地球物理学报  2013, Vol. 56 Issue (1): 325-334   PDF    
饱和土中深埋圆柱形衬砌洞室对瞬态平面波的散射
李伟华1 , 张钊2     
1. 北京交通大学土木建筑工程学院, 北京 100044;
2. 珠海太方投资有限公司, 广州珠海 519000
摘要: 基于Biot饱和多孔介质动力学理论, 运用Laplace变换和波函数展开法, 根据饱和土体与衬砌结构交界面的连续条件和衬砌结构内边界上的应力自由条件, 得到饱和土中深埋圆柱形衬砌洞室对瞬态平面P波和SV波散射问题的解答, 该解答可以退化成为饱和土中深埋圆柱形空穴或弹性夹塞物的情形, 并很容易转换成为对稳态波散射的解.通过与已有的相关问题的解析解答进行对比, 验证了该解答的正确性.同时利用Laplace逆变换的数值方法, 给出了饱和土和衬砌中应力和位移场在时域内的数值解, 通过算例, 分析了衬砌厚度、刚度对衬砌内边界处应力集中因子的影响.
关键词: 饱和土      瞬态波      圆形衬砌洞室      散射      Laplace变换     
Scattering of transient plane waves by deep buried cylindrical lining cavity in saturated soil
LI Wei-Hua1, ZHANG Zhao2     
1. School of civil engineering and architecture, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;
2. Zhuhai Taifang Investment Company Limited, Zhuhai Guangzhou 519000, China
Abstract: On the basis of Biot dynamic theory for saturated porous media, this work finds the analytical solutions for two-dimensional scattering and diffraction of transient plane P waves and SV waves by deeply buried cylindrical lined cavity in saturated soil. This process employs the Laplace transform and wave function expansion method according to the continuous conditions of saturated soil and lining structure interface and the stress-free condition on the surface of lining structure. The solutions can be degenerated to the case of deeply buried cylindrical hole in saturated soil or in the elastic medium and under the condition of steady wave incident. The solutions also are proofed by comparison with the existing related solutions. Numerical results are given and the effects of the lining thickness and stiffness on the stress concentration factor of the inside boundary of lining are analyzed..
Key words: Saturated soil      Transient waves      Cylindrical lining cavity      Scattering and diffraction      Laplace transform     
1 引言

随着地下结构建设规模的不断提高, 地下结构的抗震设计及其安全性评价日益受到重视.因而, 对饱和土中具有简单形状(圆柱形、球形等)的异质体引起的弹性波散射问题的研究具有重要的实际意义, 因为这近似地相当于地震波在传播过程中遇到隧道、地下结构物等障碍物的实际情况.

对于弹性波散射问题, 通常分为稳态反应问题和瞬态反应问题.稳态反应问题中可将各变量的时间因子消去, 使问题简化.而瞬态反应问题, 不能消去时间因子, 问题的求解相对复杂[1].目前, 已有许多学者利用积分变换法、复变函数法, 波函数展开法、边界元等方法对饱和土全空间或半空间中简单形状(圆柱形、球形等)的异质体对稳态平面波的散射进行了研究.徐长节等[2]和胡亚元等[3]运用波函数展开方法, 分别推导出饱和土体中平面应变波在柱状空穴界面上和圆柱体上的散射和折射问题的理论解答; 陆建飞[4]建立了饱和土中任意形状孔洞对弹性波散射问题的复变函数的求解方法; Kattis等[5]则利用边界元法分析了入射P、SV波时饱和土全空间中隧洞的动应力集中问题; 李伟华等[6-8]先后利用波函数展开方法给出了饱和土半空间中圆柱形洞室及衬砌洞室对平面波散射的解答; 尤红兵[9]利用间接边界元法得到了饱和土层状半空间中洞室对弹性波散射的数值解; 周香莲等[10]用复变函数法分析了饱和土全空间中圆形衬砌结构对弹性稳态波的散射; 徐平等[11]运用波函数展开方法研究了稳态平面P1波在饱和土中不透水圆柱壳体上的散射问题; 王建华等[12]采用复变函数和多级坐标的方法得到非耗散情况下的饱和土半空间中圆形孔洞对稳态剪切波散射的解; Gatmiri等[13]提出了无限空间中的各向同性弹性多孔介质中圆柱形空腔散射的解决方案; Karinski[14]等分析了全空间饱和介质中带有衬砌的洞室在平面波作用下的动应力集中; Hasheminejad等[15]运用波函数展开方法, 结合平移加法定理, 得到了无限饱和多孔介质中偏心圆柱型衬砌隧道对稳态平面波散射的闭合解.丁光亚等[16]引入更符合工程实际的半透水边界条件, 利用波函数展开法, 给出了半空间均质饱和土中半渗透圆柱形壳结构对平面稳态P波散射的级数解; 姜领发等[17]采用不同的复平面中的保角映射法, 对无限饱和土中任意形状的多孔衬砌结构对稳态压缩波的散射问题进行了研究.而对于饱和土中暂态波遇到柱形障碍物时的传播特性的研究还很少见[18].高盟等[19]对饱和土与衬砌动力相互作用的内源问题进行了研究获得了在相应边界条件下的解析解.但是, 对于无限域中饱和土中圆柱形衬砌洞室对瞬态波的散射的研究, 尚未见有文章发表.然而在许多实际问题中, 入射扰动常常是非周期的, 所以研究衬砌结构在非周期性扰动作用下的瞬态特性有时更有意义.

