地球物理学报  2015, Vol. 58 Issue (3): 1035-1041   PDF    
重力场实数尺度小波分解及其应用
侯遵泽1, 杨文采2, 王允1, 李春华1    
1. 中国人民武装警察部队学院, 河北廊坊 065000;
2. 中国地质科学院地质所, 北京 100037
摘要:重力异常的多尺度分解是利用重力资料进行地质解释的重要环节,以往的小波多尺度分解,其小波细节尺度都是2的正整数次幂,这虽然非常有效,但在某些情况下,细节还是不够细致.因此,本文提出用无理数√ 2的正整数次幂为尺度细节进行多尺度分解,以便取关于地壳三维密度结构的更多细节.中国陆地布格重力异常的实例表明,该方法得到的异常细节更为细致,新增加的无理尺度小波细节为我们提取了更多地壳构造信息,可对地质构造解释发挥更有力的作用.
关键词中国陆地     重力场     实数尺度     小波细节     地壳密度结构    
The production and application of irrational scale wavelet details for gravity field
HOU Zun-Ze1, YANG Wen-Cai2, WANG Yun1, LI Chun-Hua1    
1. Chinese People's Armed Police Forces Academy, Hebei Langfang 065000, China;
2. Institute of Geology Chinese Academy of Geological Science, Beijing 100037, China
Abstract: Multi scale decomposition of gravity anomaly is the key step for gravity data geological interpretation. But in previous multi scale wavelet decomposition the wavelet detail scale is based on 2 to the power of positive integer, which proved to be effective in many cases, but in some cases the details are not delicate enough. In this paper multi scale wavelet decomposition was carried out based on irrational number √ 2 to the power of positive integer, in order to obtain better information about crustal density structures.
The Mallat and Daubechies methods are still employed for wavelet multi scale decomposition, and only the selected scale varies. The irrational number √ 2 to the power of positive integer can be introduced for multi scale wavelet decomposition.
Applying the irrational decomposition method presented in this paper, re-decomposition was performed with 1st-7th order wavelet scale for the Bouguer gravity anomaly of Chinese mainland, among which the 2nd, 4th and 6th order wavelet details were the irrational scale details. The result demonstrates the conventional 4th order approximation of conventional decomposition and the 7th order approximation with the method presented in this paper. By comparison we can find that the 7th approximation results are in accordance with the conventional 4th decomposition results, which demonstrates the presented method's correctness and coherence. This 7th order wavelet details reveal more delicate characterization of gravity anomaly of Chinese mainland, which will play an active role in geological interpretation.
In view of the wavelet multi scale decomposition result of Bouguer anomaly of Chinese mainland, we can conclude that irrational scale wavelet decomposition gets more delicate wavelet details than that from conventional decomposition, which is favorable for practical application. These two methods can get similar approximation results, which reflects the coherence as a whole.
Key words: Chinese continent     Gravity field     Irrational scale     Wavelet details     Crustal density structures    
1 引言

自20世纪90年代后期侯遵泽和杨文采提出并采用小波多尺度分析方法进行重力场多尺度分解以来(侯遵泽和杨文采, 19951997侯遵泽等,1998),重力异常的多尺度分析方法技术得到了广泛的应用,显示出了良好的效果(Yang and Hou, 19961997杨文采和侯遵泽, 1997杨文采等, 2001侯遵泽和杨文采,2011高德章,2000方盛明,2001侯遵泽等,2014).然而,在应用中发现,有时有的数据分解的结果不够细致,导致一些细节难以划分,例如,在研究大型沉积盆地内部构造时,往往只能分出2~3个等效层,无法分出更多深度层.究其原因,以往的小波多尺度分解,所有尺度都是2的整数次幂,即每个小波细节的尺度都是2的方次.那么,能否分解得再细致一些呢?根据小波尺度规律,这要求在两个阶次中插入1个(或几个)阶次.为此得到更为细致的小波细节,我们希望在离散化小波变换时,引入√ 2的正整数次幂进行小波多尺度分解,如果应用到重力场的小波多尺度分解,就可得到√ 2的正整数次幂的小波细节重力异常.这样,就把尺度仅为整数扩展到√ 2的实数域,使得分解更为细致.我们把√ 2的奇数次幂的小波细节称为无理尺度小波细节,或把全部的小波细节统称为实数尺度小波细节.本文介绍无理尺度小波多尺度分析的理论,并把它与经过验证的常规多尺度分析结果作比较,证明无理尺度小波多尺度分析的理论是正确的.中国陆地重力场的多尺度分解结果说明,这样得到的小波细节,可以把等效层分得更为详细,提供更多的地壳密度结构信息.

2 分解方法

小波多尺度分解方法仍然采用Mallat和Daubechies方法(Mallat,1989Daubechies,1990),仅仅是选用的尺度有了变化.为便于理解,将方法描述如下:
(x)∈L2(R),满足条件:

其中(ω)是(x)的Fourier变换,则称(x)为小波函数.

对于任一函数f(x)∈L2(R),定义其小波变换为

其中,

取a=a0m,b = nb0a0m,a0>1,b0>1, 则有小波变换的离散形式:

此时,

特别地,取a0=√ 2,b0=1, 有

这样,即可引入√ 2的正整数次幂进行小波多尺度分解,[(√ 2)n,n=1,2,3… ]为实数,这种方法称为实数尺度小波多尺度分解,以区分正整数次幂小波多尺度分解.分解方法步骤如下:

由于

所以有

其中,

这样一直分解,直到第J2J1步,就有:

其中,

对于二维重力场的多尺度分解,可表述如下.

