关于大气环流最经典的设想是1735年Hadley的论述(Hadley,1735),太阳加热的南北分布不均匀,导致赤道附近的上升运动和极地附近的下沉运动.这就造成高空由赤道空气流向极地的压力梯度,底层则空气由极地流向赤道,这就形成了Hadley环流.在赤道上空向北流动的空气由于受到柯氏力的作用,那么向北流动的空气大约到达纬度φ=30°左右开始右偏转,偏向成西风,空气在那里堆积下沉.同理,大约在纬度φ=60°左右地表向南流动的空气就要上升,而形成Ferrel环流(Ferrel,1859).另外还有一个极地环流.低纬Hadley 环流,中纬Ferrel 环流,高纬的极地环流总体构成三圈环流.著名气象学家E.N. Lorenz 1967年对大气环流的理论作了系统的归纳(Lorenz,1967).
值得提出的是,德国气象学家Koschmieder(Koschmieder,1959)1959年将Ch and rasekhar的理论(Ch and rasekhar, 1952;Ch and rasekhar, 1953;Ch and rasekhar, 1957)应用到大气球壳的对流问题,对三圈环流的模型做了很好的描述.但是,由于没有给出具体的速度场表达式,只给出几张示意图,说用可以描述三圈环流.在本文中,我们从定性和定量的描述中,说明气压场用才能描述三圈环流,而且用微分方程定性分析,确切说明三圈环流速度场的运动特征.
虽然三圈环流每天都不相同,但是我们要讨论 的是定常的斑图,它们应该反映三圈环流的共同特征. 2 描述三圈环流的定常方程组
在球坐标系(λ,φ,r)中定常的大气热力—动力学方程组的Boussinesq近似形式为(刘式适等,2011)
其中为水平梯度.
方程(1)与(2)代表气压梯度力、Coriolis力和摩擦力三力平衡.其中摩擦力用和速度成正比但方向相反来表示,k>0为摩擦系数,量纲为1/s.方程(3)代表垂直方向的气压梯度力、浮力和摩擦力相平衡.方程(4)表示浮力引起的垂直运动和热传导相平衡,由于三圈环流可以看成是赤道受热多于极地受热,因而引起球面上的热对流问题,所以N2<0.方程(5)是不可压缩连续性方程.
尽管方程(1)—(5)和Koschmieder的方程稍有不同,但考虑热对流、摩擦力和不可压缩的物理因子基本是相似的.
下面由(1)—(2)导出散度方程和涡度方程,将(1)式乘以cosφ得到
假设ƒ是常数,将(7)式对φ微商得到
再将(2)式对λ微商,有
将(8)式和(9)式相减之后,两边乘以得到
该式就是其中
是垂直涡度.(10)式就是定常的散度方程.
将(1)式对λ微商得到
将(2)式乘上cosφ后对φ微商得到
将(12)式和(13)式相加,并两边乘以后得到
其中
为球面上的二维Laplace算子,a为地球半径.(14)式就是定常状态下的涡度方程.
方程(1)—(5)以及方程(10)和(14)是我们分析三圈环流的基本方程. 3 物理分析
为了说明上节定常三圈环流模型的正确性,我们对模型做物理分析.现绘出从北极到南极的经圈剖面上的三圈环流示意图,见图 1.
从图 1看出,在北半球,三圈环流中地表的东风(西风)与北风(南风)相对应,由于vλ以西风为正,vφ以南风为正,所以北半球地表vλ和vφ符号相同.类似南半球地表的vλ和vφ符号相反,即地表东风(西风)与南风(北风)相对应.
从物理上讲,北半球若刮北风(南风),那么Coriolis 则使风向向右偏转,因而刮东风(西风),南半球若刮北风(南风),那么Coriolis力则使风向向左偏,因而刮西风(东风).从方程(1)我们也能够看出这种结果.若设气压仅是r和纬度φ的函数(下节将来验证),和经度λ无关,那么方程(1)得出
由于北半球柯氏力参数f>0,因而由(16)得出vλ和vφ同号,南半球f<0,因而vλ和vφ符号相反.
由图 1还看出,三圈环流中高层和低层的气压梯度符号相反,因而风向相反.这一点也可以由方程(2)得到验证,由方程(2)和(16)得到
故
由(17)式看出,由于高层和低层气压梯度相反,因而经向速度vφ符号也相反,因此气压梯度是确定经向速度的决定因素.
最后由图 1看出,低层的赤道及高纬度φ1处,速度水平辐合一定产生上升运动,而在低纬φ2处及两极处,低层水平速度辐散一定产生下沉运动.这个很容易由不可压缩连续方程(5)加以解释.很自然在低纬φ2处及两极处,下沉运动常形成副热带高压和极地高压.
