地球物理学报  2013, Vol. 56 Issue (9): 3029-3037   PDF    
分量式钻孔应变观测耦合系数的计算
张凌空 , 牛安福     
中国地震台网中心, 北京 100045
摘要: 根据双衬套钻孔应变观测力学模型, 推导出平面应力作用下各分量应变观测中两个耦合系数(A、B)的计算公式, 为进一步确定地壳应变场最大、最小主应变的数值及方向提供了必需的前提条件, 对当前国内外开展的利用钻孔应变进行地震、火山和板块边界的观测研究具有一定积极意义.研究结果表明, A、B与用双环模型和复变函数法解算出的c(面应变响应因子)、d(剪应变响应因子)之间分别存在2倍的关系(c=2A, d=2B), 并且二者绘制的曲线完全一致, c、d的物理含义分别是地壳岩石面应变与剪应变观测的井孔耦合系数.
关键词: 分量式钻孔应变      双衬套模型      耦合系数      响应因子     
Component borehole strain observations coupling coefficients calculation
ZHANG Ling-Kong, NIU An-Fu     
China Earthquake Networks Center, Beijing 100045, China
Abstract: Based on the double bushing borehole strain observation mechanical model, we deduced the calculation formulae of two coupling coefficients (A, B) of each strain component under plane stress. This provides a basis for further determining the value and direction of maximum and minimum principal strain of the crustal strain field, and has a positive meaning for carrying out borehole strain observation of earthquakes, volcanoes and plate boundaries. Using a two-ring model and the complex variable function method to calculate the c (area strain response coefficient) and d (shear strain response factor), A and c, B and d have a relationship as c=2A, d=2B. And the variation curves are identical. Their physical meanings are respectively the crust rock area strain and shear strain observation borehole coupling coefficient..
Key words: Component borehole strain      Double bushing model      Coupling coefficient      Response factor     
1 引言

分量式钻孔应变仪有两种, 一种为国外(美国、日本和澳大利亚)研制的三分量应变仪, 其3组测量元件互成60°排列, 另一种是国内研制的四分量应变仪, 其4组测量元件互成45°呈米字型排列.开始于2003年的美国"板块边界观测计划(PBO)"[1], 决定在西海岸沿圣安德烈斯断层和阿拉斯加南部新建175个钻孔应变台站, 目前已有85个安装了新推出的Gladwin型分量式应变仪[2]并投入运行.受美国PBO计划的影响, "十五"期间我国四分量应变仪的研制和应用得到了快速发展, 在全国重点地震监测区建立的40余个测点, 利用池顺良研制的YRY-4型应变仪[3], 获得了连续5年观测资料; 利用欧阳祖熙主持研制的RZB-2和RZB-3型应变仪[4-5], 分别在新疆、甘肃、四川和重庆等地区展开地震观测研究, 现有12套仪器在运行, "十二五"期间该仪器仍将大批量使用.显然, 分量式应变仪现今已逐步成为国内外地壳应变场观测的主流仪器[6].无论何种型号的分量式应变仪, 工作原理都相同, 都是通过径向位移传感器测量岩石孔径间的相对变化.由于探头需要用膨胀水泥(或水泥)固结在井下(几十米到数百米深)基岩上, 故岩石、水泥和仪器钢筒之间组成了一个三层复合双衬套结构.井孔应力集中以及应力在各层介质中的传递, 不可避免地会引起显著的耦合效应.由理论公式[7-8]可知, 各分量元件测得的线应变同时存在两个耦合系数(AB).与传统的体应变仪(盲向)比较, 分量式应变仪在功能上有一个突出进步, 即可以根据任意三个方向实测应变值, 确定某两个时刻之间地壳应变场最大、最小主应变和最大主应变方向, 但前提条件是必须事先知道这两个耦合系数的值, 否则该项功能如同虚设, 故耦合系数的求取是一个至关重要的基本问题.目前, 国际上有反演和正演两种方法.反演法有Hart等[9]提出的借助基线式激光应变仪(1~2km长)测得的平均固体潮对三分量应变仪进行标定的方法, Roeloffs[2]采用的对应变观测值作调和分析来求取耦合系数的方法, 邱泽华等[7]给出的利用观测固体潮与理论固体潮的关系来反演耦合系数的方法; 正演属于传统方法, Gladwin等[10]建立双环模型用复变函数法给出结果, 骆鸣津等[11]推导了两层介质模型(岩石、钢筒)求解耦合系数的公式.和上述工作不同, 本文采用一种新的研究思路, 即在潘立宙[12]、欧阳祖熙[13]和陈沅俊[14]等人工作基础上, 选用与实际情况相接近的双衬套模型, 推导求解耦合系数的两个最终理论计算式, 这对国内外日益深入的钻孔应变观测研究具有一定积极意义, 还可以与其它方法的计算结果在可靠性方面进行比对分析, 以期在地震、火山和板块边界监测中发挥更大作用.

