地球物理学报  2014, Vol. 57 Issue (10): 3389-3401   PDF    
各向异性介质qP波传播描述Ⅱ:分离纯模式标量波
程玖兵1, 陈茂根2, 王腾飞1, 康玮1,3    
1. 同济大学 海洋地质国家重点实验室, 上海 200092;
2. 中国石油化工股份有限公司上海海洋油气分公司研究院, 上海 200120;
3. 斯伦贝谢西方奇科公司, 休斯敦 77042
摘要:在各向异性地震波场中,qP波与qS波常常是耦合在一起的.多分量地震数据处理中一个关键环节就是波型分离(即模式解耦),以纵波成分为主的常规单分量地震数据的成像则需要合理描述标量qP波的传播算子.本文作者曾构建了在运动学上同弹性波动方程等价,动力学上突出标量qP波的伪纯模式波动方程.为了彻底消除qS波残余,本文根据波矢量与qP波偏振矢量之间的偏差,提出从伪纯模式波场提取纯模式标量qP波的方法.数值分析展示了投影偏差算子在波数域和空间域的特征.基于不同复杂程度理论模型的试验结果表明,联合"伪纯模式传播算子"与"投影偏差校正"可为各向异性介质分离模式波场传播过程提供一种简便的描述工具.
关键词伪纯模式波动方程     波型分离     波矢量     偏振矢量     投影偏差    
Description of qP-wave propagation in anisotropic media, Part Ⅱ: Separation of pure-mode scalar waves
CHENG Jiu-Bing1, CHEN Mao-Gen2, WANG Teng-Fei1, KANG Wei1,3    
1. Tongji University, State Key Laboratory of Marine Geology, Shanghai 200092, China;
2. Institute of Sinopec Shanghai Offshore Oil & Gas Company, Shanghai 200120, China;
3. Schlumberger Western Geco, Houston TX 77042, USA
Abstract: In anisotropic seismic wavefields, qP and qS waves are generally coupled. Mode decoupling or separation is the most important step for processing of multi-component seismic data, while a scalar qP-wave propagator is prerequisite for imaging of the conventional single component seismic data that predominantly record compressional waves. The authors had formerly built a pseudo-pure-mode wave equation that is kinematically equivalent to the original elastic wave equation and highlights the energy of scalar qP-waves for arbitrary anisotropic media. To remove the residual qS-waves, we propose an approach to extract pure-mode scalar qP-waves from the pseudo-pure-mode wavefields according to the deviation between wave and polarization vectors. Numerical analysis demonstrates the characteristics of the projection deviation operators in wavenumber and space domains respectively. Examples of synthetic models of different complexity show that, pseudo-pure-mode wave propagator plus correction of the projection deviation can provide an effective tool to describe propagation of separated wave modes in anisotropic media.
Key words: Pseudo-pure-mode wave equation     Mode separation     Wave vector     Polarization vector     Projection deviation    

1 引言

地震各向异性本质上是一种弹性波现象.在弹性各向异性介质中,除了纵波(qP波)模式之外还存在快、慢横波(qS1波与qS2波)两种模式.在描述各向异性地震波的传播过程时,若采用原始弹性波方程,依赖的参数多,算法复杂,计算成本非常高.尽管完全各向同性弹性波波型分离方法已经得到了大量研究与应用(李英康和崔作舟,1994;张关泉和周洪波,1995;胡天跃等,2004;冯晅等,2011),但是各向异性介质波型分离问题在实际应用中还面临诸多难题(Dellinger and Etgen, 1990;陶春辉和何樵登,1993;Zhang and McMechan, 2010;Yan and Sava, 2011;Cheng and Fomel, 2014).因此,近10年人们针对纵波信号为主的地震各向异性偏移成像主要采用VTI和TTI介质声学近似qP波方程.虽然声学近似给波场模拟与逆时偏移(RTM)带来了计算上的方便,但也引起了一些棘手的问题,如残余qS波污染(Alkhalifah,2000),以及因破坏原刚度矩阵正定性带来的数值不稳定问题等(Grechka et al., 2004; Fletcher et al., 2009;Zhang et al., 2011).Zhang等(2009)基于声学近似二阶耦合方程的特征值问题分析,提出了一种压制qS波残余的滤波方法.由于其滤波器带有明显的近似,故达不到彻底消除qS波的目的,从他们提供的数值算例中仍然还可看到一些与qP波无关的假象.

