1 引言

岩石物理模型在地震反演和解释中有着十分重要的作用，是连接地震属性（纵、横波速度等）以及储层参数（孔隙度、饱和度、泥质含量等）的重要纽带^[1-4].正确适用的岩石物理模型不仅能够为正反演提供基础和必要的数据资料，同时可以降低地震解释的风险.

各向异性是沉积岩石中普遍存在的现象^[5].通常把具有水平对称轴，垂直或近似垂直平行排列的碳酸盐岩裂缝储层等效成HTI（Horizontal Transverse Isotropic）介质^[6-8].目前，大量研究表明，地震各向异性是影响地震反射振幅随偏移距变化（AVO）的一个因素，而且裂缝型碳酸盐岩储层的地震反射振幅还会表现出随测线方位角变化（AVOA）的特征. Ruger^[9]详细论述了各向异性介质（VTI和HTI）的地震波传播特征的变化，并且依照Thomsen^[10]弱各向异性近似理论提出各向异性介质反射系数近似式，为基于各向异性理论的地震反演提供了理论基础.

随着各向异性理论研究的深入，以及砂泥岩岩石物理模型在碳酸盐岩储层中的不适用性，基于各向异性理论的岩石物理模型的研究越来越被关注^[11-17].本文给出碳酸盐岩裂缝储层岩石物理模型的建立步骤，重点研究了依照Hudson^[18-19]模型和Schoenberg ^[20]线性滑动模型在各向同性介质背景中添加裂缝系统，并且利用Brown和Korringa^[21]公式完成各向异性岩石的流体替换，计算饱含流体裂缝储层的弹性参数和各向异性参数.同时基于Ruger各向异性反射系数近似式，分析裂缝密度e和缝隙饱和不同流体（饱和油水或饱和气）对反射系数的影响，推导出不同流体充填情况下地震反射系数与裂缝密度e的关系式.

2 方法原理

碳酸盐岩基质主要由方解石和白云石组成，其次考虑含泥质和砂质时的影响；孔隙主要由粒间孔隙（含溶孔）、溶洞和裂缝三部分组成，本文主要讨论裂缝的作用；孔隙流体由油、气和水组成（图 1）.

本文提出裂缝型碳酸盐岩岩石物理模型的构建流程如下：

（1）利用Voigt-Reuss-Hill平均计算混合矿物的弹性模量；

（2）利用DEM模型将孔隙加进系统，并计算干燥岩石骨架的体积模量和剪切模量；

（3）利用Hudson理论和Schoenberg & Sayers理论，在碳酸盐岩介质各向同性背景中加入裂缝系统，修正计算出的模量；

（4）利用Wood公式将孔隙流体进行混合，计算出混合流体的体积模量；

（5）利用Brown和Korringna公式完成缝隙流体替换；

（6）计算裂缝型碳酸盐岩的弹性参数和各向异性参数.

裂缝型碳酸盐岩岩石物理模型构建的基本思想是：在各向同性背景介质的基础上添加裂缝的影响，计算干岩石刚度系数矩阵，依照各向异性流体替换方法估算得到饱含流体岩石的弹性参数和各向异性参数.裂缝型碳酸盐岩岩石物理模型建立的部分步骤解析如下.

2.1 VRH矿物平均

利用Voigt-Reuss-Hill平均计算混合矿物的弹性模量：

(1)

其中，.式中f_i，K_i和U_i分别为第i个组成成分的体积分数，体积模量和剪切模量，这里组成成分分别为方解石和白云石，K_m和U_m分别为混合矿物的体积模量和剪切模量.

2.2 裂缝模型

目前有两种应用广泛的裂缝模型，Hudson模型和Schoenberg线性滑动模型.

Hudson理论是建立在整体平均的基础上^[22].该模型假设弹性介质的内部分布着薄硬币形状的椭球缝隙（图 2）.

Hudson模型利用裂缝密度和缝隙纵横比来描述裂缝系统的结构.裂缝密度e的定义如下：

(2)

其中，ϕ代表孔隙度，α是裂隙纵横比.则Hudson模型的弹性矩阵C_ij^eff表示为：

(3)

式中，C_ij⁰为各向同性背景弹性矩阵，C_ij¹和C_ij²分别为引入裂隙的各向异性一阶校正和二阶校正.含一组简单的平行裂隙的介质，Hudson模型一阶校正后的弹性矩阵：

(4)

(5)

U₁₁和U₃₃依赖于缝隙本身充填物的性质：

(6)

(7)

其中，

(8)

(9)

K′和μ′是缝隙中充填介质的体积模量和剪切模量，λ和μ是不含裂隙岩石的Lame参数.

