2012, Vol. 55
2. 中国地质科学院地质力学研究所,北京 100081
2. Institute of Geomechanics, Chinese Academy of Geological Sciences, Beijing 100081, China
Mohr-Coulomb强度准则，描述岩石破坏时的正应力和剪应力之间的关系.随着岩石塑性变形和应变软(硬)化研究的发展，需要对塑性变形阶段的应力应变之间的关系进行描述[1-2].为此，我们将Mohr-Coulomb强度准则加以扩展，用来描述岩石塑性变形过程中不同阶段，如初始塑性屈服变形､峰值变形和残余塑性变形等阶段的正应力和剪应力之间的关系.
在传统的Mohr-Coulomb 准则中，粘聚力c和内摩擦角φ 都是常数[2]，但在塑性变形阶段，Mohr-Coulomb准则中的c和φ 值不是常数而是塑性变形内变量的函数.岩石塑性变形条件下Mohr-Coulomb屈服准则的提出[3]，为研究岩石塑性变形提供了有力的工具.
本文首先叙述了岩石塑性变形和屈服准则，进而提出由三轴试验确定c和φ 值随内变量变化的技术方法，给出了塑性变形条件下Mohr-Coulomb 屈服准则的完整表达式和简化表征全过程应力应变曲线的四直线模型.
2 岩石塑性变形分析岩石和混凝土试件的全应力-应变曲线(或称应力-应变全过程曲线)，可以看出岩石试件在最终破坏时残余变形可以很大，这就是说它的延伸率很大.变形较大的岩石试件，卸除荷载后试件的变形仅是部分地消失，还有一部分的变形被永久地保留下来，前者可恢复的变形就是弹性变形，后者是卸除荷载后的残余变形.
本文研究的塑性变形，是“卸除荷载后的残余变形"，它是不可逆的变形，它不同于金属塑性､矿物晶体塑性[3-8].与金属材料的塑性相比，岩石的塑性更为复杂[9].同一岩样变形过程中，既有强化发生，又有软化发生.对完全卸去荷载后试件保留有残余变形，也被称为“准塑性变形"以区别于金属材料的塑性变形.尽管岩石和金属材料二者的残余变形在微观机制上有很大区别，但它们宏观上的不可逆性这一点却是相同的.在宏观的唯象学理论中，我们不注重变形的微观机制，而将“塑性"与“不可逆性"这两个术语等同起来，从而将岩石的残余变形直接称为塑性变形.这样，把岩石材料看作弹塑性材料，从而建立岩石塑性力学理论.
岩石塑性力学理论一般处理三向应力状态问题.将单轴应力状态推广到三维应力状态，需要将屈服应力概念推广到三向应力状态的屈服准则.岩石材料的屈服准则是岩石塑性力学中的一个核心概念[3, 9].岩石力学中屈服准则的表述比强度准则要复杂得多，后者仅描述了峰值轻度破坏，前者则描述了屈服面的变化.
作为岩石材料的强度准则(破坏准则)在应力空间是一个曲面，称为强度面(破坏面)，所含的材料参数(例如c值和φ 值)是常数，它们是由材料样品的破坏试验得到的[1].
岩石典型的全应力-应变曲线[1]如图 1.显微分析结果表明:在OA 段，原有空隙闭合;AB 段呈线弹性变化，试件细观结构无明显改变;BC 段，新裂纹出现，应力达到峰值;在CV 段，裂纹形成与扩展速度加快，裂纹密度加大;在VD 段，断续的裂纹在相同的方向上连通，沿微裂纹面有滑动.峰值应力前，裂纹是弥散的，而峰后有集中发展的趋势.PQR､TUV 是卸载后再加载形成的滞回环[10].将岩石材料看作弹塑性材料，对照岩石样品的全应力-应变曲线(图 1)，岩石材料的屈服应力有初始屈服应力(刚开始出现微破裂)和后继屈服应力(随微破裂发展屈服应力发生变化)之分，相应的屈服准则也有初始屈服准则和后继的屈服准则.图 1中，B 点为初始屈服点，对应于初始屈服;B 点之后各点则为后继屈服.可见，强度准则(破坏准则)相当于峰值状态下峰值屈服准则，它是一个特殊的后继屈服准则.
