1 引言

对于部分微弱的地球自由振荡信号（如内核平动振荡₁S₁），功率谱等传统方法难以从众多可能的信号中识别出真正的目标信号，因此，出现了一些基于信号本身特征的谱分析方法.多台站实验技术（MSE）和球谐叠加技术（SHS）均是基于目标模态的特性而提出的方法，二者均是旨在将多重态自由振荡信号的单线态逐个剥离，以达到识别信号的目的.MSE由Courtier等^[1]首次提出，主要目的是用以探测目前仍难以观测的地球内核平动模态₁S₁ ^[2-4]，而一般认为MSE方法是源于Cummins等^[5]所给出的时间域的SHS方法的形式.SHS最先是由Buland等^[6]提出，用以探测球形模态₀S₂和₀S₃的分裂谱线，但该文仅给出了简单的频率域表达形式.基于SHS方法，Buland等^[6]利用国际加速度计台网（IDA）的观测数据，首次探测到₀S₂和₀S₃的全部分裂谱线，它们是所有的多线态中最早被探测出全部分裂谱线的两个模态.随后，同样是利用IDA台网的观测数据，Chao & Gilbert基于SHS方法探测出了₃S₁的三条分裂谱线^[7]，这是第三个分裂谱线被全部探测到的模态.随后，基于SHS方法，₁₀S₂的异常分裂被探测到^[8]，这是简正模地震学中首次确认异常分裂模态的存在（需要特别指出，得到这一结果是因为₁₀S₂的分裂谱线能被相互剥离）.MSE方法最先用以探测₁S₁ ^[1]，并认为探测结果证实了Smylie等^[9]声称探测到的₁S₁的三重分裂，但目前关于₁S₁的三重分裂的探测结果仍存在较大争议，尚未被国际学术界公认^[10-11].此外，基于MSE方法，Rosat等^[12]首次探测到₂S₁的全部分裂谱线，该模态的探测为₁S₁的探测提供了重要参考，因而具有重要意义.不难看出，SHS和MSE方法在地球自由振荡的研究中起到了非常重要的作用.实际上，为得到更多的模态分裂信息，从20世纪70年代开始，众多科学家就对多线态的剥离进行了研究，且大部分是基于一种称为‘多线态剥离（Multiplet Stripping）’的方法^{[6, 8, 13-20]}.但是此方法需要预先知道模态的频率等先验信息，且对于一些异常分裂的模态，不能有效地加以识别.此外，鉴于本文主要关注一阶球形模态，因此本文仅对常用的MSE和SHS方法进行分析.

虽然SHS方法的应用相当成功，但并不能完全剥离一阶模态的所有单线态信号^[5]；不过，在台站分布较多较广的全球台网（如IDA），SHS方法可近似地剥离一阶模态的所有单线态信号^[5].然而，在实际应用中，所用台站的个数总是很有限的，如Buland等^[6]采用6个IDA台网数据记录，Chao & Gilbert^[7]仅采用7个IDA数据记录，Master等^[8]仅采用了4个IDA数据记录.因此，在实际应用中，鉴于选取的台站数非常有限，SHS方法将很难满足其假设条件，也即SHS方法在实际应用中难以剥离一阶模态的所有单线态信号.此外，Rosat等^{[12, 21]}认为MSE并不能完全剥离一阶模态_nS₁的三重分裂信号，且他们的结果在国际上已被广泛引用^[21-26]，但这一结论与MSE的理论结论相冲突.

由于SHS及MSE均已被用于探测微弱的核模信号^{[1, 5, 11, 24]}，但所得结论并不相同.因此，只有弄清二者的实质才能准确地确定所探测信号的正确性，且能否成功地剥离一阶模态的单线态信号也将制约二者是否适用于探测一些极微弱信号，如₁S₁三重分裂信号.利用观测值确定₁S₁三重分裂信号（频率）将有助于约束地球内外核密度跳跃以及地球3D密度结构模型，但目前仍没有令人信服的探测结果.因此，如果MSE或SHS方法确实能成功地剥离一阶模态的单线谱信号，则可根据此特性，有可能从众多可能的信号中准确地识别出微弱的₁S₁的单线态信号.