归纳来说,定常方程组(1)—(15)描述三圈环流,从物理上是非常合理的,因而数学上也必然是正确的. 4 气压场可以用球调和函数表述
在直角坐标系(x,y,z)和柱坐标系(r,θ,z)中讨论热对流时,我们导出水平面上的气压场p分别可以用x,y方向上的三角调和函数的乘积和r方向上的一阶Bessel函数J1(r)来表示(刘式达等,2011).在球坐标系(λ,φ,r)中,本节论证球面上的气压场可以用球调和函数表示.从物理上看,三角调和函数是周期边条件的特征函数,Bessel函数是原点(r=0)有界、柱面边界上为零条件下的特征函数,本节导出的球调和函数是南极和北极有界、径向方向为周期的条件下的特征函数.
由(3)和(4)两式得到
对(18)式两边作(14)式算子运算,得到
将(14)式代入上式,并用(10)式得到
或将(5)式中的D代入上式得
其中是一个参数.
设
是单位球(a=1)上的球面Laplace算子,那么(19)式就可以写成
先用分离变量法求解方程(22),设
将(23)式代入(22)式得到
由(24)式得到
和
(25)式在径向方向是周期函数,南极、北极为有界条件下的特征值是
特征函数是球调和函数,即
(28)式中的A是常数,量纲为m/s.
由(26)式得到
方程(30)是球Bessel方程,它的一个特解是
其中
是第一类球Bessel函数.
解(31)要满足垂直速度vr在球表面r=a为零,得到
其中
是j1的第一个零点.而j1在大气上界(可以认为r→∞)也自动满足趋向于零.
我们取l=6,m=0,则由(23)(28)(31)式得到
其中,
将(35)代入(18)式得到
将(36)式对r积分一次,并利用(32)式得到气压场p:
(37)式说明,在定常情况下球面上的气压场可以用球调和函数表示.且三圈环流的气压场可以用 (sinφ)表示.为什么取l=6,m=0呢?按照球调和函数的性质(刘式适等,2002),总共有l-m=6-0条纬圈p=0的零线(modal).而按照方 程(2)纬向风速vλ是和p的导数相联系.由图 1看 出,vλ=0的纬线有五条:±φ1,±φ2和φ=0,它们都使=0,即p的极值有五条.因此六条 p=0的线中间有五条p的极值线,即vλ=0的纬线. 5 三维速度场的分析
从特殊函数知,可以表示成
将(38)式代入(17)式得的结果为
其中
是方程
的四个根,见图 1.
将(39)式代入(16)式得到vλ=acosλ的结果为
这样垂直速度方程(35),径向速度方程(39),纬向速度方程(42)就转成了球坐标的三个速度场.由 于第三节已作了物理分析,三维速度场的定性分析一定会和物理分析相一致.
首先,令三个速度场的右端为零,导得速度场的奇点(Kuznetsov,2004;Drazin,1992).由vλ=0和vφ=0导得
由vr=0导得 r=a(地球表面)和r=r*(大气上界). 故图 1中地表和大气上界的赤道,两极及φ1和φ2处均是速度场为零的奇点,共14个,见图 2中的黑点.
为了方便,我们仅看经圈剖面(r,φ)上的奇点及流场,见图 2.
从图 2看出,这些奇点在(r,φ)平面上都是鞍点,若在r方向流出,则在φ方向流进.若在r方向流进,则在φ方向流出.
我们来说明奇点是鞍点,以(r,φ)=(a,φ1)为例.在该点处(35)和(39)式右端的Jacobian矩阵为
在矩阵(44)式中的,由(35)式看出它要用到j′1.
由球Bessel函数知,在r很大时
其中 42/b 按(34)式为
所以由(45)式求得
用r=a代入得
所以矩阵(44)为
由于
,则矩阵(47)可以简化为
其中α>0,β>0是常数,因此矩阵(48)的特征值为
在(α,φ1)的平面上,奇点(a,φ1)的特征值为一正一负.因而奇点(a,φ1)为鞍点.
对其他点可类似讨论,例(a,φ2), 由于球调和函数正负相间,所以由(sinφ1)<0,则知(sinφ2)>0,且sin2φ2<sin2φ1,所以对奇点(a,φ2),矩阵(48)就变成
所以仍然是鞍点. 6 结论
在本文中,我们利用球坐标系(λ,φ,r)的动力、热力学方程导出三维速度场(vλ,vφ,vr)的动力系统.从定性和定量上说明包括摩擦力和热传导的不可压缩大气运动的动力系统能够描述由赤道和极地 间的加热不均匀造成的三圈环流.并且,定量分析表明球面上的压力场p可以用球调和函数 (sinφ)cosmλ来表达.当取l=6,m=0时即可导出三圈环流.由此得到在经圈剖面(φ,r)上,地表的φ1=±56°和φ2=±28°左右,以及赤道是速度场的奇点,说明在副热带空气的垂直运动是下沉运动,在中纬度是上 升运动.相信这些结果能够对于深入理解大气环流 的形成机理和构建大气环流模型提供借鉴.
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