|
图 1 单轴压缩试件的全应力-应变曲线 Fig. 1 Whole stress-strain curves of a uniaxial compression tester |
岩石材料的屈服准则在应力空间是一族曲面，称为屈服面.初始屈服面是指当材料未经受任何塑性形变时弹性响应的界限.随着塑性变形(微破裂)的发展屈服面发生变化[11-12]，后继屈服面是当材料经历了一定的塑性变形历史(内部微结构产生一定的变化)时弹性应力响应的界限.屈服面不再是单一锥面.而是随塑性变形的发展而变化的一族曲面，开始是扩大(对应于强化)，并达到峰值屈服面，随后是收缩(相对于软化).这种随塑性变形发展屈服面发生变化的规律称为强化-软化规律.
金属材料屈服面的强化规律有两个基本类型:各向同性强(软)化和随动强化.随动强化是指后继屈服面连应力空间整体移动，这反映了材料的Bauschinger效应[3].对岩石材料而言，目前还没有实验资料能够说明是否具有Bauschinger效应，因而我们使用等向(各向同性)强(软)化模型.这时描述材料屈服面的变化仅需采用一个标量的塑性内变量(简称内变量).等向强(软)化屈服准则可一般地表示为[3]:
|
(1) |
它是随内变量而变化的一族准则，初始屈服准则对应于κ=0，后继屈服准则对应于κ>0.
内变量是用来刻划材料塑性变形历史(塑性加载历史)的量，随着塑性变形不断发生，κ 是一个单调增加的非负标量.仅有弹性响应时，保持常数dκ=0.内变量的选取不是唯一的，对岩石材料可以选取等效塑性应变珋εp､塑性功ωp､塑性体应变θp 等:
|
(2) |
随着有限元等数值方法的发展[13-15]和电子计算机的普及，在岩石工程设计中使用塑性力学方法时，需要对岩石材料使用屈服准则.多数研究者直接将Mohr-Coulomb强度准则拿来使用.开始时将粘聚力c和内摩擦角φ 当作常数(这相当于理想塑性材料)，后来又把c，φ 看作随内变量变化的参数，以及反映岩石类材料的强(软)化性质.
在岩石塑性力学中，资料较少的情况下，采用Mohr-Coulomb形式的屈服准则是无可非议的[16-17].假设粘聚力c和内摩擦角φ 随内变量κ 变化，这正是等向强(软)化规律的屈服准则，适合于岩石工程的强度分析和稳定性分析.
指定内变量κ，则在τ-σ 空间内表述的Mohr-Coulomb准则如下[3]:
|
(3) |
而在主应力空间内的Mohr-Coulomb准则表述为[3]:
|
(4) |
在上面公式中主应力顺序是σ1≥σ2≥σ3，即σ1和σ3 分别是最大主应力和最小主应力.式(4)对应于π平面上线段AB(见图 2).如果不规定σ1≥σ2≥σ3，采用对称开拓方法，便得到图中的不规则六边形[3]，称之为Coulomb六边形.
|
图 2 应力空间和n平面上的Mohr-Coulomb强度准则 Fig. 2 The Mohr-Coulomb strength criterion in the stress space and in the n plane |
Mohr-Coulomb 屈服面与σm =σ1 +σ2 +σ3 =const平面(称为偏平面，π 平面是过坐标原点的偏平面)相截的六边形是随着σm的减小而线性缩小的;当σ1=σ2=σ3=ccotφ 时，六边形收缩为一点O .因此Mohr-Coulomb屈服面是以π平面上Coulomb六边形为底，以点O 为顶的六棱锥的侧面，初始和后继的Mohr-Coulomb屈服面是一族随κ 变化的六棱锥面.在这族锥面中特别重要的是初始屈服面､峰值屈服面和残余屈服面，这三个屈服面对应的内变量参数分别记为κin､κp､κr，分别对应图 2中的面1､2､3.