为各向异性介质地震波传播与成像寻求能“独立”描述各种波模式的双程波传播算子是当前的理论研究热点之一.为了推导所谓的“纯模式”波动方程,Liu等(2009)将VTI介质声学近似频散关系进行因式分解,获得了解耦的qP波与qSV波频散关系及相应的拟声波方程.然而,这样获得的波动方程含有很不方便计算的拟微分算子,除非采用一些对频散关系或相速度的近似处理(Chu et al., 2011;Pestana et al., 2011).Kang and Cheng(2011a2011b)从VTI介质二维三分量弹性波方程出发,借助具有波场方向投影意义的相似变换,分别推导出了动力学上qP波占优的或qSV波占优的耦合二阶波动方程.在此基础上,程玖兵等(2013)针对各向异性弹性波方程提出了一种新的简化形式,即所谓的伪纯模式波动方程,并以qP波为例展示了它的运动学和动力学特征.他们发现,伪纯模式波场中qP波和qS波的运动学关系都与原始弹性波一致,其波场分量之和主要是标量qP波占优,但也含有一些qS波残余.这些特点表明qP波伪纯模式波动方程很适合常规单分量地震资料的逆时偏移处理.鉴于残余qS波可能对qP波传播与成像造成一定的污染,Cheng and Kang(2012)Kang and Cheng(2012)简要介绍了从矢量伪纯模式波场提取标量纯波数据的方法.本文就此展开详细的论述.

首先以VTI介质qP波伪纯模式波动方程为例,借助数值试验定量分析残余qSV波强弱的变化规律.然后利用弹性波波型分离思想,借助投影偏差校正从矢量伪纯模式波场提取纯模式波场数据.最后通过数值试验说明本文方法的有效性.

2 VTI介质qP波伪纯模式波动方程

程玖兵等(2013),将原始各向异性弹性波方程对应的Christoffel方程实施一种相当于向波矢量方向投影的相似变换,可以推导出时空域的qP波伪纯模式波动方程.在三维VTI介质中,该方程可表示成

其中,=[xyz]T为矢量伪纯模式波场,vPz和vSz为qP波与qS波垂向传播速度,ε,δ和γ是三个Thomsen各向异性参数,vPx=vPz和vSx=vSz分别代表qP波与qS波的水平传播速度,vPn=vPz代表qP波层内NMO速度.三个波场分量之和相当于原始弹性波 u =[ux,uy,uz]T求散度,即

在完全各向同性介质中,对原始弹性波场的散度运算就可分离出纯P波数据(Aki and Rechards, 2002;李志远等,2013).如程玖兵等(2013)所述,伪纯模式波动方程除了具有波场传播功能,还具备部分波型分离功能,使得标量波场 以qP波能量为主.在二维情况下,(1)式简化为

对于TTI介质,对称轴方向不再是垂直方向.通过坐标旋转,可由VTI介质伪纯模式波动方程推导出TTI介质中的对应形式(程玖兵等,2013).

3 残余qSV波强度分析

根据弹性波波型分离理论,只有将矢量波场投影到qP波的偏振方向才能获得纯qP波数据(Dellinger and Etgen, 1990; Aki and Rechards, 2002). 由于各向异性介质中波矢量与qP波偏振方向之间的偏差,伪纯模式波动方程隐含的波场投影达不到彻底的波型分离目标,残存qSV波能量强弱与投影方向偏差有直接关系.对于TI介质,Dellinger(1989)给出了这个偏差角(即波矢量与偏振矢量之间的夹角)β满足的方程:

其中,

这里α代表qP波的相角.可见,偏差角大小由各向异性参数以及波矢量方向或相角决定,呈复杂的非线性关系.在弱各向异性近似情况下,Tsvankin(2005)给出了VTI介质中这个偏差角的近似公式:

从该式看出,偏差角β随相角α、垂向传播速度比vSz/vPz变化而改变,也随δ和ε-δ增大而增大.由于定量分析偏差角及与各种波模式的能量关系非常困难,下面借助数值试验进行定性分析.

