2012, Vol. 55
2. 中国国土资源航空物探遥感中心, 北京 100083;
3. 中国地质科学院, 北京 100037;
4. 中国地质大学(北京)地球物理与信息技术学院, 北京 100083
2. China Aero Geophysical Survey and Remote Sensing Center for Land and Resources, Beijing 100083, China;
3. Chinese Academy of Geological Sciences, Beijing 100037, China;
4. School of Geophysics and Information Technology, China University of Geosciences, Beijing 100083, China
大地电磁三维反演是国际地球内部电磁感应领域研究的前沿和热点问题[1].经过多年的发展，尤其是近十年的发展，已经取得许多重大成果[2-21]，每届的国际电磁讨论会上均有不少有关三维大地电磁反演的报告，爱尔兰都柏林AlanG.Jones 等近两年还发起了三维大地电磁反演竞赛，这些都极大地促进了三维大地电磁的发展，可以说三维大地电磁反演正处于蓬勃发展时期.
三维反演方法主要有共轭梯度极大似然反演[22]、数据空间反演[6-7, 16]、非线性共轭梯度反演[23]、积分方程反演[17]、拟线性近似反演[24]、人工神经网络反演[25]、快速松弛反演[2, 18]、蒙特卡罗类反演等[26].这些反演算法大多在合成数据的反演上较为成功，但离真正用于实际资料处理仍有一定距离.这主要是因为三维反演计算规模很大，计算时间很长，特别是随着勘探采集技术的提高，所用频点不断加密、频带不断加宽，数据频点数大大增加，再加上庞大的三维模型网格，对运算平台性能构成了巨大的挑战.特别是全三维反演更是普通微机难以承受的，这也是目前制约三维大地电磁反演推广使用的最大障碍.为了解决运算时间的问题，很多学者采用了近似灵敏度矩阵的思想来避免烦琐的偏导数计算，形成在“精度"与“时间"之间折中的所谓“快速三维反演"或“拟三维反演".这些近似三维反演虽然能给出三维电性结构，但并非真正意义上的全三维反演，它们只是使用了三维正演，在灵敏度矩阵的计算上仍然是非三维的.快速三维反演和拟三维反演在加快计算速度的同时必然会降低反演计算精度，容易得到虚假异常.因此要想获得更为可靠的地电断面，必须使用全三维反演技术，这也是走向高精度电磁处理解译的必经之路，而并行计算的出现使全三维反演真正实用化成为可能.
并行计算已成为地震勘探资料数据处理的主流，但在电磁领域各种研究和应用刚刚起步.在国外，Newman 和Alumbaugh 在1997 年运用并行计算来进行三维电磁成像[27]；Zyserman 和Santos在2000年实现了三维大地电磁有限元的并行计算[28].在国内，陈金窗、戴光明于1997年实现了基于PVM环境微机网络2.5维CSAMT 正演的并行计算[29]；谭捍东等于2005年实现了大地电磁三维正演的并行计算[30]，随后又实现了大地电磁三维RRI反演的并行计算[18]；2006 年刘羽等在并行虚拟机(PVM)上成功实现了二维大地电磁Occam 反演的并行计算[31-32]；同年陈露军、王绪本在MPI分布式网络并行编程环境下，在曙光TC4000 集群上实现了井地三维电磁数值模拟的并行计算；2010 年李焱、胡祥云将并行计算应用到大地电磁中取得了较好并行效果[33-35].这些都大大地推进了并行处理技术在地球物理电磁领域的发展.
三维数据空间算法是WeerachaiSiripunvaraporn在Occam 反演算法基础上改进提出的[7, 36]，该算法是基于Occam 反演策略的“数据空间法"版本，通过公式推导把模型迭代序列由原先的模型空间形式( M × M )计算和存储转化为数据空间形式( N × N )的计算和存储.在数据量( N )远小于模型量( M )的时候，该算法可以大大降低运算量和所需要的内存，相对其它近似三维反演方法，三维数据空间算法是真正意义上的严格三维反演，它使用全张量阻抗求解灵敏度矩阵，同时也可以计算只含非对角元素信息的反演.该转化方法同样也适用于其它地球物理勘探方法，如WeerachaiSiripunvaraporn 等还将数据空间方法应用于二维直流电反演中[37].尽管如此，三维数据空间算法的计算量还是很大的，特别是当测点和频点数较多、模型网格剖分较密时.因此对三维数据空间算法进行并行计算研究很有必要.本文首先简要介绍MPI和高性能并行平台，接着给出大地电磁三维数据空间反演算法的基本原理和三维数据空间反演的并行算法，最后通过理论模型对并行程序进行试算，并对比分析了不同节点机下程序的执行效率，测试结果表明本文所实现的大地电磁三维数据空间反演并行算法是可行的、高效的.
