随着我国油气田勘探开发的不断深入，构造油气藏越来越少，致密油、页岩气、煤层气等非常规油气资源已经成为勘探的重要方向(赵波等，2012)．这些油气储层一般都为薄互层储层，对薄互层反射，常常出现“伴随相位”(钱荣钧，1993)和“红波谷”(李弘等，2014)的现象，这造成了地震反演与解释上的误差．所以地震勘探的技术手段需要不断的发展，以应对日益复杂的油气勘探问题．在诸多地震勘探新技术中，多分量地震技术在解决复杂储层的勘探问题上表现出明显的优势(张永刚等，2004；李景叶等，2005)．大量的理论研究表明：利用多分量地震得到的PP波与PS波进行联合AVO(amplitude versus offset，振幅随偏移距变化)反演可以提供可靠的纵、横波速度以及密度信息，并派生出更多的反映地层岩性与含流体性的属性参数，这在很大程度上降低了地震解释的多解性，为复杂油气藏的预测提 供了新的思路(Du and Yan，2013；张广智等，2014)．

多波AVO反演的基础是通过Zoeppritz方程求解地震反射系数，但该方程的形式比较复杂，没有给出反射系数与地层弹性参数之间的“显式”关系．所以国内外研究AVO反演的一个重要方面是对Zoeppritz方程进行近似，以获得反射系数与地层弹性参数之间的线性关系(Wang，1999)．这其中，最常用的近似公式是Aki-Richards近似公式(Aki and Richards，1980)．该公式是在地层界面两侧的弹性参数为弱反差的假设基础上建立的，可用来从反射系数直接反推单界面两侧纵、横波速度以及密度变化量．该理论在纵波上首先得到突破，并在实际勘探中得到充分应用．Shuey(1985)建立了用纵波AVO曲线的斜率和截距检测油气的理论．Smith和Gidlow(1987)提出通过PP波数据的加权叠加来计算纵、横波波阻抗以及其他的弹性参数．但上述方法由于采用了单一的纵波波场，地震解释的多解性问题较多，国内外学者一直考虑联合利用纵波与转换横波的联合AVO反演来降低解释的多解性．Stewart(1990)在纵波速度与密度的Gardner关系基础上，将Aki-Richards反射系数公式里的密度项用纵波速度的线性关系式替换，建立了加权叠加联合反演公式，得到了更为直接的多波叠前反演纵、横波速度的方法．Fatti等(1994)基于Gardner公式，在多波反射系数公式中消除了密度项，得到纵、横波波阻抗两参数叠前联合反演方法．郑晓东(1991)通过级数展开用入射角对P-SV波反射系数进行了近似，消除了横波角度，促进了线性AVO反演的发展．芦俊等(2010，2011)基于PP波与PS波反射系数近似公式反演了煤系地层的岩性与物性参数．徐善辉等(2012)利用TTI(tilt transverse isotropy，具有倾斜对称轴的横向各向同性)介质的反射系数近似公式进行了PS波的AVO分析．Zhi等(2013)用精确的Zoeppritz方程反演了地层界面上弹性参数的反差．侯栋甲等(2014)研究了基于贝叶斯理论的叠前多波联合反演弹性模量方法．大量的国内外文献表明：基于反射系数的近似公式的多波联合AVO反演已经得到充分的发展(Veire and Landrø，2006；刘洋等，2012；印兴耀等，2014)，一些商业软件，如Jason、HRS等，已经推出可工业化应用的反演模块，服务于油气田的勘探开发．