对于均匀二维VTI模型,设vPz=3000 m·s-1,vSz=1500 m·s-1,δ=0.01,图 1展示了ε依次取0.01、0.05、0.10、0.15、0.20时伪纯模式标量qP波的波前快照.图 2展示了当ε=0.01时,δ分别为0.01、0.05、0.10、0.15、0.20五种情况的波前快照.可见,由qP波伪纯模式波动方程模拟的波场中标量qP波成分较强,qSV波成分较弱.随着各向异性增强(即|ε-δ|增大),qSV波也逐渐变强.当取vPz=3000 m·s-1,ε=0.15和δ=0.05时,改变vSz也会影响残余qSV波的强度(见图 3).也就是说,影响残余qSV波强度的因素很多,其中最关键的是各向异性强度,这与公式(6)一致.此外,随着qSV波垂直传播速度增大(垂向纵横波速度比值变小),qSV波的形态变得越来越简单,但其强度变化规律不甚明显(可能与弱各向异性近似分析的局限性有关).

图 1 各向异性强度对qSV波残余的影响
δ=0.01,(a)—(e)ε依次取0.01、0.05、0.10、0.15、0.20.
Fig. 1 Effects of the anisotropy strength on residual qSV-waves
Fixing δ as 0.01,ε is set as 0.01,0.05,0.10,0.15 and 0.20,respectively.

图 2 各向异性强度对qSV波残余的影响
ε=0.01,(a)—(e)δ依次取0.01、0.05、0.10、0.15、0.20.
Fig. 2 Effects of the anisotropy strength on residual qSV-waves
Fixing ε as 0.01,δ is set as 0.01,0.05,0.10,0.15 and 0.20,respectively.

图 3 垂直横波速度对qSV波残余的影响
δ=0.05,ε=0.15,(a)—(c)vSz依次取500 m·s-1,1500 m·s-1和2000 m·s-1.
Fig. 3 Effects of the vertical qSV-wave velocity on residual qSV-waves
Setting δ as 0.05 and ε as 0.15, and vSz is set as 500 m·s-1,1500 m·s-1 and 2000 m·s-1,respectively.

对大多数地球介质,波矢量与qP波偏振方向偏差并不大(Thomsen,1986; Tsvankin and Chenokov, 1990).因此,方程(1)除了能从运动学上正确描述波场传播过程,还能从动力学上突出标量qP波.对于以纵波能量为主的常规单分量地震资料来说,qP波伪纯模式波动方程是很有价值的,同时它还回避了声学近似引起的一些麻烦(Cheng and Kang, 2012程玖兵等,2013).

4 投影偏差校正

在推导qP波伪纯模式波动方程时,对原始弹 性波方程对应的Christoffel方程采用了与波矢量

即在波数域施加了一种特殊的相似变换:

其中,分别为相似变换前后的波数域波场,kx,ky和kz代表空间波数矢量 k 的三个分量.这里有kx(k)≡kx,ky(k)≡ky和kz(k)≡kz.该相似变换等价于把弹性位移波场向波矢量方向投影,相当于方程(2)代表的散度运算.

在各向异性介质中,只有严格区分偏振方向才能实现qP与qS波的解耦.对于TI介质而言,除了对称轴方向之外,qP波的偏振方向并不与波矢量平行.当介质各向异性较弱时,二者偏差较小,伪纯模式波动方程隐含的方向投影能够达到较好的波型分离目的,残余qSV波较弱.随着各向异性增强,投影偏差越来越大,波型分离不彻底,伪纯模式波场中残余qSV波会增强.下面我们提出一种投影偏差校正方法,彻底达到向偏振方向投影的目的,从而消除残余qSV波,提取纯模式标量qP波数据.

设qP波的归一化偏振矢量为 A P(k)=[aPx(k),aPy(k),aPz(k)]T,根据弹性波波型分离理论(Dellinger and Etgen, 1990),获取纯qP波的偏振投影可写成:

其中,且有

由(8)与(9)式可知,欲从伪纯模式波场获取纯模式 标量qP波,首先需要施加如下形式的投影偏差校正:

其中偏差校正矩阵 E P(k)满足:

构建该矩阵需要在波数域计算qP波的偏振方向,要么通过Christoffel方程精确求解(Yan and Sava, 2011;Cheng and Fomel, 2014),要么借助弱各向异性近似(Tsvankin,2005; Rommel,1994).