本文在Biot饱和多孔介质动力学理论的基础上, 运用Laplace变换和波函数展开法, 根据饱和土体与衬砌结构交界面的连续条件和衬砌结构内边界上的应力自由条件, 得到饱和土中深埋圆柱形衬砌洞室对瞬态平面P波和SV波散射问题的解答, 该解答可以退化成为饱和土中深埋圆柱形空穴或弹性夹塞物的情形, 并很容易转换成为对稳态波散射的解.通过与已有的相关问题的解析解答进行对比, 验证了该解答的正确性.同时利用Laplace逆变换的数值方法, 给出了饱和土和衬砌中应力和位移场在时域内的数值解, 通过算例, 分析了衬砌厚度、刚度对衬砌内边界处应力集中因子的影响.

2 模型与入射波场

把饱和土中深埋的圆柱形衬砌洞室视为饱和土全空间中一无限长圆柱形衬砌洞室, 如图 1所示.衬砌内半径为a, 外半径为b.求解此问题所需的坐标系亦示于图中.

图 1 分析模型图 Fig. 1 Analysis model

衬砌外部介质为两相饱和多孔介质.考虑饱和多孔介质中固液两相的惯性耦合和粘性耦合, 两相饱和多孔介质的矢量波动方程[20]

(1)

式中, uU分别为固相和液相位移, e=∇·u; ε=∇·U. ρ11=ρ1 +ρa; ρ22=ρ2 +ρa; ρ12=-ρaρ1=(1-n)ρs; ρ2=f; ρs为固相质量密度, ρf为液相质量密度, ρa为液固两相耦合质量密度(该质量密度难以确定, 一般取为0), n为饱和多孔介质孔隙率. b为与渗流有关的系数, b=ηn2/k(η为流体黏滞系数, k为渗透系数).系数NARQ为材料常数.

在Biot模型中, 土颗粒和孔隙水均为可压缩的, 固体、液体部分的应力-应变关系为

(2)

式中σijσ分别为固体骨架部分和流体部分承担的应力, εij=(ui, j+uj, i)/2是土骨架应变.

衬砌材料视为弹性单相介质, 其弹性常数为λ2, μ2, 质量密度为ρsd; 衬砌的厚度为h=b-a.

考虑一个沿x轴正向传播的平面瞬态P(SV)波入射到衬砌洞室上, 波函数

(3)

为阶跃扰动, 其中Φ0为脉冲幅值, 为单位阶跃函数; c为入射P(SV)波速; t=0为入射波首先到达x=-b的时间.

对式(3)进行Laplace变换, 并写成柱坐标系下的级数形式

(4)

式中, S=, p为Laplace变换因子; k0=p/c; Jn(k0r)为第一类Bessel函数; 当n=0时, εn=1;当n≥1时, εn=2.

