2012, Vol. 55
2. 四川省地质矿产勘查开发局物探队, 成都 610031
2. Geophysical Prospecting Team, Sichuan Bureau of Geology and Mineral Exploration and Development, Chengdu 610031, China
纵横波速度在储层岩性､物性以及流体识别等方面有重要应用，叠前地震反演和叠前地震属性分析是得到纵横波速度信息的最有效手段，在进行叠前地震反演和叠前地震属性分析中，需要得到准确的纵横波速度测井曲线，然而在实际生产中由于各种原因往往缺乏横波速度信息[1-7].为了获取纵波和横波速度，很多地球物理学者提出了理论模型公式和经验公式.如文献[8-10]给出的岩石速度､孔隙度及岩石其他参数之间的经验公式.其中Greenberg等[11]通过Gassmann 近似公式比较预测纵波速度与实测纵波速度之间的差异，反演得到横波速度.文献[12-13]给出储层岩石弹性参数和纵､横波速度之间的理论模型公式.其中Xu-White模型综合考虑了泥质砂岩中基质性质､泥质含量､孔隙度大小和孔隙形状以及孔隙饱含流体性质对岩石速度的影响.该模型采用固定的砂､泥岩孔隙纵横比(通常假设砂岩孔隙纵横比为0.1~0.12，泥岩孔隙纵横比为0.03~0.04)，Nur和Simmons(1969)[14]，Brown和Korringa(1975)[15]的实验室数据分析表明与砂岩有关的孔隙纵横比不是定值.Sams 和Andrea(2001)[16]根据实验室数据提出了一个岩石孔隙纵横比与孔隙度之间的线性关系式.Yan等[17]在2002年提出利用神经网络预测方法从测井数据中提取砂岩孔隙纵横比和泥岩孔隙纵横比.Seymour(2005)[18]建议根据岩性将孔隙纵横比进行分类.很多研究资料[17-19]表明泥岩的孔隙纵横比为0.05 左右，但砂岩的孔隙纵横比变化范围较大，所以采用固定的孔隙纵横比与真实泥质砂岩孔隙结构并不相符，在较大深度范围内应用Xu-White模型估算岩石纵横波速度时会产生较大偏差.
为此，本文在数值模型试验的基础上，分析Xu-White模型中砂､泥岩和孔隙流体弹性参数以及孔隙纵横比等输入参数的误差对估算横波速度精度的影响，在Xu-White模型中采用了随孔隙度等参数变化的孔隙纵横比，试验结果表明该方法估算横波速度的效果优于采用固定孔隙纵横比的Xu-White模型.
2 基本原理 2.1 横波速度计算方法由Gassmann公式，可以得到流体饱和岩石的弹性模量:
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(1) |
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其中，K0 为固体矿物的体积模量，Kf 为孔隙饱含流体的体积模量，Kdry 和μdry 分别为干岩石骨架体积模量和剪切模量，φ 为孔隙度，Ksat 和μsat 为饱含流体岩石体积模量和剪切模量.地震波在均匀､各向同性､弹性介质中的传播速度表示如下[20]:
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其中Vp 为纵波速度，Vs 为横波速度，ρsat 为饱含流体的岩石密度.上述公式中固体矿物的体积模量K0及孔隙饱含流体的体积模量Kf 可由岩石物理等效介质理论中的相关公式(VRH 和Wood 公式)求取，可见求取纵､横波速度的关键就是求取干岩石骨架的体积模量Kdry 和剪切模量μdry.本文采用Xu-White模型[21]计算干岩石骨架的弹性模量.