值得注意的是,矩阵 M(k)、 A P(k)和E P(k)均是波数矢量 k 的函数,其对角元素都是一个三维波数空间的算子(每个波数成分对应一个3×3的子矩阵).设沿三个波数坐标轴的采样点数分别为Nx,Ny和Nz,则每个对角算子均是一个Nx×Ny×Nz的立体阵.如图 4,二维情况下仅有两个对角元素,故它们均是Nx×Nz的矩阵.

对于均匀各向异性介质,偏振方向是空间上的全局函数,可针对每个时间步的延拓波场施加公式(11)代表的波数域滤波,相当于用各个对角矩阵与(k)的相应分量乘积,而后将滤波后的波场分量反变换到空间域,最后求和得到标量qP波场.

图 4 二维均匀VTI介质波数域的散度算子、偏振投影算子与投影偏差校正算子
(a)和(b)为散度算子的水平与垂直分量;(c)和(d)为偏振投影算子的的水平与垂直分量;(e)和(f)为投影偏差校正算子的水平与垂直分量.
Fig. 4 Wavenumber domain divergence,polarization projection and deviation operators in a 2D homogeneous VTI medium
(a) and (b)represent horizontal and vertical components of divergence operator;(c) and (d)represent horizontal and vertical components of polarization projection operator;(e) and (f)represent horizontal and vertical components of projection deviation operator.

然而,在非均匀各向异性介质中,偏振方向随局部弹性参数变化而改变,因此投影偏差校正算子也是随空间变化的,写成 E P(x,k).为了适应弹性非均匀性,本文针对模型空间逐点计算每个网格点 x j处的波数域投影偏差校正算子 E P(x j,k),而后将其三个对角算子反傅里叶变换到空间域获得各点拟导 数形式的滤波因子ePx(x j,x),ePy(x j,x)和ePz(x j,x). 接下来在空间域对伪纯模式波场 (x)三个分量分别施加相应的非稳相滤波(褶积),并将滤波后的分量波场直接求和就得到该网格点的纯模式标量波场uP.空间上逐点实施这样的滤波处理,就得到整个计算空间的标量qP波数据.与傅里叶域全局运算不同,这种空间域非稳相滤波与有限差分运算类似,其优势就在于能够处理介质参数的空间变化.

正如后文试验表明的那样(如图 5),这些滤波因子覆盖区域是以网格点 x j中心对称的,且随着离网格点越远值越小.为了降低计算成本,通常对滤波因子进行适当地截断.对于TTI介质,还需要根据对称轴的方向将滤波因子进行坐标旋转(Cheng and Kang, 2014).

图 5 二维均匀VTI介质空间域的散度算子、偏振投影算子与投影偏差校正算子
(a)和(b)为散度算子的水平与垂直分量;(c)和(d)为偏振投影算子的的水平与垂直分量;(e)和(f)为投影偏差校正算子的水平与垂直分量.
Fig. 5 Spatial domain divergence,polarization projection and deviation operators in a 2D homogeneous VTI medium
(a) and (b)represent horizontal and vertical components of divergence operator;(c) and (d)represent horizontal and vertical components of polarization projection operator;(e) and (f)represent horizontal and vertical components of projection deviation operator.

因为qP波伪纯模式波动方程隐含的方向投影具有部分波型分离功能,所以伪纯模式标量波场中qS波能量被压制,qP波被突显出来.有意思的是,伪纯模式波场中残余qS波的运动学特征仍然是正确的.故对构造成像而言,也可把伪纯模式矢量波场投影校正到qSV波的偏振方向以便提取纯模式标量qSV波.不过,qSV波偏振方向与波矢量方向偏差很大,因此相应的空间滤波因子很长,大大增加了分离qSV波模式的计算成本与困难.更科学的方法 是联合“qSV波伪纯波传播算子”和“投影偏差校正”描述标量qSV波的传播过程(Kang and Cheng, 2012).