2 MPI和高性能并行平台简介MPI(MessagePassingInterface)是由全世界工业、科研和政府部门联合建立的一个消息传递编程标准，其目的是为基于消息传递的并行程序设计提供一个高效、可扩展、统一的编程环境，它是目前最为通用的并行编程方式，也是分布式并行系统的主要编程环境.MPI标准中定义了一组函数接口用于进程间的消息传递.编程人员通过调用MPI的库程序来编写并行程序.MPI是一种标准或规范的代表，而不特指某一个对它的具体实现，一个正确的MPI程序，可以不加修改地在所有的并行机上运行[38-39].
MPI并行程序可分为两种基本模式，即对等模式和主从模式.对等模式是指MPI程序的各个进程的功能、地位相同或相近，MPI程序的代码也应该是相近的，所不同的只是处理的对象和操作的数据.主从模式是指MPI程序的各个进程所起的作用和地位并不相同，一个或者一些进程完成一类任务，而另外的进程完成其它的任务，这些功能或者地位不同的进程所对应的代码也有较大的差别.
本文开发的大地电磁三维数据空间反演并行程序均在中国地质大学(武汉)曙光TC5000A 高性能计算平台上运行.该平台采用X86刀片集群服务器架构，整套系统包括92个计算节点、2台SMP8路计算节点、5个I/O、双作业调度系统和一台集群管理维护节点.节点间的通信连接采用20G 的Infiniband连接，管理网络采用1000M 以太网交换机连接，MPI层消息传递延迟小于1.5μs.SMP 服务器配置128G 的海量内存，每一个计算节点配置内存为16G，管理节点和作业调度节点配置16G 内存、每一个I/O 节点配置32G 内存；整个系统内存总容量是1936G.采用业界主流的x4 DDRInfiniband作为通信网络互联全部节点，点对点单向网络带宽达到线速20GB/s；提供适用于AMD 多核平台的全套编译、调试软件以及数学函数库，支持标准的Fortran/C/C++编程，支持OpenMP、MPI以及OpenMP 和MPI 的混合并行编程.曙光TC5000A 高性能计算平台性能强大、运算快捷、存储量大，完全满足本文的计算需求.
3 三维数据空间反演算法三维数据空间算法是WeerachaiSiripunvaraporn在Occam 反演方法基础上发展的[37]，通过数学推导将雅可比矩阵从原先的模型空间形式( M × M )计算和存储转换到数据空间形式( N × N )计算和存储.对于大多数光滑反演方法来说(如NLCG、GN)，对最佳模型的搜索是在模型空间中进行的，即在指定的误差范围内寻找满足拟合数据的最光滑模型，但当模型参数个数 M 很大的时候，模型空间中的搜索就显得十分困难，尤其是雅可比矩阵偏导数的计算量是相当大的.而数据空间算法充分利用通常情况下数据集个数 N 小于甚至远小于 M 这一特点，将模型空间搜索转移到数据空间中进行，从而极大地降低了反演运算的复杂性[40].数据空间算法的反演策略基于Occam 原理[37]，即将反演分为“达到目标拟合差"和“搜索最光滑模型"两个阶段.在基本的Occam 法中，这一策略通过寻找无约束泛函
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(1) |
的不动点来完成.其中，λ-1是用于折中的拉格朗日乘子， d 是观测数据向量， F [ m ]是模型响应， C d 是数据协方差矩阵， X * 是反演中用户事先设定的目标拟合差， m 是待求模型， m 0 是参考模型， C m 是模型协方差矩阵.
与其它反演方法不同的是，Occam 反演将λ 作为目标泛函的一个自变量，在每次迭代中均需要给λ 代入不同的值，搜索使拟合差最小的λ，当给定λ值时，(1)式可以简化为
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(2) |
这时 U ( m ，λ)和 W λ( m )有相同的解值，式(2)对 m 求导置零即可找到泛函 U 的不动点.在迭代寻优中，需要在每一步使用局部线性化，设当前模型为mk，则mk+1的响应为
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(3) |
其中 J k = (∂ F /∂ m ) k 是在模型 m k 处的 N × M 阶灵敏度矩阵.将(3)式代入(2)式，对 m 求导并置零，可以得到模型迭代序列
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(4) |
其中 
下面将模型空间的Occam 法改编为数据空间Occam 法.
