2011, Vol. 54
正则化思想在地球物理反演中已得到广泛应用并取得了较好的效果.如何在数据拟合和模型约束之间取得最佳折衷一直都是地球物理反问题研究中的热点.正则化因子为经验定值，还是按照某种规律变化?许多学者对此问题做了探讨.Mallow[1]提出了无偏风险估计预测(UPRE)方法并用于解决线性回归中模型选取问题，此后被逐渐应用到反问题的求解[2].Wahba[3]利用广义交叉验证(GCV)准则来确定正则化因子，认为最佳正则化因子为可以使GCV 函数达到极小的值.Hansen 等[4,5]应用L 曲线法来确定正则化因子，认为最佳的正则化因子对应于L 曲线的最大曲率处.吴小平等[6]､李帝铨等[7]选取了经验定值进行反演计算，认为用经验值进行反演所得结果较好，同时也指出经验值并不代表一个绝对的取值，而只是一个相对的最佳.陈小斌等[8]提出一种始终考虑数据拟合和模型约束相平衡的自适应算法，具体又分为CMD 和MD 两种方案，并应用到MT 一维连续介质最平缓模型反演，认为该方法具有反演稳定性好，模型分辨率高等特点.Zhdanov等[9-11]提出正则化因子不断递减的自适应算法，并与L曲线法做了比较，认为采用自适应算法所得反演结果不逊于L 曲线法，由于L 曲线法需要通过多次反演来确定最佳的正则化因子，计算量将成倍增长，而自适应算法只需在每次迭代前确定参与当次反演的正则化因子，因此可以大大减少计算时间.
作者曾撰文探讨过L 曲线法在MT 和地震联合反演中的应用[12]，认为使用L 曲线法确定的正则化因子参与反演，可以提高联合反演的解的稳定性，同样也发现L 曲线法的计算量是较大的.基于此，本文将Zhdanov自适应正则化算法应用于MT 和地震联合反演，并设计了包含Zhdanov 自适应算法[9-11]､经验定值法[6,7]､CMD 正则化算法[8]在内的对比试验.
文献[13-15]从各个角度总结了联合反演的研究现状，并指出非线性同步联合反演是其中一个重要的发展方向.周辉等[16,17]和杨振武等[18]实现了一维MT 与地震的联合反演，为此后二维MT 与地震联合反演的研究做了有利的铺垫.过仲阳等[19]采用改进的遗传算法并利用顺序反演研究了二维MT与地震的联合反演.杨辉等[20]采用模拟退火算法实现了二维MT 与地震的同步联合反演.于鹏等[21,22]采用改进的模拟退火方法，研究了电阻率和速度随机分布的二维MT 与地震同步联合反演以适应复杂模型的需要，克服了以往研究局限于简单模型的不足.何委徽[23]采用遗传算法与线性算法相结合的混合算法实现了二维地震､MT 与重力的联合反演.Heincke等[24]强调物性经验关系，实现了地震､MT与重力联合反演以求取地下玄武岩的分布，并通过模型试验验证了联合反演的有效性.Colombo等[25]实现了地震､MT 与重力的联合反演并应用于叠前深度成像，并指出联合反演可以改善反演的非惟一性和提高非地震方法的精度.Moorkamp等[26]应用遗传算法实现了远震接收函数与MT 的联合反演并推断了局部岩石圈构造.Callardo等[27]采用交叉梯度方法实现了二维MT 与地震的联合反演，并应用于地下构造和岩性的分类.
本文在于鹏提出的电阻率和速度随机分布的二维MT 与地震同步联合反演的基础之上[21,22]，首次采用Zhdanov自适应正则化算法[9-11]，并结合模拟退火全局寻优思想，实现了MT 和地震的自适应正则化同步联合反演.此外，本文还设计了对比试验，从稳定性､计算效率､反演模型逼近程度等方面对比分析了Zhdanov自适应算法[9-11]，经验定值法[6,7]，CMD 正则化算法[8]和无正则化算法这四种不同方案在MT 和地震同步联合反演的表现，并在不同权重分配的情况下，分析了以上四种方法的适应能力.