2 分量式应变仪观测的理论模型

设有一块无限大的岩石平板, 该平板在无穷远处承受两项均匀水平拉应力, 即最大、最小主应力为σ1σ2, 最大、最小主应变为ε1ε2, 平板中有一半径为r3的井孔, 安置其中的应变仪钢筒内半径为r1, 外半径为r2, 通过膨胀水泥与岩石耦合(焊接), 以此保证应力和位移分量在边界上连续, 因而钻孔的实际情况为三层复合双衬套结构(图 1).设钢筒、水泥、岩石的弹性模量和泊松比分别为E1μ1E2μ2E3μ3.假定钻孔所处介质近似为各向同性弹性体, 遵从虎克定律, 且井口及井底对传感器的影响可以忽略, 钻孔的轴向应力为0.θ为正北方向与任一孔径相对变化测量元件之间的夹角, φ为正北方向与最大主应力之间的夹角, 规定由北起算顺时针旋转角度为正, 逆时针为负.则钢筒内壁在θ方向上的径向应变为[7]

(1)

图 1 钻孔应变观测双衬套模型 Fig. 1 Double bushing model of borehole straino bservation

式中AB是与钻孔各层材料的弹性参数和半径都有关的常数, 统称为耦合系数(亦有文献[7]分别称之为面应变与剪应变灵敏系数), (1)式构成了分量式钻孔应变观测的理论模型.

对于四分量钻孔应变仪, 从正北方向开始向右旋转, 如果设第一个元件的角度为θ, 则第二、三、四个元件角度依次增大45°, 即元件一、三和二、四分别相互垂直, 根据(1)式, 四个元件的应变值可以各自写为

(2)

(3)

(4)

(5)

AB是两个很重要的常量, 当它们的数值确定以后就可以根据任意三个元件的测值(S1~S4)解方程组, 计算出最大主应变(ε1)、最小主应变(ε2)和最大主应变方向(φ).

同理, 对于三分量应变仪, 其三个元件的应变值可以各自写为

(6)

(7)

(8)

3 耦合系数的计算 3.1 基本公式推导

(9)

(10)

将(9)、(10)式代入(1)式, 得

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

1981年, 潘立宙[12]提出钻孔加衬法测量地应力的原理, 推导了有关基本公式, 并给出一份有实用价值的求解弹性力学平面问题的特解表.1988年, 欧阳祖熙和张宗润[13]分析了双衬套钻孔的边界条件和交界条件, 根据潘立宙的特解表选出特解, 写出以待定常数为未知数的三个线性方程组, 并给出探头钢筒内壁上的径向位移公式.1990年, 陈沅俊等[14]进一步解算了这些待定常数, 推导出钢筒内壁径向应变在θ方向上的表达式, 为

(17)

σ1σ2分别表示最大、最小主应力, M1M2仅由测量系统(岩体、膨胀水泥和钢筒)本身决定, 而与外作用力无关, 称为测量系统特征系数.将(14)式与(17)式比较, 可知

A1B1分别代入(15)、(16)式, 有

(18)

(19)

显然通过求解M1M2, 就可以确定AB值.

3.2 求解测量系统的特征系数M1M2

由潘立宙、欧阳祖熙、张宗润和陈沅俊等人的工作可知, M1M2都是与各层材料的弹性参数及半径有关的常数[14], 其中

(20)

x4由下列四元一次线形方程组(Ⅰ)确定

各系数为

笔者解得

(21)

将(21)式代入(20)式可算得M1, 再代入(18)式, 可算得耦合系数:

(22)

与上述方法完全一致的计算公式(笔者将有另文阐述), 说明潘立宙等人的工作是可靠的.

另有[14]

(23)

y5y6y7y8由下列十元一次线形方程组(Ⅱ)确定:

其中α1α2α3β1β2β3的含义与前面相同, 其余各系数为

用逐步消元法求解未知数, 得

(24)

(25)

(26)

(27)

式中系数:

其中

又有

还有

以及

将(24)-(27)式一并代入(23)式可算得M2, 再代入(19)式, 就得到耦合系数:

(28)

继续给出y1y2y3y4y9y10表达式一并代入方程组(Ⅱ), 检验结果表明y5y6y7y8计算公式推导都是正确的.