（1）当缝隙为湿裂缝（饱含油水），且缝隙纵横比α<<0.1时，[K′+（4/3）μ′]/（μα）>>1：

(10)

(11)

（2）当缝隙为干裂缝（饱含气）时，K′=μ′=0：

(12)

(13)

Schoenberg线性滑动模型是基于Backus^[23]平均提出的（图 3）.

对于一组可以旋转对称的裂缝系统，Schoenberg模型的弹性矩阵由各向同性参数λ和μ，以及垂直于裂缝面和平行于裂缝面的弹性差值Δ_N和Δ_T进行描述^[24]，表示裂缝对骨架岩石各向同性特征的影响.Schoenberg线性滑动模型的弹性矩阵为：

(14)

其中，

(15)

Schoenberg ^[25-26]研究了Hudson模型和Schoenberg线性滑动模型的关系.

(16)

(17)

Δ_N和Δ_T分别是线性滑动理论中的正差值和切差值，而U₁₁，U₃₃和e是Hudson模型应用的参数.

依照Hudson模型中关于U₁₁，U₃₃的定义，将其代入式（16）和（17）.

(18)

(19)

其中，

(20)

V_P和V_S分别代表不含裂缝介质（各向同性背景岩石）的P波速度和S波速度，结合缝隙饱和不同流体时U₁₁和U₃₃的变化，计算干裂缝和湿裂缝情况下的正差值和切差值.

（1）当缝隙为湿裂缝（饱含油水）时：

(21)

(22)

（2）当缝隙为干裂缝（饱含气）时：

(23)

(24)

图 4说明的是利用式（23）和式（24）求得的干裂缝储层的正差值和切差值随纵横波速度变化的特征.选定裂缝密度e不变，正差值Δ_N随纵横波速度比的增大先降低后升高，而切差值Δ_T随纵横波速度比的增大而减小.因此可以将后续地震数据反演所得的正差值和切差值与图中曲线趋势对比，进而预测裂缝密度.

Schoenberg和Sayers^[27]将K_N/K_T定义为缝隙流体的指示因子：

(25)

讨论饱含气时，K_N/K_T与裂缝密度e和横纵波速比之间的关系（图 5）.

(26)

其中，σ为泊松比.式（26）表示干裂缝情况下流体指示因子的大小，因此通过计算裂缝储层K_N/K_T的值与图 5进行对照，即可判断裂缝储层的密度以及缝隙充填物的性质.

由图 5可知：随裂缝密度的增大，流体指示因子随横纵波速比变化越明显.当裂缝密度小于0.03时，K_N/K_T值接近1，当裂缝密度大于0.03时，K_N/K_T值大于1，说明干裂缝在垂直裂缝面的压缩比平行裂缝面的剪切滑动更容易.

根据Thomsen参数的求取方法，结合线性滑动模型，推导饱含油水时Thomsen参数^[28]：

(27)

同时讨论缝隙饱含气时Thomsen参数与裂缝密度之间的关系（图 6）：

(28)

从图 6中可以看出，缝隙中饱含气时，三个各向异性参数的绝对值都随着裂缝密度的增加而增大.

综上，结合式（27）和式（28），讨论干裂缝（饱含气）和湿裂缝（饱含油水）时，Thomsen参数ε^(V)，δ^(V)和γ与横纵波速比的关系（图 7）. 图 7表明，缝隙中所含流体的不同会引起ε^(V)和δ^(V)随横纵波速比的变化特征发生改变，而γ并不受缝隙中流体的影响.当缝隙含油水时ε^(V)数值为0，含气时ε^(V)会变为负值；当缝隙中含油水时δ^(V)数值随横纵波速比变化剧烈，而缝隙含气时δ^(V)随横纵波速比变化不明显.因此可根据该特征来识别裂缝储层流体的特性.