综上，本文的研究重点是挖掘MSE与SHS方法的本质，为二者的进一步应用提供相应的理论与实验依据.由于这两种方法的应用潜力之一是探测₁S₁信号，且由于MSE只能用以探测一阶模态_nS₁，因此本文主要研究SHS方法的一阶形式，并将与₁S₁频率相对比较靠近的1mHz以下的一阶模态作为探测的目标模态.考虑到₂S₁信号已被前人清楚地探测到^[24]，而对于₃S₁是否为异常分裂，国际上仍存在争议^{[7, 15]}，因此，本文将选用₃S₁模态作为探测目标.由于前人研究已指出，在1 mHz以下，SG台站的信噪比要优于目前最好的宽频地震台站，因此，本文将采用大地震后的SG观测数据作为数据源.

2 SHS与MSE的理论分析 2.1 SHS的基本原理与分析

对于重力仪记录或地震仪的垂直记录g_j（t），可表示为如下形式^[5-6]：

(1)

其中θ_j、φ_j分别表示第j个台站所在的余纬和经度，A_l^m表示角序数为l、方位角阶数为m的自由振荡简正模所对应的激发振幅，ω_m为其角频率；n_j（t）是台站的线性无关噪音；Y_l^m（θ_j，φ_j）为归一化球面谐函数，与对应简正模振幅强度成正比，具体形式如下：

(1a)

其中P_l^m（cosθ）是Legendre缔合多项式，N_l^m=是归一化因子.通过以不同权重Y_l^m（θ_j，φ_j）叠加多个不同台站的记录可得

(2)

其中Y_l^m₁为Y_l^m₁的复共轭，m₁表示对应于某个确定的谱线.当l固定时，在考虑台站分布足够多的情况下，也即在地球表面（对应的单位球面）的每一个sinθdθdφ大小的面积元上均分布有一个台站^[5]，忽略噪音影响，根据球面函数的正交性可得

(3)

其中K为与球面谐函数有关的常数.由（3）式可知，经过加权叠加后，在考虑台站足够多的情况下，S_l^m₁（t）将仅含有单线态_nS_l^m₁的信号，而不含同一模态的其它单线态信号，因此可从相应叠加谱图中识别出_nS_l^m₁.上述过程即为传统的SHS方法在时间域的实现过程.将表达式（1）进行傅里叶变换，然后进行类似推导可得SHS在频域的实现步骤.时域与频域的过程与结果完全等价，这里不再赘述.

虽然目前全球分布的任何台网都难以满足正交性条件（3），但前人在研究中一般都默认此条件是成立的^[5-7]，进而认为所得叠加谱图中仅含有特定的单线态信号.例如，仅基于IDA台网中的6个台站数据，Buland等^[6]认为得到了₀S₂和₀S₃的所有单线态信号，但从该文的图 4不难看出，该文仅给出₀S₃的m=0和m=±3这三个单线谱的结果，₀S₃的其它四个单线谱图及₀S₂的5个单线谱图均未给出.虽然该文认为探测到了₀S₂和₀S₃的全部分裂谱线，但难以确定SHS是否成功地剥离了₀S₂和₀S₃的全部单线态.此外，Chao & Gilbert也仅利用了IDA台网中的7个台站观测数据来探测₃S₁ ^[7]，且结果仍存在争议.显然，这些研究中所用台站个数远远不能满足正交性条件.

在实际研究中，由于台网中台站数目有限以及分布不均（如GGP台网），SHS方法的l阶球形振荡模态的叠加信号的最终表达式应写成如下形式：

(4)

上述讨论均是基于复数形式，对（1）式取实部即可得到相应的实数表达式.但利用欧拉方程，实数形式与复数形式可统一，其实现过程较为简单，此处不赘述.