2 引入自适应正则化思想的联合反演地球物理反问题是不适定的，Tikhonov正则化思想被广泛应用以提高解的稳定性和改善解的非惟一性，然而在联合反演中，正则化思想却很少涉及.本文考虑将正则化思想引入联合反演，联合反演的目标函数包括了两大部分，其一为数据拟合，其二为模型约束，具体目标函数如下:
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(1) |
式(1)中Pα(m)为参数泛函，Φ(m)为数据拟合泛函，S(m)为模型稳定泛函(也称为稳定器)，本文采用最小模型约束，α 为正则化因子，ΦMT､ΦS 分别为MT视电阻率或相位､地震走时的计算值与观测值的数据均方根误差，WMT､WS 分别为MT 和地震数据相应的加权系数，AMT为MT 的正演算子，AS 为地震的正演算子，dMTobs和dSobs分别代表MT 和地震数据的观测值，mMTapr和mSapr分别代表MT 和地震的先验信息.
从上面的表达式可以看出正则化因子其实是一折衷因子.α￫∞时，以模型约束为目标，数据拟合被忽略；α￫0 时，以数据拟合为目标，模型约束被忽略[10].因此正则化因子的选取是正则化反演方法中一个很关键的问题.根据正则化理论，数据拟合泛函是随α 单调递减的.对于任何一个正则化因子αk，我们可以找到一个解mak使得(1)式成立.当正则化因子满足(2)式时
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(2) |
则认为此时的正则化因子为最佳.
Zhdanov提出自适应正则化算法[9-11]，并在文献[9]中与L 曲线法做了对比，突出了自适应正则化算法在MT 单独反演中的优势，即无需多次计算来确定最佳正则化因子，且可显著提高计算效率并能保证计算精度.同时，笔者在文献[12]中利用L曲线法进行了正则化联合反演试验，认为L 曲线法存在计算量大的问题.鉴于此，我们将自适应算法应用到MT 和地震的同步联合反演中，即在每次联合反演迭代计算开始时，按照如下准则选取参与当次反演的正则化因子:
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(3) |
(3) 式中q为经验系数，k表示第k次反演迭代.根据文献[10,11]的表述:经验系数q的最佳取值区间为0.5-0.9，本文取0.9.
正则化初始值α1 为数据拟合泛函与稳定泛函的比值，以平衡数据拟合和模型约束在反演计算中的贡献.
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(4) |
在此后的迭代反演过程中，如果数据拟合泛函随迭代次数变小，正则化因子可保持不变，否则按照(3)式进行选择[9-11].
自适应正则化因子的选取既考虑数据拟合又考虑模型约束.在迭代前期，反演所得的近似解还处于不稳定状态，正则化因子为一较大值，强调模型约束让稳定泛函发挥较大的作用.随着迭代次数的增加，解逐渐趋于稳定，正则化因子渐变为一较小值，强调数据拟合让数据拟合泛函发挥较大的作用.
3 联合反演的实现为适用于复杂模型条件，文献[21,22,28]提出了物性随机分布共网格模型的重力与地震､MT 与地震的同步联合反演方法，该方法可以满足类如地层尖灭等物性参数横向变化的复杂模型.我们将2-D 地下介质剖分为不等间距的矩形网格，用网格来描述地下物性参数的分布，模拟退火进行随机扰动产生新模型时，地层和块体的变化转化为不同的参数分布在同一网格单元内.这种建模方法使每个网格单元就如同一个公共界面或块体，因此符合联合反演的基本条件和地球物理基础，且可以根据不同地质-地球物理模型正反演精度要求来调整网格间距大小.
MT 二维正演采用通用的有限单元法，有限单元的剖分与模型建模剖分方式一致，灵活方便易于实现.地震正演采用简单而快速精确的二维速度随机分布的射线追踪方法，以适应速度剧烈变化的情况.电阻率和速度随机分布的同步联合反演具体的建模方法､正演公式､改进的快速模拟退火算法以及模型试验等，在文献[21]中有详细描述，本文不再赘述.
