2012, Vol. 55
2. 中科院大气物理研究所LASG, 北京 100029
2. State Key Laboratory of Numerical Modeling for Atmospheric Sciences and Geophysical Fluid Dynamics, Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China
大气能量学一直在大气动力学研究中占有重要地位.按照经典大气能量学，大气全位能分解为可以释放转化成动能的有效部分和不可释放的无效部分[1-3]，这便是能量有效性问题.关于能量有效性问题的研究，人们通常使用大气有效位能的概念来探讨全位能和动能的转换、能量循环以及大气环流运动的维持，并拓展到海洋能量学研究和应用中[4-14].但以往研究中所采用的有效位能概念大多是针对全球平均而言的，反映的是大气系统的整体能量有效性，因而，这种能量有效性理论框架无法适用到愈受关注的局地能量学研究中.
事实上，天气气候系统特征及其异常的发生往往具有明显局地性[15-17].局地大气运动发展变化与局地能量有效性关系密切.大气能量的收支、分布和转化具有明显的局地特征，而且，天气气候现象的发生发展往往与大气系统内部存在的局地能量源(汇)密切相关，局地能量的异常变化必然会对局地大气环流的变化产生重要影响.因此，考察区域性能量转化效率及机制对于了解局地大气环流的变动非常重要，这就是局地能量有效性的问题.我们在前面工作中提出了适用于反映局地能量有效性问题的扰动位能概念[17-18]，以此来研究局地全位能与动能转化的相关问题.在已有的工作[17-20]中，我们考察了扰动位能的时空分布特征和年际异常变率，使我们更好地认识了扰动位能的基本概念.
本文将在前面研究的基础上，运用奇异值分解(SVD)的分析工具，考察扰动位能与不同大气运动和状态变量场之间的耦合相关关系，目的是揭示扰动位能的首要耦合相关分布型及其对大气环流异常等诸多方面的影响机理，即利用SVD 来分析扰动位能与高、中、低层大气动能的耦合相关模态以及年际变率情况，同时也将考察它与作为大气质量分布的海平面气压之间的相关关系，并初步探讨扰动位能与大气动能以及质量场的相关机理问题.
2 资料和方法本文采用NCEP/NCAR 再分析资料[21]，所用资料时段为1948—2004年，每年取冬季(11月—次年3月)作为研究对象;格点资料分辨率取为5°×5°，主要针对北半球热带外地区(20°N 以北到极区)进行分析.所用变量分别为计算得到的整层积分的扰动位能(PPE)和200hPa、500hPa以及850hPa大气动能，使用的数据集有美国NCEP/NCAR 再分析资料中的海平面气压(SLP)资料、NOAA 气候资料中心(NCDC)提供的扩展重构的海表温度(ERSST)资料.扰动位能与大气动能以及海平面气压异常之间耦合关系通过SVD 分析技术加以实现，有关这一方法的说明详见附录.
3 扰动位能与大气动能的耦合相关关系在以前工作[17-20]中，我们分析了扰动位能各个分量的时空特征，发现其与大气动能之间在多方面存在明显联系.为此，这里将首先以冬季北半球热带外地区的500hPa动能为左场，整层扰动位能为右场进行SVD 分析.
在表 1中，我们给出了前5对SVD 模态的主要数据信息.可以看到，解释协方差平方和百分比在第一和第二以及第三和第四模态之间存在明显“间断"，而且，前三个SVD 模态的累计解释两个场之间的总协方差平方和超过了60%，可以代表两个场耦合变化型的主要特征.第一模态解释两个场之间的总协方差平方和的30.3%，分别解释了500hPa动能方差的8.4%和整层扰动位能方差的12.83%.这表明两场的主耦合变化型在整层扰动位能场中占较大的方差比例，在动能变率中占相对较小比例，从侧面反映出动能的变化具有比扰动位能更为复杂的特征.另一方面，大部分模态左、右场展开系数之间的相关系数达到0.8~0.9，且通过99.9% 的信度检验.