2.2 Xu-White速度模型岩石物理实验数据表明岩石的声波速度对孔隙度和泥质含量敏感.Xu-White模型将这一实验结果归因于砂岩与泥岩孔隙纵横比(孔隙形状)之间的差异[21]，砂岩孔隙形状和泥岩孔隙形状见图 1和图 2.
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图 1 砂岩孔隙形状 Fig. 1 Pore geometry of sandstone |
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图 2 泥岩孔隙形状 Fig. 2 Pore geometry of shale |
Xu和White(1995)[17]将泥质砂岩的孔隙划分为具有较大孔隙纵横比的砂岩孔隙和具有较小孔隙纵横比的泥岩孔隙，基于Gassmann方程和Kuster-Toksoz理论及DEM(有效差分介质)提出了利用孔隙度和泥质含量来估算泥质砂岩纵､横波速度的Xu-White速度模型[21].Xu-White速度模型的具体公式表达如下:
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其中公式(5)中φ 为总孔隙度，φs 为砂岩孔隙度，φc为泥岩孔隙度.公式(6-7)中vs 和vc 为砂岩体积百分含量和泥岩体积百分含量.公式(8-9)为Kuster-Toksoz方程，Kd, K0，K1 为干岩石体积模量､组成岩石的固体矿物的体积模量､孔隙流体体积模量.μd, μ0，μ1 为相应的剪切模量.对于干岩石，K1和μ1 为零.F(α)､Tijij(α)､Tiijj(α)为关于孔隙纵横比α 的函数.
Kuster-Toksoz方程要求φ/α＜＜1，而对于典型的砂岩孔隙纵横比为0.12，泥岩孔隙纵横比为0.035，因此Kuster-Toksoz方程只在孔隙度很小时适用.为克服这一应用条件的限制，Xu 和White(1995)[21]利用差分等效介质理论克服了这种限制.从无孔隙的坚硬岩石开始，利用K-T方程计算在基质上加入较小孔隙时岩石的弹性模量，然后把结果作为下次计算的初始值，直到总的孔隙体积都加到岩石上.这一过程考虑了流体､孔隙度以及孔隙形状对岩石弹性模量的影响，可以计算泥质砂岩的纵､横波速度.但是这一过程的缺点是要求把孔隙空间分的足够小(接近于消失)，在迭代运算时计算量很大.
由于计算效率问题，Keys 和Xu(2002)[22]对Xu-White模型进行了改进，通过求解线性常微分方程来确定岩石骨架弹性模量.按照文献[22]，干岩石骨架的弹性模量近似的表示为
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(11) |
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式中K(φ)表示孔隙度为φ 时的干岩石体积模量，K0 为组成岩石的固体矿物的体积模量.μ(φ)表示孔隙度为φ 时的干岩石剪切模量，μ0 为组成岩石的固体矿物的剪切模量.式中的系数p和q表示为
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(13) |
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(14) |
vl为砂或泥的体积百分含量，Tiijj(αl)和F(αl)为关于孔隙纵横比的函数，具体形式参见文献[22].当计算出组成岩石的固体矿物的弹性模量､饱含流体的弹性模量及干岩的弹性模量后，利用Gassmann 方程计算饱含流体岩石的体积模量和剪切模量，通过这些模量参数可以计算得到纵波和横波的速度.
3 数值模型试验 3.1 模型参数及试验结果Xu-White模型中需要输入砂､泥岩的体积模量､剪切模量､密度､孔隙纵横比，流体的体积模量､密度､孔隙度､泥质含量及含水饱和度等参数.设计一个盐水饱和岩石的模型，模型基本参数[22]见表 1.为了解Xu-White速度模型计算出的速度随孔隙度及孔隙纵横比变化情况，试验中令砂岩孔隙纵横比与泥岩孔隙纵横比相等，孔隙度在取值范围[0.01，0.4]上以间隔0.01均匀取值，孔隙纵横比取(0.01，0.05，0.10，0.15).利用Xu-White模型的干岩石近似算法求取该模型在不同孔隙度以及不同孔隙纵横比条件下的纵､横波速度.计算出的纵､横波速度随孔隙度及孔隙纵横比变化情况见图 3.