由于本文仅研究SHS方法的一阶形式，因此考虑观测序列为实数，当l=1时，由方程（1）可得

(5)

其中，a_a=A₁⁰N₁⁰=，，分别对应顺行赤道分量、轴向分量及逆行赤道分量的振幅强度；ω_p，ω_a和ω_r为对应的角频率.记

(6)

根据欧拉公式，将（6）式代入（5）式可得

(7)

（7）式与（1）式的一阶形式相同，即观测记录的实数与复数表达可化为统一形式.

当l=1时，（7）式两边同时乘以权重Y₁^m₁，化简后可得一阶SHS的表达式如下：

当m₁=-1时，

(8a)

当m₁=0时，

(8b)

当m₁=+1时，

(8c)

（8a）-（8c）式分别对应一阶模态的三个单线态的叠加信号.（8）式即为台站有限且任意分布的实际情况下，SHS方法的一阶表达式.从中不难看出，每一个单线态的叠加信号中均含有所有的三个单线态信号，但是如果考虑各项的系数，则每个叠加信号所对应的单线态信号的振幅强度将大于其它两个信号.因此，在台站有限的实际情况下，SHS并不能剥离一阶模态_nS₁的三重分裂信号，但却可以相对抑制其它单线态信号而增强目标单线态信号.虽然SHS方法早已提出，且被众多研究人员采用，但多数研究人员在实际应用中往往忽视了这一点^{[6-8, 16-17]}，即使在台站数有限条件下，仍默认正交性成立，但这往往可能产生错误结论^[17].这也是本文较为详细介绍SHS方法的原因之一.

2.2 MSE的基本原理与分析

对于一阶球形模态，可将重力观测记录或地震仪的垂直记录考虑成如（5）式的形式，经过变换而得（7）式.如果有N个同台站的观测记录，则可得

(9)

对比（8）和（9）式可发现，二者仅加权方式不同，因此前人一般认为MSE来源于SHS方法.对于（9）式，记右侧的系数矩阵为B，左侧观测矩阵为G^[1]，可得

(10)

根据（10）式，可得三个新的时间序列，其中X（t）含有信号a_pe^iω_pt和a_re^-iω_rt，Y（t）含有信号a_ae^iω_at，Z（t）中含有信号a_pe^-iω_pt和a_re^iω_rt.由于上述过程忽略了噪音项，因此在实际应用中，三个新序列仍将分别含有线性无关的噪音项.从（9）式到（10）式即为MSE方法的实现过程.针对所得到的三个新序列，Rosat等^{[12, 21]}认为MSE方法在增强目标单线态信号的同时并不会破坏其它两个单线态信号，也即三个单线谱信号将全部出现于三个新序列各自的谱图中，其基于MSE首次探测到的₂S₁模态正是基于此理论观点而确定，且该探测结果已被广泛引用^[21-26].Guo等^[24]认为X（t）和Z（t）均含有两个信号，而Y（t）仅含一个信号，并认为，对三个新序列分别求取傅里叶变换后，可得对应振幅谱A_X（ω）、A_Y（ω）和A_Z（ω），然后通过如下方式可将三个单线态信号独立于三个谱图中（其中ω＞0，下面均采用此假设）：

(11)

在实际处理过程中，Guo等^[24]的上述过程确实可获得独立谱图，但需要特别指出的是，独立谱图的获得，并非源于（11）式，而是基于复指数序列的傅氏变换特性而得到的.具体解释如下：

当ω＞0时，由（6）式可知，X（t）与Z（t）组成一组共轭对，根据共轭对的傅里叶变换性质可知，X（t）与Z（t）所对应的频谱将共轭对称，即A_X（±ω）=，且A_Y（ω）=A_Y（-ω）；因此，（11）式仅相当于将ω＞0所对应的振幅谱扩大一倍.由于X（t）和Z（t）均为复指数序列，根据复指数序列的傅里叶变换性质可知，正频率将仅出现在正半轴，负频率将仅出现在负半轴^[5].以A_X（ω）为例，当ω＞0时，仅出现ω_p对应的谱峰，且此时的振幅即为ω_p所对应的实际振幅.因此，当取ω＞0时，A_X（ω），A_Y（ω）和A_Z（ω）即为信号a_pe^iω_pt，a_ae^iω_at和a_re^iω_rt所对应的振幅谱的一半（见（6）式），即

