机载大气探测激光雷达能够探测气溶胶和卷云的三维立体结构，能够对沙尘等气溶胶层的移动方向和强度进行定量探测，为分析气溶胶和卷云对气候的影响提供技术资料支持^[1-5].

由于机载大气探测激光雷达标定点一般选在飞机附近，如果用Fernald 反演方法进行气溶胶后向散射系数(aerosol backscattering coefficient, ABCT)的反演，很有必要考虑Fernald 前向积分法(Fernald forward integral method, FFIM)是否可行的问题.但到目前为止，FFIM 能否用于机载大气探测激光雷达ABCT 的反演一直是一个有争议的课题.国外曾有学者利用FFIM 进行机载大气探测激光雷达ABCT 的反演尝试^[6-8]，但文中只就FFIM 用于机载大气探测激光雷达ABCT 反演时，反演得到的ABCT 廓线和其他反演方法得到的ABCT 廓线进行了对比，未对该法的反演误差进行定量分析，也没有分析反演误差与标定高度的关系､反演的局限性等问题.

如果FFIM 能够用于机载大气探测激光雷达ABCT 的反演，那将会给机载激光雷达数据反演带来很大的方便.但是由于FFIM 用于激光雷达ABCT 反演时的误差发散特性，需要对FFIM 能否用于机载大气探测激光雷达ABCT 的反演做详尽的定量分析.

本文就FFIM 用于机载大气探测激光雷达ABCT反演的可行性进行定量分析，并对FFIM 用于机载大气探测激光雷达ABCT反演的局限性进行探讨.

用于ABCT 反演的Fernald前向积分方程的数学表达式为^[9]

(1)

式中:S₁ 和S₂ 分别是气溶胶和分子的消光后向散射比，β₁ 和β₂ 分别是气溶胶和分子的后向散射系数，X(z)=P(λ，z)(z-z′)²，对于532nm 波长，设S₁=50sr;空气分子的消光后向散射比S₂ =α₂(z)/β₂(z)=8π/3sr.空气分子的后向散射系数β₂(z)可以通过实际大气中温压湿气象探空资料或使用温压湿标准大气模式，获得空气分子的密度，再由分子Rayleigh散射理论计算得到.标定高度z_c 是利用“激光发射口定标法"来确定^[10].

用于ABCT 反演的Fernald后向积分法的数学表达式为^[9]

(2)

式中各物理量的含义同(1)式.

反演所用的数据来自青岛机载大气探测激光雷达实验^[11-12]，如图 1所示.利用FFIM 对图 1中的机载大气探测激光雷达数据进行反演，当标定点选在2.5km 时，反演的结果如图 2所示.根据机场地面定标，用Fernald 后向积分反演出ABCT 廓线，Fernald前向积分采用的标定值就是这条廓线上2.5km高度处气溶胶的后向散射系数值.参考点之所以这样选，是因为在“过渡区"内，经几何因子校正的回波信号不够准确，如标定点选在离飞机发射口1km 范围以内(在几何校正因子范围内)，用Fernald前向积分反演出的ABCT 廓线中，部分ABCT 为负值.

图 1

Fig. 1

图 1 (a)青岛机载激光雷达实验数据;(b)几何校正因子 Fig. 1 (a)Experimental data from Qingdao of airborne lidar; (b)Geometric factor function (GFF)

图 2

Fig. 2

图 2 Fernald前向积分法反演青岛数据得到的结果 Fig. 2 Inversion results of data from Qingdao experiment using Fernald forward integration

分别赋给标定值10%和20%的误差，反演出的ABCT 廓线如图 2a中的廓线B 和C 所示，定量分析表明:当标定值存在20%的误差时，在2km 的高度范围内反演出的ABCT 的相对误差在12%以内，但在标定点附近可达20%，如图 2b.

Fernald前向积分是发散的，这种方法是否适合低空探测机载大气探测激光雷达ABCT 的反演，就要看这种方法对标定值误差的容忍度.分别假定标定点存在100%､200%､300%和400%的误差，反演的结果如图 3所示，从图 3中可以看出，随着标定值误差的增大，利用Fernald 前向积分反演得到的ABCT 的误差迅速增大，以反演得到的地面附近ABCT 为例，当标定值分别存在100%､200%､300%的误差时，地面附近ABCT 的相对误差分别达到66.8%､220% 和951%;当标定值存在400%的误差时，反演得到的地面附近的ABCT 出现负值(反演结果先向无限大的方向发展，靠近地面处出现负值).可以看出，FFIM 应用于低空探测机载大气探测激光雷达ABCT 反演时，反演误差随着标定值误差的增大而迅速增大，Fernald前向积分用于低空探测机载大气探测激光雷达ABCT 反演时，准确定标是能够进行精确反演的前提.