设重力异常:

Δg(x,y)=f(x,y)∈V02⊂L2(R2),

根据小波多尺度分析原理,可以有以下分解:

这里,

其中若假定φ(·)和(·)分别为V0的尺度函数和小波函数,则V02的尺度函数为

小波函数为

而系数C1,m1,m2,d11,m1,m2,d21,m1,m2和d31,m1,m2由下面的式子计算:

其中,

(19)式可继续分解为

最终(18)式可写成

这里,p是正整数,

P阶重力场小波多尺度分解可简记为

其中,第J阶细节的尺度为(√ 2)J-1H,J=1,2,…,P;H为常数.

上述无理尺度小波多尺度分解,在保留了常规小波多尺度分解的优良特性的同时,提供了加倍的小波细节.

3 应用实例

为验证无理尺度理论正确,可以把它与经过验证的常规多尺度分析结果作比较.以前,我们曾经对中国陆地布格重力异常进行过常规小波多尺度分解,得到1~4阶小波细节列于图 1.

图 1 常规分解得到的中国陆地布格重力异常细节(a—d)D1~4阶的次序.Fig. 1 Conventional decomposition details of Bouguer gravity anomaly of Chinese mainl and (a—d)1st-4th order represent.

运用本文所述无理分解方法,重新对中国陆地布格重力异常进行了7阶小波尺度分解,其中1、3、5、7阶小波细节应与常规1~4阶小波细节相同,而2、4、6阶小波细节为新增加的无理尺度小波细节,它们尺度分别为√ 2 、√ 8、 √ 32.

图 2对比常规分解得到的4阶逼近和本文方法分解得到的7阶逼近.对比表明,7阶逼近与常规分解的4阶逼近一致,说明无理分解方法正确,并与常规分解理论一致.

图 2 常规分解的4阶逼近(a)与无理分解的7阶逼近(b)Fig. 2 Conventional 4th order approximation(a) and irrational decomposition 7th approximation(b)

图 3为无理分解得到的1~4阶小波细节;图 4显示了无理分解的5~7阶细节和原始的中国陆地布格重力异常(图 4d).新增加的无理尺度√ 2 、√ 8、 √ 32对应的小波细节,对中国陆地重力异常的分解更为细致.

图 3 无理分解得到的中国陆地布格重力异常RD1~4阶细节(a—d)Fig. 3 The 1st-4th order details with irrational decomposition for Bouguer gravity anomaly of Chinese mainl and (a—d)

图 4 无理分解得到的5~7阶细节(a—c)及作为输入的中国陆地布格重力异常Fig. 4 The 5th-7th order details with irrational decomposition.(a—c)Original Bouguer gravity anomaly of Chinese mainl and presented in the(d)

根据位场波数域的理论,可以根据功率谱直线段斜率或它的渐近线在横轴上的切点计算出场源的埋深.无论在解析上还是在统计意义上,重力场对数功率谱直线段斜率都正比于场源埋藏深度(杨文采等, 19781979杨文采,1985;1986).因此,由平均功率谱可计算出各层的场源平均埋藏深度,如浅等效层异常D1的场源平均埋藏深度为3 km.本文方法分解得到的1阶细节RD1为最浅等效层、场源平均埋藏深度D1<1.5 km.那么,新增加的无理尺度小波细节RD1是否为我们提取了更多地壳构造信息呢?图 5对比常规分解得到的1阶细节D1和本文方法分解得到的1阶细节RD1.对比表明,细节RD1(图 5上)与常规分解的细节D1(图 5下)相比,空间分辨率大为提高,中新生代构造活动带大都清晰地显示为低密度扰动带,说明无理分解方法为我们提取了更多构造信息.

图 5 无理分解得到的中国陆地布格重力异常1阶细节RD1(a)和常规分解的1阶细节D1(b)的对比Fig. 5 Comparison between the 1st order detail with irrational decomposition(upper) and with traditional wavelet decomposition(lower)for Bouguer gravity anomaly of Chinese continent

从地球物理探测到大地构造学发现,是一个多学科综合研究的探索过程,实数尺度小波多尺度分解的成果解释,还要来自多学科理论的支撑,超出了本文的范围.因此,笔者将在下一篇论文中专门讨论实数尺度小波多尺度分解的成果解释.

4 结论与讨论

从对中国陆地布格重力异常的小波多尺度分解结果看,无理尺度小波分解得到了比常规分解更为细致的小波细节异常集,这对于实际应用是非常有利的;两种方法最终的逼近结果非常近似,体现了它们理论上的一致性.实数尺度小波多尺度分解,保留了常规小波多尺度分解的一些优良特性,还保持了分解的一致性.对比表明,新增加的无理尺度小波细节为我们提取了更多地壳构造信息.

具体地说,原来M阶小波细节的尺度为2M-1,现在的K阶无理小波细节的尺度为(2)K-1,当K=2M-1时,原来的M阶小波细节与现在的K阶小波细节在尺度意义上相同(M=1,2,3,…;K=1,2,3,…),但数值上肯定是不同的,这里说的相同只是尺度意义上的相同.即现在的小波细节只有在2M-1阶上是原来的细节(与原来尺度意义上的相同),其他的都是新派生出来的,即无理尺度的小波细节.运用本文所述无理分解方法,重新对中国陆地布格重力异常进行了7阶小波尺度分解,其中1、3、5、7阶小波细节应与常规1—4阶小波细节相同,而2、4、6阶小波细节为新增加的无理尺度小波细节.新增加的小波细节可以使等效层分层的数目加倍,对于资源勘探方面的应用而言极其有利.

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