(12)

根据（12）式，我们将MSE所得到的直接结果，经过傅氏变换之后，仅需分别取对应的ω＞0部分，即可得到三个分别仅含单个单线态信号的独立谱图，再乘以2倍即可与原始数据序列中信号的振幅保持一致.因此，MSE可成功地剥离一阶模态_nS₁的三重分裂谱线.

需要特别指出的是，根据（5）式，MSE方法在求解（9）式时仅考虑了自耦合影响，并未考虑全频带的所有模态之间的全耦合影响.Deuss等^[27-28]指出，对于频率高于1mHz的模态，全耦合效应将显著地影响模态的频率、相位和振幅，但对于频率低于1mHz的模态，考虑自耦合与考虑全频段耦合之间仅在相位和振幅之间存在微小差别，频率之间几乎无差别.由于实际数据中噪音的存在，对于1mHz以下的模态，仅考虑自耦合与考虑全耦合之间的差异将难以达到可观测水平.因此，本文特别指出，并非全部一阶模态均能无条件地采用MSE方法来剥离三重态，MSE方法在实际应用中仅适用于1 mHz以下的模态.

本文关于MSE方法的理论结论，与前人有所不同.也即MSE可成功剥离单线态，获得独立谱图，而并非Rosat等^{[12, 21]}认为的MSE无法剥离三个单线态信号.下文将通过模拟和真实数据分别对我们关于MSE方法在探测1mHz以下的一阶球型模态的理论结论进行验证.

3 一阶模态的模拟与实测数据实验

上文已提到，本文将₃S₁模态作为SHS和MSE方法的探测目标，同时将二者应用于合成信号的探测.

前人研究表明，在1 mHz以下，超导重力仪（SG）的信噪比要优于目前最好的宽频带地震仪^[29].因此，本文将以GGP台网中的SG台站记录作为观测数据，并以2004年苏门答腊地震作为₃S₁的激发事件.2004年苏门答腊震后，共有13个超导台站的数据可用，分别为Bad Homburg（bh），Canberra（cb），Kamioka（ka），Matsushiro（ma），Membach（mb），Medicina（mc），Metsahovi（me），Moxa（mo），Ny-Alesund（ny），Sutherland（su），Strasbourg（st），Vienna（vi），和Wettzell（we）台站.这13个台站分布于全球，相比于Buland等^[6]和Chao & Gilbert^[7]所选台站，分布更为广泛.

3.1 模拟信号的探测分析

根据（5）式，针对上述13个SG台站，可合成13个模拟重力记录，其中每个记录均含有如表 1的三个模拟单线态信号，每个信号的振幅均设为0.1nm/s².各台站模拟噪音水平如表 2所示.用常数1nm²/s⁴表示一个统一的均值噪音水平σ₀²，然后根据各台站的余纬θ_i，由式（13）得到各台站的模拟噪音水平^[1]：

(13)

每个合成记录的数据长度为800h，采样间隔为1min.

分别经过MSE和SHS方法处理后的功率谱（傅氏变换之前需对各记录加汉宁窗以减小能量泄露，后同）如图 1所示.

13个合成记录的直接的功率谱叠积结果如图 2所示.对比图 2与图 1可发现，MSE成功地完全剥离了三个单线态信号，每个谱图中仅有一个单线态信号；然而在SHS所对应的三个谱图中，每一个谱图中都含有三个信号，但是信号的功率强度却不相同，与谱图对应的单线态的信号最强.说明SHS方法仅能相对增强对应单线态信号的强度，而不能完全剥离三个单线态信号.不难发现，该模拟实验结果与我们的理论结论完全吻合.

