2. 中国石油化工股份有限公司江苏油田分公司物探技术研究院, 南京 210046
2. Geophysical Prospecting Technology Research Institute of Jiangsu Oilfield Subsidiary Company, Nanjing 210046, China
相对于基于射线理论的Kirchhoff积分法叠前深度偏移[1-4],波动方程方法采用描述地震波在复杂介质中传播的波场延拓算子进行偏移成像,物理概念清晰,从根本上解决了多路径问题以及速度变化所引起的焦散效应,潜在的更稳健、更精确[5-9].但传统的波动方程叠前深度偏移是一种定性的方法,它以构造成图为主要目标,满足于得到地下反射的位置.这类方法能够确保正确的走时,且能准确描述出地震波的运动学传播过程.但它的缺陷在于忽略了速度纵横向变化引起的地震波振幅改变.因此,它只能相对保持振幅,并不能在动力学上准确描述地震波的传播过程.保幅地震偏移成像方法能够定量分析地下的物性参数,使用这种方法不仅能得到正确的走时信息,实现正确的构造成像;而且能够提供真实的振幅,从而为后续的AVO/AVA 等地震属性分析提供更加准确的信息[10-16].基于张关泉[17]提出的波场解耦思想,张宇等[18-20]利用保幅波场分解和校正地表的初值条件推导出了保幅单程波动方程,并且证明了在高频渐进近似条件下其等价于Kirchhoff保幅偏移;吕彬等[21]探讨了保幅型裂步傅里叶叠前深度偏移方法的理论及应用;刘定进等[22]针对波动方程保幅偏移进行了傅里叶有限差分算子推导;叶月明等[23]研究了地表复杂、地下复杂“双复杂"介质条件下的频率空间域有限差分法保幅偏移算法;崔兴福等[24]讨论了非均匀介质中波动方程混合法保幅偏移;Zhang等[25]针对波动方程保幅偏移的成像条件进行了仔细的研究,并将它拓展到角度域成像.
本文首先从张宇等推导出的保幅单程波动方程出发;然后对两个主要的拟微分算子进行渐进展开,并对可能出现的奇异点进行泰勒展开近似处理,从而推导出波动方程保幅叠前深度偏移的非稳态相移公式.接下来,本文通过一系列数学物理近似推导出波动方程保幅叠前深度偏移的高阶广义屏形式;然后针对散射波场计算项对于横向变速介质的不稳定性,提出了一个有效提高稳定性的数学策略,并最终得到一个稳定的保幅高阶广义屏叠前深度偏移算子.该偏移算子兼顾了波动方程保幅理论的先进性和双域方法的实用性,兼具了傅立叶变换方法、有限差分方法各自的优点,可以自适应于介质的复杂性,是对传统方法的有效改进.模型数值试验和实际资料试处理表明,该方法不但可以使散射能量聚焦、归位,提高成像精度;而且可以输出正确反映地下反射系数的振幅信息,使AVO 响应更加清晰,提高了AVO 分析的精度,从而将AVO 这样一个具有先进理论水平的技术推广到复杂介质区域.
2 理论原理 2.1 保幅的单程波动方程在密度恒定的各向同性完全弹性介质中,地震波的传播波场p满足如下的双程声波方程:
(1) |
其中
从数学物理方程求解的角度,把双程波动方程分裂为某一主要传播方向上的单程波动方程是可能的.在地震勘探中,介质特性在深度方向的变化最突出,因此可以将双程波动方程以垂向为优势方向进行分裂,得到单程的上、下行波动方程.在张关泉的保幅解耦思想指导下张宇等推导出如下的保幅单程波动方程:
(2) |
其中:
式(2)由传播项与散射项构成的单程波动方程在走时与首阶振幅上满足全声波方程对应的程函方程与输运方程,充分考虑了介质参数变化对地震波振幅的改造,既保持了声波方程(1)的运动学特征,又保持了它的动力学特征,可以用做保幅叠前深度偏移的波场传播算子.
