逆时偏移成像已在成像精度和对复杂构造的适应力皆优于Krichhoff积分和单程波成像方法而成为目前地震成像的重要手段，这是近年地震成像的显著进步.其实逆时偏移(RTM)的研究最早可以追溯到20世纪70年代末80年代初，当时主要用于叠后成像(Baysal et al.，1983；McMechan，1983；Whitmore，1983).随着计算机技术的快速发展以及勘探区域的日益复杂，RTM又重新受到地球物理学家们的重视.近十年来，国内外学者在提高计算效率(Foltinek et al.，2009；刘红伟等，2010)、压制低频噪音(Guitton et al.，2006; Zhang and Sun，2009；Liu et al.，2011)、减少内存需求(Dussaud et al.，2008；Clapp，2009)等方面取得诸多进展.但是，早在20世纪80年代年，Lailly和Tarantola等人就指出常规的RTM互相关成像条件可看作是波动方程线性Born近似的共轭算子，而不是它的逆(Lailly，1983；Tarantola，1984).因此在观测范围有限的情况下，逆时偏移所采用的互相关成像条件会产生低频噪音，降低分辨率，影响振幅属性的可靠性.

针对这些问题，一种行之有效的方法是将地震成像视之为最小二乘意义下的线性波形反演问题，通过梯度类的优化算法进行迭代求解，这类方法统称为最小二乘偏移(LSM).在最小二乘反演理论框架下，采用不同的正演算子及其共轭算子，可以形成不同的最小二乘偏移方法.由早期的最小二乘Kirchhoff偏移(Nemeth et al.，1999；黄建平等，2013)、最小二乘单程波偏移(Prucha and Biondi，2000；Kühl and Sacchi，2003；Valenciano et al.，2009；Tang，2009；任浩然等，2013)，到目前的最小二乘逆时偏移(Dai et al.，2010；Wong et al.，2011；Yao and Jakubowicz，2012；Liu et al.，2013a; 李振春等，2014).随着计算机性能的快速发展，LSM发展迅速，已经成为地震成像领域的研究热点.

值得注意的是，以上所述的最小二乘偏移方法有效的一个重要前提是背景速度模型准确.在此前提下，LSM可以采用聚焦能量增强或道集拉平作为正则化约束条件以改善反演效果(Prucha and Biondi，2000；Valenciano et al.，2009；王彦飞等，2009；刘玉金等，2013)，且可将反演结果用于后续的AVP/AVA分析(Kühl et al.，2003).为了降低LSM对速度模型的依赖性，Zhang等(2015)在最小二乘逆时偏移中采用互相关目标函数.与波形反演类似，互相关目标泛函只能在一定程度上缓解局部极值问题，当速度模型离实际模型相去甚远时，互相关目标泛函同样失效.Dai和Schuster(2013)在平面波射线参数域实现了最小二乘逆时偏移，并分析了该方法对速度模型的灵敏度.由于该方法采用的是面向地表的模型扩展方式，在复杂介质条件下易于产生几何噪音(Stolk et al.，2009).Luo和Hale(2014)结合图像校正(image warping)的思想消除速度误差对LSRTM反演成像的影响，该方法在速度误差空间变化平缓时有较好的效果，但是难以适应速度误差变化剧烈的情况.

本文在扩展模型和扩展波形正演(Symes，2008)的基础上，从声波方程出发，推导了线性扩展Born正演算子及逆时偏移的扩展成像条件，从理论上证明了它们两者之间的共轭关系.之后在最小二乘反演的理论框架下，实现了扩展成像条件的最小二乘逆时偏移.通过理论模型测试表明，模型扩展可以有效降低最小二乘反演成像对速度模型的依赖性，从而得到更加可靠的反射系数成像结果.

