhdanov, et al.,2006)，三维CSEM有限元数值模拟的工作目前还很少.Pridmore等(1981)采用有限单元法求解三维地电结构的电磁响应；闫述和陈明生(2000)、王若等(2007)发表了有关三维频率域电磁测深地电模型有限元正演；汤井田和何继善(2007)系统建立了Coulomb规范下磁矢量势-电标量势的hp型自适应有限元分析的基本理论，但没有给出计算结果；张继锋(2009b)，薛云锋和张继锋(2011)在Mitsuhata加载源方法的基础上，实现了基于总场的三维可控源电磁法有限元数值模拟；徐志锋和吴小平(2010)采 用电磁场的磁矢量位和电标量势，实现了可控源电磁三维频率域有限元模拟方法，但没有给出磁场的计算结果，因而不能计算常用的卡尼亚视电阻率.
上述二、三维CSEM数值模拟方法均未考虑地下介质电性连续变化的情况，而实际地下岩矿石的组分及其所在环境的温度、湿度可能是渐变的，使得电导率参数往往连续变化.针对实际勘探中地下介质的这种连续变化，阮百尧和徐世浙(1998)，阮百尧和熊彬(2000)实现了电阻率分块连续变化的二、三维直流电阻率法有限元数值模拟；李勇等(2011)实现了基于异常复电位复电导率分块连续变化的2.5维复电阻率有限元数值模拟；徐世浙等(1995)、刘云和王绪本(2012)实现了电性参数分块连续变化的二维大地电磁(MT)有限元数值模拟.可控源电磁法方面，仅Li和Key(2007)在二维海洋可控源电磁法有限元模拟中考虑了电性参数分块连续变化，还未见三维情况下的相关工作成果发表.
另外，CSEM采用人工可控信号源，基于总场CSEM有限元数值模拟由于源的奇异性会带来较大的计算误差，因为其变分问题包含源项(张继锋，2009b)，总场在源处是奇异的，线形插值函数不能精确描述源附近总场的快速衰减，从而带来较大的计算误差，通过对源附近的网格加密也只能有限地提高计算精度，但计算量将大量增加.基于二次场CSEM有限元数值模拟方法，源产生的一次场单独处理，其有解析解，因此在变分问题中不包含源项，计算精度会提高，且不增加有限元方法的计算工作量.本文研究新的基于二次场CSEM有限元数值模拟方法，采用任意六面体单元对研究区域进行剖分，并且在单元分析中同时对电导率及二次电场进行三线性插值，以模拟实际勘探中地下任意形状及电性参数连续变化的复杂模型.
考虑如图 1a所示的三维地电模型，全空间由空气、异常体和大地组成，电导率σ是空间任意点的函数，任意方向的水平电偶极子源置于地表的任意位置. 假定大地中的磁导率和介电常数与自由空间磁导率μ和空气介电常数ε相同，取时谐因子e－iωt.根据电磁场理论，三维地电模型中任意点的电场强度E和磁场强度H满足如下的麦克斯韦方程式:
对(1)式两边取旋度，并将(2)式代入可导出电场强度E所满足的微分方程为
根据叠加原理，总电场E分解为一次电场E0和二次电场Es，有
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图 1 三维模型及离散化示意图 (a)三维模型；(b)三维模型离散化. Fig. 1 Schematic diagram for a three-dimensional model and the model meshing (a)Three-dimensional model;(b)The 3-D model meshing. |
方程(5)是均匀半空间中水平电偶极子激发产生的一次电场，可用解析法求解.方程(6)是二次电场Es所满足的矢量波动方程，取外边界Γ足够大，使异常体产生的二次电场Es衰减到外边界处趋于0，可获得足够精确的第一类边界条件，构成三维地电模型CSEM二次电场的边值问题.