3 波场的求解 3.1 饱和土中散射波场的求解

根据矢量分析原理

(5)

式中, ΦsΨs分别为固体骨架部分的标量势函数和矢量势函数; ΦfΨf分别为流体部分的标量势函数和矢量势函数.将式(5)代入式(1)得

(6a)

(6b)

对式(6)和(7)两边同时取Laplace变换, 可得

(7a)

(7b)

其中, Φs=L[Φs], Φf=L[Φf], Ψs=L[Ψs], Ψf=L[Ψf], p为Laplace变换因子.

由式(7a)和(7b)可分别得到,

(8a)

(8b)

式中, ka, jkβ分别为流体饱和多孔介质中压缩波和剪切波的复波数,

(9a)

(9b)

式中:

且, ρ=ρ11 +ρ22 +2ρ12.

从式(8a)中可以明显地看出, 在流体饱和多孔介质中存在两种P波.固体骨架部分的P波势函数可以写为

(10)

同理可确定流体部分P波和SV波的势函数

(11a)

(11b)

式中:

(12a)

(12b)

利用分离变量法, 在极坐标系下分别求解方程(8a)和(8b), 并根据辐射条件和问题的对称性, 可得饱和土中的散射波场:

(13a)

(13b)

其中, An, jBn, jCnDn为待定系数, Kn(·)为第二类虚宗量Bessel函数.

把式(13)代入式(12)便可得ΦfΨf的表达式.

3.2 饱和土总波场

饱和土中总波场由入射波场和散射波场构成, 即: (1)当入射波为P波时

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)

(2)当入射波为SV波时

(15a)

(15b)

(15c)

(15d)

其中, ΦsT=L[ΦsT], ΨsT=L[ΨsT], ΦfT=L[ΦfT], ΨfT=L[ΨfT]; ΦsTΨsT分别为饱和土固体骨架部分总波场的标量势函数和矢量势函数; ΦfTΨfT分别为饱和土流体部分总波场的标量势函数和矢量势函数.

3.3 衬砌内的波场

由于衬砌是单相固体介质, 其波动方程可表示为:

(16)

其中: us为衬砌介质位移.

利用求解饱和多孔介质波动方程同样的方法, 求解方程式(16), 可以得到衬砌中的散射波场.衬砌中包括两种类型的散射波, 一种是饱和土和衬砌交界面产生的散射波, 一种是衬砌内表面产生的散射波.可分别表示为:

(17a)

(17b)

(18a)

(18b)

其中, Φsd(1)=L[Φsd(1)], Ψs(1)=L[Ψs(1)], Φsd(2)=L[Φsd(2)], Ψs(2)=L[Ψs(2)], Φsd(1)Ψsd(1)Φsd(2)Ψsd(2)为衬砌中散射波势函数; k1k2分别为衬砌介质中压缩波和剪切波的复波速., , p为拉普拉斯变换参数.ASn(i)BSn(i)CSn(i)DSn(i)为待定系数, In(·)为第一类虚宗量Bessel函数.

4 边值问题及其解

确定了场地内的波场之后, 接下来要做的是利用边界条件, 求解上述波场的波势函数的表达式中的待定系数.不考虑土与衬砌脱开的情况, 只考虑土与衬砌的连续变形, 饱和土与衬砌交界面处的边界条件为(Deresiewicz, 1963和Hajra, 1982): [21-22]

(19a)

另外, 还需要补充一个界面透水条件, 设交界面不透水, 则流体饱和多孔介质中固相和液相的法向相对位移为零, 即:

(19b)

在衬砌内表面处的边界条件为:

(19c)

式(19)中, ur, urs分别表示饱和土介质固相和衬砌介质的法向位移分量; uθ, uθs分别表示饱和土介质固相和衬砌介质的切向位移分量; σrr, σrrs分别表示饱和土介质固相和衬砌介质的法向应力分量; σ, σs分别表示饱和土介质固相和衬砌介质的切向应力分量; Ur为饱和土介质液相的法向位移分量; σ为饱和土中孔隙流体承担的应力.