虽然PP波与PS波联合AVO反演在理论上具有明显的先进性，但是在实际应用时见效并不明显．原因主要存在于以下两个方面：(1)首先是PS波入射角道集的信噪比较差，降低了联合反演的可靠性．AVO反演需要获得高质量叠前道集作为保障，但现在处理水平尚难以保证PS波的AVA道集具有较宽的入射角范围，并且信噪比较高．(2)另一个原因是反演中用到的反射系数近似公式都是建立在弱反差的假设前提下，无法适用于强反差的地层界面．很多储集层，如含煤地层、非固结砂岩地层、火成岩与页岩地层等，其弹性参数与围岩的差异较大，导致基于Aki-Richards反射系数近似公式的AVO反演方法出现较大的误差．针对上述问题，本文开展基于平均入射角道集的PP波与PS波联合反演方法的研究，用两个角度组成的平均入射角道集，基于精确的PP波与PS波反射系数，联合反演地层的纵波速度、横波速度与密度参数．

本文提出的联合反演方法的输入数据是平均入射角道集，然后用一个统一的目标函数，将PP波与PS波的正演道集与实际数据平均入射角道集之间的残差结合在一起，基于Zoeppritz方程计算的精确PP波与PS波反射系数，进行纵波速度、横波速度以及密度的同时最小二乘反演．在反演过程中，通过多次迭代修改初始模型，使得目标函数达到最小．

在各向同性介质中，当一个平面纵波倾斜入射到两种介质分界面时，会产生四种波，即反射纵波、反射横波、透射纵波和透射横波(如图 1所示)，且满足Snell定律(Aki and Richards，1980)：

图 1

Fig. 1

图 1 P波在介质分界面上的反射与透射 Fig. 1 Reflection and transmission of P-wave at the interface

令纵波反射系数为R_PP、转换横波反射系数为R_PS、纵波透射系数为T_PP和转换横波透射系数为T_PS，则Zoeppritz矩阵方程(Aki and Richards，1980)为

上述公式表明：用两个入射角地震道组成的道集进行AVA反演相当于四个方程解四个未知数，足够保证反演的可靠性．这两个地震道提取的反射系数可以通过将AVA道集的反射系数进行反距离加权平均法来获得，其公式如下：

为了验证通过反距离加权法得到的平均入射角地震道具有保幅性，我们建立了三种等效地层模型来进行数值模拟分析，模型参数如表 1所示，界面类型包括：页岩/水饱和砂岩界面、页岩/气饱和砂岩界面与灰岩/气饱和砂岩界面．通过公式(2)计算精确 的AVO曲线显示在图 2中，分别用0°～10°与10°～30° 的反射系数进行反距离加权来拟合5°与20°的平均反射系数，纵波与转换横波的反射系数平均值与理 论值之间的差异如表 2所示，可以看出：用公式(5)计算的反射系数平均值与理论值的误差最大为-1.57%，最小为0，完全能够满足平均入射角反演对反射系数精度的要求．

表 1 (Table 1)

表 1 三种含流体地层模型的弹性参数 Table 1 Elastic parameters of three types of strata with fluid 界面 类型 岩性 纵波速度 (m·s-1) 横波速度 (m·s-1) 密度 (g·cm-3) 1 上层：页岩 3060 1500 2.34 下层：水饱和砂岩 3000 1570 2.34 2 上层：页岩 3060 1500 2.34 下层：气饱和砂岩 2400 1570 2.14 3 上层：灰岩 4200 2300 2.55 下层：气饱和砂岩 2400 1570 2.14

表 1 三种含流体地层模型的弹性参数 Table 1 Elastic parameters of three types of strata with fluid

表 2 (Table 2)

表 2 三种界面的反射系数平均值与理论值的误差对比 Table 2 Error comparisons of reflection coefficients at the three types of interfaces 界面 类型 入射波 入射角 反射系数 理论值 反射系数 平均值 误差(%) 1 PP波 5° -0.0103 -0.0104 0.89 PS波 5° -0.004 -0.0040 -0.30 PP波 20° -0.0164 -0.0167 1.55 PS波 20° -0.014 -0.0138 -1.57 2 PP波 5° -0.1654 -0.1655 0.06 PS波 5° 0.0032 0.0032 0.75 PP波 20° -0.1769 -0.1772 0.16 PS波 20° 0.0127 0.0127 0.00 3 PP波 5° -0.3492 -0.3488 -0.11 PS波 5° 0.0536 0.0534 -0.30 PP波 20° -0.3146 -0.3143 -0.10 PS波 20° 0.1937 0.1926 -0.57