2.2 指数项Λ 的展开式指数项Λ 的频率-波数域形式为
(3) |
其中
假定v0 =v0(z)为背景速度,它在层内是一常数.指数项Λ 可表示为
(4) |
其中
(5a) |
(5b) |
(5c) |
在参考速度v0 不超过同一深度所有速度的情况下,将式(4)中的平方根关于变量
(6) |
其中αI是泰勒级数展开式的系数,即αI=
(7) |
其中
(8) |
指数项Γ 的频率-波数域形式为
(9) |
利用参考速度v0,指数项Γ 可表示为
(10) |
其中,大括号内的两项可分别进行泰勒展开:
(11) |
(12) |
把式(11)、式(12)代入式(10),就得到:
(13) |
因此,Γ 可展开为
(14) |
其中:
(15a) |
(15b) |
Γ2 = ΣMI=1v′2vk2I-v′02v0k2I() 0k2x+k2 () yI.(15c)
2.4 奇异点处理式(8)中的分母Λ0 项接近零时会出现数值奇异现象,我们利用泰勒展开对式(8)进行近似来解决数值奇异问题:
(16) |
其中
(17) |
以下行压力波场为例,方程(2)的逐层延拓非稳态公式为:
(18) |
式(18)中的第一个方程对应传统炮域叠前波场延拓的非稳态相移公式,它保证了走时信息的正确性,可以从运动学上准确描述地震波的传播过程.而第二个方程对由于介质参数变化带来的振幅改造进行恢复,以体现其动力学特征.下面我们分别对这两个方程进行近似简化.
方程一:
(19) |
其中1+iΔzΛ1 是eiΔzΛ1 的泰勒级数展开式的前两项.
为简化起见,用FT[*]表示沿x、y 方向的二维傅立叶变换.将式(19)代入到式(18)的第一个方程,并利用式(5a)和式(16),整理后,可得波场
(20) |
其中
(21) |
(22) |
方程二:
(23) |
其中1+ΔzΓ2 是eΔzΓ2 的泰勒级数展开式的前两项.则有
(24) |
其中
(25) |
式(24)就可以写成如下形式:
(26) |
其中
(27) |
(28) |
在保幅叠前深度偏移的高阶广义屏外推算子方程中,针对散射波场的计算公式(22)由于采用了小扰动近似,在速度强横向变化或高频时会出现不稳定性,尽管减小延拓步长在一定程度上会提高稳定性,但与此同时会大大增加计算成本.陈生昌等[26]认为造成这种不稳定性的因素主要是由参数项
(29) |
这样,用式(29)代替(22)计算散射波场,就得到了本文稳定的保幅高阶广义屏叠前深度偏移算子方程,有效地提高了屏算子的稳定性,而且在一定程度上提高了计算效率.
3 脉冲响应我们首先通过在均匀介质中的脉冲响应测试本文保幅屏算子的归位能力和保幅性能.介质真实速度参数为v=5000 m/s, 点脉冲在均匀介质中波前能量扩散的理想轨迹应为圆弧,在某个时刻为半圆,而且在各个方向上波前振幅比较均衡.图 1a为参考速度为v0=5000m/s(无速度扰动)一阶广义屏(对应裂步傅里叶)算子的脉冲响应,图 1e为保幅方法的脉冲响应,图 1i为两个脉冲响应的归一化波前峰值振幅曲线,可以看到在相位上两者一致,都与理论曲线一致(图中虚线),但在振幅上本文保幅偏移方法相对于传统偏移方法而言更准确.图 1b为参考速度选v0=3000m/s时一阶广义屏算子的脉冲响应,图 1f为保幅方法的脉冲响应,图 1j为两个脉冲响应的归一化波前峰值振幅曲线;图 1c为参考速度选v0=3000m/s时二阶广义屏算子的脉冲响应,图 1g为保幅方法的脉冲响应,图 1k为两个脉冲响应的归一化波前峰值振幅曲线;图 1d 为参考速度选v0=3000m/s时高阶广义屏算子的脉冲响应,图 1h 为保幅方法的脉冲响应,图 1l为两个脉冲响应的归一化波前峰值振幅曲线.从相位上来看,由一阶广义屏到二阶广义屏再到高阶广义屏,随着阶数的增加,传播算子有越来越好的宽角行为,其响应越来越接近于半圆,精度越来越高;从振幅上来看,本文保幅偏移方法相对于传统偏移方法而言,各个方向上波前振幅更加均衡,这与点脉冲在均匀介质中波前能量扩散的实际情况更加吻合.
Marmousi2模型是Gray(2004)为研究复杂构造条件下成像方法对AVO 分析适用性的影响而设计的,是经典Marmousi模型的一个升级版,图 2a为该模型的泊松比剖面.