4 模型试验 4.1 模型试验1如图 1(a, g)所示，本文考虑了速度和电阻率界面不完全一致的情况，模型浅层存在厚度为0.6km, 电阻率为100Ωm 高阻层，而速度无变化.背景电阻率为50Ωm, 背景速度为3km/s.此外还设计了两个块体:一个为低阻低速体，电阻率为5Ωm, 速度为2km/s, 顶底埋深分别为-1.5km 和-3km, 块体横向从10km 延伸至15km； 另一个为高阻高速体，电阻率为500Ωm, 速度为4km/s, 顶底埋深分别为-1.5km 和-4.5km, 块体横向从25km 延伸至30km.
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图 1 不同方案下反演结果以及方案一正则化因子曲线 (a)设计的电阻率模型(色标同b, c, d, e, f)；(b)电阻率初始扰动模型；(c)方案一电阻率联合反演结果；(d)方案二电阻率联合反演结果；(e)方案三电阻率联合反演结果；(f)方案四电阻率联合反演结果；(g)设计的速度模型(色标同h, i, j, k, l)；(h)速度初始扰动模型；(i)方案一速度联合反演结果；(j)方案二速度联合反演结果；(k)方案三速度联合反演结果；(l)方案四速度联合反演结果；(m)方案一速度合成的时间剖面；(n)方案一自适应正则化因子曲线. Fig. 1 Inversed results of different project s and the curve of regularization parameter in the project 1 (a) Resistivity model(color scale is the same as b, c, d, e, f)；(b)Initial perturbed resistivity model； (c)Joint inversed resistivity result in project 1；(d)Joint inversed resistivity result in project 2；(e)Joint inversed resistivity result in project 3；(f)Joint inversed resistivity result in project 4；(g)Velocity model(color scale is the same ash, i, j, k, l)；(h)Initial perturbed velocity model； (i)Joint inversed velocity result in project 1；(j)Joint inversed velocity result in project 2；(k)Joint inversed velocity result in project 3；(l)Joint inversed velocity result in project 4；(m)Stacked time profile based on velocity model in project 1；(n) The curve of adaptive regularized parameter in project 1. |
MT 模拟测点共41 个，测点间距为1km.MT计算频点在320-0.00055Hz之间取40个.本次试验，MT 反演仅以TE 模式为例，数据中加入5% 的随机噪声.此外，将高阻层底界面､块体的物性参数以及顶底界面均予以松约束，即放开反演，模型物性参数和界面深度参数的变化选择空间分别为其真实数值的±60%､±50%.
在模型试验中，作者针对正则化因子选取问题，设计了四种反演方案，第一种方案:本文的自适应正则化联合反演；第二种方案:无正则化联合反演；第三种方案:正则化因子取0.05 的正则化联合反演；第四种方案:基于文献[8]提出的CMD 方案的正则化联合反演.其正则化因子选取方式为:λ(k)=
演结果比较这四种反演方案均在权重比WMT:WS=2:1 的情况下完成.为了定量分析反演结果，作者仅以电阻率反演结果为例，统计了不同方案下反演的物性参数以及界面信息与真实值的均方根误差，具体见表1.模型初始扰动结果､四种方案的反演结果､以及方案一中正则化因子随迭代次数变化的曲线见图 1.
从表 1列出的反演信息来看:方案一有3个参数的反演值最接近实际模型，方案二､三和四分别有表 1 电阻率反演结果3，0，1个.此外，方案一有1个参数的反演值偏离实际模型最大，方案二､三和四分别有2，2，3个，但方案二的总误差明显最大.从反演结果的形态来看:方案一所刻画的块体最接近理论模型，方案二所刻画的块体变形最大，方案三和方案四所刻画的块体比较接近，优于方案二，但是逊于方案一.
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表 1 电阻率反演结果 Table 1 Inversed resistivity results |
为了直观地了解各种方法的计算效率，作者画出了四种方案下目标函数的均方根误差曲线，具体见图 2(本文所有的目标函数均方根误差曲线，黑色实线代表总均方根误差曲线，灰色实线代表MT 均方根误差曲线，黑色虚线代表地震均方根误差曲线).从均方根误差曲线上看，方案一具有较高的计算效率和较好的稳定性，且解更加精确.方案二稳定性最差，迭代进行到100次之后迭代效率下降，且在300次左右曲线出现明显上扬.方案三误差曲线与方案一相似，但精度不足.方案四收敛效率较低，误差曲线长期处于静止不动状态.