4 与Gladwin解算结果的对比分析 4.1 比较的焦点

1981年潘立宙[12]在建立双衬套模型时曾考虑过用复变函数法, 认为它是解决弹性力学平面问题的有力工具, 但因为很多实际工作者对其感到陌生、不便运用, 而采取了极坐标解法(其实早在1977年该项研究就已经初步成文1)).1985年Gladwin等[10]建立了双环观测模型, 即仪器钢筒为一环, 膨胀水泥为二环, 这与双衬套模型的原理基本相同, 但他采用了复变函数法解算两个系数.在平面应力作用下探头钢筒的径向位移为[10]

1)潘立宙.关于地应力测量的几个公式的推导及讨论.全国地应力专业会议论文选编(上册), 国家地震局全国地应力专业会议, 1977:1-41.

式中ab为两个常数, G1=E1/[2(1+μ1)], 表示钢筒的剪切模量(即称刚性模量), 则径向应变为

(29)

文献[10]给出了ab表达式

式中已知项为

尚有6个未知项(a11b-11a-11a-31b-31b11)没有给出明确的计算式, Gladwin通过编写程序解决了这一问题, 但论文中并未具体说明.

文献[10]还提出了面应变响应因子c与剪应变响应因子d的概念, 有

G3表示岩石的剪切模量, (29)式可以进一步写成[10]

(30)

将(30)式与(1)式比较, 如果两式相等, 应有c/2=Ad/2=B成立, 即

(31)

(32)

4.2 响应因子的物理意义

根据(2)、(3)、(4)、(5)式, 不难推导出

(33)

(34)

(35)

εm为岩石观测面应变(视面应变), S1+S3S2+S4是平面应变场两个不变的基本量, 反映出理论上任意两个互相垂直的测量元件记录到的面应变都相等, 因而将(33)式定为四分量应变仪的自检条件. (34)、(35)式表示两组相互垂直的元件测值之差, 其物理力学实质就是剪切应变[16], 称为剪应变或差应变.

对于无孔岩石, 假定其内部有一个圆柱体, 则θ方向的径向应变为[17]

(36)

(37)

(38)

(39)

LmLJ1Lj2分别为无孔岩石的面应变和剪应变. (33)式除以(37)式、(34)式除以(38)式、(35)式除以(39)式, 得到钻孔面应变与剪应变的井孔耦合系数, 分别为

(40)

(41)

显然响应因子cd的物理实质分别是面应变或剪应变观测的井孔耦合系数, 而AB各是其二分之一.通过求解cd值可以确定地壳岩石的真实应变量(为观测应变值/井孔耦合系数), 从而实现不同台站之间观测数据的可比性, 这是该项工作另一个重要用途.

对于三分量应变仪同样有(40)、(41)式成立, 这是因为应变仪记录到的面应变εm与探头有几个分量元件无关, 理论上有[18]

而无孔岩石的面应变为

再结合(22)式有

根据(6)、(7)、(8)式, 用上述类似方法同样可以证明三组剪应变井孔耦合系数均等于2B.

4.3 两种结果的图形比对 4.3.1 2Ac

Gladwin[10]给出了面应变响应因子(c)与剪切模量比的关系曲线(图 2a), 令G2/G1=G21, G3/G1=G31, 并将Ei=2(1+μi)Gi(i=1, 2, 3)代入(21)、(22)式, 且取[8]G1=8.39×1010Pa, μ1=0.283, μ3=0.25, r1=56mm, r2=62mm, r3=89mm, 则

(42)

图 2 2Ac的曲线比较 (a)面应变响应因子(c)与剪切模量比(G2/G1)的关系曲线(据文献[10]图 6);(b)两倍的耦合系数(2A)与剪切模量比(G2/G1)的关系曲线(本文计算结果); G1G2G3分别表示仪器钢筒、膨胀水泥和岩石的剪切模量. Fig. 2 Comparison of 2A and c curves (a) The relationship curve between area strain response factor (c) and shearmodulus ratio (G2/G1) (according to the [10] Figure 6); (b) The relationship curve between two times of coupling coefficient (2A) and shear modulus ratio (G2/G1) (The results in this paper) G1G2G3 each said strainmeter steel cylinder, expansive cement and rock shear modulus.

式中x4=P1/(P2+P3), 其中

仿照图 2a做出2A与剪切模量比(G2/G1)的关系曲线(图 2b), 并保持两图比例相同, 然后使用Windows中的画图软件作透明处理, 将图(a)、(b)重叠, 可以看出两图形曲线近乎吻合, 充分说明2A=c成立.