3.2 ₃S₁的探测与分析

由于2004年的苏门答腊地震激发了强烈的自由振荡信号^{[19, 30-31]}，因此，本文选用该地震之后上述13个SG台站的同步记录作为观测数据.此外，为了对比验证Chao & Gilbert^[7]基于SHS所得的₃S₁的结果，我们将选用如下两个数据集：

数据集Ⅰ：13个SG台站的始于震后50h的280h长的同步记录，采样间隔为1min.选用震后50h的数据是为了减弱₁S₃的影响^[32]；而280h的长度约为1.1Q倍的周期长度（Q是品质因子），是Dahlen^[33]所建议的探测模态的最佳长度.

数据集Ⅱ：13个SG台站的始于震后50h的168h长的同步记录，采样间隔为1 min.该数据长度与Chao & Gilbert所选长度^[7]相同，但台站分布更为广泛.

在₃S₁理论频率对应的频段，还有₂S₂及₁S₃两个多线态会与其产生耦合效应.作为一种对地核敏感的模态，₂S₂，它至今仍未被探测到，其对应的PREM模型预测频率为0.93785 mHz，即使考虑₃S₁与₂S₂的分裂，从理论上讲，在频率域也可将它们分离开（在₂S₂频率为0.93785 mHz的前提下）；然而，Okal等（2009）专门对₂S₂模态进行了研究^[34]，认为目前所有记录到的地震事件还不足以激发可观测的₂S₂信号.鉴于此，本文认为₂S₂信号在本研究中对₃S₁的耦合影响极小，可忽略.而对于₁S₃模态，其单线态与₃S₁的单线态会有重叠现象，但是由于二者的品质因子不同，因此常用的做法是采用震后一段时间之后（如2天之后）的数据来大幅度减弱₁S₃的影响^{[32, 35-36]}，这也是本文数据集均从震后50h开始的原因.

去除潮汐（固体潮与海潮）、极潮和气压的影响后，得到两组待用的重力残差数据集.

对于数据集Ⅰ，经过MSE方法处理后，其对应的功率谱如图 3所示，其中虚线表示对应的PREM模型（考虑了自转与椭率影响）的理论预测值^[26].显然，MSE成功地剥离了₃S₁的三个单线态，且从 可发现，观测结果与前人的观测结果非常接近.最重要的是，我们清晰地探测到了m=0的信号；对比三张谱图可知，m=0的信号显著地低于其它两个单线态信号，因此在直接的积谱图中（图 4）很难发现这一信号；而且Roult等^[26]基于700h的多个宽频地震数据记录也只是发现了非常微弱且信噪比极低的m=0信号.这里需要指出，Shen & Wu^[36]将经验模态分解（EMD）方法^[37]以及MSE应用于5个SG台站的观测数据，较清晰地看到了m=0信号，但不能判定是由于EMD的作用还是MSE的贡献.因此，本文结果有力地证明了MSE的有效性，再次验证了我们的理论结论，也即MSE可成功剥离一阶模态的三个单线态信号；同时也说明有必要重新审视和评价前人的部分结果及结论.

数据集Ⅰ与数据集Ⅱ经过SHS处理后的功率谱结果如图 5所示，其中，图 5a，5b，5c是数据集Ⅰ的结果，图 5d，5e，5f是数据集Ⅱ的结果.根据第2节理论可知，SHS的结果中，每个谱图中都存在三个单线态信号，而图 5a和5c中，每个图中仅出现两个单线态的信号.这一结果看似与理论结论不符，但实际上是合理的.由图 3及图 4可知，m=0的信号强度远远低于m=-1和m=+1的信号强度，因此在同一张谱图中，如果同时出现三个信号，则m=0的信号将完全被m=-1和m=+1的信号所掩盖.在图 5a中，m=-1的谱峰明显高于m=+1，而图 5c中，m=+1的谱峰高于m=-1，两图中的m=0信号因为过于微弱而被掩盖.对于图 5b，由于m=-1和m=+1的信号依然存在，因此该谱图理论上所对应的信号m=0，由于其强度仍低于m=-1和m=+1的残余信号而被掩盖.

