疏松砂岩油气藏是重要的油气藏类型之一，新增储量中相当大一部分来自疏松砂岩油气藏，老油田中也有相当比例的油气藏是疏松砂岩油气藏.声波测井与地震勘探作为重要的勘探手段之一，用于准确求取孔隙度等地质参数的前提是合适的声波速度模型.

疏松砂岩主要包括两大类，第一类为非固结疏松砂岩，如海底松散沉积物等，此类砂岩基本无胶结 作用，适用的模型主要有：Herz-Mindlin模型、Walton，Digby，Br and t模型等(Mindlin，1949；Digby，1981； Walton，1987；Br and t， 1995； Dvorkin and Nur， 1996； Bahrami et al., 2005；邓继新等，2011；刘瑜和夏唐代，2011；夏唐代等，2011)；第二类为弱胶结的疏松砂岩，主要适用的模型有：连续胶结声速理论(Contact Cement Theory，简写CCT)、恒量胶结模型等(Dvorkin el al.，1994；Dvorkin and Yin， 1995； Dvorkin and Nur， 1996； Dvorkin et al., 1999；Avseth，2000； 姜在兴，2003；宋丽莉等，2004).对于第一类疏松砂岩，对应的模型较多，对该类砂岩的弹性力学性质及声波传播规律都进行了详细的分析和描述，在实际应用中也取得了较好的应用效果(Dvorkin and Nur， 1996；Bahrami et al., 2005； 夏唐代等，2011).对于第二类疏松砂岩，对应的模型较少，已有模型基本都是在CCT理论上发展而来，如恒量胶结模型即结合CCT理论和Hashin-Strikman模型而来.由于第二类疏松砂岩不仅颗粒之间具有相互作用，颗粒和胶结物之间还存在复杂的力学关系，利用现有模型预测其声波速度仍存在很大不足，需要进一步发展其模型，而CCT理论作为该类砂岩的主要模型，可作为研究基础.

CCT理论中，其在假设“胶结物中心厚度为0”的前提下得到了胶结物仅分布在颗粒接触处或均匀分布在颗粒周围两种方式的胶结半径表达式.由于采用了“胶结物中心厚度为0”的假设前提(Dvorkin and Nur， 1996)，CCT理论仅适用于孔隙式胶结的疏松砂岩的纵横波速度预测，无法推广应用到基底式等胶结模式疏松砂岩的纵横波速度预测.

针对以上问题，本文在假设“胶结物中心厚度不为0”的前提下，推导了胶结物仅分布在颗粒接触处或均匀分布在颗粒的周围两种方式的胶结半径的一般表达式，基于CCT理论考察了胶结物中心厚度对弱胶结疏松砂岩声波速度的影响，并探讨了该表达式的应用. 2 CCT理论中胶结半径的定义及其不足

由等效介质模型(Digby，1981；Winkler，1983；Mavko et al., 1998；陈颙和黄庭芳，2001)可知，疏松砂岩的体积模量、剪切模量与法向、切向刚度的关系为

为求出(1)式中的法向和切向刚度，Dvorkin等(1994)提出了CCT理论.该理论使用的颗粒与胶结物之间的接触模型如图 1所示，作用在颗粒上的力为F，颗粒半径为R，颗粒之间有胶结物分布，且胶结面为圆形，半径为a，胶结物的中心厚度为h，体积为V.

图 1

Fig. 1

图 1 颗粒与胶结物之间的接触模型 Fig. 1 Contact model between the grain and cement

Dvorkin等(1994)通过砂岩颗粒以及胶结物之间的力学关系，得出法向接触刚度S_n和切向接触刚度S_τ的表达式为

已知疏松砂岩体积模量和剪切模量，即可求出其纵、横波速度为

利用(1)、(2)、(3)式求取疏松砂岩模量与速度，需要获知归一化胶结半径α的表达式.Dvorkin和Nur(1996)等人仅在归一化胶结物中心厚度ε为0(颗粒直接接触)的前提下，给出了两种胶结物分布形式对应的胶结半径表达式为

对于基底式胶结疏松砂岩，假设其由球状颗粒堆积而成，胶结物中心厚度h不为0，则其模型可用图 2表示.

图 2

Fig. 2

图 2 疏松砂岩模型 (a)胶结物仅分布在颗粒之间时的基底式胶结疏松砂岩模型；(b)胶结物均匀分布在颗粒表面时的基底式胶结疏松砂岩模型. Fig. 2 The model of loose s and stone with basal cementation (a)The basal cemented loose s and stone with the cement only distributed between the grains； (b)The basal cemented loose s and stone with the cement evenly distributed around the grains.