图 3

Fig. 3

图 3 大的标定值误差对反演结果的影响(青岛) Fig. 3 The inversion results are influenced by large calibration error (Qingdao)

图 4所示的数据是来自印度国家大气实验室的一组实测机载大气探测激光雷达数据^[6]，该数据由Harish Gadhavi博士提供，这是一组去除噪声后的激光雷达回波信号，横坐标表示回波信号的强度，纵坐标的距离代表探测点到激光雷达激光发射口的距离，激光雷达在图中纵坐标的0位置，上面的钉状突起是地面回波，一般的机载大气探测激光雷达可以据此判定地面的位置，地面以上是背景噪声.

图 4

Fig. 4

图 4 反演所用的国外机载激光雷达数据[6] Fig. 4 Abroad airborne lidar data for aerosol backscatter coefficient inversion[6]

数据是用微脉冲激光雷达探测得到的，飞机飞行高度在6~8km, 采用脉冲重复频率为2500 次/秒的激光器，每条激光雷达回波信号廓线是由37500个脉冲回波信号平均而成.

利用Fernald前向积分对图 4中的机载大气探测激光雷达回波信号进行反演，以4.59km 高度处为标定点，标定值为1.65229×10^-5km^-1·sr^-1进行前向积分(这是因为在机载大气探测激光雷达附近，过渡区的数据校正不准)，反演的结果如图 5a所示^[12].

图 5

Fig. 5

图 5 大的标定值误差对反演结果的影响(印度) Fig. 5 The inversion results are influenced by large calibration error (India)

标定值误差对机载大气探测激光雷达ABCT反演结果的影响如图 5b所示，图中的4条曲线分别代表标定值存在100%､200%､300% 和400% 的误差时，反演得到的ABCT 的相对误差.可以看出，利用Fernald前向积分反演机载大气探测激光雷达ABCT 廓线时，当标定值存在100%的误差时，反演得到的ABCT 的相对误差大都在10%~15%之间;标定值存在400%的误差时，反演得到的ABCT 的相对误差大部分在15%~50%之间.

与青岛机载大气探测激光雷达数据的反演结果相比可以看出，随着标定点高度的增加，Fernald前向积分反演结果的相对误差有减小的趋势.当飞机飞行高度在4~8km 之间，标定值存在较大的相对误差时，反演得到的ABCT 的相对误差一般仍然在反演精度允许的范围之内.

我国即将制造的机载双波长偏振激光雷达预计飞行高度是10 km^[11-14]，尽管前面已经验证了FFIM 能够反演机载大气探测激光雷达青岛实验数据和印度国家大气实验室数据的ABCT，但由于飞机飞行高度太低，Fernald 前向积分能否应用于10km高度进行探测的机载大气探测激光雷达ABCT 的反演需要做进一步的分析.

因为缺乏10km 左右的机载大气探测激光雷达实测数据，本文利用模拟的机载大气探测激光雷达回波信号^[8]，验证Fernald 前向积分能否用于在10km 高度进行大气探测的机载激光雷达ABCT的反演.

利用合肥地基双波长米散射激光雷达2008 年2 月27 日探测得到的激光雷达回波信号和用Fernald方法处理该回波信号得到的ABCT(图 6)，模拟得到相应的机载大气探测激光雷达回波信号(图 7)^[12]，机载大气探测激光雷达模拟信号的标定高度没有选在10km, 而是选在9.39km, 是因为利用地基激光雷达数据反演ABCT 的标定点选在9.39km.

图 6

Fig. 6

图 6 用于模拟机载激光雷达回波信号的地基激光雷达回波信号及后向散射系数 Fig. 6 Ground-based lidar signal and backscattering coefficient for the airborne lidar signal simulation

图 7

Fig. 7

图 7 用地基激光雷达回波信号模拟的机载激光雷达回波信号[12] Fig. 7 Simulation signal of airborne lidar using ground-based lidar signal[12]

利用这组回波信号验证FFIM 应用于机载大气探测激光雷达ABCT 反演的可行性，反演的结果要和地基激光雷达反演的ABCT 对比，这就要两者有相同的标定点.机载大气探测激光雷达的标定点选取在激光发射口，相应的标定值选激光发射口处气溶胶的后向散射系数值，飞机的高度选在地基激光雷达反演ABCT 时标定点的位置，就是要使地基激光雷达和机载大气探测激光雷达有相同的后向散射系数反演的标定点;利用FFIM 处理模拟机载大气探测激光雷达回波信号时，其标定值采用地基激光雷达反演ABCT 廓线时标定点处的ABCT 值.

图 8中的曲线A 是利用FFIM 对图 7 中的机载大气探测激光雷达模拟信号进行反演得到的ABCT 廓线，图 8 中的曲线B 是利用Fernald后向积分法对地基激光雷达数据进行反演得到的ABCT廓线，由于地基激光雷达ABCT 的反演结果是比较准确的，从图 8中可以看出，机载大气探测激光雷达在10 km 的高度，当标定值能够准确标定时，Fernald前向积分处理机载大气探测激光雷达回波信号得到的ABCT 是可靠的.