众所周知，声波方程的频率域形式可表达为

基于扩展模型和扩展正演的思想(Symes，2008；Liu et al.，2013a)，将原声波方程(1)改为

当地震数据中缺少大炮检距和低频信息时，地下模型m的低频成分(背景模型)b和高频成分(反射系数模型)r可以解耦(Jannane et al.，1989).在扩展模型概念的基础上，只对反射系数模型进行扩展，并进行解耦后，满足如下关系：

上式的共轭可以表示为

从上一节的公式推导和理论分析可以看出，逆时偏移的扩展成像条件只是线性扩展Born近似正演算子的共轭转置，而不是它的逆.与零延迟互相关成像条件下的逆时偏移类似，由于没有消除地震子波频带的影响，成像分辨率有限.另外，逆时偏移的低频噪音也在一定程度上降低了反射系数成像的分辨率.受不均匀照明(观测系统接收范围有限以及上覆地层的屏蔽作用)的影响，成像后的振幅属性不可靠.

为了解决上述问题，一种行之有效的方法是从最小二乘反演的角度，基于线性Born近似，在给定长波长成分(背景速度场)的前提下，对短波长成分(反射系数)进行多次迭代匹配，从而得到分辨率更高、振幅属性更可靠的成像结果.与常规LSRTM不同，本文采用扩展后的反射系数模型作为反演目标，通过拟合线性扩展Born正演数据和接收数据之间的波形，获得优化后的扩展反射系数模型.

线性扩展Born近似正演公式(11)写成矩阵的形式为

图 1

Fig. 1

图 1 LSERTM反演流程 Fig. 1 Inversion workflow of LSERTM

针对扩展成像条件下的逆时偏移结果，本文采用微分相似度最优化(DSO)约束条件进行正则化.DSO约束条件的物理意义是使得反演成像结果沿冗余参数方向的一致性最优.如果扩展反射系数模型是地表参数域或角度域共成像点道集，该约束条件要求成像结果沿地表参数或反射角度平滑变化；如果是地下偏移距共成像点道集，该约束条件要求成像结果的能量聚焦在零偏移距.加入约束条件后LSERTM的目标泛函为

当速度正确时，采用DSO约束条件可以改善反演结果的聚焦性.图 2显示了照明充足和照明不足区域两个位置的地下偏移距共成像点道集，对比可以看出，在照明充足区，反射波能量聚焦在零偏移距位置，而在照明不足区，反射波能量弥散分布在非零偏移距.应用DSO算子(此处为偏移距绝对值加权函数)后，剩余量分别如图所示，可以看出，通过 DSO算子，更加突出了远偏移距能量，通过最小化非零偏移距能量，可以使得反射波更好地聚焦在零偏移距，从而改善成像效果.

图 2

Fig. 2

图 2 (a)照明充足位置处的地下偏移距道集；(b)照明不足位置处的地下偏移距道集； (c)对图(a)应用DSO算子后的结果；(d)对图(b)应用DSO算子后的结果 Fig. 2 (a) Subsurface offset image gather at the position with sufficient illumination; (b) Subsurface offset image gather at the position with insufficient illumination; (c) Results after applying DSO operator to figure (a); (d) Results after applying DSO operator to figure (a)

首先采用平层模型对LSERTM算法进行测 试.背景速度为3km/s，反射系数模型如图 3a所示.采用主频为15 Hz的Ricker子波进行线性Born正演，31炮激发，炮间隔为100 m，151道接收，道间隔为20 m.第6炮炮记录如图 3b所示.

图 3

Fig. 3

图 3 平层模型.(a)反射系数；(b)正演数据 Fig. 3 Layer model. (a) Reflectivity; (b) Synthetic data

下面采用正确速度对正演数据进行反射系数成像.图 4a显示的是RTM成像结果，从图中可以看出，偏移结果对反射层的位置正确成像，但是受观测系统有限的影响，反射层两侧成像的能量较弱，振幅属性不可靠；受带限波场的制约，成像结果分辨率较低.图 4b显示的是LSRTM迭代10次后的成像结果，对比RTM结果可以明显看出，除位置正确外，两侧能量也基本得到恢复，反射层能量更加均衡，且成像结果分辨率更高.图 4c为真实反射系数、RTM和LSRTM成像结果在反射层位置处的振幅值，对比可以看出，LSRTM基本恢复了真实反射系数的振幅值，是一种真振幅成像结果.图 4d为真实反射系数、RTM和LSRTM成像结果的振幅谱对比.从图中可以看出，LSRTM比RTM的频带宽度更宽，更加接近真实反射系数的振幅谱，具有更高的分辨率.综合振幅和分辨率分析可以看出，当速度正确时，LSRTM的反射系数成像结果具有更可靠的振幅属性和更高的分辨率.