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表 1 500 hPa动能(左场)与扰动位能(右场)前5个SVD模态信息 Table 1 Information of the first 5 SVDs of 500 hPa kinetic energy (left) and PPE (right) |
需要说明的是，由于寻找SVD 模态的原则是尽可能多地反映两个场的相互联系，而不是尽可能多地反映单个场的自我变率，所以尽管前10个模态所对应的奇异值按照由大到小的顺序排列(且都大于零)，但他们各自解释单个场的方差并不一定满足这样的下降顺序.相比之下，第一耦合模态所解释的3个方差百分比都是最大的.因此，下面我们进一步考察了这一模态的时空特征.
图 1给出的是SVD 第一模态左右场的同类相关、异类相关以及展开系数的时间序列图.第一模态解释了30.3%的总协方差，这反映其在耦合关系中的支配地位，当然，对应于左、右场分别解释的方差贡献要低一些，而且这样的一对支配耦合模态在各自场中所分别扮演的角色并不相同，扰动位能中的贡献显然要大一些.分析发现，左异类相关图与动能标准化距平EOF分析的第一特征向量图很相似(图略)，而右异类相关图相似于PPE 的第一特征向量.在左场同类相关图上，显著的特征是位于北美- 北大西洋区域以及北非- 南亚区域的正相关区，显著负相关区主要位于副热带区域，呈现近似环状分布.在右场同类相关图上，显著正相关区主要位于北美洲南部、西欧以及北太平洋区域，负相关区主要位于北美洲北部以及副热带大西洋- 北非区域.除极点附近外，北半球50°N 以北的高纬地区出现正的相关区，中纬度为负相关.从图 1中还看到，左、右场的异类相关分布与同类相关分布如出一辙，这充分说明第一耦合模态不但是首要相关主模态，也是各自场的主要空间模态.
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图 1 冬季500 hPa动能(KE500)为左场、整层局地扰动位能(P′A)为右场SVD第一模态 (a)和(b)分别是左、右同类相关图;(c)和(d)是左、右异类相关图;(e)为左右场的扩展系数经过3点平滑的时间序列.(a) —(d)中深色(或浅色) 阴影表示达到95%信度检验的显著正(或负)相关区域.最外围纬圈是20°N，经向网格线间隔20°等值线间隔为0.2. TCC为时间相关系数，PV为方差百分比. Fig. 1 The first SVD of winter 500 hPa kinetic energy (left) and PPE (right) Panels (a) and (b) are the left and right homogeneous correlation maps, (c) and (d) the left and right heterogeneous correlation maps, (e) the extension coefficient series of the lett and right fields with a 3-point running mean. The dark (or light) shadings denote the significant positive (or negative) correlation areas at the 95% confidence level. The outmost latitude is at 20〇N and longitudinal interval is 20°.Contour interval is 0. 2. TCC: temporal correlation coefficient;PV: percentage of variance. |
从图 1e中可以看出，左、右场展开时间系数序列具有非常好的变化一致性，二者相关系数可达到0.908，表明这对模态具有非常好的耦合相关关系.因此，就平均而言左右场时间系数是同符号的，意味着动能的变化与扰动位能的变化是一致的.
下面进一步考察高层和低层的大气动能变化特征，分析扰动动能与200hPa和850hPa动能之间的场耦合相关关系.以冬季北半球20°N 以北的热带外地区的200hPa和850hPa大气动能为左场，整层局地扰动位能为右场进行SVD 分析.
