1 引言

多次波问题的研究长期以来一直都是地震勘探中非常重要的一个课题.由于多次波与有效波相互混叠，严重影响地震成像和后续储层预测的真实性和可靠性.因此，随着油气勘探的深入、计算能力的提高及各种处理技术的发展，如何更好的压制地震数据中混杂的噪声^[1-6]，特别是多次波的压制，成为地震资料处理急需有效解决的问题.

目前，一般将多次波压制方法分为两类：基于信号理论的滤波法^[7-11]和基于波动理论的预测减去法^[12-16].信号域^[17]的方法计算量小，容易实现，当地下构造较为简单时可以得到较好的效果.而基于波动理论的方法综合考虑了地震波传播的运动学和动力学特征，较少或不需要地下的先验信息，能够很好地压制复杂构造条件下产生的多次波.本文主要针对波动理论中的SRME^{[14, 18]}方法存在的缺陷进行了改进.SRME包括多次波模型预测和匹配相减两个阶段，多次波模型预测采用数据的空间褶积进行多次波模型道的预测，这要求输入数据必须是严格规则采样的，但实际采集到的数据很难满足这种要求.本文采用了一种SRME变形公式，将空间褶积变为数据相关进行多次波模型预测，对近偏移距缺失和空间假频数据具有很好的适应性.由于预测的多次波模型和实际多次波在振幅、相位和时间上存在差异，因此需要对多次波模型道进行匹配后相减.由于常规因果滤波器^[18-22]只能沿时间轴正向匹配多次波道，而对于预测的多次波模型道滞后于实际多次波道的情况，匹配效果不佳.针对此缺陷，本文设计了一种非因果的匹配滤波器对多次波模型道与实际多次波道进行匹配.

2 相关迭代多次波模型预测方法

多次波是地震波在反射回地表被检波器接收的途中经过二次甚至多次的反射作用形成的波.根据Berkhout等^[14]提出的压制表层多次波的迭代公式（SRME）：

(1)

多次波模型可以表示为

(2)

由于SRME方法预测多次波模型采用了数据的空间褶积，因此要求采集的数据必须满足规则空间采样且无近偏移距缺失，并且SRME方法所需要地表因子A无法事先求取，这也影响了求取多次波模型的准确性.本文采用SRME的变形公式^[23-24]，首先得到地表因子A的表达式（3），将地表因子项（3）带回SRME公式得到迭代公式（4）式即为本文中所要用到的求取多次波模型公式：

(3)

(4)

式（4）可以将地表因子A隐含在生成多次波模型的迭代过程中.在实际应用中，采用式（5）的表达形式：

(5)

其中P，P₀，，A，n，T分别为原始含多次波数据，不含表层多次波数据，预测的多次波模型，地表因子，迭代次数，共轭转置.

通过式（5）可以看出，经过公式变形，可以将地震数据共检波点和共炮点道集的空间褶积转化为共检波点数据相关，再进行迭代更新求取多次波模型道，这样可以避免数据空间褶积产生的假频对预测多次波模型的影响，并且适度降低了对原始输入数据的要求.由于该方法中存在矩阵求逆，会影响矩阵求解的稳定性，本文后续模型和实际资料测试都选用最小二乘求逆的方法^[25].另外，由式（5）知，最初迭代是在n=2开始，初始的输入数据包括：P ₀^（0）、P ₀^（1）.通常取P ₀^（0）=P，而P ₀^（1）最初可以由较为简单的信号域多次波压制方法或SRME方法获得.通过逐步迭代更新可以获得最终压制多次波的结果.

3 非因果非平稳匹配滤波器的设计

基于褶积算子的多次波匹配滤波器一般属于因果滤波器的范畴.该滤波器只能沿时间轴正向时移多次波模型道，而对于初始多次波模型道在时间上滞后于实际多次波的情况，匹配效果不佳.并且在多次波匹配过程中，上述方法一般采用分时窗的策略对所在时窗内的多次波分别匹配，计算效率不高.鉴于此，本文设计了一种非因果非平稳的多次波匹配滤波器.该方法可以对整个多次波模型进行匹配，从而提高匹配效率，而且针对初始多次波模型在时间上滞后于实际多次波的情况，也可以取得理想的匹配结果.

假设一原始含噪时间序列y（t）和噪声模型时间序列x（t），令x_k（t）=x（t-k），k=1，2，…，N.则求取因果匹配滤波因子c_k的基于平稳回归的最小平方目标函数为

(6)

用随时间t变化的滤波因子c_k（t）替代常数因果滤波因子c_k，则得到求取基于非平稳回归的因果匹配滤波因子c_k（t）的最小平方目标函数：

(7)

本文中取k=±N，则得到求取多次波模型匹配相减的非因果非平稳回归的匹配滤波器的目标函数：

(8)

由于上述方程式是非线性，求解是病态的，因此借助Fomel提出的一种整形规则化^[26]的方法求解上述方程，最终得到相减后压制多次波的结果.

将本文设计的匹配滤波器应用到一简单模型（图 1）.图 1a是合成的两层非正交褶积模型，图 1b和图 1c分别为弯曲同相轴模型，但是在振幅、时移上和图 1a中的弯曲同相轴存在差异.图 1b中同相轴在时间上超前于图 1a中弯曲同相轴，图 1c中同相轴在时间上滞后于图 1a中弯曲同相轴.图 1d和图 1e是用图 1b作为输入模型数据，分别应用因果匹配滤波器和非因果匹配滤波器进行匹配相减的结果，可以看出得到的匹配结果相当.而图 1f和图 1g是用图 1c作为输入模型数据，分别应用因果匹配滤波器和非因果匹配滤波器进行匹配相减的结果.可以看出，对于在时间上滞后于实际同相轴的模型数据，因果滤波器匹配效果不佳，而非因果滤波器仍然可以得到理想的匹配结果.