在非均匀各向异性介质中,与利用偏振投影算子实施弹性波模式分离(Yan and Sava, 2011)一样,投影偏差校正涉及的非稳相滤波在计算上是非常耗时的.正如前文论证的那样,qP波伪纯模式标量波场中残余qSV波通常都较弱,故在构造成像应用中并不需要每个时间步都施加投影偏差校正.程玖兵等(2013)基于SEG/Hess VTI模型的逆时偏移(RTM)试验表明,直接对伪纯模式标量qP波数据施加成像条件也可获得很好的成像结果.当然,欲完全消除波型交叉干扰,投影偏差校正是必要的.借鉴Yan and Sava(2011)提出的相移加插值(PSPI)算法可有效地降低该过程的计算成本,但需要用户根据模型的非均匀和各向异性程度,选择一组合适的均匀各向异性参考模型,并采用恰当的插值算法.最近,Cheng and Fomel(2014)提出了一种既高效精确又不需要人为干预的快速算法,能根据介质模型非均匀性和各向异性强度,自动对混合域模式分离算子或投影偏差校正算子施加低秩近似,大幅度地降低了计算成本.

5 数值试验 5.1 均匀VTI介质投影偏差校正算子

针对二维均匀VTI介质,参数为vPz=3000.0 m·s-1,vSz=1500.0 m·s-1,ε=0.25和δ=-0.25时,计算并绘制波矢量 k 对应的散度算子、偏振向量 A P对应的偏振投影算子以及二者的偏差算子 E P的水平分量与垂直分量.图 4为这些算子的两个分量在(kx,kz)域的波数谱,展示了散度算子与偏振算子的差异,以及投影偏差算子在波数域的表现形式.图 5为这些算子两个分量在空间域的形态与相对幅度(在反傅里叶变换之前对三种算子的波数谱施加了阻尼衰减以避免折叠波数处的突变).可见,偏振投影算子除了中心部分与散度算子相近之外,其余部分(像尾巴一样的)代表了各向异性的影响.注意,空间域三种算子有效值都主要分布在算子中心附近较小的范围内,为了降低空间褶积的计算成本,可以适当截断滤波因子的长度(为了突出算子的主要部分,图 5显示的是截断后长度为21×21网格点的算子).

5.2 VTI介质纯模式波场分离

针对前一例中的二维VTI模型,首先通过qP波伪纯模式波动方程计算得到某三个时刻波前快照的水平与垂直分量(图 6a与6b).图 6c为两个分量之和,即qP波伪纯模式标量波场(相当于原始弹性波场的散度).由于存在各向异性,qP波伪纯模式波场中含有qSV波残余能量.注意这里ε-δ=0.5,属于强各向异性情况,因此残余qSV波还比较强(但仍然比qP波弱一些).图 6d和6e分别展示了从qP波伪纯模式波场中经过投影偏差校正获得的标量形式的纯qP波与纯qSV波.可见,基于文中提出的方法能有效地从伪纯模式矢量波场提取标量纯模式波场.

图 6 二维均匀VTI介质伪纯模式波场及其投影偏差校正
(a)和(b)为伪纯模式波动方程模拟计算的波前快照的水平与垂直分量;(c)为伪纯模式波场两个分量之和;(d)和(e)为投影偏差校正获得的纯qP波与纯qSV波.
Fig. 6 Correcting the polarization deviation of pseudo-pure qP-wave fields in a 2D homogeneous VTI medium
(a)horizontal and (b)vertical components of pseudo-pure qP-wave field;(c)is the summation of the two components; (d) and (e)represent separated qP and qSV wavefields after correction of the polarization deviations.
5.3 层状TI介质纯模式波场分离

本例针对两层TI模型,第一层为VTI介质,参数为vPz=2500.0 m·s-1,vSz=1200.0 m·s-1,ε=0.2和δ=-0.1,第二层为TTI介质,参数为vPz=3000.0 m·s-1,vSz=1800.0 m·s-1,ε=0.2,δ=0.1,对称轴倾角θ=30°.图中界面位置用白色虚线标识.图 7分别显示了qP波伪纯模式波动方程计算得到的伪纯波场的水平与垂直分量(如图 7a与7b)以及两个分量之和(图 7c).图 7d和7e展示了经过投影偏差校正获得的标量形式的纯qP波与纯qSV波.注意,在具有强反差的界面上,发生了qP-qP波反射与透射、qSV-qSV波反射与透射,也发生了qP-qSV波与qSV-qP波转换反射与透射波.通过本文投影偏差校正,准确提取了该时刻纯qP波(包含转换而成的qP波)以及纯的qSV波(包含转换而成的qSV波).