对于200hPa层大气动能与扰动位能的场相关关系，表 2是200hPa动能为左场、整层扰动位能为右场的前5个SVD 模态的主要数据信息.大致情形与500hPa相似，第一对模态解释两个场之间的总协方差平方和达到约32%，解释动能和整层局地扰动位能的方差分别为11.04%和13.49%.与500hPa左、右场的解释方差分别为8.4% 和12.83% 相比较，可以看出两个场的耦合变化型在其自身变率中的相对重要性随着高度增加变得越来越重要.此外，前三个SVD 模态的累计解释两个场之间的总协方差平方和基本上达到63%，体现出其能够代表两个场耦合变化型的主要特征.大部分模态左、右场展开系数之间的相关系数达到0.8~0.9，且通过99.9%的信度检验.
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表 2 200 hPa动能(左场)与扰动位能(右场)前5个SVD模态信息 Table 2 Information of the first 5 SVDs of 500 hPa kinetic energy (left) and PPE (right) |
图 2给出了SVD 第一对模态对应的各种相关系数.可以清楚地看到，200hPa动能与扰动位能的奇异向量空间分布与500hPa几乎完全相反，而且，时间系数序列的演变形态也几乎是完全相反.这很容易理解，因为从已有研究可知[14-15]，扰动位能在200hPa以上与大气中低层的正负状况正好相反，使得在SVD 分析中也呈现相反特征，但这并不影响最终结论，只要在奇异向量和时间系数上同时乘上-1，就与500hPa的结果正负分布一致了.对于右场的同类和异类相关图，不仅与500hPa对应的非常接近，而且彼此之间也相当一致.相比而言，左场相关图彼此之间也很接近，并且比500hPa相关图的特征更为规则、光滑和更具纬向对称性.另外，两个时间展开系数序列呈现高相关，达到约0.904.
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图 2 冬季200 hPa动能(KE200)为左场、整层局地扰动位能为右场SVD第一模态，其他说明同图 1 Fig. 2 The same as Fig. 1，but for the 200 hPa kinetic energy as the left field |
表 3进一步给出了850hPa大气动能为左场、整层局地扰动位能为右场的前5 个SVD 模态的主要信息.大致情形与500hPa很相似，第一模态解释两个场之间的总协方差平方和达到约34%，解释动能和整层局地扰动位能的方差分别为7.09% 和12.87%.而且，前三个SVD 模态的累计解释两个场之间的总协方差平方和基本上达到60%，表明其能够代表两个场耦合变化型的主要特征.当然，如果从解释协方差贡献百分比的“间断"来看，第二和第三以及第四和第五模态之间都可以作为诊断分析中自然存在的尺度截断.另外，可以看到，大部分模态左右场展开系数之间的相关系数达到0.8~0.9，且通过99.9%的信度检验.
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表 3 850 hPa动能(左炀)与扰动位能(右炀)前5个SVD模态信息 Table 3 Information of the first 5 SVDs of 850 hPa kinetic energy (left) and PPE (right) |
图 3给出了SVD 第一模态对应的各种相关系数.可以清楚地看到，850hPa动能与扰动位能的奇异向量空间分布与500hPa几乎是一致的，特别是右场的同类和异类相关图，不仅与500hPa对应的非常接近，而且彼此之间也相当一致.相比之下，左场的相关图彼此也很接近，与500hPa相关图仅仅是在北太平洋区域略有差异，从而说明两个变量场的耦合模态在中低层大气基本一致.两个时间展开系数序列呈现高相关，达到约0.88，略低于500hPa情形，但时间序列的演变形势则几乎完全一样.
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图 3 冬季850 hPa动能(KE850)为左场、整层局地扰动位能为右场SVD第一模态，其他说明同图 1 Fig. 3 The same as Fig. 1，but for the 850 hPa kinetic energy as |
我们知道，由于大气运动异常变化必然导致大气质量分布发生变化，进而在海平面气压(SLP)异常场上表现出来，因此，为了衡量扰动位能与大气质量变化之间的异常联系，我们这里将考察扰动位能与SLP之间的场相关关系.下面以冬季北半球20°N以北的热带外地区的海平面气压为左场，整层局地扰动位能为右场进行SVD 分析，这一研究有助于深入认识大气能量有效性与大气环流动力学变率特征之间的关系问题.