在柱坐标下, 由式(5)和式(2)可以得到饱和土体中位移、应力与势函的关系表达式, 并对这些表达式取Laplace变换:

(20a)

(20b)

(20c)

(20d)

(20e)

(20f)

(20g)

其中, ur=L[ur], uθ=L[uθ], Ur=L [Ur], σrr=L[σrr], σ=L[σ], σθθ=L[σθθ], σ=L[σ]; ΦsT, Ψ sT, ΦfTΨfT由式(14)或式(15)给出.

衬砌介质中应力与势函数之间的关系[1]经过Laplace变换可表示为:

(21a)

(21b)

式中, 上标i=1, 2, Φsd(i)Ψsd(i)由式(17)和(18)给出.

把所求出的波场势函数的表达式(14)、(15)、(17)和(18)分别带入到式(20)和式(21)中, 根据边界条件便可解出波场势函数中各个待定系数.对于入射波为P波的情况, 各待定系数的可由方程组(22)(见下页)求解, 且BS n(1)=BS n(2)=DS n(1)=DS n(2)=Bn, 1=Bn, 2=Dn=0;对于入射波为SV波的情况, 各待定系数可由方程组(23)(见下页)求解, 且AS n(1)=AS n(2)=CS n(1)=CS n(2)=An, 1=An, 2=Cn=0.方程组(22)和(23)中系数矩阵的各个变量的表达式见附录.

(22)

(23)

当衬砌内半径b=a时, 问题退化为饱和土中圆柱形空穴的情况, 仍设交界面不透水, 则界面边界条件(19)简化为

(24)

分别令式(22)和(23)中AS n(1)=AS n(2)=BS n(2)=BS n(1)=CS n(1)=CS n(2)=DS n(1)=DS n(2)=0, 并由式(22)和(23)的第3, 4, 7行可得问题的解.

当P波入射时:

(25)

当SV波入射时:

(26)

a=0时, 问题可以退化成饱和土中深埋圆柱形弹性夹塞物的情形, 此时弹性夹塞中只有饱和土和夹塞交界面产生的散射波, 即ASn(2)=BSn(2)=CSn(2)=DSn(2)=0, 边界条件由式(19a)和(19b)给出, 则由式(22)和(23)的第3, 4, 7行可得问题的解:

当P波入射时:

(27)

当SV波入射时:

(28)

至此, 在几种不同情况下的整个波场波函数的所有待定系数都已经确定.把所求出的势函数的表达式(14), (15)和(17), (18)分别代入到式(20)和式(21)中, 便可以得到土介质和衬砌内中的位移及应力分量.另外, 需要说明的是, 根据本文相同的思路可以容易得到入射波为稳态波的情形, 鉴于文章篇幅, 这里不再赘述.

5 验证与算例分析 5.1 时域中的解

以上过程求得了饱和土中深埋圆柱形衬砌洞室对瞬态平面波的散射在Laplace变换域内的解, 如要获得时域中的解, 需要进行Laplace逆变换, 本文采用Durbin(1974)[24]提出的Laplace数值逆变换方法:

(29)

计算时, 为满足精度要求, 取a=0. 25, T=20, NSUM=100.

5.2 验证

由于目前尚未见到有关饱和介质及单相弹性介质中衬砌洞室对平面内瞬态波散射的相关报道, 为验证本文方法的正确性, 将本文求得的饱和介质中衬砌洞室对平面内瞬态波散射的解退化成单相介质中衬砌洞室对平面内稳态波散射的解, 其中取R=Q=0, ρa=ρf=0, 考虑P波入射的情况, 令衬砌半径之比b/a=1. 1, 土介质与衬砌剪切模量之比为=N/μ2=2. 9, 土介质与衬砌的P波波速之比为γ=1. 5, ωa/cp=1. 0(ω为圆频率, a为衬砌内半径, cp为土中P波波速).计算得到衬砌内侧无量纲切向应力(动应力集中因子)σθθs/σ0 (其中, σ0=(A+ 2N)(ω/cp)2Φ0为入射波产生的切向应力幅值)沿着洞周的分布图, 见图 2, 此图与文献[1]中图 4. 6a所示的结果一致, 说明本文公式推导和数值计算的正确性.