图 2中，球状颗粒半径为R，球状岩石半径为R₁，胶结物只分布在两颗粒之间(分布方式1，图 2a)或者均匀分布在砂岩颗粒表面(分布方式2，图 2b). 3.2 胶结物分布方式1下归一化胶结半径α一般表达式的推导

由图 1，颗粒的每个胶结处的胶结物体积V表示为

式中n表示每个颗粒周围的颗粒数(配位数)，m表示图 2a所示岩石的颗粒数.

故胶结物在岩石中的含量为

由临界孔隙度与孔隙度的定义可知(Nur，1992；郭继亮等，2012)，胶结物含量也可表示为

故有：

通过求解式(14)可得α的表达式为

若胶结物均匀分布在颗粒上(图 2b)，则岩石颗粒上胶结物的厚度为

故岩石中胶结物的体积为

根据孔隙度与临界孔隙度的定义有

为了定量分析胶结物中心厚度对疏松砂岩声波速度的影响，使用如下参数进行数值计算：砂岩颗粒选用石英颗粒，体积和剪切模量分别为38 GPa和44 GPa，密度为2. 65 g·cm^-3; 胶结物选用制作人工疏松砂岩时常用的环氧树脂(Dvorkin et al., 1999)，体积和剪切模量分别为6. 8 GPa和2 GPa，密度为0. 98 g·cm^-3;砂岩临界孔隙度为砂岩颗粒随机紧密排列时的孔隙度(Dvorkin and Nur， 1996)，大小为36%，此时对应的配位数约为9(Murphy，1982)；孔隙度变化范围为15%~35%；归一化的胶结物中心厚度变化范围为0~0.05. 4.2 数值计算结果分析

使用上述参数，分别数值计算了孔隙度为15%，20%，25%，30%，35%时两种胶结物分布方式下归一化胶结物中心厚度对疏松砂岩纵横波速度及纵横波速比的影响，归一化胶结物中心厚度变化范围为0~0.05，结果如图 3所示.

图 3

Fig. 3

图 3 胶结物中心厚度对疏松砂岩声波速度的影响 (a)分布方式1(胶结物分布在两颗粒之间)胶结物中心厚度对声波速度影响；(b)分布方式2(胶结物均匀分布在颗粒周围)胶结物中心厚度对声波速度影响. Fig. 3 The effect of the thickness of the cement layer′s center on the velocity of loose s and stone (a)Arrangement 1(cement accumulates at the grain contacts)；(b)Arrangement 2(cement evenly distributes around the grain).

分析图 3可得如下认识：

(1)在两种胶结物的分布方式下，声波速度随胶结物中心厚度的增大均减小.这主要是因为当胶结物中心厚度增大时，疏松砂岩的法向接触刚度和切向接触刚度减小，导致砂岩变得相对“柔软”，从而使其声波速度下降.

(2)孔隙度越大，胶结物中心厚度对声波速度的影响越大，声波速度随胶结物中心厚度的增大减小的越快.说明孔隙度越大，胶结物含量越少，疏松砂岩颗粒间的接触刚度及砂岩模量对胶结物中心厚度的变化越敏感，当孔隙度接近临界孔隙度时(如35%)，含极少胶结物，此时胶结物中心厚度的变化对疏松砂岩的接触刚度及模量影响很大，从而导致速度快速下降.

(3)两种胶结物分布形式下，疏松砂岩的纵横波速比均随胶结物中心厚度的增大而增大，说明随着胶结物中心厚度增大，横波速度减小的速率比纵波快.

(4)两种胶结物分布方式下，胶结物中心厚度不变的情况下，疏松砂岩的纵横波速比随孔隙度的变化规律随胶结物中心厚度的变化而发生变化.当胶结物厚度较小时，随孔隙度增大，胶结物含量减小，纵横波速比略微减小，而当胶结物中心厚度较大时，趋势正好相反.分析认为，当胶结物中心厚度较小时，颗粒间处于接触或基本接触状态，此时其剪切模量随孔隙度增大而减小较慢，从而使纵波波速减小速率略大于横波减小速率，纵横波速比略微减小；当胶结物中心厚度达到一定值时，颗粒间不直接接触，剪切模量随孔隙度增大减小较快，导致纵横波速比随孔隙度增大而略微增大.