表 4给出的是中高纬SLP 与扰动位能SVD 前5个模态的数据信息.第一模态解释两个场之间的总协方差平方和的44.69%，解释SLP方差的21.93%，解释整层扰动位能方差的13.08%.由此可见，两个场的第一耦合相关型是具有支配性的，并在海平面气压场中占较大的方差比例，这在前面关于大气动能的分析中是无法看到的，反映出在已知扰动位能的主空间分布型的情况下，其所对应的时间系数能够很好地被用来表示SLP 场的空间典型分布.此外，前三个SVD 模态的累计解释两个场之间的总协方差平方和达到72.42%，体现出其能够代表两个场耦合变化型的大部分特征.多数模态左右场展开系数之间的相关系数超过0.8，并通过99.9% 的统计信度检验.
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表 4 中高纬SLP(左场)与扰动位能(右场)前5个SVD模态信息 Table 4 Information of the first 5 SVDs of mid-high-latitude SLP (left) and PPE (right) |
图 4是SVD 第一模态左、右场的同类相关、异类相关以及展开系数的时间序列图.第一模态解释了约45%的总协方差平方和.通过分析对比发现，左异类相关图与SLP 标准化距平EOF 分析的第一特征向量图很相似(图略)，而右异类相关图相似于PPE 一阶矩的第一特征向量[17].从图 4 中可以看出，一方面，左场的同类与异类相关图非常相似，即在极区呈现显著负相关，而在副热带地区特别是太平洋和大西洋区域呈现显著正相关.另一方面，右场的两个相关图具有几乎完全相似的空间分布特征，并且更为重要的是，它们与前面大气动能中析离出的耦合模态对应相关图的特征也非常一致.这充分说明扰动位能自身变率的第一模态同时也是与大气环流异常场耦合变化的主要模态，与之相对应的大气动能和质量场的主要模态也是其自身变率的支配模态，从而表明二者之间存在相互制约的物理机制.
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图 4 冬季海平面气压(SLP)为左场、整层局地扰动位能为右场SVD第一模态 (a)-(d)等值线间隔0.1，其他说明同图 1. Fig. 4 The same as Fig. 1，but for the SLP as the left field, where contour interval is 0. 1 |
当然，在右场异类相关图上有一个略微不同于其他类似相关图的特征，就是位于极区的负相关区倾向于呈现两个独立中心，即分别位于北极圈中的太平洋一侧和大西洋一侧，这在同类相关图上是不存在的.此时，注意到左场相关图上的分别位于北太平洋和北大西洋上的正相关区，并考虑到扰动位能对于局地或区域性环流的支配作用，我们有理由推断:在扰动位能图上可以沿60E—120W 作为分界线，位于大西洋区的正负中心为左场大西洋部分提供有效能量，而位于太平洋区的正负中心为左场太平洋部分提供有效能量.这一现象还有待于进一步分析加以验证.另外，左、右场展开时间系数序列的相关系数达到约0.82，这比前面已提到的几个类似相关系数略偏低.
5 扰动位能与大气动能相关关系的综合分析与讨论从上面对扰动位能与高、中、低层大气动能的相关分析结果可以看出，对于二者耦合相关的主模态而言，都存在中高纬度与副热带地区的反相变化，且呈现环状分布，特别在200hPa图上更为明显.相比而言，动能的环状或者纬向对称结构更为规则，而扰动位能则倾向于存在3 个活动中心，即主要位于北美洲南部、西欧以及北太平洋区域，纬向非对称性增加.进一步对比扰动位能与SLP 的SVD 分析结果可知，大气质量场的主模态也是呈现中高纬度与副热带之间的反相结构，这事实上与著名的北极或南极涛动特征一致[22-26]，即呈现半球尺度的纬向环状活动带，并分别在北大西洋和北太平洋区域存在两个显著的活动中心.上述分析的意义在于，如果从大气热力动力角度来看，热带外地区大气环流主模态特征的形成，与扰动位能兼具全球尺度纬向对称结构和局地尺度纬向非对称性是密不可分的，从而为我们从能量有效性角度探讨大气环流变率中的极地涛动问题提供了新视角.