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图 2 WMT:WS=2:1时各方案目标函数均方根误差曲线 (a)方案一；(b)方案二；(c)方案三；(d)方案四. Fig. 2 Root mean square error of parameter functional in different projects whenWMT:WS=2:1 (a)Project1；(b)Project2；(c)Project3；(d)Project4. |
在联合反演实现的过程中，加权系数发挥了很重要的作用，它的选取体现了各类数据在联合反演中的贡献[29]，其选择将影响联合反演结果以及迭代效率.然而权重系数的选择一直是一个难以解决的问题.具有普遍适应性的方法应该是可以在不同权重选取下保持稳定的方法.本文分别在WMT:WS=1:1和WMT:WS=1:2这两种权重选择下，在同样的模型的基础上做了以上四种方案的联合反演，均方根误差曲线分别见图 3 和图 4，这两种权重选取下的反演结果与第一种权重选取下的反演结果类似，因篇幅所限，未一一列出.
为了更加清晰地了解这四种方案的反演精度，以及模型参数逼近程度，本文统计了迭代反演完成后，四种方案在三种权重选择下的目标函数的均方根误差(总均方根误差､MT 均方根误差､地震均方根误差)，以及模型参数的反演结果与真实模型之间的总均方根误差，具体见图 5.图 5 中的纵坐标A､B､C､D 分别为目标函数的总均方根误差､MT 均方根误差､地震均方根误差以及模型参数的反演结果与真实模型之间的总均方根误差.圆圈､十字､三角和矩形符号分别代表方案一､二､三､四，分别用黑色实线､灰色实线､黑色虚线､灰色虚线连接.
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图 5 不同权重下四种方案均方根误差统计 (a)WMT:WS=2:1；(b)WMT:WS=1:1；(c)WMT:WS=1:2. Fig. 5 The statistics of root mean square error in the four projects with different weight scaling factors |
综合分析图 1-5 中的目标函数均方根误差曲线.方案一和方案四解的稳定性优于方案二和方案三，方案二最差.从图 5分析，方案一在四种方案中均方根误差最小，反演结果最逼近理论模型.方案二均方根误差较小，但反演结果与模型偏离最大.方案三在第一种权重分配下，模型逼近程度优于方案二和方案四，有一定优越性，但在第二种和第三种权重分配下其优越性消失，说明该方法的适应性较差.方案四模型逼近程度优于方案二和方案三，但目标函数的均方根误差偏大.
4.2 模型试验2由于地球物理反演问题的多解性，实际的地质地球物理问题的复杂性，以及单一地球物理方法解决问题的局限性，有待解决的地质地球物理问题的目标层或者目标体的几何结构以及物性参数分布是比较难以确定的.基于此，我们开展了联合反演研究，其中综合利用已有的地质地球物理认识，来进行先验信息约束下的精细联合反演是联合反演研究中的重要研究内容，充足以及有效的先验信息是该方法的适用条件.约束方式可分为两种，一种为紧约束，由测井或者地震资料已经确定的参数进行约束反演，另外一种为松约束，对于现有资料尚不能确定的参数给予一个可能变化的范围，通过约束反演确定该参数.
为了检验在复杂条件下联合反演与单独反演的表现，笔者设计了如图 6所示的模型，该模型共有四套地层和两个块体.速度分布情况如下:第1 层为3.0km/s, 第2层为3.5km/s, 第3层为5.0km/s, 第4层为6.0km/s, 块体A 为4.5km/s, 块体B为4.0km/s； 电阻率分布情况如下:第1层为50Ωm, 第2层为10Ωm, 第3层为300Ωm, 第4层为1000Ωm, 块体A 为30Ωm, 块体B为15Ωm.
