地震各向异性早在20 世纪初就为人们所了解^[1]，但受其理论复杂性和当时的观测条件所限，在相当长的时间里人们都将各向异性当作是一种障碍而非有用的信息.后来，在实际观测中发现了地震波速度方位各向异性^[2]和横波分裂^[3]等各向异性介质中特有的现象以后，人们认识到各向异性在地球介质中是普遍存在的，而且各向异性的效应不容忽视，同时，人们也开始意识到地震各向异性的应用前景.在过去的二十多年里，有关各向异性的理论研究、数值模拟和实际资料处理方法迅速发展，并成功应用于提高成像质量、鉴别岩性、裂隙检测等众多方面^[4-14].如今，地震各向异性已经成为了地震勘探领域一个非常活跃的研究方向.

目前的各向异性资料处理方法主要针对横向各向同性(TI)介质，并且通常假定TI介质的对称轴是垂直的(VTI)或者水平的(HTI)，其主要原因是VTI介质和HTI介质的理论公式和处理方法相对简单，而对称轴倾斜的TI介质(TTI，也有人称之为ATI)和低对称系各向异性介质的理论和方法远比VTI介质和HTI 介质复杂.地震勘探中常见的VTI介质是水平叠层引起的长波长等效VTI介质，常见的HTI介质是定向排列的直立裂隙引起的等效HTI介质，但构造活动和局部应力异常可能导致地层和裂隙倾斜，因此实际TI介质的对称轴并不一定垂直或者水平，VTI和HTI假设并不足以满足实际需要，更多的情况属于TTI介质^[14-19].近年来，已有一些关于TTI介质的研究发表.Tsvankin的研究小组^[15-19]对TTI介质速度分析做了较多的研究.郝重涛和姚陈^[20-22]研究了TTI介质中P 波速度和四次时差系数随各向异性参数、测线方位以及对称轴倾角的变化特征.姚陈和蔡明刚^[23]研究了TTI介质四阶弹性张量的解析变换公式.蔡晓刚和陈晓非^[24]研究了倾斜裂隙介质中体波反透射系数的计算方法.祝贺君等^[25]利用高阶同位网格有限差分方法模拟了二维TTI 介质中的地震波场.吴国忱等^[26]和梁锴等^[27]分析了TTI介质中的体波相速度、偏振以及反透射系数.蔡晓刚等^[28]推导了震源区为TTI介质的情况下剪切位错源地震矩张量的解析表达式.

如前所述，VTI介质和HTI介质的理论公式和处理方法远比TTI介质简单，若能将TTI介质当作VTI介质(当对称轴倾角小于45°时)或HTI介质(当对称轴倾角大于45°时)来处理，将给实际生产带来极大的便利.然而，忽略TTI介质的对称轴倾角可能带来严重的误差，甚至导致错误的结果，因此有必要研究在何种条件下将TTI介质作为VTI介质或HTI介质来处理是可行的.本文的研究就是为分析这种可行性提供理论依据和简单判据.将TTI介质当作VTI介质来处理，物理上相当于将TTI介质近似为一个弹性性质与之最为接近的VTI介质(OAVTI，Optimally Approximated VTI)，数学上相当于在张量空间中将TTI介质的弹性张量近似为与之欧氏距离最短的VTI介质的弹性张量.本文将推导OAVTI介质弹性张量和各向异性参数的解析表达式，并以此讨论对TTI介质作VTI近似的可行性.关于HTI近似可行性的讨论与VTI类似，因此本文不作赘述.

各向异性介质的弹性常数C_mnpq是四阶张量，通常采用Voigt缩写规则将其缩写为C_ij的形式.在各向异性介质的主对称轴与坐标轴重合的坐标系(简称对称轴坐标系)中，弹性常数的独立非零项个数最少.在各向异性介质对称轴与坐标轴不重合的坐标系中，弹性常数矩阵表现为更低阶对称系的形式.如图 1所示，坐标系x₁x₂x₃ 的x₂ 轴选取在水平面内，x₃ 轴与TI介质的旋转对称轴重合，x₁ 轴根据右手螺旋法则确定.由于TI介质的旋转对称性，与旋转对称轴垂直的平面内的任何一个方向也是对称轴方向，因此x₁ 轴和x₂ 轴方向也是对称轴方向，此时的坐标系x₁x₂x₃ 就是一个对称轴坐标系.在对称轴坐标系中，TI介质的弹性常数矩阵C_ij有5 个独立的非零项.将对称轴坐标系绕x₂ 轴旋转ξ角(垂向与x₃轴的夹角)，使x′₃ 轴沿垂向，得地表坐标系x′₁x′₂x′₃.在地表坐标系中，只有x′₂ 轴与TI介质的水平对称轴重合，x′₁ 轴和x′₃ 轴都不沿对称轴方向，此时的弹性常数矩阵R_ij表现为单斜的形式，这一过程可表示为