图 8

Fig. 8

图 8 地基和机载激光雷达信号反演得到的气溶胶后向散射系数对比 Fig. 8 Contrast of aerosol backscatter coefficients obtained using ground-based and airborne lidar simulation signal

分别赋给标定值100%､200%､300% 和400%的误差，利用Fernald前向积分反演机载大气探测激光雷达模拟数据得到相应的ABCT 廓线，如图 9a所示，从图 9a 可以看出，当标定值存在100% ~400%的误差时，反演得到的ABCT 的误差不是很大，特别是地面附近，反演结果差别较小;定量分析表明(图 9b):当标定值存在400% 误差时，在0~7km的高度范围内，除个别点外，利用Fernald前向积分反演得到的ABCT 的相对误差在100% 以内;7km高度以上，反演得到的气溶胶后向散射系数相对误差在50%~400%之间.

图 9

Fig. 9

图 9 标定点误差对反演结果的影响 Fig. 9 The inversion results are influenced by calibration error

对比分析Fernald前向积分分别用于在10km高度进行探测的机载大气探测激光雷达(标定点选在9.39km)和在7km 高度左右进行探测的机载大气探测激光雷达(标定点选在4.59km)ABCT 的反演结果对标定值误差容忍度，发现Fernald前向积分用于这两个高度进行探测的机载大气探测激光雷达ABCT 反演时，都有较大的误差容忍性:当标定值存在400%的误差时，反演得到的ABCT 的相对误差大都在50%以内，标定点选在9.39km 时的误差容忍度比标定点选在4.59km 时的误差容忍度要高.

图 10中的机载大气探测激光雷达实测数据来源于2005年11月8日15∶30青岛机载大气探测激光雷达实验实测数据，其中图 10a是机载大气探测激光雷达实测回波信号，利用Fernald 前向积分对此回波信号进行ABCT 反演，得到的地面附近的ABCT 为负值.是不是机载大气探测激光雷达的回波信号有问题?或者是标定点的标定值有误?为了验证这个问题，选取和Fernald 前向积分相同的标定点和标定值，利用Fernald 迭代后向积分法对同一组数据进行反演，得到的ABCT 廓线如图 10b所示，可见，反演结果出现负值不是机载大气探测激光雷达的回波信号本身的问题，也不是标定点的取值有误.

图 10

Fig. 10

图 10 机载激光雷达回波信号及利用Femald迭代后向积分法反演得到的气溶胶后向散射系数 Fig. 10 The airborne lidar signal and aerosol backscatter coefficient obtained using Fernald iteration backward integration method

为了防止反演错误，利用图 10b中反演得到的ABCT 模拟出相应的机载大气探测激光雷达信号，然后利用FFIM 对模拟的机载大气探测激光雷达信号进行反演，结果显示地面附近的ABCT 仍然存在负值，说明Fernald前向积分不能用于这组数据的反演.这时出现了Fernald 迭代后向积分能够反演出气溶胶后向散射系数而Fernald前向积分却不能反演的情况^{[10， 15]}.

仔细分析Fernald前向积分公式(1)，发现之所以出现负值，是因为在Fernald 前向积分公式的分母上出现了被减数小于减数的情况，即:

(3)

(4)

(5)

这时，Fernald前向积分公式(4)(5)分母中c和b的值如图 11所示，非常明显，Fernald前向积分不能应用于这组数据反演的原因是Fernald前向积分方程中分母出现负值.可见Fernald前向积分应用于机载大气探测激光雷达ABCT 的反演有其局限性.

图 11

Fig. 11

图 11 Fernald前向积分方程中分母两项的比较 Fig. 11 Comparison of two items in the denominator of Fernald forward integration equation

定量分析FFIM 应用于机载大气探测激光雷达ABCT 的反演结果，得到如下结论:

(1) 如果标定值能够准确标定，FFIM 应用于机载大气探测激光雷达ABCT 反演时，反演结果是可靠的.

(2) 当标定值存在误差时，对于低空探测机载大气激光雷达，如果标定值的标定误差较小，应用FFIM 能够较准确地得到ABCT，但如果标定值存在较大的误差，利用FFIM 反演得到的ABCT 误差较大，有时甚至出现负值;对于在4.5km 高度以上进行探测的机载大气探测激光雷达，当标定值存在较小的误差时，反演得到的ABCT 值较为准确，当标定值存在较大的误差时(相对误差小于400%)，反演得到的ABCT 的误差一般在反演误差允许的范围之内.

(3) 对个别机载大气探测激光雷达数据，用FFIM 反演得到的ABCT 廓线部分数据为负值，原因是在Fernald 前向积分方程中分母的值出现负值.