一方面，由于扰动位能是整层的，它在与不同层次大气动能之间、以及与SLP 之间的相关型都表现出相当一致的特征，并且非对称性和局地化明显，这反映出作为直接受热力作用影响的能量有效性，可能是极赤温差和海陆热力对比共同作用的结果，前者倾向于形成纬向对称的环状结构，而后者则增加了纬向非对称性.可以设想，在单纯的极赤加热情况下，第一耦合模态应该表现出完全纬向对称的环状分布特征，正因为客观上存在海陆等不规则分布的热力状况，导致实际的耦合模态既具有相对规则的环状特征，也表现出一定程度的纬向非对称性.
另一方面，扰动位能对于大气动能在物理上起到制造源的作用，这在经典有效位能框架下已有很多研究，通过前面分析不难发现，全球意义下的有效位能是以在局地差别很大的扰动位能形式综合起来发挥作用的.由于本文的分析讨论并未区分扰动位能中的各个分量，而第一阶矩项的全球平均贡献为0，因此，对全球意义的有效位能起作用的主要是第二阶矩项的扰动位能(可能还有表面扰动位能的贡献[17])，那么，考虑到本文主耦合相关型所具有的显著的局地特征来看，第一阶矩项扰动位能必然会对局地和全球的大气动能产生重要贡献，此时其对全球意义的动能贡献显然不为0，当然，这还要考虑到第二阶矩项的贡献问题，有待于分别对这两阶矩项与动能的SVD 分析加以证实.而且，在同一支配性扰动位能模态作用下，大气动能在不同层次上表现出略有差异的相关形态，即随着高度的增加，动能主要耦合模态的纬向对称性增强.
此外，一个很值得关注的现象是，扰动位能的显著正负异常区(这里要注意的是，异类相关系数图其实与SVD 的奇异向量空间模态完全一致，仅在数量上存在差别而已)的0 线与各层大气动能正负异常区的脊槽线位置似乎存在对应关系.为此，如果将整层扰动位能的0线叠加在动能的同类、异类相关图上(参见图 1—3)可以看出，扰动位能主模态的0线位置基本上都与动能模态的异常极值中心相对应，之所以考察0线的原因在于，正的扰动位能异常区很可能对应于外源加热异常，这使得温度上升、局地位能高于全球平均值，而负异常区则有可能对应的是外源冷却，局地位能低于全球平均值.由此可见，0线实质上介于相对的加热和冷却之间，按照热成风法则，这里应出现风速的极大值区.当然，另一个可以讨论的观点是，根据动能与局地扰动位能之间的相互转化关系，当局地扰动位能异常等于零时，相对转化最为完全，此时对应着动能异常达到极大.
6 中高纬环状模指数与扰动位能的相关分析对于表征中高纬大气环流变化特征的南北半球环状模指数，当指数为高值时，表示副热带高压增强、副极地低压带加深、中纬西风带偏强、呈纬向环流型，反之，当指数为低值时，表示副热带高压减弱、副极地低压带变浅、中纬西风带偏弱、呈经向环流型.按照前面的分析，探讨在中高纬环流这一全球尺度变化中局地扰动位能的相关特征，将是很有意义的.由于前面SVD 分析使用的是扰动位能的前两个阶矩之和，这里将使用1 月和7 月资料分别作为冬季和夏季的典型代表月，针对扰动位能的第一(P′A1)和第二阶(P′A2)矩进行相关分析，同时也可以为下一步细致的SVD 场分析提供借鉴.
