探地雷达亦即地质雷达是利用高频电磁波在地下介质中的传播、反射及绕射等波动现象和规律的地球物理探测方法，能提供有关近地表介质特性和结构的高分辨率信息.探地雷达已广泛应用于地质(Davis and Annan， 1989；Liner and Liner， 1997)、环境(Beres and Haeni， 1991)、水文(Arcone et al., 1998)、工程(Morrow and Genderen， 2002；Xu et al., 2002；Lee et al., 1987)、考古(Zhou and Sato， 2001，2004；Zhou et al., 2005；冯暄等，2011)和军事(Gader et al., 2001)等领域.

与其他地球物理探测方法一样，探地雷达探测的目的是获得地下介质特性的空间分布情况.由于受到诸如计算机设备、定量化解译方法的研究与开发等各种因素的限制，目前的探地雷达资料解译还是以定性解译为主.定性解译结果与解译人员的工作经验、知识水平、对探测现场的了解程度等因素有很大的关系.而定量解译是基于从雷达数据得到的介质物性参数的具体数值而做出判断的方法，人为因素大为减少.利用麦克斯韦方程的波形反演方法，能充分利用雷达数据中的反映地下介质状况的波形、走时、相位等信息，是定量解释的重要方法，是探地雷达的发展方向.

近年来，反演理论与方法、天线数值模拟研究所取得的长足进展，计算机设备的快速更新换代，激起了人们研究以波形反演方法为主要手段之一的定量化方法的浓厚兴趣，例如电导率、介电常数和磁导率三参数反演(，2000)，考虑地表-空气边界条件的波形反演(Hansen and Johansen， 2000)，单点探地雷达反演(Gentili and Spagnolini， 2000)，基于耗散介质并考虑地表-空气边界条件的波形反演(Meincke，2001)，三维耗散介质中的绕射波层析反演(Cui and Chew， 2002).Leone和Soldovieri(2003)则探讨了基于扭曲Born近似波形反演的不确定性；Song和Liu(2004)基于散射近似理论研究了三维层状介质的高效非线性反演方法；Kalogeropoulos等(2011)利用探地雷达的全波形反演对混凝土中的氯化物和湿度进行评价；Zhou等(2007)采用波形反演方法，使用天线转换的雷达数据反演地表电磁参数；王兆磊等(2007)也利用探地雷达数据进行二维反演获得导电参数；Ernst等(2007)应用一种新的波形反演方法对井间雷达资料进行反演；Gloaguen等(2007)基于井中探地雷达资料使用随机层析技术进行拟全波形反演；Meles等(2011)则研究了强非均匀介质中的探地雷达全波形反演方法.此外，Cordua等(2012)，Klotzsche等(2010)与丁亮等(2012)分别研究或应用了探地雷达波形反演方法.以上列举的全波形反演方法中既有时间域的也有频率域的.基于麦克斯韦方程的时间域波形反演方法有其独特的优势，由于是时间域反演方法，它不利用格林函数或索茉菲积分，麦克斯韦方程组可用时间域有限差分法求解.这种反演方法能适用于各种观测方式、不需要地下介质为水平均匀层状或背景介质为均匀介质等假设、可灵活地处理起伏地形和粗糙地表的问题.该反演方法的研究近年来得到了重视，并取得了较大的进展(Zhou et al., 2007；王兆磊等，2007；Ernst et al., 2007；Gloaguen et al., 2007；Meles，2011；Cordua et al., 2012； Klotzsche et al., 2010；丁亮等，2012)，尽管如此，雷达天线的激发脉冲的求取问题还没有得到很好的解决.