初始屈服面(初始屈服准则)是当材料未经受任何塑性变形(微破裂)时弹性响应的界限(图 2 中的1面)，是由弹性转到弹塑性的界限.当应力状态达到这个界限时，不适合使用弹性本构方程，而应使用弹塑性本构方程.岩石类材料的弹塑性应力和变形分析中必须引进初始屈服面.然而，以往的工作往往忽略了这一点.
峰值屈服面(峰值屈服准则)大致相当于材料强度理论破裂面(破坏准则)[18-19]，其塑性参数c(κp)和φ (κp)应该对应于岩石的强度参数c值和φ 值.从初始屈服状态到峰值屈服状态，六棱锥面不断向外扩大，材料属于强化阶段.在达到峰值状态后开始进入软化阶段，因而峰值屈服面是材料从强化到软化转化的标志曲面(图 2中的2 面).与峰值强度对应的峰值屈服面，其塑性内变量为κp.而强度(破坏)准则无需引入内变量.
残余屈服面(残余屈服准则)大致对应于残余强度的破坏面(破坏准则)(图 2 中的3 面).在达到残余屈服面时κ=κr，以后κ>κr，屈服面大小不再改变，相当于进入理想塑性阶段[12].
4 三轴试验结果与c(κ)和φ (κ)参数拟合 4.1 三轴试验结果试验所选用的砂岩样品取自长庆油田井中岩芯(采样深度858m)，样品为沉积作用形成的细砂岩.均质､新鲜､颗粒均匀，可认为是各向同性的岩石材料.参照岩石力学试验规范，试样为圆柱形，高径比为2∶1，直径30mm，高度60mm.端面与试样轴线的垂直度小于0.25°，两端面磨平，不平整度小于0.5%.
实验测试是在中国地质科学院地质力学研究所TAW2000电液伺服刚性岩石力学试验机上进行的.实验过程采用轴向应变ε1 控制.对承受不同等级的围压试件进行试验.实验采集的是轴向应力σ1 ､侧向应变ε2(=ε3).这些采集的量可视为控制变量ε1 的函数.长庆砂岩的实验结果如图 3所示.
|
图 3 砂岩的三轴试验曲线（岩芯取自长庆油田） Fig. 3 Triaxial testing curves of the sandstone from Changqing |
c(κ)和φ (κ)参数的拟合，可以分解为初始屈服点的确定､将全应力应变曲线转换为强度曲线､给定κ 值时c和φ 参数的计算､c(κ)和φ (κ)拟合等步骤.
为便于描述起见，用σ1s表述内变量κ 空间内的应力σ1.第一步，从试验曲线上确定初始屈服点，从而得到初始屈服应力σ1s0.初始屈服点的确定，要靠卸载后有无塑性变形去识别.如图 1的B 点就是初始屈服点.
由试验曲线图 3中可以看出对应于围压10MPa､20 MPa和40 MPa 时的初始屈服应力σ1s0分别为92.98 MPa､129.89 MPa和145.00 MPa.
第二步，将全应力应变曲线转换为强度曲线.在应变超过初始屈服应力σ1s0所对应的应变之后，轴向应变ε1 应包含弹性和塑性两部分ε1e､ε1p.对于任意指定的ε1，塑性应变从(5)式算出
|
(5) |
其中，侧向应变ε2(=ε3)是在实验过程中直接记录的.式(5)中的弹性应变为
|
(6) |
式中E，ν为材料的弹性常数，从实验曲线上量取，E取图 1中弹性段AB 的斜率，ν 为泊松比.轴向应力σ1s从全应力应变曲线上得出，围压σ2(=σ3)是预先设定的.