2.3 裂缝模型流体替换

为进一步完善介质流体替换理论, Gassmann^[29]提出各向异性孔隙岩石的流体替换公式, 其线性弹性系数矩阵表示如下:

(29)

其中，c_ijkl^dry是干岩石的有效弹性刚度系数，c_ijkl^sat是饱和流体岩石的有效弹性刚度系数，K₀是矿物的体积模量，K_f1是流体的体积模量，c_ijaa^dry代表刚度矩阵中下标后两项相同的干岩石的有效弹性刚度系数，c_bbkl^dry代表刚度矩阵中下标前两项相同的干岩石的有效弹性刚度系数，c_ccdd^dry指刚度矩阵中对角线上的干岩石的有效弹性刚度系数，

(30)

Gassmann方程假设矿物是均质和各向同性的，尽管干岩石和饱和岩石具有任意各向异性特征. Brown和Korringa对各向异性岩石的流体替换进行了研究，虽然计算结果与Gassmann方程相似，但Brown和Korringa流体替换的前提是假设矿物为各向异性的.

(31)

其中s_ijkl^dry是干岩石的有效弹性柔度，s_ijkl^sat是饱和流体岩石的有效弹性柔度，s_ijkl⁰是矿物的有效弹性柔度，β_f1是流体的压缩系数，β_f1=1/K_f1，β₀是矿物的压缩系数，β₀=1/K₀，ϕ是孔隙度.式（31）可以改写为：

(32)

3 流体充填裂缝介质反射系数

基于Ruger的HTI介质纵波反射系数，讨论当缝隙中充填不同流体时纵波反射系数与裂缝密度e的关系.

其中：V_P，V_S和ρ分别为HTI介质上下两层的纵波速度、横波速度以及密度的平均值；ΔV_P，ΔV_S和Δρ分别为HTI介质上下两层的纵波速度、横波速度以及密度的差值；Δδ^V，Δε^V和Δγ为上下两层各向异性参数差值，与裂缝密度和缝隙充填流体有关；θ和Φ分别为入射角和方位角，与裂缝的发育方向有关.

Bachrach^[30]对各向异性反射系数进行改写

(34)

其中各向异性梯度项ΔΓ定义为：

(35)

（1）当裂缝中饱含油水时，将式（27）代入式（35）得含油水时纵波反射系数为：

(36)

（2）当缝隙中含气时，将式（28）代入式（35）得含气时纵波反射系数为：

(37)

其中，Δe=e₂-e₁，e₁和e₂分别指裂缝介质上下分层的裂缝密度值.

4 应用分析

选取某碳酸盐岩工区的A井为例，对碳酸盐岩裂缝储层岩石物理模型的建立流程进行验证，计算纵、横波速度与测井数据进行对比，提取裂缝储层的Thomsen参数，并分析其各向异性程度.

从图 8a-8b中可以看出，通过各向异性岩石物理模型计算的纵波速度和横波速度与测井所得结果相差不大，说明提出的裂缝型碳酸盐岩岩石物理模型构建流程符合要求.图 8c为预测的Thomsen参数，Thomsen参数绝对值越大说明介质的各向异性程度越强.

图 8中虚线框所标注的位置纵横波速度要小于临近地层的纵横波速度，而且Thomsen各向异性参数的数值变化明显，且Thomsen参数绝对值明显高于其它层段，同时参照测井解释信息，可以说明图中所标注位置为裂缝发育层段.

5 结论

本文提出了裂缝型碳酸盐岩岩石物理模型的建立步骤.重点分析了如何在碳酸盐岩岩石骨架中利用Hudson模型和Schoenberg模型引入裂缝系统，以及Thomsen参数、流体指示因子随裂缝密度e、横纵波速比和缝隙饱含流体的变化特征.选取碳酸盐岩工区A井进行横波速度和各向异性参数的估算，横波速度的估算结果与测井结果相差不大，且各向异性参数能够较好地反映裂缝发育位置，说明基于碳酸盐岩裂缝岩石物理模型进行横波和各向异性参数估算的可靠性.

由于碳酸盐岩裂缝储层的复杂性，为了更逼近地下介质的真实特征，考虑将基质中添加泥质，以及缝隙中充填方解石的条件进行横波和各向异性参数估算，为地震叠前反演工作提供更加适用的岩石物理资料.