我们分别对Marmousi2 模型的合成数据进行了保幅的Kirchhoff叠前时间偏移处理(PSTM)、保幅的Kirchhoff叠前深度偏移处理(PSDM)和本文稳定的保幅高阶广义屏(PSDM)处理.Kirchhof-PSTM 剖面(图 2b)在平层区域和小倾角区域(这些区域速度横向变化不大)成像还是比较好的.但随着横向变速的增大,像的品质逐渐降低,尤其是在模型的复杂部分,成像效果变得很糟,同时在复杂构造以下的深部出现了一些与深时转换相关的人为因素.Kirchhoff-PSDM 剖面(图 2c)在大部分区域都获得了非常好的像,地层的深度和横向位置都与模型匹配得比较好,在浅中层像的品质比较高,断层归位也很好;但在模型的中心区域(泥灰背斜和不整合下的背斜),偏移得到的像非常糟,且振幅也变得很弱,可以看到一些信噪比较低的反射层响应.本文稳定的高阶广义屏PSDM 剖面(图 2d)在模型的大部分区域成像与Kirchhoff-PSDM 结果相近,但其在模型中部复杂区域偏移成像结果更好,剖面整体的分辨率与信噪比都有较大提高.在空间上几乎所有的同相轴都与速度场匹配得很好,能够正确归位,拥有更加清晰的断层面.在Kirchhoff-PSDM 剖面上,模型中部区域、深层区域等地质构造是非常模糊的,但这些构造在本文方法获得的剖面上刻画得非常好.
4.2 道集AVO分析这里分析选用了三个代表性的含气砂岩,图 2a黑线所指是目标处理的含气砂岩的位置,图上的A、B、C 为自定义的含气砂岩代号.
4.2.1 含气砂岩A图 3是对在CDP606 位置的含气砂岩A 进行的AVO 响应研究.图 3a为理论AVO 曲线,图 3b至d 分别为Kirchhoff-PSTM、Kirchhoff-PSDM 和本文高阶广义屏PSDM 得到的共成像点道集以及对应的归一化波前峰值振幅曲线(对应含气砂岩的顶).可以看到三种方法都能观测到与理论响应非常匹配的AVO 现象,气藏的顶界面和底界面都是亮点现象.对应砂岩顶的地震同相轴,振幅随炮检距逐渐略微增大,由于该砂岩埋藏比较浅而平缓,即使Kirchhoff-PSTM 共成像点道集也能得到比较理想的结果,而Kirchhoff-PSDM 和本文的广义高阶屏PSDM方法精度更高,能得到更加准确反映AVO关系的共成像点道集.对应砂岩底的地震同相轴,振幅随着炮检距稍有增大(显示相反极性),在近道Kirchhoff-PSTM 共成像点道集是比较理想的,但随着炮检距的增大情况变得越来越差,同相轴也变得不准确.KirchhoffPSDM 与Kirchhoff-PSTM 类似,但它提高了中远炮检距的精度;而本文高阶广义屏PSDM 共成像点道集比前几种道集更加理想,道集校得更平,AVO 特征也变的更清晰准确,用该道集进行AVO 分析最理想.
图 4是对在CDP2066位置的含气砂岩B 进行的AVO 响应研究.图 4a为理论AVO 曲线,图 4b至d 分别为Kirchhoff-PSTM、Kirchhoff-PSDM 和本文高阶广义屏PSDM 得到的共成像点道集以及对应的归一化波前峰值振幅曲线(对应含气砂岩的顶).可以看到,Kirchhoff-PSTM 共成像点道集只有比较少的几个近道可以探测到砂岩的顶和底,并且可以观察到与理论一致的AVO 现象,到了中远炮检距以后,由于经过比较复杂的地质构造,同相轴越来越不平,而且位置也有较大偏差.而Kirchhoff-PSDM 和广义高阶屏PSDM 提供了令人满意的共成像点道集,砂岩的顶和底都可以追踪到,振幅随炮检距中等增大,与理论响应非常吻合,相比而言,本文高阶广义屏方法效果更好.
图 5是对在CDP2168 位置的含气砂岩C 进行的AVO 响应研究.图 5a为理论AVO 曲线,图 5b至d 分别为Kirchhof-PSTM、Kirchhoff-PSDM 和本文高阶广义屏PSDM 得到的共成像点道集以及对应的归一化波前峰值振幅曲线(对应含气砂岩的顶).由于该含气砂岩所在位置比较深,而且构造也比较复杂,所以成像比较困难.Kirchhoff-PSTM 剖面在该位置的成像品质就比较差,而共成像点道集更是仅仅在小炮检距道观察到一些非常微弱的同相轴,尽管因为叠前时间偏移的理论局限性导致校正的不是很平,但还是隐隐可以探测与理论曲线一致的AVO 现象,振幅随炮检距逐渐增大;Kirchhoff-PSDM 共成像点道集的小炮检距同相轴校正得很平,也能够观察到比较理想的AVO 特征,但能量仍然非常弱,而在中、远炮检距则情况更糟.然而在高阶广义屏PSDM 共成像点道集上我们可以探测到比较理想的同相轴,虽然从振幅曲线上看有一些误差,但整体上看还是能观察到与理论曲线吻合得比较好的AVO 现象.