图 4

Fig. 4

图 4 偏移与反演成像对比.(a)逆时偏移结果；(b)最小二乘逆时偏移结果；(c)反射层振幅属性对比； (d)振幅谱对比.实线：真实反射系数；虚线：LSRTM结果；点线：RTM结果 Fig. 4 Image comparison of migration and inversion. (a) RTM; (b) LSRTM; (c) Amplitude of reflector; (d) Amplitude spectrum. Solid line: true reflectivity; dash line: LSRTM; dot line: RTM

下面分析速度不正确(v=2.5 km·s^-1)时的线性反演成像结果.图 5a为LSRTM迭代10次后的成像结果，从图中可以看出，由于速度不正确，反射层位置成像不准确.图 5b为LSRTM迭代10次后第6炮炮集的数据残差，从图中可以看出，由于速度不准确，正演数据和接收数据之间的波性差异大于二分之一波长，两者难以匹配，反演陷入局部极值.图 5c为LSERTM迭代10次后的成像结果，从图中可以看出，零偏移距偏移结果同样无法对反射层位置进行准确成像，且地下偏移距道集不聚焦在 零偏移距(往下弯指示速度偏低)，但是数据残差大大减小，如图 5d所示，这也验证了扩展模型对波形反演的意义所在，也即通过扩展模型空间可以有效避免局部极值问题.图 5e对比了LSRTM和LSERTM相对误差随迭代次数的变化曲线，同样可以看出，LSRTM陷入局部极小值，而LSERTM能够收敛到全局最小值.应当注意的是，LSERTM只是拟合了数据，将所有数据信息吸收进扩展模型中，但是该模型是没有物理意义的，需要进一步更新速度模型，这是速度建模方面的内容.尽管如此，通过改善扩展反射系数的成像效果，有利于改善速度建模的精度(Liu et al.，2014)，这是另一个重要研究课题，本文不详细阐述.

图 5

Fig. 5

图 5 速度错误时LSRTM和LSERTM对比.(a)LSRTM结果；(b)LSRTM第6炮道集残差；(c)LSERTM结果； (d)LSERTM第6炮道集残差；(e)相对误差曲线对比.实线：LSRTM；虚线：LSERTM Fig. 5 Comparison of LSRTM and LSERTM when velocity is incorrect. (a) LSRTM; (b) Data misfit of one common shot gather by LSRTM; (c) LSERTM; (d) Data misfit of one common shot gather by LSERTM; (e) Relative error curve. Solid line: LSRTM; dash line: LSERTM

采用复杂的二维SEG/EAGE盐丘模型对LSERTM算法进行测试.图 6a、6b、6c分别为盐丘模型真实速度、反射系数和背景速度模型，空间采样间隔为30 m.从真实速度场可以看出，该模型中部含有一高速盐丘，且有三套大断层和若干微幅构造，盐下成像难度较大.对背景速度模型采用平滑半径横向1200 m、纵向150 m的三角滤波器进行平滑，得到十分粗糙的背景速度场，用作速度不准确时的反演成像测试.采用主频为15 Hz、时间采样率为1 ms的Ricker子波进行正演模拟.在地表采用固定排列采集方式，共162炮激发，炮间隔为120 m，每炮645道接收，道间隔为30 m.采用反射系数和背景速度模型(图 6a和6b)利用有限差分线性Born正演算子(公式(11))进行正演.