在初始模型中，笔者赋予电阻率分布存在差异的两个块体以相同的物性变化空间，分别用MT 单独反演和MT 与地震自适应正则化联合反演来进行迭代反演.此外，将两个块体的顶界面和物性分布，以及四套地层的电阻率分布予以松约束，即放开反演.四套地层的顶､底界面以及速度分布予以紧约束，即作为先验约束条件.块体的速度变化空间情况如下:A为4.25-4.75km/s, B为3.75-4.25km/s； 各层的电阻率变化空间情况如下:第1层为40-60Ωm, 第2层为5-15Ωm, 第3层为250-350Ωm, 第4层为800-1200Ωm, 块体A 和B均为10-40Ωm.MT 模拟测点共33 个，计算频点在320-0.0001Hz之间取38个.本次试验中MT 反演仅以TE 模式为例.两种反演方法均选用最小模型为稳定泛函.试验设计的电阻率模型､电阻率初始扰动结果､以及这两种反演方法的反演结果见图 6.从反演结果的形态来看，联合反演反演出块体的形态明显优于MT 单独反演的结果.此外，MT单独反演反演出的块体A 和B 的平均电阻率分别为25､27Ωm, 与真实电阻率的均方根误差分别为9.8%､25.7%，与真实值(A 为30Ωm, B为15Ωm)不仅误差大，而且高､低阻顺序颠倒.MT 与地震自适应正则化联合反演反演出的块体A 和B 的平均电阻率分别为30､22Ωm, 与真实电阻率的均方根误差分别为7.0%､17.4%.从目标函数的均方根误差曲线上看，联合反演在迭代40 次左右便趋于稳定，单独反演则需要90次左右.
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图 6 MT 单独反演和MT 与地震自适应正则化联合反演结果 (a)设计的电阻率模型(色标同b, c, d)；(b)电阻率初始扰动模型；(c)MT 单独反演结果；(d)MT 与地震自适应正则化联合反演结果；(e)MT 单独反演目标函数均方根曲线；(f)MT 与地震联合反演目标函数均方根曲线. Fig. 6 Inversed results of MT inversion and adaptive regularized joint inversion (a)Resistivity model(color scale is the same as b, c, d)； (b)Initial perturbed resistivity model； (c)Resistivity result of MT inversion； (d)Resistivity result of adaptive regularized joint inversion of MT and seismic； (e)Root mean square error curve of MT inversion； (f)Root mean square curve of adaptive regularized joint inversion of MT and seismic. |
综上所述，与MT 单独反演相比，MT 与地震自适应正则化联合反演反演出的块体形态以及电阻率分布更加逼近理论模型，而且具有更高的迭代效率.
5 结论联合反演是进行综合地球物理研究的定量解释工具，也是研究中的重点和热点.本文首次将自适应正则化思想融入到MT 和地震同步联合反演中，通过模型试验的对比分析，我们有以下几点认识:
(1) 先验信息约束下的联合反演优于单独反演，可以更精确反演地下介质的物性参数分布.
(2) 考虑适当模型约束的正则化联合反演可以有效提高解的稳定性和计算效率，比单纯考虑数据拟合的联合反演效果更佳.
(3) 自适应正则化算法在本文所讨论的4 种方法中具有明显的优越性，可以获得更加逼近实际地球物理模型的稳定解，而且具有较高的精度和计算效率；选取经验定值的正则化算法，正则化因子的选取具有较大的主观性，应该在多次试验之后才能确定，该方法适应性不高，但不排除在特定条件下获得较好反演结果的可能性；CMD 算法比选取经验定值的正则化算法具有更高的普遍适应性，解的稳定性较高，但是迭代效率不高.
(4) 在不同权重分配的情况下，自适应算法与其他方法不同，均能获得十分接近的各类误差(图 5)，而其余3种方法结果差异较大.因此，笔者认为在联合反演权重系数选择这一难题面前，自适应正则化算法具备很好的适应性，正则化因子在反演计算中对数据拟合和模型约束进行折衷和平衡，在一定程度上可解决权重系数人为选取的问题，但不同的地球物理数据之间的权重研究对联合反演的影响仍值得进一步研究分析.
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