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表 1 砂岩和泥岩的岩石物理性质 Table 1 Petrophysics of shale and sand |
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图 3 纵､横波速度与孔隙度关系 Fig. 3 The relationships between velocities (P-and S-wave) and porosity |
图 3 中蓝色曲线代表相应参数对应的纵波速度，红色曲线代表相应参数的横波速度.从上至下砂､泥岩孔隙纵横比依次为0.15，0.10，0.05，0.01.
图 3显示，岩石速度随孔隙度增大而减小，在较小孔隙纵横比时，横波速度随孔隙度增大迅速向零值逼近[22].在泥质含量､孔隙度等参数相同情况下，孔隙纵横比大的岩石速度较大.
为考察砂岩孔隙纵横比对岩石速度的影响，将泥岩孔隙的纵横比设为0.05，砂岩孔隙纵横比取0.1，0.2，0.3.砂岩孔隙纵横比对岩石速度的影响见图 4.
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图 4 砂岩纵､横波速度与孔隙度关系 Fig. 4 The relationships between velocities(p- ands-wave) and porosity in sandstone |
图 4中为不同砂岩孔隙纵横比的纵､横波速度，蓝色为纵波速度，紫色为对应的横波速度.可以看出，随孔隙度的增大，砂岩孔隙纵横比对速度的影响呈增大趋势.Nur 和Simmons(1969)[14]，Brown 和Korringa(1975)[15]对实验室数据进行分析，分析结果表明与砂岩有关的孔隙纵横比不是定值，并指出岩石孔隙纵横比与地层压力等参数有关.在对实际测井数据进行横波速度估算时，如果将岩石孔隙纵横比设定为固定值，在较大深度范围内估算的横波必将产生较大误差.
3.2 变化的孔隙纵横比把实际岩石中的孔隙假设为理想的椭球形是不现实的[15].有学者提出了如下公式来描述砂岩孔隙纵横比与孔隙度之间的非线性关系:
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(15) |
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(16) |
公式(16)[19]考虑了泥质含量对砂岩孔隙度的影响.图 5 的曲线是根据公式(15)，(16)以及Sams 和Andrea在文献[16]提出的砂岩孔隙纵横比与孔隙度的线性关系计算出的.
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图 5 砂岩孔隙纵横比与孔隙度关系 Fig. 5 The relationships between aspect ratio and porosity in sandstone |
固定的砂､泥岩孔隙纵横比仅是Xu-White模型应用的一个特例，采用变化的孔隙纵横比是对在泥质砂岩中应用Xu-White模型的重要改进措施.
4 横波速度预测的误差分析Xu-White模型需要输入的参数有砂､泥岩的体积模量､剪切模量､密度､孔隙纵横比､流体的体积模量､密度､孔隙度､泥质含量及含水饱和度等.其中砂､泥岩的体积模量､剪切模量､密度以及流体的体积模量和密度需要根据实验室岩石物理数据及先验经验输入，孔隙度､泥质含量和含水饱和度由测井数据获得，岩石孔隙纵横比由3.2 节公式计算.利用Xu-White模型估算横波速度，其误差来源于实验室所测得的岩石物理参数的误差､由测井数据换算孔隙度､泥质含量及含水饱和度的误差､对井中岩石孔隙纵横比估算的误差.在这些误差中，孔隙度､泥质含量及孔隙纵横比的误差对估算结果的影响最大.利用Xu-White模型的这一特点，在进行横波速度估算时，根据孔隙度及泥质含量的换算结果给出其定义域，即搜索范围.在搜索范围内，调整孔隙度和泥质含量，并利用测井的密度､孔隙度和泥质含量作为约束，使得用Xu-White模型计算的纵波速度与测井得到的纵波速度一致.当模型计算的纵波速度与测井的纵波速度一致，并且其他参数都满足约束条件时，所计算出的横波速度即为估算出的横波速度.上述过程是一个函数优化的过程[23-27]，目标函数为以下形式:
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其中Vsh为泥质含量，φ 为孔隙度，αs 为砂岩孔隙纵横比，αc 为泥岩孔隙纵横比，Vestp 为利用Xu-White模型计算出的纵波速度，Vp 为实际测量的纵波速度.