图 2 衬砌内侧边界上无量纲切向应力σθθs/σ0的分布曲线 Fig. 2 Distribution curve of σθθs/σ0 on the inner boundary of lining
图 3 衬砌介质取第1组参数时b/a对衬砌内边界θ=90°处σθθs/σ0的影响 Fig. 3 σθθs/σ0 on the inner boundary of lining at θ=90° versus t under different b/a for condition 1
图 4 衬砌介质取第2组参数时b/a对衬砌内边界θ=90°处σθθs/σ0的影响 Fig. 4 σθθs/σ0 on the inner boundary of lining at θ=90° versus t under different b/a for condition 2
5.3 算例分析

取饱和土介质的ρf=1000kg/m3, ρs=2700kg/m3, n=0. 3, A=5. 79×109 Pa, N=2. 2×109 Pa, R=0. 66×109Pa, Q=1. 54×109Pa, η=0.衬砌结构分别取表 1所示的两组参数.第1组参数下, 衬砌结构的刚度小于饱和土的刚度, 第2组参数下, 衬砌结构的刚度大于饱和土的刚度.

表 1 衬砌介质参数 Table 1 Properties of material of lining

图 3给出了衬砌介质取表中1第1组参数, 脉冲幅值Φ0=1. 0, 衬砌外半径和内半径比b/a=1. 1, 1. 15, 1. 2时, 衬砌内边界上θ=90°处的无量纲环周切向应力σθθs/σ0随时间t的变化.由图 3可知, 当b/a取不同的值时, 随着时间t的变化, 衬砌内边界θ=90°处的无量纲应力σθθs/σ0随着时间的变化, 先增大后逐渐稳定.当衬砌相对其周围饱和土而言较软时, 衬砌内边界θ=90°处的无量纲应力σθθs/σ0随着b/a值的增大而增大.

图 4给出了衬砌介质取表 1中第2组参数, 脉冲幅值Φ0=1. 0, 衬砌外半径和内半径比b/a=1.1, 1.15, 1.2时, 衬砌内边界上θ=90°处的无量纲环周切向应力σθθs/σ0随时间t的变化.由图 4可见, 当衬砌相对其周围饱和土而言较硬时, 衬砌内边界θ=90°处无量纲的环周切向应力τθθ/σ0较衬砌相对其周围饱和土较软时的大, 且随着b/a的增大而减小.

图 3图 4得到结论与文献[1]中将土介质模拟为单相介质得到的结论基本一致.

6 结语

本文以Biot饱和多孔介质理论为基础, 运用Laplace变换和波函数展开法, 根据饱和土体与衬砌结构交界面的连续条件和衬砌结构内边界上的应力自由条件, 求解了饱和土中圆柱形衬砌对瞬态P波和SV波散射的频域解, 然后用数值逆Laplace变换法求解时域中的解.此解答可以退化成为饱和土中深埋圆柱形空穴或弹性夹塞物的情形, 并很容易转换成为对稳态波散射的解.为了验证本文结果的正确性, 将本文的解退化成单相介质中的稳态解, 与文献[1]中的结果对比, 结论一致.本文还通过算例, 分析了衬砌厚度、土与衬砌的相对刚度等对动应力集中因子的影响, 得出了以下结论:

(1) 衬砌相对其周围饱和土较硬时, 衬砌内边界无量纲的环周切向应力较衬砌相对其周围饱和土较软时的大;

(2)当衬砌刚度比土介质的刚度小时, 衬砌内边界无量纲的环周切向应力随着b/a的增大而增大; 当衬砌刚度比土介质刚度大时, 衬砌内边界无量纲的环周切向应力随着b/a的增大而减小.

(3)以上2点与文献[1]中将土介质模拟为单相介质得到的结论基本一致.

附录:

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

(A12)

(A13)

(A14)

(A15)

(A16)

(A17)

式(A10)-(A17)中, 上标i=1, 2, 当i=1时Cn(·)=In(·), 当i=2时Cn(·)=Kn(·); r=ab.

参考文献
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