图 6

Fig. 6

图 6 SEG/EAGE盐丘模型.(a)速度场；(b)反射系数模型；(c)真实背景速度场；(d)平滑背景速度场 Fig. 6 SEG/EAGE Salt model. (a) Velocity model； (b) Reflectivity model; (c) True background velocity model; (d) Smoothed background velocity model

首先进行常规的LSRTM算法测试.图 7a为真实背景速度模型(如图 6c)下的RTM成像结果.从图中可以看出，成像噪音基本掩盖了反射层的成像信息.对RTM成像结果应用Laplace滤波后，如图 7b所示，低频噪音得到有效压制，但是盐丘模型两侧以及盐丘底部的成像值十分微弱，与真实反射系数模型(如图 6b所示)相差甚远.采用LSRTM迭代50次后的反演成像结果如图 7c所示.从图中可以看出，反演成像不仅有效压制了低频噪音，而且成像结果的振幅更加均衡，与真实反射系数十分接近，是一种真振幅成像.采用不准确背景速度模型(如图 6d)进行RTM和反演成像(同样迭代50次)，分别如图 6d、6e、6f所示.从图中可以看出，尽管速度错误，但是经过线性反演后反射系数的成像结果低频噪音得到有效压制、振幅更加均衡.对比正确速度和错误速度下的LSRTM成像结果，可以看出，速度模型直接影响成像的位置，LSRTM无法对背景速度进行修正，得到的反射系数模型存在较大误差.

图 7

Fig. 7

图 7 常规RTM和LSRTM方法测试.采用正确速度进行成像测试：(a)RTM成像结果；(b)RTM+Laplace滤波后的成 像结果；(c)LSRTM成像结果；采用错误速度进行成像测试：(d)RTM成像结果；(e)RTM+Laplace滤波后的成像结果； (f)LSRTM成像结果 Fig. 7 Numerical tests on conventional RTM and LSRTM. Imaging results with correct velocity by (a) RTM; (b) RTM and Laplace filtering; (c) LSRTM; Imaging results with incorrect velocity by (d) RTM; (e) RTM and Laplace filtering; (f) LSRTM

下面采用正确速度进行扩展成像条件下的LSRTM算法测试.图 8a显示的是扩展成像条件下RTM的结果，同样可以看出，其成像结果基本被低频噪音所掩盖，几乎无法识别两侧及中深部反射层的位置.图 8b显示的是扩展成像条件下的LSRTM迭代50次的成像结果.对比RTM的成像结果可以看出，经反演后低频噪音得到有效压制，盐丘底部反射层振幅有效增强.同时，从图中也能看出，尽管速度正确，在盐下照明不足区，地下偏移距域共成像点道集不完全聚焦在零偏移距.为此，引入DSO约束条件进行LSRTM，反演结果如图 8c所示，可以看出，经过聚焦约束后，盐下成像结果得到一定改善，且地下偏移距道集较好地聚焦在零偏移距位置.

图 8

Fig. 8

图 8 速度正确时扩展成像测试.(a)ERTM成像结果；(b)LSERTM成像结果；(c)DSO约束的LSERTM成像结果 Fig. 8 Extended reflectivity image with correct velocity by (a) ERTM (b) LSERTM; (c) LSERTM with DSO constraints

另外，采用不准确速度进行扩展成像条件下的LSRTM测试.扩展成像条件下的RTM反演结果如图 9a所示.与速度正确时一样，偏移结果被低频噪音所掩盖，几乎无法识别盐丘模型两侧及盐下的构造成像位置.采用扩展成像条件下的LSRTM进行反演成像，成像结果如图 8b所示.对比偏移结果可以看出，反演成像可以有效压制RTM中存在的低频噪音，盐丘底部反射层能量得到有效增强.尽管速度错误，本文也测试DSO约束条件对反演结果的影响，如图 8c所示.对比不加约束的反演结果，可以看出，尽管没有修正反射层成像位置，但是地下偏移距共成像点道集得到更好的聚焦，零偏移距盐下成像结果连续性更好.因此，DSO约束条件可以在一定程度上降低速度误差对线性反演的敏感性.