图 5和6首先给出了冬季代表月的半球环状模指数(NAMI和SAMI)分别与P′A1 和P′A2 的相关分布，可以清楚地看到，与北半球冬季NAMI存在显著相关的扰动位能变化大体呈现纬向对称的环状分布，而且，P′A1 和P′A2 之间的相关分布在热带外地区正好反相，这在纬向平均相关曲线图上可以更为直观看到.对于SAMI，情况是类似的，只不过此时南半球正处于夏季，环状分布结构不如北半球清晰，而且，扰动位能两个阶矩之间的反相分布特征很明显，并与各自北半球处于同位相，这从图 9的纬向平均相关系数图上也可以清晰看到.由此可见，对于北半球热带外而言，中高纬的纬向环流型对应于副热带偏高的P′A1 和偏低的P′A2，以及极地副极地偏低的P′A1 和偏高的P′A2，这完全是由热带外地区的扰动温度T′的异常变化造成的.
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图 5 1月份半球环状模指数(NAMI和SAMI)分别与P′A1 和P′A2 的相关分布 Fig. 5 Correlations between January NAMI/SAMI and P′A1 /P′A2 |
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图 6 1月份半球环状模指数(NAMI和SAMI)分别与P′A1 和P′A2 的纬向平均相关系数 Fig. 6 Zonal-mean correlations between January NAMI/SAMI and P′A1 /P′A2 |
图 7和8进一步给出了7月份半球环状模指数分别与P′A1 和P′A2 的相关情况.可以看到，与1 月大不相同的是，北半球中高纬度并未出现强有力的环状相关分布，仅存在几个孤立的中心，两阶矩的情况差不多.南半球的情况要好得多，不但南极大陆呈现显著相关区，而且其周边也存在明显的反相相关区，只不过比1月份情况逊色一些，当然，这也是值得关注的问题，因为一般认为冬半年环流比夏半年更为规则，这里的结果似乎表现出相反情形，而且，从图 8中看到，无论NAMI还是SAMI都与P′A1 有比P′A2 更好的相关特征，特别是前者居然与南半球扰动位能一阶矩项关系好于北半球，对此我们仍无法给出合理解释，有待于深入分析研究.冬季NAMI存在显著相关的扰动位能变化大体呈现环状分布，而且，P′A1 和P′A2之间的相关分布在热带外地区正好反相，对于SAMI情况是类似的，这从图 6的纬向平均相关系数图上也可以清晰看到.
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图 7 7月份半球环状模指数(NAMI和SAMI)分别与P′A1 和P′A2的相关分布 Fig. 7 The same as Fig. 5 ，but for July |
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图 8 7月份半球环状模指数(NAMI和SAMI)分别与P′A1 和P′A2的纬向平均相关系数 Fig. 8 The same as Fig. 6 ，but for July |
本文着眼于局地大气能量有效性研究中扰动位能与大气运动异常的相关关系和机理问题，采用SVD方法分析了扰动位能与高、中、低层大气动能的耦合相关模态以及年际变率情况，同时也进一步考察了扰动位能与作为大气质量分布的海平面气压之间的相关关系，并从物理上初步探讨了扰动位能与大气动能以及质量的相关机理问题.
分析表明，扰动位能自身变率的第一模态同时也是与大气环流异常场耦合变化的主要模态，与之相对应的大气动能和质量场的主要模态也是其自身变率的支配模态，这表明可能存在相互制约的物理机制.而且，热带外地区大气环流主模态特征的形成，与扰动位能兼具全球尺度纬向对称结构和局地尺度纬向非对称性是密不可分.另外，冬季南北半球环状模指数与扰动位能的前两阶矩存在非常好的相关关系，而在夏季这种关系明显削弱，仅存在于南半球.