表 2 三种界面的反射系数平均值与理论值的误差对比 Table 2 Error comparisons of reflection coefficients at the three types of interfaces

图 2

Fig. 2

图 2 通过Zoeppritz方程计算的精确AVO曲线 (a)PP波反射系数；(b)PS波反射系数． Fig. 2 Accurate AVO curves calculated from Zoeppritz equations (a)PP-wave；(b)PS-wave．

平均入射角道集能够提高信噪比，同时提取的反射系数与理论值误差较小，在弹性阻抗反演或者是地层参数的直接反演中得到一定的应用(张宝金等，2002)．为了使得基于平均入射角道集的反演方法能够适用于更为广泛的地层条件，我们将基于Zoeppritz方程计算精确的反射系数来进行PP波与 PS波的联合反演，以提高反演的精度．通过最小二乘法建立的联合反演目标函数Q为

对PP波和PS波的反射系数向量在初始模型附近进行泰勒展开，统一的矩阵表述形式如下：

在实际的联合反演中，输入的是由一系列采样点组成的时间序列，公式(11)中的向量需要进行扩展，以适用于时间序列模型的反演．扩展后的雅各比矩阵 G _PP与 G _PS具有如下统一形式：

为了在一次迭代中同时修改时间采样点的弹性参数，PS波的平均入射角道集必须和PP波在同一时间尺度上，所以必须把PS波道集压缩至PP波的时间上．该过程可以通过PP波与PS波的叠加剖面进行层位的对比解释，以获得不同层位的压缩系数，从而实现PS波的压缩．若同一地质界面的PP波与PS波反射波同相轴面貌差异太大，则需要工区内有足够多的测井合成记录来辅助完成层位的匹配．另外，地震子波需要在PS波平均入射角道集压缩至PP波时间后再提取，以保证地震子波时间尺度的一致性．由于PP与PS波的子波类型存在差异，所以PP波与PS波必须分别提取子波用于反演．

我们建立了一个含有薄层的地层模型来验证本文的反演方法，模型参数如表 3所示，其中第3层的厚度较薄，且与围岩的弹性参数差异较大，其顶、底界面均为强反差界面；其他的地层界面均为弱反差界面．合成记录是用射线追踪基于精确的反射系数 模拟得到，PP波与PS波的地震子波分别设置为40 Hz 以及30 Hz的雷克子波，采样率为1 ms；PS波的反射时间已经压缩至PP波时间上．AVA道集的最大入射角设置为25°，比较接近一般地震采集的入射角范围．

表 3 (Table 3)

表 3 理论模型参数 Table 3 Theoretical model parameters 层号 纵波速度 (m·s-1) 横波速度 (m·s-1) 密度 (g·cm-3) 厚度 (m) 1 2800 933 2．28 100 2 3200 1600 2．35 100 3 2000 1333 2．0 3 4 3300 1650 2．35 80 5 3400 1700 2．52 390

表 3 理论模型参数 Table 3 Theoretical model parameters

图 3a、3c分别是PP波与PS波的AVA道集，图 3b、3d分别由5°与20°入射角组成的PP波与PS波道集．图 4为PP波与PS波的5°与20°角道集用本文方法反演得到的结果，可以看出：在初始模型没有任何界面变化的情况下，基于精确反射系数的反演方法能够获得与真实模型非常接近的反演结果； 尤其是第3层的薄层，反演曲线在界面位置的突变与真实模型匹配较好．总体上看，与真实模型相比，该反演方法得到模型曲线在地层弹性参数突变的位置略有一些平滑，但是误差不大．图 5是基于近似反射系数的反演结果，与图 4对比可见：基于近似反射系数的反演没能很好地反映地层弹性参数的真实变化规律；即使在弱反差的界面上，其结果误差也较大，尤其是第2层的纵波速度反演结果明显偏小、密度明显偏大．从上述数值分析可以得出：即使在入射角范围较小的情况下，基于Zoeppritz方程精确反射系数的平均入射角道集PP波与PS波联合AVO反演的精度较高，能够适用于弹性参数反差较大、厚度较薄的地层参数反演．