研究表明，岩石的微破裂以张性破裂为主[20]，因此本文内变量选用塑性体应变(扩容)形式，塑性应变分量可看作控制变量ε1 的函数，从它们计算的内变量κ 也是控制变量ε1 的函数.这样就建立了控制变量ε1 和内变量之间的对应关系:
|
(7) |
利用这个关系可将全应力应变曲线转换为强度与内变量κ的关系曲线，即强(软)化曲线，如图 4所示.
|
图 4 长庆砂岩三轴压缩强度σls 对内变量k的变化曲线 Fig. 4 The curves showing the change of triaxial compression strength σls over internal variable k |
第三步，给定κ 值时c和φ 参数的确定.应力空间表示的Mohr-Coulomb准则，即式(7)，可以改写为如下形式:
|
(8) |
|
(9) |
|
(10) |
K是σ1s-σ3 强度曲线(图 5)的斜率，称为围压影响系数，P是曲线的截距，Mohr-Coulomb准则的无侧限压缩强度.式(8)—(10)表明，在指定了内变量κ 的数值之后，K和P是常数，三轴压缩强度σ1s 是围压σ3 的线性函数.于是我们可用实验测试数据来拟合这个线性函数.
|
图 5 用试验资料(初始屈服点）拟合方程（7) Fig. 5 Simulation Eq. (7) derived from the testing data for initial yield point |
对任意指定的内变量κ*，我们可采集n对数据(σ3，i，σ1s ，i)，不同的i代表不同围压下的数据，绘制σ1s -σ3 曲线如图 5.图 5中为初始屈服点对应的实验数据.用最小二乘法来拟合线性方程(8)，可解出K和P，然后再利用方程(9)(10)解出c(κ* )，φ (κ* ).由于内变量κ* 是任选的，这样，我们就能得到在各个内变量κ下的粘聚力系数c(κ)和内摩擦角φ (κ).图 5中数据对应于初始屈服点(κ=0)，K=1.594，P=85.42，用方程(9)､(10)可解出c(0)=33.75，φ (0)=13.37.
对应不同的κ* ，可画出一系列的σ1s -σ3 曲线.求出不同内变量时的c(κ* )，φ (κ* ).
这样求出的长庆砂岩的c和φ 值随内变量κ 变化如表 1和图 6.
|
表 1
砂岩随内变量变化的c |
|
图 6 粘聚力c和摩擦角φ 值随内变量k的变化 Fig. 6 Curves showing change of c and φ over k |
第三步，c(κ)和φ (κ)的拟合.仅有随内变量κ 变化的c和φ 值还不够，需要求解c和φ 导数的情况.还需要拟合一个可导的函数，避免拐点出现奇点.由图 3､图 4和表 1可以提取出初始屈服､峰值屈服和残余屈服的三组参数:cin，φ in，κin;cp，φ p，κp;cr，φ r，κr.这些参数可以表述全过程应力应变曲线为四直线形式，此时强度曲线为三直线形式，如图 7所示.
|
图 7 线性化的全过程曲线（a)和强度曲线（b) Fig. 7 (a) Whole process curve and (b) strength curve |
当κ 取塑性体应变θp 的形式时，c(κ)的变化可用高斯曲线来拟合:
|
(11) |
式中，cr 表示残余粘聚力，cm 为常数，等于峰值粘聚力cp 与残余粘聚力cr 的差;θpep表示峰值强度对应的塑性体应变，塑性体应变取值θpep时，粘聚力达到最大，取值cp;并用ci 表示初始屈服粘聚力;ξ 表示胖度.
高斯拟合曲线如图 8.
|
图 8 粘聚力C随塑性体应变θp的变化拟合形态 Fig. 8 Simulation curve showing change of c overθp |
表 1中，
|
(12) |
内摩擦系数f为:
|
(13) |
(1) 全过程曲线涉及的是材料的稳定性，而要表示材料塑性强度的变化，需要采用强度曲线.三向压缩强度曲线的横坐标是内变量κ，它表征岩石材料内部结构的变化，如微破裂的出现和发展等等，因而材料的三轴压缩塑性强度与内变量有关.dσ1s /dκ >0表示材料是强化的;dσ1s /dκ ＜ 0 表示材料是软化的.岩石类材料，随κ 的增大，先是强化，后是软化，在峰值状态dσ1s /dκ = 0.强化与软化需要在强度-内变量空间内讨论.全过程曲线的横坐标ε1(应变)是一种外变量，与材料内部变化无关[21-27].