图 1

Fig. 1

图 1 坐标旋转示意图 Fig. 1 Coordinate rotation

其中C₁₂ =C₁₁-2C₆₆.上述变换过程可通过四阶张量变换公式R_ijkl=a_ima_jna_koa_lsC_mnos来实现，也可用TTI弹性张量解析公式^[23]或Bond变换^[29]来实现.将TTI介质对称轴倾角的三角函数cosξ 和sinξ 分别简写为c和s，则坐标变换矩阵a_ij的形式为

(1)

R_ij各分量的具体形式由(2)式给出

(2)

由于C_ij和R_ij是同一介质弹性常数矩阵在不同坐标系下的不同表现形式，因此它们描述的是完全相同的弹性性质.下面我们利用张量空间理论求取在地表坐标系中与单斜形式的弹性张量R最接近的TI形式的弹性张量A.

四阶弹性张量A和R在张量空间中的欧氏距离^[30]可表示为(注意文献^[30]中的表达式有误，遗漏了部分项)

(3)

其中F(R_ij)是只与R_ij有关而与A_ij无关的项.弹性张量A与R距离最接近的问题等价于求取(3)式极小值的问题，即要求

(4)

将式(3)代入式(4)，求解关于A_ij的方程组，得

(5)

目前TI介质各向异性资料处理中常用的参数包括Thomsen^[4]提出的各向异性参数α₀、β₀、ε、δ、γ和P波NMO 速度V_NMO，以及Tsvankin等人^[6-7]提出的非椭率参数η，具体定义式如下:

(6)

其中α₀ 和β₀ 分别为P波和S波沿TI对称轴方向的速度;ε 和γ 分别反映P 波和SH 波各向异性的强弱;δ 控制P 波在TI对称轴附近的各向异性强弱，并与V_NMO 有直接联系，是最重要的各向异性参数;η 是实现非双曲校正的重要参数，其大小反映了P波慢度面和波前面偏离椭球面的程度.

将式(2)代入式(5)，再利用式(6)将弹性常数C_ij替换为各向异性参数，得到用原TTI介质各向异性参数表示的OAVTI介质弹性常数表达式:

(7)

再用式(7)中的A_ij替换式(6)中的C_ij，得OAVTI介质各向异性参数表达式:

(8)

可以看出:α′₀ 的表达式与Thomsen^[4]的P波速度线性近似公式形式相同，恰好为TTI介质沿垂向的速度;β′₀ 的表达式与Thomsen^[4]的SV 波速度线性近似公式形式相似，但多了与γ 有关的项;ε′ 和δ′ 只与ε 和δ 有关(α₀²/α′₀² 项可约去α₀²);γ′ 的表达式中出现的原TTI介质各向异性参数项与β′₀ 表达式中的各向异性参数项相同;V′_NMO 的表达式比V_NMO 的表达式多了与ε有关的项;η′ 仍然只是ε 和δ 的表达式;所有新参数都与对称轴倾角ξ 有关，都包含了ξ 三角函数的偶数次项.

将式(8)在ξ =0°附近作级数展开，保留ξ 的二次项以及无量纲各向异性参数ε、δ和γ 的一次项，舍去高次项，得

(9)

其中

(10)

反映的是SV波的各向异性强度(从Thomsen^[4]的SV波速度线性近似公式可以看出).注意采用式(9)作计算时对称轴倾角ξ 的单位必须为rad.式(9)的形式远比式(8)简单，能更直观地反映新参数与原参数之间的差别以及各参数之间的相关性.从式(9)可以看出:所有OAVTI参数与对应的原参数之间的差别都是原无量纲各向异性参数(ε、δ、γ)的一次函数，是对称轴倾角ξ的二次函数;α′₀ 与α₀ 之间的差别主要由δ控制，对ε不敏感;β′₀与β₀、γ′与γ 之间的差别与κ和γ 都有关，说明SV 波与SH 波的各向异性相互耦合(这是因为在TTI介质中除少数特殊方向外，SH 波的偏振不再水平，SV 波的偏振也不再位于垂直面内);其余四对参数之间的差别正比于ε 和δ 的简单线性组合，其中ε′ 与ε 的差别受ε 的影响更大，δ′与δ、V′_NMO与V_NMO、η′与η 的差别主要受ε 与δ差别的影响.