根据广义变分原理(徐世浙，1994)，上述二次电场边值问题对应的变分问题为
求解CSEM三维地电模型二次场变分问题的有限元方法步骤如下：
3.1 网格剖分首先对研究区域进行三维网格剖分.为了模拟不规则形状的复杂地电结构，在x、y方向，采用任意形状的六面体单元将区域划分成若干个曲面层，每个曲面层包括目标区域和网格外延区域(网格外 延区域主要是为了模拟无穷边界)，目标区域x、y方向采用等间隔网格，网格外延区域采用不等距网格；z方向(包括空气层)采用不等距网格.目标区域为地质体赋存区域，也是数据采集区域，地表的源可以在目标区也可以在网格外延区域，如图 1b所示.为了便于计算，对剖分网格中的任意六面体单元进行等参变换，将直角坐标系内不规则的网格单元(如图 2a所示的子单元)转换成自然坐标系下的正方形网格(如图 2b所示的母单元)，这样，式(7)在整个研 究区域V的积分可分解为各六面体等参单元的积分:
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图 2 任意形状的六面体单元示意图 (a)子单元；(b)母单元. Fig. 2 Schematic diagram for an arbitrary hexahedral element (a)Sub-element;(b)Parent element. |
将任意六面体的8个角点取为节点，其节点的编号及坐标如图 2所示.在六面体单元内一次电场Ee0、二次电场Ees、电导率σ和异常电导率σs均呈三线性变化，则在每个单元内Ee0，Ees，σ和σs满足如下的表达式:
式(8)的第1项单元积分:
为单元内x、y、z方向的二次电场.将式(12)写成矩阵形式，有
式(8)的第2项单元积分
在单元e内，将(13)、(15)、(17)式的积分结果相加，再扩展成全部单元的相加，有
以上步骤将连续函数Es的泛函F(Es)离散成各节点Es值的多元函数，对多元函数求极值即可获得泛函的极值，有
求解过程中，常规立方体剖分时单元积分得到矩阵中的各个元素为常数(徐世浙，1994).而采用任 意形状的六面体剖分，其单元积分需要用等参变 换来处理，把式(9)代入式(20)将形成形如
类型的积分，被积函数f(ζ，η，γ)是与六面体曲面形态有关的复杂函数，需采用高斯数值积分计算(徐世浙，1994).
计算结果表明，采用上述节点有限元离散方程(6)式来计算二次电场，计算结果存在伪解，有资料表明，这种解不满足散度条件(金建铭，1998；底青云和王若，2008).为了消除伪解，在(7)式的变分问题中增加一个罚项来强加散度条件，有
将式(1)展开，二次磁场Hsy的表达式为
求得 Esx z和Esz x 后代入式(25)便可计算出地面上节点的二次磁场值Hsy，加上由解析解计算的一次磁场值H0y获得各节点上的总磁场Hy，便可用下式分别计算视电阻率ρxy和相位φxy：
为了验证算法的正确性，以及对电导率连续变化的模型进行有限元计算，本文设计了五个理论地电模型.其所有模型的三维有限元网格剖分均如图 1b所示，x、y方向目标区(-3000 m≤x≤3000 m、-3000 m≤y≤3000 m)采用均匀网格剖分，网格间距100 m，网格节点数均为61个，网格外延区域采用稀疏网格，其左、右、前、后网格节点数均为13个，网格间距逐渐向边界扩展，分别为200、400、400 m、 800、800、1600、1600、3200、3200、6400、12800、25600 m； z方向采用非均匀网格剖分，网格节点由空气层的网格节点和大地的网格节点组成，空气层的网格节点 数是18个，其网格节点坐标从上到下分别为-50 km、 -30、-10、-8、-5、-2、-1.5 km和-1 km； -500、-300、-200、-175、-150、-125、-100 m、-75、-50 m和-25 m，大地的网格节点数61个，网格节点坐标从0~-50 km.值得注意的是，为模拟电导率分块连续变化，本文与传统分块均匀模型将各单元的电导率赋予一个常数的剖分不同，电导率值是赋予在剖分单元的节点上，通过三线性插值的方法实现电导率分块连续变化.计算频率为f=2nHz，n取值从-6到12，共19个频点，如表 1中所示.
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表 1 均匀半空间模型三维有限元数值模拟解与解析解对比 Table 1 Comparison between analytical and 3-D FE solutions for homogeneous half-space model |
均匀半空间模型如图 3所示，电阻率为100 Ωm，发射源长度和电流强度分别为1 m和1A的电偶极子Tx位于目标区域，Tx中点与直角坐标系坐标原点0重合，其方向沿着x方向.该均匀半空间模型的视电阻率和相位存在解析解.点A(0，1500，0)m处有限元三维数值模拟计算的不同频率视电阻率和相 位与解析结果的比较见表 1，相应的视电阻率和相 位曲线如图 4所示，解析结果采用中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所研发的的电法勘探工作站WEM2.5计算.用公式
 | 图 3 均匀半空间模型示意图 Fig. 3 chematic diagram of homogeneous half-space model |
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图 4 均匀半空间模型三维有限单元计算结果与解析解结果对比 (a)视电阻率；(b)相位. Fig. 4 Comparison of the analytical and 3-D FEM solutions for homogeneous half-space model (a)Apparent resistivity;(b)Phase. |
由公式(28)、(29)计算得到视电阻率相对误差Xρxy和相位误差Xφxy分别为0.002%和0.0005°，三维有限元计算结果与解析解在很宽的频段上均吻合非常好.图 5还给出频率2 Hz的电场Ex和磁场Hy振幅全空间分布，可以直观地看到，地表的 Ex和Hy 呈4个花瓣状的图案，4个花瓣被4个低值带所分开，为可能的三维全空间测量提供参考.