图 7 二维层状TI介质伪纯模式波场及其投影偏差校正
(a)和(b)为伪纯模式波动方程模拟计算的波前快照的水平与垂直分量;(c)为伪纯模式波场两个分量之和; (d)和(e)为经过投影偏差校正获得的纯qP波与纯qSV波.
Fig. 7 Correcting the polarization deviation of pseudo-pure qP-wave fields on a 2D layered TI model
(a)horizontal and b)vertical components of pseudo-pure qP-wave field;(c)is the summation of the two components; (d) and e)represent separated qP and qSV wavefields after correction of the polarization deviations.
5.4 BP 2007 TTI模型

BP2007 TTI模型是近年国际上普遍采用的典型各向异性模型,其右侧断裂带部分的各向异性参 数如图 8所示.模型的网格大小为6.25 m×6.25 m,最大深度为11.25 km.首先利用二维TTI介质qP波伪纯模式波动方程模拟波场正向传播过程(点源位于计算区域的中心).图 9a图 9b为1.4 s时刻的qP波伪纯模式波场水平与垂直分量波前快照,从中可见明显的qP波和qSV波成分(包括透射波、反射波和散射波,也包含模式转换波),但在伪纯模式波场分量求和之后,在伪纯模式标量qP波波场中qSV波能量明显得到有效的压制(图 9c).按本文投影偏差校正方法对矢量伪纯波场滤波后,分量求和得到的标量qP波数据中几乎已见不到震源产生的透射qSV波以及由它引起的反射/散射qSV波,由qP波转换的反射和透射qP-qSV波也被有效地消除,但合理地保留了所有qP波成分,包括由qSV波转换而成的qP波(如图 9d).

图 8 BP2007TTI模型右侧断裂带部分的各向异性参数:
(a)VP0;(b)ε;(c)δ;(d)θ
Fig. 8 Anisotropy parameters of BP2007 TTI model

图 9 投影偏差校正前后的标量qP波
(a)伪纯模式波场水平分量;(b)伪纯模式波场垂直分量;(c)伪纯模式标量qP波;(d)纯模式标量qP波.
Fig. 9 Correction of the projection deviation in pseudo-pure P-wave fields
(a) and (b)represent the horizontal and vertical components of the pseudo-pure-mode wavefields; (c)scalar pseudo-pure-mode qP-wave fields;(d)scalar pure-mode qP-wave fields.
6 结论

qP波伪纯模式波动方程是对各向异性介质Christoffel方程施加带有向波矢量方向投影意义的相似变换推导出来的.基于该方程的传播算子隐式地完成了部分波型分离任务,可从能量的角度突出qP波,压制qS波.由于各向异性qP波偏振矢量与波矢量不一致,这种投影方向偏差会导致波型分离不彻底,残存qS波会对qP波造成污染.文中以TI介质为例的数值分析表明,残存qSV波强弱与各向异性强度、相角以及垂直速度比值等因素有关.随着各向异性增强,残余qSV波也变强.利用波矢量与偏振矢量的方向差异计算投影偏差校正因子,进而以非稳相滤波的形式对矢量形式的伪纯模式波场进行校正,能够有效地分离出纯模式标量qP波数据.理论分析与试验结果都表明,联合“伪纯模式波场传播算子”与“投影偏差校正”可以有效地描述分离模式标量波的传播过程.

与联合“各向异性弹性波传播算子”和“波型分离”的经典方法不同,本文伪纯模式波场传播算子本身就隐式地完成了大部分波型分离任务,“投影偏差校正”只是对不彻底的波型分离进行补救进而实现完全的波型分离.由于投影偏差校正属于补偿性的,故可根据各向异性程度选择是否施加,或者可以适当简化(如基于近似偏振方向快速求解投影偏差算子).这些特点使得本文方法在实际应用中更加灵活,尤其是在各向异性参数迭代估计过程中.尽管本文数值试验仅涉及VTI和TTI介质,但其方法原理同样适合其他更一般各向异性介质.

与经典的拟声学近似和近年出现的纯模式近似不同,本文这种分离模式标量波传播描述方法至少从运动学层面合理考虑了模式转换波成分,在多分量地震应用领域更有潜力.

致谢 感谢英国石油(BP)公司与SEG提供二维TTI模型及其合成地震数据.感谢评审专家反馈的意见和建议.

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