应用本文保幅偏移方法在东部地区某3D 工区进行了试处理.相对于传统偏移剖面(图 6a),本文保幅偏移方法获得的剖面(图 6b)成像效果明显改善,分辨率和信噪比在整体上均得到明显提高,构造细节刻画得更加清晰,使得地层构造形态明晰可辨.尤其是剖面中部火成岩上方的内幕成像得到明显改善(图 7),火成岩下方地层的成像归位更加准确合理,资料更加丰富,波组特征更加清楚(图 8)
本文在数值算法实现上兼顾了傅里叶变换方法和有限差分方法两者的优点,基于反问题求解中常用的摄动理论,将层速度场分解为背景常速与扰动变速,分别求得背景场与扰动场的偏移时移量及振幅校正系数,从而得到波动方程保幅叠前深度偏移算子的高阶广义屏形式.而稳定的策略有效地改善了散射波场计算中小扰动近似带来的对于横向变速介质的不稳定性.经典模型试算和实际资料处理表明,该方法不但具有较高的成像精度,使散射能量聚焦、归位,提供高品质的叠加剖面;而且可以输出正确反映地下反射系数的振幅信息,为AVO 分析提供的更精确的共成像点道集,从而为AVO 技术的发展开辟了更宽广的领域.
[1] | Bevc D. Imaging complex structures with semirecursive Kirchhoff migration. Geophysics , 1997, 62: 577-588. DOI:10.1190/1.1444167 |
[2] | Sun H, Gerard S. Wavepath migration versus Kirchhoff migration. 69th Annul Internat. Mtg. Soc.Expl.Geophys., Expanded Abstracts, 1999. http://cn.bing.com/academic/profile?id=2088183602&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn |
[3] | 张廉萍, 刘洪. 适于Kirchhoff叠前深度偏移的地震走时李代数积分算法. 地球物理学报 , 2010, 53(8): 1893–1901. Zhang L P, Liu H. Lie algebra integral algorithm of travel-time calculation for pre-stack Kirchhoff depth migration. Chinese J. Geophys (in Chinese) (in Chinese) , 2010, 53(8): 1893-1901. |
[4] | 王华忠, 蔡杰雄, 孔祥宁. 适于大规模数据的三维Kirchhoff积分法体偏移实现方案. 地球物理学报 , 2010, 53(7): 1699–1709. Wang H Z, Cai J X, Kong X N. An implementation of Kirchhoff integral prestack migration for large-scale data. Chinese J. Geophys (in Chinese) (in Chinese) , 2010, 53(7): 1699-1709. |
[5] | Stolt R H. Migration by Fourier transform. Geophysics , 1978, 43: 23-48. DOI:10.1190/1.1440826 |
[6] | Ober C C, Oldfield R A,Womble D E. Practical aspects of prestack depth migration with finite-difference. 67th Ann. Mtg., Soc.Expl. Geophys., Expanded Abstracts, 1997. http://cn.bing.com/academic/profile?id=2050554724&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn |
[7] | Stoffa P L, Fokkema J, Luna Freire, et al. Split step Fourier migration. Geophysics , 1990, 55(4): 410-421. DOI:10.1190/1.1442850 |
[8] | 符力耘, 孙伟家, 李东平. 退化的Fourier偏移算子及其在复杂断块成像中的应用. 地球物理学报 , 2007, 50(4): 1241–1250. Fu L Y, Sun W J, Li D P. Degenerate migrators for imaging fault-related complex structures. Chinese J. Geophys (in Chinese) (in Chinese) , 2007, 50(4): 1241-1250. |
[9] | 张剑锋, 卢宝坤, 刘礼农. 波动方程深度偏移的频率相关变步长延拓方法. 地球物理学报 , 2008, 51(1): 221–227. Zhang J F, Lu B K, Liu L N. Frequency-dependent varying-step depth extrapolation scheme for wave equation based migration. Chinese J. Geophys (in Chinese) (in Chinese) , 2008, 51(1): 221-227. |
[10] | Thierry P, Lambaré G, Podvin P. 3D prestack preserved amplitude migration: Application to real data. 66th Ann. Internat. Mtg. Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts, 1996: 555-558. http://cn.bing.com/academic/profile?id=2054282808&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn |
[11] | Hanitzsch C. Comparison of weights in prestack amplitude-preserving depth Migration. Geophysics , 1997, 62: 1812-1816. DOI:10.1190/1.1444282 |
[12] | Gray S. True-amplitude seismic migration: A comparison of three approaches. Geophysics , 1997, 62: 629-638. |
[13] | Ekren B O, Ursin B. True-amplitude frequency-wavenumber constant-offset Migration. Geophysics , 1999, 64: 915-924. DOI:10.1190/1.1444599 |