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图 5 模型一电磁场空间分布示意图 (a)电场振幅；(b)磁场振幅. Fig. 5 Space distribution of the electrical and magnetic fields for homogeneous half-space model (a)The amplitude of the electrical field;(b)The amplitude of the magnetic field. |
水平层状一维连续介质模型如图 6所示.发射源长度和电流强度分别为1000 m和30 A的电偶 极子Tx位于网格外延区域，Tx中点坐标为(0、-8000、 0)m，其方向平行于x轴.第一层电阻率为10 Ωm，厚度为500 m，第三层电阻率为500 Ωm，第二层为电阻率连续变化介质，厚度为500 m，电阻率随着深度 线性增加，其电阻率变化如图 7a所示，该模型目前 未见到解析解，可由本文的有限元方法计算.图 7b是对应的三层电阻率均匀模型，有解析解，其第一层和第三层电阻率与图 7a相同，中间层厚度仍为500 m，但电阻率为第一和第三层电阻率的对数平均值，以近似图 7a的线性变化.分层连续变化模型在原点的视电阻率和相位与三层均匀模型的解析结果比较见表 2，相应的视电阻率和相位曲线如图 8所示.可以看出，分层连续变化介质模型与均匀模型的视电阻率曲线和相位曲线形态基本一致，但在某些频点上差异较大，视电阻率差异最大可达44.43%，相位差可达13.27°，而且在低频的视电阻曲线上产生了 系统偏差，表明电阻率连续变化相对电阻率均匀层 状模型有明显影响.如果实际地下岩石电阻率为连续变化，而依然采用传统的分层均匀模型进行解释，显然会造成较大的误差，值得引起重视.
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图 6 水平层状一维连续介质模型示意图 Fig. 6 Schematic diagram of a stratified model with continuous media |
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图 7 水平层状一维介质模型电阻率分布 (a)介质分层连续变化模型;(b)三层均匀介质模型. Fig. 7 Distribution of resistivity for 1D stratified models (a)Continuous variation of resistivity;(b)Step variation of resistivity. |
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图 8 水平层状一维介质模型三维有限单元计算结果与解析解结果对比 (a)视电阻率;(b)相位. Fig. 8 Comparison between the analytical and 3-D FEM solutions for 1D stratified models (a)Apparent resistivity;(b)Phase. |
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表 2 水平层状一维介质模型三维有限元数值模拟解与解析解对比 Table 2 Comparison between the analytical and 3-D FEM solutions for 1D stratified models |
为了模拟电导率连续变化三维地电模型地表二次电磁场的分布，设计了两个异常体模型，如图 9所示，电阻率为1000 Ωm的均匀半空间中存在两个电 阻率为100 Ωm的低阻异常体(异常体大小500 m×500 m×1000 m，埋深500 m).用x-y平面图和x-z断面图表示的网格离散化后空间电阻率的分布示意图如图 9(a，b).注意到，异常体与围岩过渡区域的电导率是连续变化的，如图 9(a，b)的色标渐变所示.发射源Tx(长度和电流强度分别为1500 m和 20 A)位于网格外延区域，其方向与x轴平行，Tx中点坐标为(0、-8000、0)m.该模型不同频率地表二次电磁场、视电阻率和阻抗相位数值模拟计算结果如图 10所示，从图中可以看出，地表二次电磁场等值线图较好地显示了两个异常体的位置，磁场的异常分辨率大于电场的异常分辨率，另外，从视电阻率和相位等值图可以看出，频率为128 Hz时异常反应比较明显，这主要是与异常体的埋藏深度有密切的关系，随着频率的降低，视电阻率和相位异常分辨率随之降低.
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图 9 与围岩过渡区域电导率连续变化的两个三维异常体模型示意图 (a)平面图;(b)断面图. Fig. 9 Schematic diagram for the model with two 3D anomaly bodies around which shows continuous variation of electrical conductivity |
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图 10 两个三维异常体模型不同频率地表二次电磁场、视电阻率和相位等值线图 (a1)、(a2)、(a3)和(a4)分别为1024Hz地表二次电场振幅、二次磁场振幅、视电阻率和相位; (b1)、(b2)、(b3)和(b4)分别为128Hz地表二次电场振幅、二次磁场振幅、视电阻率和相位; (c1)、(c2)、(c3)和(c4)分别为16Hz地表二次电场振幅、二次磁场振幅、视电阻率和相位. Fig. 10 Contour plot of the secondary fields，apparent resistivities and phases with different frequencies on the ground for the model with two 3D anomaly bodies Fig.(a1)，(a2)，(a3) and (a4)show the amplitudes of the secondary electric and magnetic fields，the apparent resistivity and phase at 1000Hz on the surface，respectively; Fig.(b1)，(b2)，(b3) and (b4)show the amplitudes of the secondary electric and magnetic fields，the apparent resistivity and phase at 128Hz on the surface，respectively; Fig.(c1)，(c2)，(c3) and (c4)show the amplitudes of the secondary electric and magnetic fields，the apparent resistivity and phase at 16Hz on the surface，respectively. |
6.3 “V”字型异常体三维模型
为了模拟电导率连续变化倾斜界面的异常特征，设计“V”字型异常体，如图 11所示，电阻率为1000 Ωm的均匀半空间中含有电阻率为100 Ωm、厚度为100 m的“V”字型异常体，“V”字型异常体在地表投影的中心剖面为y=0 m，其电阻率分布断面图如图 11a所示，“V”字型异常体沿着中心剖面向两侧分别沿伸400 m，网格离散后电阻率的空间分布如图 11b所示，与图 9类似异常体周边的电阻率也是渐变的，发射源Tx(长度和电流强度分别为1000 m和30 A)位于网格外延区域，其方向与x轴平行，Tx中点的坐标为(0，-15000，0)m.