(5)相同孔隙度和胶结物中心厚度下，分布方式1对应的声波速度明显大于分布方式2，这是因为分布方式1下两颗粒之间的胶结物含量比分布方式2大，使岩石的抗压缩和抗剪切能力均增强，即砂岩颗粒之间的法向刚度和切向刚度均增大，从而导致更高的横波和纵波速度. 5 推广表达式的应用

为了考察利用推广后的胶结半径表达式修正的CCT理论对基底式胶结疏松砂岩声波速度的预测精度，制作了15块基底式胶结的人造疏松砂岩，图 4为其中一块岩样的铸体薄片(蓝色为铸体).其中，砂岩骨架颗粒选为石英，体积模量为38 GPa，剪切模量44 GPa，密度2.65 g·cm^-3；胶结物为环氧树脂和高岭石的混合物，体积模量为2.24 GPa，剪切模量为1.57 GPa，密度1.38 g·cm^-3；根据砂岩颗粒体积(可由砂岩颗粒总质量和密度求出)及岩样的总体积，求得岩心临界孔隙度为40%，对应的配位数约为8.5个(Murphy，1982)；胶结物含量为临界孔隙度与岩心孔隙度的差值；通过对铸体薄片的测量得归一化胶结物中心厚度约为0.03.

图 4

Fig. 4

图 4 人造疏松砂岩铸体薄片 Fig. 4 Thin section of the man-made loose core sample

声波测量采用中国石油大学(华东)研究制造的 声波多参数测量仪，仪器探头纵/横波频率：0.25 MHz/0.12 MHz. 纵波速度测量相对不确定度小于0.5%，横波速度测量相对不确定度小于1%(韩学辉等，2012).为了保证测量精度，在常温常压下对干岩样进行了三次声波速度测量，并将测量结果(保留四位有效数字)与模型预测结果进行比较，如表 1和表 2所示.

表 1(Table 1)

表 1 纵波实验测量值与模型预测值对比结果 Table 1 Comparison of the compressional wave velocities measured by the experiments and those predicted by the models 岩样号 孔隙度 (%) 胶结物含量 (%) 实验测量纵波速度 (m·s-1) CCT预测纵波速度 (m·s-1) 改进模型预测纵波速度 (m·s-1) CCT预测误差 (%) 改进模型预测误差 (%) 1 17. 1 22. 9 2330 2874 2309 23. 36 -0. 89 2 31. 4 8. 6 1897 2596 1883 36. 87 -0. 73 3 15. 5 24. 5 2450 2888 2333 17. 87 -4. 78 4 19. 2 20. 8 2118 2853 2274 34. 72 7. 36 5 14. 0 26. 0 2320 2899 2353 24. 95 1. 42 6 28. 8 11. 2 1856 2683 2009 44. 55 8. 26 7 17. 6 22. 4 2392 2870 2301 19. 97 -3. 79 8 14. 7 25. 3 2310 2894 2344 25. 27 1. 46 9 20. 5 19. 5 2179 2838 2249 30. 26 3. 22 10 16. 3 23. 7 2410 2881 2321 19. 55 -3. 68 11 20. 8 19. 2 2151 2835 2243 31. 78 4. 28 12 15. 0 25. 0 2380 2892 2340 21. 49 -1. 69 13 25. 3 14. 7 2130 2764 2132 29. 78 0. 10 14 21. 8 18. 2 2190 2821 2222 28. 83 1. 45 15 25. 6 14. 4 2082 2758 2123 32. 49 1. 98

表 1 纵波实验测量值与模型预测值对比结果 Table 1 Comparison of the compressional wave velocities measured by the experiments and those predicted by the models

表 2(Table 2)

表 2 横波实验测量值与模型预测值对比结果 Table 2 Comparison of the shear wave velocities measured by the experiments and those predicted by the models 岩样号 孔隙度 (%) 胶结物含量 (%) 实验测量纵波速度 (m·s-1) CCT预测纵波速度 (m·s-1) 改进模型预测纵波速度 (m·s-1) CCT预测误差 (%) 改进模型预测误差 (%) 1 17. 1 22. 9 1425 1930 1510 35. 45 5. 94 2 31. 4 8. 6 1219 1754 1228 43. 85 0. 77 3 15. 5 24. 5 1490 1939 1525 30. 10 2. 36 4 19. 2 20. 8 1549 1917 1486 23. 77 -4. 05 5 14. 0 26. 0 1525 1945 1538 27. 56 0. 87 6 28. 8 11. 2 1374 1809 1312 31. 65 -4. 54 7 17. 6 22. 4 1519 1927 1504 26. 88 -0. 96 8 14. 7 25. 3 1532 1942 1532 26. 78 0. 02 9 20. 5 19. 5 1350 1908 1470 41. 31 8. 89 10 16. 3 23. 7 1485 1934 1518 30. 27 2. 20 11 20. 8 19. 2 1474 1905 1466 29. 27 -0. 54 12 15. 0 25. 0 1491 1941 1530 30. 17 2. 60 13 25. 3 14. 7 1482 1861 1393 25. 57 -6. 02 14 21. 8 18. 2 1385 1897 1452 36. 98 4. 84 15 25. 6 14. 4 1393 1857 1387 33. 33 -0. 44