图 9

Fig. 9

图 9 速度错误时扩展成像测试.(a)ERTM成像结果；(b)LSERTM成像结果；(c)DSO约束的LSERTM成像结果 Fig. 9 Extended reflectivity image with incorrect velocity by (a) ERTM (b) LSERTM; (c) LSERTM with DSO constraints

为了进一步说明扩展成像条件及DSO约束条件对反演成像的影响，将LSRTM、LSERTM、DSO约束LSERTM三种方法在速度正确和错误时的归一化数据拟合剩余量显示在一幅图中，如图 10所示.从图中可以看出，采用正确速度模型，可以大大降低反演成像目标函数中的数据拟合剩余量，得到更加准确的反射系数成像结果.通过采用扩展反射系数模型，可以有效降低反演成像对速度模型的依赖性，从而在速度模型错误时，也能降低数据拟合剩余量.引入DSO约束条件，可以改善反演成像的聚焦性，但是会在一定程度上影响数据匹配.尤其是速度错误时，DSO约束条件对反演的影响更为明显，这是由于DSO所隐含的先验信息是聚焦在零偏移距，与速度错误时的成像结果不相符.为了使得DSO约束条件与数据拟合相匹配，需要进一步通过速度估计改善速度模型的准确性(Liu et al.，2014).

图 10

Fig. 10

图 10 不同反演成像方法在速度正确和错误时的归一化数据拟合误差曲线. 紫线：正确速度时LSRTM；蓝线：正确速度时的LSERTM；红线：正确速度时DSO约束LSERTM；绿线：错误速度时LSRTM；青线：错误速度时LSERTM；黄线：错误 速度时DSO约束LSERTM Fig. 10 Normalized data misfit curve of different inversion-based imaging methods with correct and wrong velocity model. Purple line: LSRTM with correct velocity; Blue line: LSERTM with correct velocity; Red line: DSO constrained LSERTM; Green line: LSRTM with wrong velocity; Cyan line: LSERTM with wrong velocity; Yellow line: DSO constrained LSERTM with wrong velocity

本文在扩展模型和线性Born近似下，推导了线性扩展Born近似正演及逆时偏移扩展成像条件，从理论上证明了两者之间的共轭关系.在此基础上，本文提出了扩展成像条件下的最小二乘逆时偏移(LSRTM)方法.通过平层和SEG/EAGE盐丘模型测试表明：(1)通过LSRTM，可以有效改善反射系数成像的振幅保真度，提高成像分辨率；(2)在扩展成像条件下进行LSRTM，可以在一定程度上降低速度误差对反演成像的依赖性；(3)引入微分相似度最优化(DSO)约束条件，可以有效改善反演成像的聚焦性，不仅能改善盐下照明不足区的成像质量，而 且在一定程度上降低了速度误差对反演成像的影响.

尽管本文方法在模型试算中取得一定的成像效果，但是仍然存在诸多问题需要进一步解决：(1)虽然本文通过扩展模型及DSO约束条件降低了速度误差对反演成像的影响，但是并没有真正解决速度错误导致的成像位置不准确问题，因此需要进一步研究相应的速度估计方法(Liu et al.，2013b)；(2)扩展成像条件下的LSRTM计算成本很高，通过GPU加速和炮编码方式可以在一定程度上提高其计算效率；(3)本文所提出的反演成像方法可以提供地下偏移距域共成像点道集，该道集可以直接应用于速度分析，但是如果要将其应用于AVA分析，需要进一步转化为角道集并分析其保幅性；(4)本文工作是在常密度声介质线性反演理论下推导得到，没 有考虑更加复杂介质的波传播现象(变密度、弹性、 黏弹性、各向异性等)以及多次波的影响.上述问题也是本文下一步的研究方向.

致谢 感谢Rice大学计算与应用数学系Symes教授在笔者访问期间的指导和帮助，感谢Madagascar为本文的绘图提供的支持(http://www.ahay.org/wiki/Main_Page).