图 3

Fig. 3

图 3 PP波与PS波道集 (a)PP波AVA道集；(b)PP波5°与20°入射角道集；(c)PS波AVA道集；(d)PS波5°与20°入射角道集． Fig. 3 PP- and PS-wave gathers (a)PP-AVA gather；(b)PP-wave gather with incident angle of 5 and 20 degrees； (c)PS-AVA gather；(d)PS-wave gather with incident angle of 5 and 20 degrees．

图 4

Fig. 4

图 4 基于Zoeppritz方程反射系数精确解的PP波与PS波平均入射角道集联合反演结果 黑色线条：初始模型曲线，绿色线条：真实模型曲线，蓝色线条：平均入射角道集联合反演曲线. Fig. 4 Joint PP- and PS- wave average incident angle gather inversion results based on the accurate reflection coefficients from Zoeppritz equations Black curve: initial model curve，green curve: true model curve，blue curve: average incident angle gather inversion curve.

图 5

Fig. 5

图 5 基于Aki-Richards反射系数近似解的PP波与PS波平均入射角道集联合反演结果 黑色线条：初始模型曲线，绿色线条：真实模型曲线，蓝色线条：平均入射角道集联合反演曲线. Fig. 5 Joint PP- and PS- wave average incident angle gather inversion results based on the approximate reflection coefficients from Aki-Richards equations Black curve: initial model curve，green curve: true model curve，blue curve: average incident angle gather inversion curve.

在地震记录上加入20%的随机噪声后，测试噪声对本文反演方法的影响．如图 6b、6d所示，5°与20°平均入射角地震道在加噪的AVA道集(图 6a、6c)的基础上用入射角为0°~10°的地震道以及入射角为15°~25°的地震道分别加权叠加得到．用本文 的反演方法分别对AVA道集以及平均入射角道集进行基于Zoeppritz方程精确反射系数的反演，如图 7所示，平均入射角道集反演结果(蓝色曲线)与AVA道集反演结果(红色曲线)都很靠近真实模型(绿色曲线)；但是，红色曲线的噪声振幅强于蓝色曲线．所以，与AVA道集的直接反演相比，用平均入射角道集进行反演具有更强的抗噪性．

图 6

Fig. 6

图 6 加入20%的随机噪声后的PP波与PS波道集 (a)PP波AVA道集；(b)PP波5°与20°入射角道集；(c)PS波AVA道集；(d)PS波5°与20°入射角道集． Fig. 6 PP- and PS-wave gathers with 20% r and om noise added to the synthetics (a)PP-AVA gather；(b)PP-wave gather with incident angle of 5 and 20 degrees； (c)PS-AVA gather；(d)PS-wave gather with incident angle of 5 and 20 degrees．

图 7

Fig. 7

图 7 在加入20%的随机噪声下，基于Zoeppritz方程反射系数精确解的PP波与PS波平均入射角道集与AVA道集联合反演的对比 绿色线条：真实模型曲线，蓝色线条：平均入射角道集联合反演曲线，红色线条：AVA道集联合反演曲线. Fig. 7 Comparison of joint PP- and PS-wave average incident angle gather to AVA gather inversion results based on the accurate reflection coefficients from Zoeppritz equations with 20% r and om noise added to the synthetics Green curve: initial model curve，blue curve: average incident angle gather inversion curve，red curve: AVA gather inversion curve.