(2) 关于内变量κ 的定义问题.鉴于岩石类材料在工程条件下内部微破裂以张性为主[25]，所以我们采用塑性体应变(扩容)作为塑性内变量.也可采用其它形式，如:取等效塑性剪应变εps作内变量[28-29]:
|
(14) |
其中，$\varepsilon _{\text{m}}^{\text{p}}=\frac{1}{3}\left( \varepsilon _{1}^{\text{p}}+\varepsilon _{3}^{\text{p}} \right)$.显然εps是相对于平面应变情况定义的，在三轴试验中应将右端根号下第二项改为${{\left( \varepsilon _{2}^{\text{p}}-\varepsilon _{\text{m}}^{\text{p}} \right)}^{2}},\varepsilon _{\text{m}}^{\text{p}}=\frac{1}{3}\left( \varepsilon _{1}^{\text{p}}+\varepsilon _{2}^{\text{p}}+\varepsilon _{3}^{\text{p}} \right)$，因为三轴试验中试件是承受三向应变状态的.
(3) 卸载模量劣化影响.我们可以通过卸载时应力应变关系计算弹性模量即卸载模量.在岩石试件三轴压缩试验中进入塑性阶段后，卸载杨氏模量随塑性变形的发展而减小.前人将这种现象称为弹塑性耦合现象[5, 21]，本文称其为弹性模量的损伤劣化.
若考虑卸载模量劣化的影响，在前面用式(5)计算弹性应变时，应将模量E改为E(ε1).E(ε1)代表ε1 对应的卸载模量.由于E(ε1)呈现减少的趋势，计算得到的弹性应变部分变大，塑性应变部分变小，从而内变量κ 变小.文中未考虑.
(4) 各向同性强(软)化模型情况下，不同围压的强度曲线(图 4)峰值对应的内变量κ 应该相同或相近[30].可以取不同加载路径(即不同围压)的峰值内变量(κp)i 平均值作为材料的峰值内变量κp，用(κp)i 与κp 的偏差表示各向同性模型的精度，其中i代表围压的序号.
(5)Drucker-Prager屈服准则是Mohr-Coulomb六棱锥的外接或内切的圆锥，它的材料参数α 和κ 可用粘聚力c和内摩擦角φ 表示[31].Drucker-Prager屈服准则也是一种各向同性强化-软化的准则，也可用本文得到的结果c(κ)和φ (κ)表述α(κ)和φ (κ).
5.2 结 论(1) 本文给出了从三轴压缩资料确定岩石粘聚力c(κ)和内摩擦角φ (κ)随塑性内变量κ 变化的实验方法，并给出了长庆砂岩的c､φ 值实测结果.
(2) 可以将岩石全过程应力应变曲线简化为四直线形式，强度曲线为三直线形式.通过实验得到初始屈服､峰值屈服和残余屈服的三组重要参数:cin，φ in，κin;cp，φ p，κp;cr，φ r，κr.得到这些参数，可拟合强度曲线为连续可导函数，便于数值模拟程序的编写与开发.
它比三线性全过程曲线模型[32]，有广泛的适用性.三线性全过程曲线模型认为初值屈服点就是峰值屈服点，它没有考虑强化阶段，在某些工程的弹塑性计算中，这是不允许的;但如果仅对工程进行稳定性分析，则是完全可以的.
致谢研究工作得到殷有泉教授､王连捷研究员的悉心指导，深表感谢.感谢评审专家的建设性意见.