4.3.2 2Bd

Gladwin[10]还给出了剪应变响应因子(d)与剪切模量比的关系曲线(图 3a), 依此, (28)式应变换为

(43)

图 3 2Bd的曲线比较 (a)剪应变响应因子(d)与剪切模量比(G2/G1)的关系曲线(据文献[10]图 7); (b)两倍的耦合系数(2B)与剪切模量比(G2/G1)的关系曲线(本文计算结果). G1G2G3分别表示仪器钢筒、膨胀水泥和岩石的剪切模量. Fig. 3 Comparison of 2B and d curves (a) The relationship curve between shear strain response factor (d) and shear modulus ratio (G2/G1) (according to the [10] Fig.7); (b) The relationship curve between two times of coupling coefficient (2B) and shear modulus ratio (G2/G1) (The results in this paper). G1G2G3 each said strainmeter steel cylinder, expansive cement and rock shear modulus

在求取y5y6y7y8过程中需要变换的系数为

同样, 仿照图 3a做出2B与剪切模量比(G2/ G1)的关系曲线(图 3b), 并保持两图比例相同, 仍然使用Windows中的画图软件作透明处理, 将图(a)、(b)重叠, 可以看出两图形曲线亦近乎吻合, 充分说明2B=d成立.

以上分析表明本文计算结果与Gladwin完全相同, 两种方法的正确性由此得到互证, 用本文推导的计算公式可以做出与文献[10]全部一致的图形.

5 结论与讨论

(1) 平面应力作用下, 分量式钻孔应变观测的两个耦合系数可分别表述为

式中, x4y5y6y7y8是与测量系统各层材料的弹性模量和泊松系数及半径都有关的常数, 具有很复杂的函数关系; 2A、2B分别就是Gladwin[10]给出的c(面应变响应系数)和d(剪应变响应系数), 其物理含义是面应变、剪应变观测井孔耦合系数, 本文的计算结果与文献[10]完全相同, 但研究方法和思路不一样.AB值计算公式为各种型号应变仪所通用, 与探头有几个分量元件无关.如果应变仪的型号和钻孔确定, 则有关半径r1r2r3已知, 探头钢筒和水泥的弹性模量(E1E2)及泊松系数(μ1μ2)可以在实验室中测试得到(一般由仪器研制单位提供), 使用者需要测定的是钻孔底部岩石的弹性模量(E3)和泊松系数(μ3), 因此要到台站采集钻孔岩芯标本.知晓这9个量后就可以计算AB值了, 但因为x4y5y6y7y8计算过程比较复杂、繁琐, 建议使用者能按照本文的思路编写一个程序求取, 既方便又不易出错.读者也可以根据需要自己变换参量, 进一步开展理论研究.

(2) 耦合系数A的变化特征:当G2/G1 < 0.1时, AG2/G1的增加而快速增大, 反之则缓慢减小; B的变化特征是:当G2/G1 < 0.01时, BG2/ G1的微小增加急速增大, 反之则减小, 且当0.01 < G2/G1 < 0.2时, 呈现大幅值快速减小, 而G2/G1 > 0.2以后呈缓慢减小; AB的共同特征是:当G2/G1为定值时, AB都随G3/G1的增加而增大; 当G2/ G1G3/G1μ1μ3均为定值时, μ2改变对二者的影响都很小.

(3) 需要注意的一个问题:对于真实的无孔岩石, 有A=B=1/2;对于空孔岩石, 有A=1/(1-μ3), B=2/(1+μ3), 取μ3=0.25, 则A=1.333, B=1.600.对于钻孔应变观测系统, 一般AB不正好是1/2, 且不同时为1.333和1.600, 因此钢筒内壁上的径向应变并不等于同方向无孔岩石的线应变, 也不代表同方向空孔岩石内壁上的径向应变, 记录到的固体潮汐与该方向线应变理论固体潮汐也不具有一对一的比较关系.

(4) 如何在室内严格地测算AB两个参数, 为急需开展的课题.理论计算离不开岩石弹性模量和泊松系数, 因此要对探头附近的岩芯进行取样测试, 这是非常重要的基础工作, 但目前大部分台站都没有做, 随着时间的推移有些台站会出现岩芯保存不完整和丢失现象, 所以从现在开始要抓紧立项开展这一基础工作.

致谢

研究过程中得到苏恺之和邱泽华研究员建设性的支持、帮助, 三位匿名审稿专家提出了中肯修改意见, 在此谨致诚挚谢意.

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