为了更直观地分析忽略对称轴倾角带来的误差，在本节中我们利用式(8)和式(9)计算了在不同对称轴倾角和各向异性参数条件下，OAVTI介质速度参数与原参数之间的相对误差以及无量纲各向异性参数与原参数之间的绝对误差.鉴于目前的资料处理方法主要是针对P波和PS波数据^{[5-8， 10-12， 15-19]}，在下面的数值分析和讨论过程中我们将重心放在与P波和SV 波各向异性有关的参数上，数值计算中所取的参数需要满足对TI介质各向异性参数的限制条件^[31].

首先我们利用精确公式(8)计算了对称轴倾角ξ=7°、波速比α₀/β₀= 2.0、γ= 0时OAVTI介质各参数与原参数之间的差别随ε 和δ 的变化(见图 2).从图 2a可以看出，α₀ 的相对误差对ε不敏感，主要受δ 大小的影响，此外，α₀ 的相对误差很小，即使是δ=0.5的强各向异性，α₀ 的相对误差也不到1%.从图 2b可以看出，NMO 速度的相对误差随ε与δ 差别的增大而增大，且明显高于α₀ 的相对误差，结合式(6)中NMO 速度的定义，可知NMO 速度的误差主要来源于δ 的误差(见图 2d).从图 2c—2d可以看出，ε 的误差对ε 的敏感程度略高于对δ的敏感程度，而δ 的误差对δ 的敏感程度略高于对ε的敏感程度.α₀、ε 和δ 的误差即使在强各向异性条件下也很小，说明在小倾角条件下将TTI近似为VTI对P波各向异性参数的影响不大.从图 2d—2f可以看出，与NMO 速度类似，δ、κ、γ 和η 的绝对误差以及β₀ 的相对误差都与ε 和δ 的差别有关，其中η 的表现略有不同，主要在ε很大且δ 很小时误差较大.当ε与δ 的差别较大时，κ 的误差较大，而κ 反映的是SV 波的各向异性强弱，说明对于较强的SV波各向异性，即使是在小倾角条件下，将TTI近似为VTI也会对SV 波各向异性产生明显的影响，因此在转换波处理中将TTI近似为VTI有可能导致严重的偏差.上述讨论与第3节中根据简化公式(9)所作的分析相符.

图 2

Fig. 2

图 2 当TTI介质对称轴倾角ξ=7°时，OAVTI介质各向异性参数与原TTI介质各向异性参数之间的误差分布(a)(α0′-α0)/α0;(b)(V′NMO-VNMO)/VNMO;(c)ε′-ε;(d)δ′-δ;(e)(β′0-β0)/β0;(f)κ′-κ;(g)γ′-γ;(h)η′-η.计算公式采用式(8)，ε和δ 取值从-0.1到0.5，其他参数固定(α0/β0=2.0，γ=0). Fig. 2 Error maps of anisotropic parameters of OAVTI medium for a 7° tilted symmetry axis of TTI medium (calculated from Eq.(8))

图 3—5给出了对称轴倾角ξ分别为15°、30°、45°时的各参数误差分布图，结果与图 2 较为相似，各参数误差对原参数的敏感度分析与上一段讨论基本一致，但也存在一些区别.在图 2a中，α₀ 的误差主要受δ 大小的影响而与ε 几乎无关;在图 3a中，α₀的误差仍然主要由δ 控制但也能看出与ε 的相关性;在图 4a中，α₀ 的误差与ε 之间的相关性变得更加明显;在图 5a中，ε 与δ 的影响力相当.这是因为在近对称轴方向，速度各向异性主要受δ 控制，随着与对称轴夹角的增大，ε 的影响开始增强，δ 的影响逐渐减弱.在图 2c中，ε 的误差明显受到了δ 的影响，但在图 3c—5c中，随着对称轴倾角的增大，δ 的影响越来越小，到ξ=45°时，几乎只剩下ε 的影响.这些特点并不能从理论公式(8)和(9)直接看出.比较图 2—5中对应的色标，容易发现各参数误差随对称轴倾角的增大而急剧上升，反映了对称轴倾角大小对VTI近似可行性的重要性.

图 3

Fig. 3

图 3 与图 2相同，但对称轴倾角ξ=15° Fig. 3 The same as Fig. 2 except for a tilt of 15°

图 4

Fig. 4

图 4 与图 2相同，但对称轴倾角ξ=30° Fig. 4 The same as Fig. 2 except for atilt of 30°

图 5

Fig. 5

图 5 与图 2相同，但对称轴倾角ξ=45° Fig. 5 The same as Fig. 2 except for atilt of 45°

在前面的数值分析中，我们将波速比α₀/β₀ 固定在2.0.为了考察α₀/β₀ 对各参数误差分布的影响，我们改变α₀/β₀ 的值重新计算了对称轴倾角ξ =15°时的误差分布图.图 6是α₀/β₀= 1.5时的结果，与图 3相比，两者几乎一样.我们还计算了α₀/β₀=2.5时的误差分布，结果仍然一样，说明各参数误差分布对速度比α₀/β₀ 不敏感.