| [1] | Goodman R E. Introduction to Rock Mechanics (2nd ed). New York: John Wiley & Sons , 1989: 80-84. |
| [2] | 周维垣. 高等岩石力学. 北京: 水利电力出版社, 1990 : 46 -86. Zhou W Y. Advanced Rock Mechanics (in Chinese). Beijing: China Water Power Press, 1990 : 46 -86. |
| [3] | 殷有泉. 岩石力学与岩石工程的稳定性. 北京: 北京大学出版社, 2011 . Yin Y Q. Stability of Rock Mechanics and Rock Engineering (in Chinese). Beijing: Peking University Press, 2011 . |
| [4] | Griggs D T, Blacic J D. Quartz: Anomalous weakness of synthetic crystals. Science , 1964, 147(3655): 292-295. |
| [5] | Hansen F D, Carter N L. Creep of selected crustal rocks at 1000 MPa. EOS, Transactions, American Geophysical Union , 1982, 63(18): 437. |
| [6] | Chopra P N, Paterson M S. The experimental deformation of dunite. Tectonophysics , 1981, 78(1-4): 453-473. DOI:10.1016/0040-1951(81)90024-X |
| [7] | Mainprice P H, Paterson M S. Experimental studies of the role of water in the plastic of quartzites. J| Geophys| Res| , 1984, 89(B6): 4257-4269. |
| [8] | Ranalli G. Mantle rheology: radial and lateral viscosity variations inferred from microphysical creep laws. Journal of Geodynamics , 2001, 32(4-5): 425-444. DOI:10.1016/S0264-3707(01)00042-4 |
| [9] | 殷有泉, 黄杰藩, 王康平. 房山大理岩本构性质的实验研究. 岩石力学与工程学报 , 1993, 12(3): 240–248. Yin Y Q, Huang J F, Wang K P. Experimental study of constitutive behaviors of Fangshan marble. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering (in Chinese) , 1993, 12(3): 240-248. |
| [10] | Hobbs D W. The strength and the strain-strain characteristics of coal in triaxial compression. Journal of Geology , 1964, 72(2): 214-231. DOI:10.1086/626977 |
| [11] | Joseph T G, Barron K. The post-failure characteristics of rock. CIM Bulletin , 2003, 96(1070): 66-74. |
| [12] | Hobbs D W. The behavior of broken rock under triaxial compression. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics Abstracts , 1970, 7(2): 125-148. |
| [13] | 石耀霖, 曹建玲. 中国大陆岩石圈等效粘滞系数的计算和讨论. 地学前缘 , 2008, 15(3): 82–95. Shi Y L, Cao J L. Effective viscosity of China continental lithosphere. Earth Science Frontiers (in Chinese) , 2008, 15(3): 82-95. DOI:10.1016/S1872-5791(08)60064-0 |
| [14] | 姚存英, 陈颙, 殷有泉, 等. 具有割缝的大理岩试件破坏过程的有限元模拟. 地球物理学报 , 1988, 31(1): 42–52. Yao C Y, Chen Y, Yin Y Q, et al. Finite element simulation of fracture process of rock samples with a inclined slit. Chinese J| Geophys| (Acta Geophysica Sinica) (in Chinese) , 1988, 31(1): 42-52. |
| [15] | 殷有泉, 张宏. 模拟地震的应变软化的数学模型. 地球物理学报 , 1982, 25(5): 414–423. Yin Y Q, Zhang H. A mathematical model of strain softening in simulating earthquake. Chinese J| Geophys| (Acta Geophysica Sinica) (in Chinese) , 1982, 25(5): 414-423. |
| [16] | Brudy M, Zoback M D, Fuchs K, et al. Estimation of the complete stress tensor to 8 km depth in the KTB scientific drill holes: Implications for crustal strength. J| Geophys| Res| , 1997, 102(B8): 18453-18475. |
| [17] | Byerlee J. Friction of rocks. Pure Appl| Geophys| , 1978, 116: 615-626. |
| [18] | Hoek E, Brown E T. Practical estimates of rock mass strength. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences , 1997, 34(8): 1165-1186. DOI:10.1016/S1365-1609(97)80069-X |
| [19] | Hoek E, Franklin J A. Simple triaxial cell for field and laboratory testing of rock. Trans| Instn Min| Metall| , 1968, 77. |