对于时间域脉冲探地雷达系统采集的数据的波形反演而言，在反演前需要已知雷达系统的激发脉冲信号.在通常的反演方法研究中，一般都用已知脉冲的正演模拟记录作为观测数据，在反演时假设激发脉冲信号是已知的(Meles et al., 2011；丁亮等，2012).但用实际雷达系统观测的数据进行反演时，该脉冲信号需要从记录数据中提取(Kalogeropoulos et al., 2011；Ernst et al., 2007； Cordua et al., 2012；Klotzsche et al., 2010).Ernst等(2007)利用频率域反褶积方法从实际雷达记录中提取激发脉冲，估算的激发脉冲的精度受观测数据的信噪比、估计的介质模型的精度等因素有关，对接收孔径进行了限制.激发脉冲的估计精度与波形反演结果的精度密切相关.

本文研究避免从实际雷达资料提取激发脉冲的方法.借助于一个已知地质模型上雷达系统激发接收的记录和给定激发脉冲、给定激发接收天线的正演模拟信号，计算出转换算子，将其作用于实测雷达信号后，实测的雷达信号转换成给定激发脉冲激发的、给定激发接收天线采集的信号，它用于波形反演，从而避免了激发脉冲的求取.

本文首先简要介绍麦克斯韦方程波形反演方法，其次讨论消除激发电流波形方法，然后用模拟数据展示数据转换方法的效果，并比较原始数据和转换数据的反演效果，还展示实验室测量数据的反演结果，最后给出本文的结论.

本文讨论时间域麦克斯韦方程的波形反演方法(Zhou et al., 2007；王兆磊等，2007).二维麦克斯韦方程为

将电磁场量(E_y H_x H_z)归一化成(E_y ηH_x ηH_z)，并将(1)—(3)式写为行列式形式

波形反演的目标泛函Q(p)定义为

设已知模型的实测记录为x_m(t)、该模型上的正演模拟记录为x_c(t)，未知模型上的实测记录x(t).又设各记录的频谱由(14)式给出(Daniels，1996)

(16)式与(15)式相除得

用图 1所示的模型验证消除激发电流波形的有效性.图 1为相对介电常数的分布图，模型大小为301×201个节点，纵横向采样间隔1.2 cm.该模型由三层介质和两个异常体组成，其中第一层为空气，第二、三层为土层，相对介电常数分别为5和6，在第一个土层中有圆形(直径30 cm)和正方形(边长14.4 cm)两个异常体，其相对介电常数为3.

图 1

Fig. 1

图 1 具有两个异常体的层状介质模型Fig. 1 layered model with two objects

用两种天线和两种脉冲激发接收雷达信号.一种天线是单天线(如图 1左上方所示)，另一种是两 个相邻的平行单天线(间隔2.4 cm)构成的天线简称双天线(如图 1右上方所示).一对双天线组成激发和接收天线对，一对单天线组成激发和接收天线对，激发和接收天线对中心点间隔24 cm.激发信号是如图 2所示的高斯函数一阶导数脉冲(脉冲1)和图 3所示的高斯函数的二阶导数脉冲(脉冲2).假设双天线作为实际观测的天线，而单天线作为已知天线，用于已知模型的电磁响应计算.当用实际观测天线激发时，激发脉冲是如图 2所示的脉冲1，当用单天线计算电磁响应时，所用脉冲为图 3所示的脉冲2.模拟和观测时，激发和接收天线的间隔保持不变，观测点间隔6 cm，获得的是共偏移距剖面.本文的模拟记录和数值模型对应的“观测”记录均用FDTD方法获得.

图 2

Fig. 2

图 2 高斯函数一阶导数脉冲(脉冲1)Fig. 2 The first order of derivative of Gaussian pulse(pulse 1)

图 3

Fig. 3

图 3 高斯函数二阶导数脉冲(脉冲2)Fig. 3 The second order of derivative of Gaussian pulse(pulse 2)

图 4是用激发脉冲1和双天线激发接收的雷达剖面，它作为实测资料(对应于式(17)中的X(ω)).图 5为用激发脉冲2和单天线激发接收的雷达剖面(对应于式(20)中的X′(ω)).天线转换和脉冲消除的目的是将图 4剖面转换为已知天线(这里为单天线)和已知脉冲(脉冲2)激发的雷达数据(图 5)，简单地说就是将图 4转换为图 5.由于所用激发脉冲不同，图 4和图 5的同相轴的波形就不同.