已知第 k 次迭代的解可以表示为平滑灵敏度矩阵 C m J T 各行的线性组合，即
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(5) |
其中β k +1 是未知的基函数
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(6) |
其中数据空间叉积矩阵
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图 1 数据空间反演串行算法流程图 Fig. 1 Flow chart of serial inverse algorithm in data space |
大地电磁三维反演耗费时间很长，其中灵敏度矩阵的计算占据了很大的开销，因此实现灵敏度矩阵的并行是整个并行计算的关键.通过对原串行算法进行深入分析可发现，灵敏度矩阵的计算是针对每个频率分别进行的，各个频点间的计算相互独立，互不影响，因此可以采用分频并行计算的思想.除了计算时间长外，灵敏度矩阵需要的存储也大得惊人，因此不仅要对灵敏度矩阵的计算进行并行，而且还要对灵敏度矩阵的存储并行.
计算并行:主进程根据节点数、频点数进行数据分组，包括主进程在内的每个进程计算各自频率对应的灵敏度矩阵(如有12 个频点从大到小排序，4个节点机，则第一个节点机计算频点数为1、5、9 对应的灵敏度矩阵，以此类推).全部频率计算完后，每个节点机存储自己的灵敏度矩阵，为了减少数据通信量，提高并行效率，子进程不需要将各自频率对应的灵敏度矩阵计算结果发送给主进程，而是直接参与后面叉积矩阵、模型改正量的计算.
存储并行:灵敏度矩阵除了计算时间长外，所需要的内存存储也很大，规模大的数据存储对常规的PC 机来说是巨大的挑战，因此实现灵敏度矩阵存储并行也是很重要的一环.经过测试，按上述方案并行后，每个节点机只需要存储原来灵敏度矩阵大小的2/ N ( N 是参加计算的节点机个数).
4.2 叉积矩阵的并行在数据空间反演中，叉积矩阵的计算占整个计算量的5%左右，随着反演规模的扩大会有所增加.当矩阵数很大时，计算时间较长，采用并行计算便有意义了.矩阵并行方法有行列划分算法、行行划分算法、列列划分算法、列行划分算法、Cannon 算法等[38]，本研究采用常用的行列划分算法.将矩阵 A 按行划分为 p 块( p 为处理器个数)，对矩阵 B 按列划分为 p 块，即如下所示:
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其中 C i，j 是 m × n 矩阵.A i 、 B i 和 C i ， j ( i ， j =0，1，…， p -1)存放在 P i 中，这种矩阵存储方式使数据在处理器中不重复.由于使用了 p 个处理器，每次每个处理器计算出一个 C l ， C 需要完成 p 次计算.C i ， j 是按照对角线方式进行计算的，算法按如下方式进行:
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在这个算法中， C l = C myid, l ， A = A myid, B 在处理器中每次循环向前移动一个处理器，交换次数为 p -1次，并做 p 次子矩阵相乘运算，就生成了矩阵 C 的所有子矩阵.
确定好各部分的并行算法后，即可得到总体的并行方案，图 2为大地电磁三维数据空间反演并行算法流程图.
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图 2 数据空间反演并行算法流程图 Fig. 2 Flow chart of parallel inverse algorithm in data space |
为了对开发的大地电磁三维数据空间反演并行算法的可行性和高效性进行验证，我们设计了两个理论模型，并用其合成数据在曙光TC5000A 高性能计算平台上进行试算.
5.1 模型一:三维棱柱体模型设计的三维棱柱体模型如图 3所示，几何尺寸为10km×10km×5km,电阻率为1Ωm,顶面埋深为500m,围岩电阻率为100Ωm.数据有25个测点，采用全张量阻抗反演(即 Z x x 、 Z x y 、 Z y x 、 Z y y 全部参加反演)，数据加入的随机误差取.Z x y Z y x .1/2 的5%，网格剖分为 N x =34， N y =34， N z =26，频点数为16个(从320Hz到0.005Hz)，目标均方根拟合差设为1，初始模型为50Ωm 的均匀半空间，迭代6次反演终止，数据拟合差为0.98，图 4 为反演结果在不同深度上的切片图，图 5 为反演结果在不同剖面上的垂直断面图.从图中可以看出，反演得到的地电模型很好地反映了异常体的形态和位置.图 6 为反演过程中迭代次数与数据拟合差RMS 的关系，前三次迭代拟合差下降较快，达到了给定拟合差范围，此为数据空间反演第一阶段；后三次迭代在满足拟合差的前提下，尽量减少模型范数使模型更光滑，此为数据空间反演的第二阶段.