| [20] | 王利, 高谦. 基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型. 北京科技大学学报 , 2008, 30(5): 461–467. Wang L, Gao Q. Elastoplastic model of damaged rock based on the strength theory. Journal of University of Science and Technology Beijing (in Chinese) , 2008, 30(5): 461-467. |
| [21] | 王仁, 殷有泉. 工程类岩石介质的弹塑性本构关系. 力学学报 , 1981(4): 317–325. Wang R, Yin Y Q. On the elasto-plastic constitutive equation of engineering rock-like materials. Acta Mechanica Sinica (in Chinese) , 1981(4): 317-325. |
| [22] | 李文婷, 李树忱, 冯现大, 等. 基于莫尔-库仑准则的岩石峰后应变软化力学行为研究. 岩石力学与工程学报 , 2011, 30(7): 1460–1466. Li W T, Li S C, Feng X D, et al. Study of post-peak strain softening mechanical properties of rock based on Mohr-Coulomb criterion. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering (in Chinese) , 2011, 30(7): 1460-1466. |
| [23] | 卢允德, 葛修润, 蒋宇, 等. 大理岩常规三轴压缩全过程试验和本构方程的研究. 岩石力学与工程学报 , 2004, 23(15): 2489–2493. Lu Y D, Ge X R, Jiang Y, et al. Study on conventional triaxial compression test of complete process for marble and its constitutive equation. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering (in Chinese) , 2004, 23(15): 2489-2493. |
| [24] | 周家文, 徐卫亚, 李明卫, 等. 岩石应变软化模型在深埋隧洞数值分析中的应用. 岩石力学与工程学报 , 2009, 28(6): 1116–1127. Zhou J W, Xu W Y, Li M W, et al. Application of rock strain softening model to numerical analysis of deep tunnel. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering (in Chinese) , 2009, 28(6): 1116-1127. |
| [25] | 赵永红, 黄杰藩, 王仁. 岩石微破裂发育的扫描电镜即时观测研究. 岩石力学与工程学报 , 1992, 11(3): 284–294. Zhao Y H, Huang J F, Wang R. Study of instantaneous observation of microcracks developing in SEM. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering (in Chinese) , 1992, 11(3): 284-294. |
| [26] | 葛修润, 任建喜, 蒲毅彬, 等. 岩土损伤力学宏细观实验研究. 北京: 科学出版社, 2004 : 153 . Ge X R, Ren J X, Pu Y B, et al. Macro-microscopic Experimental Research on Rock Damage Mechanics (in Chinese). Beijing: Science Press, 2004 : 153 . |
| [27] | 沈新普, 岑章志, 徐秉业. 弹脆塑性软化本构理论的特点及其数值计算. 清华大学学报(自然科学版) , 1995, 35(2): 22–27. Shen X P, Cen Z Z, Xu B Y. The characteristics of elasto-brittle-plastic softening constitutive theory and its numerical calculation. Journal of Tsinghua University (Science and Technology) (in Chinese) , 1995, 35(2): 22-27. |
| [28] | 张帆, 盛谦, 朱泽奇, 等. 三峡花岗岩峰后力学特性及应变软化模型研究. 岩石力学与工程学报 , 2008, 27(S 1): 2651–2655. Zhang F, Sheng Q, Zhu Z Q, et al. Study on post-peak mechanical behaviour and strain-softening model of three gorges granite. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering (in Chinese) , 2008, 27(S 1): 2651-2655. |
| [29] | 陆银龙, 王连国, 杨峰, 等. 软弱岩石峰后应变软化力学特性研究. 岩石力学与工程学报 , 2010, 29(3): 640–648. Lu Y L, Wang L G, Yang F, et al. Post-peak strain softening mechanical properties of weak rock. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering (in Chinese) , 2010, 29(3): 640-648. |
| [30] | Chen W F, Han D J. Plasticity for Structural Engineers. New York: Springer Verlag , 1988. |
| [31] | 周光泉, 陈德华, 席道瑛. 岩石连续损伤本构方程. 岩石力学与工程学报 , 1995, 14(3): 229–235. Zhou G Q, Chen D H, Xi D Y. The constitutive equation of continuum damage for rock. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering (in Chinese) , 1995, 14(3): 229-235. |
| [32] | 川本眺万等. ひずみ软化を考虑した岩盘掘削の解析. // 土木学会论文报告集.: , 1981: 107-118. Toshikazu K. An analysis of excavation in strain-softening rock mass. // Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers (in Japanese). : , 1981: 107-118. |