图 4

Fig. 4

图 4 用激发脉冲1及双天线激发接收的雷达剖面(作为实测资料)Fig. 4 A radar profile obtained by using pulse 1 and double transmitting antenna and double receiving antenna(It is taken as observed data)

图 5

Fig. 5

图 5 用激发脉冲2及单天线激发接收的雷达剖面(作为模拟资料)Fig. 5 A radar profile obtained by using pulse 2 and single transmitting antenna and single receiving antenna(It is taken as simulated data)

在转换不同脉冲和天线雷达数据时，需要事先 算出转换算子Xc(ω)/Xm(ω).在计算转换算子时，已知模型选为图 1所示模型中只有空气层和第一个土层，而没有异常体和第二个土层.在该模型上，分别得到X_c(ω)和X_m(ω).图 6是将用脉冲1和双天线激发接收的数据(图 4)转化为用脉冲2和单天线激发接收的数据，它作为天线转换和未知脉冲消除并做带通滤波后的观测资料，图 7是图 5做相同带通滤波后的剖面.比较图 6和图 7，两者差异很小，说明这种数据转换对无噪数据是可行的.

图 6

Fig. 6

图 6 将用脉冲1和双天线激发接收的数据(图 4)转化为用脉冲2和单天线激发接收的数据(做带通滤波后)，作为天线转换和脉冲消除后的观测资料Fig. 6 B and pass filtered transformed data from the data obtained using pulse 1 and double transmitting antenna and double receiving antenna. The data are used as observed data as if obtained using pulse 2 and single transmitting antenna and single receiving antenna

图 7

Fig. 7

图 7 图 5数据经相同带通滤波后的剖面Fig. 7 The b and pass filtered profile of Fig. 5

但在实际工作中，用这样简单的二层模型也不容易，最好用十分简单的均匀介质，例如空气.以下转换算子利用自由空间中双天线和脉冲1激发接收数据以及单天线和脉冲2激发接收数据计算得到.

当用实际天线测量时，难免存在噪声.图 8是图 4加随机噪声后的剖面，信噪比为20 dB. 图 9是具有测量噪声的已知介质的雷达记录(对应于Xm(ω))，它用于转换算子的计算.图 9中蓝色的曲线表示有噪雷达记录，红色曲线为无噪记录.图 10为用有噪声记录(图 9)和已知模型模拟记录(对应于Xc(ω))一起计算的转换算子，将有噪声测量记录(图 8)转 换后的剖面.与图 7相比，除存在微弱的噪声外，差别微小.

通过上述算例可知，这种天线转换和未知脉冲消除方法对无噪数据和有噪数据的转换都是有效的.

图 8

Fig. 8

图 8 图 4数据加随机噪声后剖面(信噪比20 dB)Fig. 8 The noisy profile of Fig. 4，the signal to noise ratio is 20 dB

图 9

Fig. 9

图 9 具有测量噪声的雷达记录，它用于转换算子的计算Fig. 9 A noisy trace used in the calculation of transform operator

图 10

Fig. 10

图 10 用于求取转换算子的记录有噪声并且观测数据也有噪声时的转换剖面Fig. 10 Transformed data from noisy observed data of known and unknown models

5 反演效果 5.1 模拟数据的反演

以下讨论天线转换和未知脉冲消除后的数据用于反演介质参数的质量.在反演中，重构区域的范围为：横向11—291节点，纵向51—188 节点，空气层没有包括在内.迭代反演的初始模型为真实模型光滑化后的模型，光滑窗口的大小纵横向各为10个样点.

图 11是用脉冲2和单天线激发接收的雷达数据(图 7)迭代50次的反演结果.图 12是用转换后的数据(图 6)迭代50次的反演结果.比较图 11和图 12知，用实测天线和实际脉冲激发的数据经天线 转换和未知脉冲波形消除后的数据的反演结果，与已知天线和已知脉冲激发的数据的反演结果差异甚微.