[14] | 张平平, 常旭. 保幅偏移中的权函数. 地球物理学进展 , 2006, 21(1): 203–207. Zhang P P, Chang X. The weight functions of amplitude-preserving migration. Progress in Geophysics (in Chinese) , 2006, 21(1): 203-207. |
[15] | 刘伊克, 常旭, 卢孟夏. 目标函数叠前保幅偏移方法与应用. 地球物理学报 , 2006, 49(4): 1150–1154. Liu Y K, Chang X, Lu M X. Objective function prestack amplitude preserving migration and its application. Chinese J. Geophys (in Chinese) (in Chinese) , 2006, 49(4): 1150-1154. |
[16] | 徐升, GillesLambaré. 复杂介质下保真振幅Kirchhoff深度偏移振幅. 地球物理学报 , 2006, 49(5): 1431–1444. Xu S, Gilles Lambaré. True amplitude Kirchhoff prestack depth migration in complex media. Chinese J. Geophys (in Chinese), (in Chinese) , 2006, 49(5): 1431-1444. |
[17] | 张关泉. 波动方程的上行波和下行波的耦合方程组. 应用数学学报 , 1993, 16(2): 251–263. Zhang G Q. System of coupled equations for down going and upcoming waves. . Acta Math. Appl. Sin. (in Chinese) (in Chinese) , 1993, 16(2): 251-263. |
[18] | Zhang Y, Zhang G. Theory of true amplitude common-shot migration. 72nd Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys. Expanded Abstracts, 2002: 2471-2474. http://cn.bing.com/academic/profile?id=2088257903&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn |
[19] | Zhang Y, Sun J, Gray S, et al. Towards accurate amplitudes for one-way wavefield extrapolation of 3-D common shot records. 71st Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys. Workshop, 2001. http://cseg.ca/assets/files/resources/abstracts/2003/168S0129.pdf |
[20] | 张宇. 振幅保真的单程波方程偏移理论. 地球物理学报 , 2006, 49(5): 1410–1430. Zhang Y. The theory of true amplitude one-way wave equation migration. Chinese J. Geophys (in Chinese) (in Chinese) , 2006, 49(5): 1410-1430. |
[21] | 吕彬, 王宇超, 李斐. 保幅型裂步傅里叶叠前深度偏移方法探讨. 岩性油气藏 , 2007, 19(3): 101–105. Lü B, Wang Y C, Li F. Research and application of amplitude-preserved split-step Fourier prestack depth migration. Lithologic Reservoirs (in Chinese) (in Chinese) , 2007, 19(3): 101-105. |
[22] | 刘定进, 印兴耀. 傅里叶有限差分法保幅叠前深度偏移方法. 地球物理学报 , 2007, 50(1): 269–277. Liu D J, Yin X Y. A method of Fourier finite-difference preserved-amplitude prestack depth migration. Chinese J. Geophys (in Chinese) (in Chinese) , 2007, 50(1): 269-277. |
[23] | 叶月明, 李振春, 仝兆岐. 双复杂介质条件下频率空间域有限差分法保幅偏移. 地球物理学报 , 2008, 51(5): 1511–1519. Ye Y M, Li Z C, Tong Z Q. Preserved-amplitude migration with dual-complexity. Chinese J. Geophys (in Chinese) (in Chinese) , 2008, 51(5): 1511-1519. |
[24] | 崔兴福, 张关泉, 吴雅丽. 三维非均匀介质中真振幅地震偏移算子研究. 地球物理学报 , 2004, 47(3): 509–513. Cui X F, Zhang G Q, Wu Y L. True amplitude seismic migration operator in 3-D heterogeneous medium. Chinese J. Geophys. (in Chinese) , 2004, 47(3): 509-513. DOI:10.1002/cjg2.v47.3 |
[25] | Zhang Y, Xu S, Zhang G Q, et al. How to obtain true amplitude common-angle gathers from one-way wave equation migration. 74th Ann. Internat, Mtg: Soc. of Expl. Geophys. 1021-1024. http://cn.bing.com/academic/profile?id=1978568759&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn |
[26] | 陈生昌, 曹景忠, 马在田. 稳定的Born近似叠前深度偏移方法. 石油地球物理勘探 , 2001, 36(3): 291–296. Chen S C, Cao J Z, Ma Z T. Stable pre-stack depth migration method with Born approximation. OGP(in Chinese) (in Chinese) , 2001, 36(3): 291-296. |