4 模型数据及实际资料试算

为验证本文方法对空间假频数据的有效性，文中设计了一个洼陷模型进行了数据试算.该洼陷模型的速度场如图 2所示，表层速度是渐变的，从1200m/s变化到1600m/s，第二层至第五层速度依次为2000m/s、2600m/s、3500m/s、4500m/s.采用中间放炮两边接收的采集方式，共121炮，每炮121道接收，每道750个采样点，采样率为4ms.图 3a为第61炮的单炮数据.图 3b为第61炮数据的FK频谱图，可以看出该炮记录存在严重的空间假频.图 3c和图 3d分别用SRME方法和本文相关迭代方法预测的多次波模型道.可以明显看出，本文方法可以大大减小假频的引入，由于本文方法存在矩阵求逆，这会在多次波模型中引入了少量的噪声，但产生的噪声会在后续的匹配相减中很好地去除掉，基本不会影响最终的一次波结果.图 3e和图 3f分别为采用拟多道匹配和本文提出的匹配相减方法获得的压制多次波的结果（用于输入匹配相减的多次波模型为图 3d），可以看出本文方法在压制掉多次波的同时能够很好地保持有效信号.图 4为抽取的零偏移距剖面对比图.由于原始数据存在严重的假频，使得SRME方法预测的多次波同相轴被假频湮没（图 4b），而本文的方法（图 4c）可以有效地消除原始数据假频对预测多次波模型的影响.图 4d和图 4e分别为采用拟多道匹配和本文提出的相减方法获得的压制多次波的结果（选取图 4c作为后续匹配相减阶段的多次波模型），同样可以看出本文方法的有效性.

接下来，本文采用Sigsbee2B数据测试本文方法对近偏移距缺失数据的适应性.Sigsbee2B模型是一个通用的检测多次波压制效果的标准模型，速度场如图 5所示.表层模拟的是海水层，中间含有一个高速的岩丘，构造十分复杂，为方便计算，本文将每炮抽为174道，每道1500个采样点，8ms采样，且将近偏移距的10道数据置零.图 6a为原始含多次波的一炮记录，图 6b为近偏移距10道数据置零后的炮记录，图 6c为SRME预测多次波模型，图 6d为本文方法预测的模型.可以明显的看出，SRME方法由于空间褶积产生了强烈的边界效应，而本文方法可以很好地预测出近道多次波模型，该测试说明了本文方法对近偏移距数据缺失数据的适应性. 图 6（e，f）分别为拟多道匹配滤波器和本文设计的滤波器进行多次波匹配相减的结果.图 7所示为抽取的第15道数据的共偏移距剖面对比图，图 7a为原始数据的共偏移距剖面，图 7b为本文方法预测的多次波模型共偏移距剖面（由图 6c看出，SRME方法预测的近偏移距多次波模型能量很弱，因此，此处主要验证本文提出相减方法的有效性），图 7c和图 7d分别为拟多道匹配滤波器和本文设计的滤波器压制多次波后的共偏移距剖面.通过对比可以得出，对于复杂模型，本文设计的滤波器方法仍然具有有效性.

最后，本文选取某海上实际数据进行测试，该炮记录共324道，1751个采样点，4ms采样间隔，检波距为25m，最小炮检距为200m.图 8a为原始的单炮记录，图 8b和图 8c分别为SRME和本文方法预测的多次波模型（注意纵坐标起始位置），可以看出，由于原始数据近偏移距缺失，SRME并没有很好地预测出近偏移距多次波，而本文方法较好的预测出近偏移距的多次波模型.匹配相减阶段本文设计的非因果非平稳滤波器在压制多次波和保存有效波较为理想，而拟多道匹配方法仍有剩余多次波残留.图 9为抽取的近道共偏移距道集对比图.图 9a为原始数据的近偏移距剖面，图 9b和图 9c分别为SRME和本文方法预测的多次波模型剖面.由于该实际数据存在近偏移距缺失，SRME并没有很好地预测出多次波模型，存在部分同相轴缺失或不连续，而本文方法能够很好地预测出多次波.图 9d和图 9e分别为拟多道匹配滤波器和本文设计的滤波器进行多次波匹配相减的结果，同样可以看出本文方法将多次波压制的更为彻底.通过实际资料测试进一步验证了本文方法在预测多次波模型和多次波模型匹配相减两个阶段的优越性.

5 认识与结论

本文对常规多次波压制方法流程进行了改进.多次波模型预测采用了SRME的变形公式，将原始的数据空间褶积转变为数据相关，并通过更新迭代的策略将SRME方法所必需的地表因子隐含在迭代求取多次波模型过程中，该方法不仅提高了对原始输入数据的适应性，对近偏移距缺失和空间假频的地震数据也有很好的适应性，而且能够很好地保持多次波的运动学和动力学特征.在多次波匹配相减阶段，针对预测多次波模型滞后于实际多次波的情况，本文设计了一种非因果非平稳的匹配滤波器.而且该滤波器可以对多次波模型道进行整体匹配，进而提高了计算效率.模型和实际资料试算证明了本文方法的有效性.

另外，由于在预测多次波模型阶段，本文方法要进行多个矩阵相乘运算，并包含有一个矩阵求逆，计算量要比SRME方法要大很多，这在一定程度上限制了该方法在实际中的应用.本文在实际计算过程中采用了多节点的并行计算机群，用于提高计算效率，增强该方法的实用性.如何进一步简化并降低算法本身的计算量，仍是本文下一步研究的重点.

致谢

感谢leon课题组的老师和同学对本文提供的帮助，感谢本文匿名评审专家给予的宝贵意见，同时本文受到国家留学基金委的资助，在此一并表示感谢.