图 6

Fig. 6

图 6 与图 3相同，但波速比α0/β0=1.5 Fig. 6 The same as Fig. 3 except for α0/β0=1.5

我们采用简化公式(9)分别计算了ξ=15°(图 7)和ξ=30°(图 8)时各参数的误差分布.比较图 7与图 3，两者几乎一致，说明简化公式有很好的精度.比较图 8 和图 4，发现两者整体上较为接近，部分参数的误差对不同各向异性参数的敏感度有所差别，这种差别通常在ε 或δ 极大时较大(尤其是对η)，但一般来说实际地层的各向异性并没有那么强，因此我们认为在大多数情况下式(9)都较为精确.

图 7

Fig. 7

图 7 与图 3相同，但使用简化公式(9)计算 Fig. 7 The same as Fig. 3 except that the contours are calculated from Eq.(9)

图 8

Fig. 8

图 8 与图 4相同，但使用简化公式(9)计算 Fig. 8 The same as Fig. 4 except that the contours are calculated from Eq.(9)

式(9)中各参数误差都是无量纲各向异性参数(ε，δ，γ)的一次函数，对称轴倾角ξ 的二次函数，可以统一写成F(α₀/β₀，ε，δ，γ)ξ² 的形式，其中F(α₀/β₀，ε，δ，γ)表示无量纲各向异性参数的线性组合.图 9给出了ξ 从0°到45°，F(α₀/β₀，ε，δ，γ)从-0.5 到0.5时的误差分布.从图 9可以看出，忽略5°以下的倾角几乎没有任何影响，忽略10°~15°以下的倾角引起的误差也很小，对15°~20°的倾角，当F的值不是很大时(相当于要求TTI介质的各向异性强度不是极强)误差仍能接受，但是对于20°~25°以上的倾角，只有在F趋于0 时(相当于要求TTI介质的各向异性强度极弱)误差才很小，因此不建议忽略20°~25°以上的倾角.

图 9

Fig. 9

图 9 根据简化公式(9)计算的各向异性参数误差横轴为TTI介质对称轴倾角，纵轴为式(9)各等式右边的系数项(即除去ξ2). Fig. 9 Variations of errors of anisotropic parameters against the tilt of symmetry axis of TTI medium and coefficients given by Eq.(9)

本文推导了OAVTI介质的弹性常数和各向异性参数与原TTI介质弹性常数和各向异性参数之间的解析关系式，并系统地讨论了两者的差别与联系.理论研究表明，速度参数的相对误差和无量纲各向异性参数的绝对误差是无量纲各向异性参数的一次函数和对称轴倾角的二次函数;α₀ 的相对误差主要受δ 大小的影响;P 波近对称轴各向异性参数δ、SV 波各向异性参数κ、SH 波各向异性参数γ 和非椭率参数η 的绝对误差，以及P 波NMO 速度的相对误差，主要受ε与δ 差别大小的影响.TTI介质能否近似为VTI介质，最主要的影响因素是对称轴倾角的大小.根据本文数值分析的结果，忽略对称轴倾角对转换波影响很大，一般不建议忽略;对10°~20°以下的对称轴倾角，忽略倾角引起的P 波的各向异性参数误差很小，因此在纵波资料处理中忽略TTI介质对称轴倾角通常是有可行的，但是不建议忽略20°~25°以上的对称轴倾角.

需要强调，本文的研究只能为TI介质中弹性波的运动学特征(走时)提供依据，尚不足以作为依据来判断忽略对称轴倾角对动力学特征(振幅)的影响.TTI介质与VTI/HTI介质的弹性波动力学特征有显著的差异，例如，在VTI介质中只有P 波到SV 波的转换，而在TTI介质中既有P 波到SV 波的转换，又有P波到SH 波的转换.在HTI介质中，P波的偏振偏离以π为周期随方位变化^[32]，然而在TTI介质中，除了有以π 为周期的分量外，还有以2π为周期的分量.本文虽然系统研究了忽略TTI介质对称轴倾角对各向异性参数的影响，但尚属于较为初步的研究，还需要更具体地研究对速度、走时以及偏振的影响.如今的各向异性资料处理方法^{[5-8， 10-12， 15-19]}层出不穷，即使是对同样的地震数据，不同方法的处理结果也会有所差异^[33]，需要进一步研究忽略对称轴倾角对一些特定的、常用的资料处理方法的影响.此外，本文只是单一地考虑了倾斜对称轴的影响，并没有考虑更复杂介质的情况，这些问题都有待进一步的研究.

致谢本项研究源于中国地质大学牛滨华教授的建议，作者表示衷心感谢.