表 2 横波实验测量值与模型预测值对比结果 Table 2 Comparison of the shear wave velocities measured by the experiments and those predicted by the models

比较改进模型与原模型预测的相对误差随孔隙度变化规律(图 5)可发现，原模型的纵、横波预测结 果普遍高于实验测量值，平均相对误差分别高于28%和31%，属于系统误差；而改进模型纵、横波预测结果与实验结果偏差均在9%以内，且相对误差随机分布在正负之间，属于随机误差.考察原模型的假设条件可发现，原模型预测结果的系统误差主要来自模型的假设条件，其假设砂岩颗粒之间直接接触，从而导致岩石模量估计值过高，速度预测过大，而改进模型考虑了胶结物中心厚度的影响，从而使砂岩模量及速度的预测结果更为合理.因此，较CCT模型，改进后的模型能够更好地预测基底式胶结的疏松砂岩的声波速度.

图 5

Fig. 5

图 5 模型预测纵横波速相对误差随孔隙度变化规律 (a)模型纵波预测值相对误差随孔隙度变化规律；(b)模型横波预测值相对误差随孔隙度变化规律. Fig. 5 The relative error of compressional wave and shear wave velocity predicted by models versus porosity (a)The relative error of compressional wave velocity predicted by models versus porosity； (b)The relative error of shear wave velocity predicted by models versus porosity.

进一步考察纵横波速比与孔隙度的关系(图 6)，可以看出本例中修正模型理论预测的纵横波速比(胶结物中心厚度为0.03)随孔隙度的增大而略微增大(从1.52变为1.53)，与第4部分讨论结果相同.而实验所得纵横波速比与孔隙度无明显关系，与周继宏等(1999)所得实验结果一致.分析认为，由于纵横波速比随孔隙度变化不明显且实验带来了一定的误差，从而导致无法从纵横波速比中获知由孔隙度或胶结物含量变化引起的疏松砂岩的“软硬”变化，但是孔隙度或胶结物含量不变情况下，由图 3及其分析知，胶结物中心厚度引起的纵横波速比变化较大，故此时的纵横波速比可指示由胶结物中心厚度引起的疏松砂岩的“软硬”变化，胶结物中心厚度越大，疏松砂岩越软，纵横波速比越大.

图 6

Fig. 6

图 6 孔隙度与纵横波速比关系 Fig. 6 The ratio of compressional wave velocity to shear wave velocity versus porosity

(1)在“胶结物中心厚度不为0”的假设前提下推导的胶结半径一般表达式提供了考察胶结物中心厚度对声波速度影响的理论基础，使用对象不再局限于孔隙式胶结疏松砂岩，扩展了CCT理论的应用范围.CCT理论中胶结半径表达式仅为一般表达式在胶结物中心厚度为0时的特例.

(2)随胶结物中心厚度变大，疏松砂岩的声波速度减小，且孔隙度越大，胶结物含量越少，声波速度随胶结物中心厚度的增大减小越快.孔隙度或胶结物含量不变时，纵横波速比随胶结物中心厚度的增大而增大；纵横波速比随孔隙度的变化规律与胶结物中心厚度有关，当胶结物中心厚度较小时，孔隙度增大，纵横波速比略微减小，而当胶结物中心厚度较大时，孔隙度的增大会引起纵横波速比略微增大.

(3)对于基底式胶结疏松砂岩，由于基底式胶结疏松砂岩的胶结物中心厚度不为0，利用不考虑胶结物中心厚度的CCT模型将导致过大的速度和模量预测，而使用推广后表达式修正的CCT模型相对CCT模型能够更好地预测基底式胶结的疏松砂岩声波速度.对纵横波速比与孔隙度关系的考察可知，利用纵横波速比无法预测由孔隙度或胶结物含量变化引起的疏松砂岩软硬的变化，但是在胶结物含量或孔隙度不变的情况下，纵横波速比可指示由胶结物中心厚度变化引起的疏松砂岩软硬的变化，胶结物中心厚度越大，疏松砂岩越软，纵横波速比越大.