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图 3 三维棱柱体模型 (a)模型在 y =-10~10km 间垂直方向断面图；(b)模型在 z =0.5~5.5km 间平面俯视图. Fig. 3 Model I： 3D prism-model (a) Vertical section of model at ^= -10〜10 km； ；b) Plane section of model at z=0.5〜5.5 km. |
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图 4 模型一的反演结果在不同深度的水平截面图 “·”表示测点位置. Fig. 4 Horizontal slice of inversion results for model I at different depths “ • ”denotes MT site. |
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图 5 模型一的反演结果在 x =0处(a)和 y =0处(b)的垂直断面图 Fig. 5 Vertical section of inversion resultsformodel I.The left is at x =0，while the right isat y = 0 |
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图 6 反演迭代拟合差曲线图 Fig. 6 The RMS misfit for the inversion |
设计的楔形体复杂模型如图 7所示:(a)中左边块状体电阻率为1000Ωm,右边块状体电阻率10Ωm；(b)中左右两边块状体电阻率和(a)相同，不同的是中间对角线处有一电阻率为1Ωm 的楔形块状体，台阶长高均为2km；(c)中是电阻率为100Ωm 的均匀半空间.和模型一相同，数据有25个测点，采用全张量阻抗反演(即 Z x x 、 Z x y 、 Z y x 、 Z y y 全部参加反演)，数据加入的随机误差取.Z x y Z y x .1/2 的5%，网格剖分为 N x =34， N y =34， N z =26，频点数为16 个(从320Hz到0.005Hz)，初始模型为100Ωm 的均匀半空间，迭代10次反演终止，数据拟合差为3.203，图 8为反演结果在不同深度上的切片图，图 9 为反演结果在 x =0处的垂直断面图.从图中可以看出，反演得到的地电模型较好地反映了真实模型的形态和位置分布.
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图 7 楔形体复杂模型 (a)模型在 z =0~0.5km 间平面俯视图；(b)模型在 z =0.5~5km 间平面俯视图；(c)模型在 z =5km 以下平面俯视图. Fig. 7 Model Ⅱ： 3D model with complex wedge body (a) Plane section ofmodel Ⅱ at z= 0〜0.5 km； (b) Plane section ofmodel Ⅱ at z= 0.5〜5 km；(c) Plane section of model Ⅱ at z>-5 km. |
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图 8 模型二的反演结果在不同深度的水平截面图 “·”表示测点位置. Fig. 8 Horizontal slice of inversion results for model I at different depths “ • ”denotes MT site |
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图 9 模型二的反演结果在 x =0处的垂直断面图 Fig. 9 Vertical section of inversion results for model Ⅱ at x = 0 |
为了检验开发的大地电磁三维数据空间反演并行算法的效率，我们采取不同的节点数来计算模型二，并通过加速比和并行效率来评价并行算法的效果.并行加速比= 单机串行算法的执行时间/ N 个进程并行算法的执行时间；并行效率= 并行加速比/参加并行计算的进程个数.表 1为楔形体复杂模型串行算法和并行算法反演测试时间统计表.
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表 1 楔形体复杂模型反演测试时间统计表 Table 1 Statistical runtime of inversion for model Ⅱ |
对表 1进行分析可知，随着节点数的增加，并行加速比逐渐增大，节点数为4 和8 时，加速比达到3.23和5.69，计算时间减少了很多，这给反演工作带来了很大的方便，不需要再耗很长时间就能得到反演结果.但是同时也看到，并行效率逐渐降低，尤其是8个节点时，并行效率只有71.12%，这是因为随着节点数的增多，节点间通信时间所占的比例逐渐增大，并行效率逐渐下降.因此如何减少节点间通信量是并行程序开发的关键.另外，一个节点的并行计算时间要比同一节点的串行计算时间要长，这是因为节点内有少量的通信以及一些管理上的开销.从表 1中总体上可以看出并行计算的效果还是很明显的，它能有效解决三维反演运算量大和所需内存大的问题.
6 结论本文在曙光TC5000A 高性能计算平台上实现了基于MPI的大地电磁三维数据空间反演并行算法.该算法采用分频和矩阵行列划分的大粒度并行反演方案，实现了包括三维正演、灵敏度矩阵、叉积矩阵以及模型改正量的并行执行，不仅加快了计算速度，而且减少了内存开销，使计算和存储都实现了并行.通过对两个理论模型合成数据进行并行反演试算和分析，结果表明，大地电磁三维数据空间反演并行算法是可行的、高效的，通过选择合适的并行机数，能获得较好的并行加速比和并行效率，很好地解决了大地电磁三维反演计算速度和存储问题，极大地推动了大地电磁三维反演的实用化.
致谢感谢泰国玛希隆大学WeerachaiSiripunvaraporn教授提供的大地电磁三维反演串行源程序.感谢中国地质大学(武汉)提供的曙光TC5000A 高性能计算平台.感谢审稿人提供的宝贵修改意见.
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