当然，这里的分析大部分是以扰动位能整体为主，并未区分各个分量，仅是在考察中高纬环流指数与扰动位能关系时加以考虑，目的是简化过程和突出重点，在进一步的工作中将要分别对前两阶矩项和表面扰动位能进行与大气运动异常的相关机理分析，以期得到更为细致清晰的耦合变化物理图象.此外，鉴于大气湿过程在气候变异中的重要作用[27-28]，我们也将关注湿扰动位能的研究.
附录 奇异值分解奇异值分解(SVD)方法在气象研究中已经得到广泛应用.它是从两个场中分离出耦合型的最好的方法之一，既简便，又容易解释，而且不需要用户自定义参数，几乎没有系统误差.其原理及应用在许多文献和教课书中都可查到，为了便于后文分析，以下对这一方法作一简单介绍.
对任意两个标量场:
Si(t)表示t时刻在第i空间点上某要素观测值，通常称为左场.Zj(t)表示t时刻在第j空间点上某要素观测值，通常称为右场.其中i= 1，2，…，NS;j=1，2，…，NZ;t=1，2，…，T.一般的，空间点NS 可以不等于NZ.
设两要素场的协方差矩阵为CSZ，CSZ =Si(t)ZjT(t)是一个NS × NZ 的实矩阵.当Si(t)与Zj(t)为标准化资料时，CSZ 又是两要素的相关矩阵.CSZ 的奇异值分解为
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(A1) |
其中pk是CSZ 的R个相互正交的左奇异向量之一，qk是CSZ 的R个相互正交的右奇异向量之一，它们分别表示了左场和右场的空间典型分布.σk是CSZ 的奇异值，且有σ1 ≥σ2 ≥ … ≥σk≥ … ≥σR>0.
根据奇异量的正交性，可以用下式计算出空间典型分布所对应的时间系数(即展开系数或主成分):
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(A2) |
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(A3) |
ak(t)和bk(t)分别为要素场Si(t)和Zj(t)的第k对奇异向量所对应的时间系数，由SVD性质易得它们的协方差就是奇异值σk，因此它们之间的相关系数为
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(A4) |
第k对空间典型分布所解释的协方差平方的百分比为
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(A5) |
若取前N(N≤R)对空间典型分布的话，则所解释的累积协方差平方的百分比为
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(A6) |
在得到时间系数ak(t)和bk(t)之后，一般可以直接分析左、右奇异向量，获得两个场之间耦合的空间典型分布型.但是更通常的做法是分析两类相关图，分别称为同类相关图和异类相关图.若令r[f(t)，g(t)]表示两个时间序列f(t)和g(t)的相关的话，那么第k个左(右)同类相关图(分别用向量r[Si(t)，ak(t)]和r[Zj(t)，bk(t)]表示)是由左(右)场和第k个左(右)场时间系数求相关得到的.同理，可得到第k个左异类相关图r[Si(t)，bk(t)]和第k个右异类相关图r[Zj(t)，ak(t)].
对同类相关图而言，第k对时间系数所解释的各自场的方差百分比分别为
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(A7) |
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(A8) |
若取N对时间系数的话，则它们所解释的各自场的累积方差的百分比为
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(A9) |
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(A10) |
对异类相关而言，第k对时间系数所解释的各自场的方差百分比分别为
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(A11) |
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(A12) |
若取N对时间系数的话，则它们所解释的各自场的累积方差的百分比为
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(A13) |
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(A14) |
值得注意的是，在求这两类相关图时，左场和右场也可以不拘泥于SVD 分析时各自选取的空间点数，范围可以扩大.一般而言，同类相关图与所对应的奇异向量不成比例，而异类相关图与所对应的奇异向量成正比例，但同类相关图可以很好地反映时间系数所对应的空间型的极性和振幅，而异类相关图反映的是在已知一个场的空间分布型的情况下，其所对应的时间系数表示另一个场的空间分布型的好坏程度.可以预计，异类相关一般比同类相关要弱，但倘若两者之间差异显著的话，从一定程度上也可以用来揭示两个场的因果关系.
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