图 5d，5e和5f是数据集Ⅱ的结果，看似均仅出现了一个明显的谱峰，但根据对应的理论频率可知，该谱峰的宽度大于₃S₁的单线态的理论频率宽度，也即该谱峰实际上是由于分辨率不足而导致各个信号耦合在一起.根据₃S₁的PREM模型的理论频率可知^[18]，对应的三个分裂谱线之间的最小频率间隔为0.0013mHz，因此至少需要213.7h的数据长度才能将三者清晰地分辨出来（频率间隔Δf=1/（M·Δt），T=M·Δt为所用数据长度，其中Δt是采样间隔，M是采样点数^[38]）.所以，我们认为Chao & Gilbert^[7]所得到的看似独立的单线态的结果可能是由于分辨率不足所引起.确切地说，m=0所对应的谱峰（见图 5e）实际上并没有被他们看到，他们看到的仍然是三个单线态的混叠结果.

3.3 ₃S₁的分裂宽度

异常分裂模态是指模态的观测频率分裂宽度明显大于理论频率分裂宽度^[15].Widmer等^[17]指出，当前述二者之比大于1.5时，则认为是异常分裂.关于₃S₁，部分学者认为是正常分裂，主要根据是未能探测到对应于m=0的谱峰且分裂宽度比小于1.5^[36]；部分学者则认为₃S₁是异常分裂^[16-17]，但并非依据分裂宽度比，而主要是根据m=0的观测频率与理论频率差异较大，如Widmer等^[17]采用南极Amundsen-Scott台站的观测记录，认为得到了对应于m=0的信号，但是实际上该结果信噪比较低，且该文所采用的数据长度仅为100h，没有足够的频率分辨率.

基于MSE方法，本文清晰地探测到了对应于m=0的信号，且从表 3可看出，观测频率与理论频率较为靠近，并无较大差异.本文基于三种方法（MSE，SHS与积谱（PS）方法）分别探测到的₃S₁信号的分裂宽度比列于表 4.考虑到本文清晰地探测到了其对应的m=0信号，且所得的分裂宽度比非常接近正常值1，因此，本文认为₃S₁应是正常分裂模态.

4 结论

本文通过对SHS和MSE方法的理论分析研究，指出在台站分布非常有限的实际情况下，前人研究中默认SHS方法可剥离多线态的论断并不成立^{[6-8, 16-17]}，此时SHS方法仅能相对增强目标单线态信号.此外，本文解释了MSE能剥离一阶模态三重分裂信号的原因.基于对MSE方法的理论分析及实验验证，本文得出了不同于前人的结论^{[12, 21]}，即在自耦合前提下，MSE方法可成功地剥离一阶模态的三重分裂谱线.合成及实际信号的探测实验均验证了本文的结论，说明前人的部分结果与结论值得进一步推敲与评价.此外，实验结果表明₃S₁应是正常分裂的模态，该结果可为目前仍难以确认的₃S₁是否为异常分裂问题提供判别依据.

虽然在台站数非常有限的情形，SHS方法并不能完全剥离多线态的分裂信号，但当台站数量逐渐增加时，该法可达到近似于完全剥离的效果.MSE方法虽然在理论上可用于探测任意一阶球形模态的分裂谱线，但由于此法仅考虑了自耦合影响，因此，建议将MSE方法仅应用于探测频率小于1mHz的一阶模态；否则，结果将可能受到耦合作用的严重污染.鉴于本文的理论与实验结果均证实，MSE可成功地剥离一阶模态的单线态信号，因此，MSE将是探测微弱的₁S₁三重分裂信号的有潜力的方法.探测₁S₁三重分裂信号是我们将来研究的论题.

致谢

感谢GGP台网提供的高精度SG数据.感谢两位匿名审稿人提出的有价值的评论及修改建议，使本文更加完善.感谢李进博士对初稿提出的有益修改建议.