图 11

Fig. 11

图 11 用单天线和二阶导数脉冲激发的雷达剖面(图 7)迭代50次的反演结果 Fig. 11 Inversion result at 50th iteration using the data(Fig. 7)obtained using single transmitting and single receiving antenna with pulse 2

图 12

Fig. 12

图 12 用转换后的数据(图 6)迭代50次的反演结果Fig. 12 Inversion result at 50th iteration using the transformed data(Fig. 6)

当用于求取转换算子的记录有噪声并且观测数据也有噪声时的转换剖面(图 10)迭代反演50次，得到图 13的反演结果.比较图 12和13可知，除噪声引起的影响外，反演出的相对介电常数和异常体的形状、位置都是正确的.

图 13

Fig. 13

图 13 当用于求取转换算子的记录有噪声，观测数据也有噪声时的转换剖面(图 10)迭代反演50次的反演结果Fig. 13 Inversion result at 50th iteration using the transformed data(Fig. 10)

5.2 实际数据的反演

在实验室利用E8358型网络分析仪采集雷达 数据.所用天线为2.7 cm长的一对偶极天线，一个作为激发天线，另一个为接收天线.该天线的共振频率约为4.5 GHz.由于共振频率高，所以在实验室可 以用较小尺寸的模型进行实验.所制作的二维模型 为：在一个长50 cm，宽40 cm，高25 cm，壁厚2 cm的减振泡沫箱内，放入干燥疏松的砂子，并在砂子中宽度方向埋设两个低介电常数和低电导率的长条状减振泡沫(其电磁特性十分接近空气).泡沫的横截面的大小为1.5 cm×1.5 cm，上表面的埋深分别为5 cm和3.5 cm，两者横向间隔6.5 cm.

沿垂直于条状泡沫走向方向采集雷达数据.天线的方向与测线垂直，两个天线的间隔为5.2 cm，测点的间隔为6.5 mm，天线与砂子表面的间隔保持为3.9 mm.第一个测点约在4 cm处，最后一个测点约在26.5 cm处，共有36个测点.采集的数据为频率域数据，频率范围为0.5~9.0 GHz，采样点数为1800.经一定的数据处理和转换，频率域数据转化为时间域数据，三维效应数据转化为二维效应数据(Zhou et al., 2007；Ernst，2007)，并经本文所研究的天线和脉冲转换方法得到转换后的数据图 14，它用于反演介电常数.转换算子的计算所用的已知模型为自由空间，设定的已知天线为偶极天线，转换后的脉冲为高斯函数的二阶导数.反演结果为图 15，图中白色虚线为异常体正确位置.从图可知，异常体所在位置处介电常数较低，说明反演结果正确.该反演结果与没有脉冲转换的数据反演结果(王兆磊等，2007)十分接近.

图 14

Fig. 14

图 14 转换后用于反演的观测数据Fig. 14 Transformed data used for inversion

图 15

Fig. 15

图 15 实测数据的反演结果Fig. 15 Inversion result from measured data

6 结论

本文研究了避免从实际雷达资料提取激发脉冲的方法，它需要一个已知的地质模型，得到雷达系统激发接收的记录，以及用给定的激发脉冲、给定的激发接收天线的正演模拟信号，用这两个信号计算出转换算子，将其作用于实测雷达信号后，实测的雷达信号可以转换成给定激发脉冲激发的、给定激发接收天线采集的信号，它用于波形反演，可避免激发脉冲的求取.二维模型数据的转换表明，转换后的数据与正演模拟数据一致，反演结果差异很小.实测数据的反演结果与实际情况相符.

虽然二维问题的反演取得了一定的效果，尚需进一步测试.对于三维问题的反演更需要做深入的研究，以测试本文方法的适用性和实用性.这些将是作者今后的研究课题.