图 11和图 12分别是地表不同剖面y=-600 m、 -300、0、300 m和600 m的视电阻率等值线图和相位等值线图，纵坐标为频率，横坐标x为测点坐标，测点间距100 m，x=-3000~3000 m.由图 12和图 13可以看出，视电阻率和相位等值线很好地反应了“V”字型异常形态.
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图 11 与周边电性渐变的V字型异常体模型示意图 (a)断面图;(b)电阻率分布图. Fig. 11 Schematic diagram for anomaly body shaped as V and continuous variation of electrical conductivity is shown around it. (a)Section view;(b)The spatial distribution of resistivity. |
 | 图 12 不同剖面视电阻率等值线图 Fig. 12 Contour plot of apparent resistivity in x planes |
 | 图 13 不同剖面相位等值线图 Fig. 13 Contour plot of phase in x planes |
为了模拟电导率连续变化的复杂地质情况异常特征，图 14为电阻率100 Ωm均匀半空间中有电阻率分别为20、500、20、500、20 Ωm 5个相间的异常体，在x、y、z方向的长度均分别为400、800、400 m，埋深均为200 m，其周边介质的电阻率同样显示为 渐变.图 14a表示地下异常体在地表的投影，图 14b表 示 y=0断面(x=－3000~3000 m，z=－2000~0 m)的电阻率分布，发射源Tx(长度和电流强度分别为1000 m和30 A)位于网格外延区域，其方向与x轴平行，中心点的坐标为(0、-12000、0)m.图 15是电偶极子发射频率为8 Hz时地表y=0剖面(x=－3000~3000 m，z=0)的视电阻率曲线和相位曲线，图 16是电偶极子发射频率为8 Hz时地表的视电阻率等值线和相位等值线，由图可以看出，数值模拟结果反映了异常体高低阻相间的特性，与地下异常体的分布相吻合.
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图 14 电导率连续变化的复杂模型示意图 (a)平面图;(b)断面图. Fig. 14 Schematic diagram for combined complex model with multiple 3D anomaly bodies and continuous variation of electrical conductivity around them (a)Plan view;(b)Section view. |
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图 15 8 Hz时正演模拟结果 (a)视电阻率曲线图;(b)相位曲线图. Fig. 15 The apparent resistivity and phase curve for combined model with multiple 3D anomaly bodies (a)Apparent resistivity;(b)Phase. |
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图 16 率为8 Hz的地表视电阻率和相位等值线图 (a)视电阻率(单位:Ωm);(b)相位(单位：(°)). Fig. 16 Contour plots of the apparent resistivity and phase on the ground at 8 Hz (a)Apparent resistivity;(b)Phase. |
本文采用任意六面体单元剖分，并且在单元分析中同时对电导率及二次电场进行三线性插值，实现了基于二次场电导率分块连续变化的三维可控源电磁有限元数值模拟新方法.同时，在变分问题中增加一个罚项来强加散度条件，克服了有限单元求解二次电场伪解的出现，均匀大地模型理论计算结果表明，本文的三维可控源电磁有限元数值模拟取得了很高的计算精度.进一步在模拟实际勘探中地下任意形状及多异常体组合、电性参数连续变化等复杂模型的计算中，也均取得可靠的结果.
分层连续变化模型的有限元计算结果表明，其与对应的层状模型解析结果有明显差异.实际数据解释中，应避免用简单的分层模型代替可能的地下介质连续变化模型，否则会造成较大的偏差.
致谢 感谢两位匿名评审专家提出了非常有价值的修改意见，对论文总体质量的提高帮助很大.中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所王书民博士审阅了修改稿，在此表示致谢！| [1] | Chen X B, Hu W B. 2002. Direct iterative finite element (dife) algorithm and its application to electromagnetic response modeling of line current source. Chinese J. Geophys. (in Chinese), 45(1): 119-130. |
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