图 6(a, b, c)是由测井数据得到的密度､孔隙度和泥质含量曲线.
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图 6 (a)密度曲线(b)孔隙度曲线；(c)泥质含量曲线 Fig. 6 (a) The density curve； (b) The porosity curve； (c) The clay content curve |
图 7中红色曲线是采用固定孔隙纵横比的常规Xu-White模型预测的横波速度，砂岩孔隙纵横比取为0.12，泥岩孔隙纵横比的典型取值为0.035[13].考虑到孔隙形状的变化及实验室测定结果，在实际计算时在将泥岩的孔隙纵横比在0.03~0.06 间进行一维搜索，在一定程度上避免因泥岩孔隙纵横比取值不准对计算结果的影响.在图 8 中孔隙纵横比采用3.2节计算方法，红色曲线为预测的横波速度.图 7和图 8中蓝色曲线为实际测量的横波速度.图 7中预测的横波速度与测量横波速度平均相对误差达到0.049，图 8中预测的横波速度与测量横波速度平均相对误差达到0.008，从预测结果及其与测量数据的平均相对误差可见，采用固定孔隙纵横比的Xu-White所估算的岩石横波速度，其精度不如采用变化孔隙纵横比的Xu-White模型所估算的岩石横波速度.
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图 7 采用固定孔隙纵横比的Xu-White模型估算的横波速度(红色)与测量的横波速度(蓝色) Fig. 7 The comparison of predicted shear velocities(red) using the Xu-White model with the const aspect ratio and the measured(blue) |
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图 8 采用变化的孔隙纵横比的Xu-White模型估算的横波速度(红色)与测量的横波速度(蓝色) Fig. 8 The comparison of predicted shear velocities(red) using the Xu-White model with the variable aspect ratio and the measured(blue) |
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图 9 (a)估算的纵波速度(红)与测量的纵波速度(蓝)；(b)估算的横波速度(红)与测量的横波速度(蓝) Fig. 9 (a) Predicted P-wave velocities (red) and the measured (blue)； (b) Predicted S-wave velocities(red) and the measured(blue) |
图 9a为采用变化孔隙纵横比的Xu-White模型计算的纵波速度(红色)与测量纵波速度(蓝色)的拟合情况，图 9b为预测的横波速度(红色)，图中蓝色曲线为实际测量的横波速度.通过分析纵波速度拟合情况和对比预测横波速度与测量横波速度的差异，看以看出该方法预测的横波速度精度较高，能够满足生产实践需求.
5 结论和讨论利用Xu-White模型估算横波速度时假设地层中砂岩和泥岩的纵波时差､横波时差和密度不随深度变化，这种对实际复杂物理问题的简化会导致对岩石基质弹性性质估算的不准确.同样假设了孔隙流体(油，气，水)性质不随深度变化，而实际上围岩压力､温度是随深度变化的，这些都是影响流体性质的关键因素(Batzle和Wang, 1992)[28].所以有必要考虑砂､泥岩及流体的性质随深度的变化.本文基于Xu-White模型数值模型试验，认为孔隙度､泥质含量､孔隙纵横比的误差对估算结果的影响最大.文中重点论述了模型中孔隙纵横比对速度的影响.在较大深度范围内将泥质砂岩的孔隙纵横比设为定值，与现实岩石的孔隙纵横比不符，必将引入较大误差.将常规Xu-White模型中固定的孔隙纵横比改进为随孔隙度､泥质含量变化的参数，这样改进的岩石孔隙纵横比与现实岩石的孔隙纵横比更为接近.用该方法对实际测井数据进行了横波速度估算，估算结果与实测横波数据基本一致.
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