实际数据的测试采用了淮南顾桥过井多分量地震数据，PP波与PS波道集的平均入射角选择为5°与20°，采样率为0.5 ms．该工区有实测的纵波速度曲线，横波速度曲线和密度曲线均是用经验公式将纵波速度曲线转换得到．沿着地震层位，这三条曲线通过外推得到了反演的初始模型，用测井合成记录标定了13-1煤、11-2煤以及8煤的PP波与PS波反射时间，同时将PS波的平均入射角道集压缩至PP波的反射时间上．

我们用基于Zoeppritz方程的精确反射系数对过井的一条测线上的PP波与PS波平均入射角道集进行了联合反演，得到了纵波速度、横波速度与密度剖面，分别如图 8a、8b、8c所示，图中蓝色曲线为对应的测井曲线，该曲线上的白色线条标识了3个目标煤层的顶、底板位置．在反演剖面上，黑色表示地层的含碳量较高，一般为炭质泥岩或者煤岩；绿色向红色的过渡表示地层的岩性为泥岩-砂质泥岩-泥质砂岩-纯砂岩的岩性过渡．从图 8可以看出，在测井位置上，本文提出的反演方法能够获得与测井模型非常接近的结果，三个目标煤层的顶、底界面的弹性参数突变较为清晰，煤层的展布容易识别．从三个弹性参数剖面上可以看出，有很多颜色相同的区域，如13-1煤与11-2煤之间红色区域覆盖范围相似，可以确定为砂岩；另外，一些区域的颜色区别较大，如13-1煤的顶板，在纵波与横波速度剖面上都表现为砂岩与泥岩的交替出现，但密度剖面上却表现为连续的砂体，此时则需要更多的地质资料对反演剖面解释结果进行标定．淮南顾桥煤矿已经对该工区的13-1煤进行了开采，验证资料表明：该工区13-1煤的顶板岩性确实为连续的砂岩，与密度剖面的解释结果吻合；但该区13-1煤顶板为河流沉积，导致其沉积相横向发生变化，可能引起了纵波速度与横波速度的横向变化(刘钦甫等，2004)．总体上看，本文方法提供了更多的弹性参数来进行对比解释，比单一剖面的解释具有更高的可靠性．

图 8

Fig. 8

图 8 淮南顾桥含煤地层平均入射角PP波与PS波联合反演剖面 剖面中插入的蓝色线条为对应的测井曲线，白色横线标识了测井数据上解释的煤层顶底板． (a)纵波速度；(b)横波速度；(c)密度． Fig. 8 Joint PP- and PS-wave AVO inversion sections at average incident angles about coal-bearing strata in Huainan Guqiao Mine The blue curves inserted in the sections are the corresponding well logs, the white straight lines in the blue curves marks the tops and bottoms of coal seams.

本文提出用平均入射角道集进行PP波与PS波的联合反演，并对该反演方法进行了理论模型与实际数据的测试，得到的结论与认识如下：

(1)本反演方法基于Zoeppritz方程的精确反射系数进行弹性参数的直接反演，比基于近似反射系数的反演方法精度更高，具有更广泛的适用范围，能够解决一些强反差地层，如煤层、非固结砂岩地层等地层参数的反演问题．

(2)平均入射角道集是由AVA道集进行反距离加权得到，其反射系数值与理论值之间的差异较小，并且具有良好的抗噪性；数值模拟结果表明，在低信噪比情况下，平均入射角道集的反演效果优于传统的AVA道集．

(3)本反演方法是针对单界面模型的，所以较厚的地层参数反演结果比较精确；对于薄层，本文的反演方法也比基于近似反射系数的反演方法精度高，尤其是反演的结果能够较好反映薄层顶、底界面的位置；但是本反演方法得到的薄层弹性参数与真实模型相比略偏小，其原因是薄层的顶、底界面反射波会形成复合波，而本文的反演方法并未考虑波场调谐的问题．所以针对薄层的反演问题，应在后续的研究中考虑调谐作用对反射系数的影响．