2011, Vol. 54
2. 北京大学物理学院, 北京 100871
2. Physical School of Peking University, Beijing 100871, China
大气运动的垂直速度是天气分析和预报中重要的物理量.由于常规气象仪器不具备观测垂直速度的能力，故一般利用可观测量通过诊断方法计算垂直速度.准地转ω 方程或Q矢量形式的ω 方程即是通过所观测到的位势高度场得到垂直速度的诊断方程.随着风场客观分析技术和初值化技术的成熟，目前已经能够直接根据水平测风资料计算垂直速度.但是，对于认识中纬度斜压大气大尺度水平环流和次级环流之间内在的物理联系而言，准地转ω 方程或Q矢量的理论意义仍是不可替代的.
准地转理论是近代动力气象学的核心，它为中纬度地区天气预报提供了重要的理论框架.1978年，Hoskins等[1]提出了准地转Q矢量概念，并据此对准地转ω 方程进行了形式上的简化.其后，Q矢量作为诊断垂直运动的工具被广泛用于天气诊断分析以及对数值预报产品的动力释用研究[2-10].随着对Q矢量的进一步研究，国内外学者通过将准地转Q矢量推广为半地转Q矢量[11]､非地转干Q矢量[12]以及非地转湿Q矢量[13-15]，将二维Q矢量推广为三维Q矢量[16]，将总Q矢量进行不同的分解处理[17]等，这些研究工作拓展了Q矢量的概念，得到了很多有意义的结果.
由于Hoskins及其他学者都是由f平面近似的p坐标系原始方程组出发推导出Q矢量以及其变形.因此，下述一些问题有必要予以澄清.
(1) 由于在准地转运动方程组中，有一个很重要的近似，即所谓的β 平面近似(即f=f0 +βy).而上述Hoskins等从f平面近似(即f=常数)出发的ω 方程是否能保证和准地转ω 方程具有相同的动力学属性?
(2) 同样由于上述原因，历史上Hoskins首次将由f平面近似的ω 方程计算的垂直速度表示为完全取决于Q矢量场的分布，其后，一些学者为了拓展Q矢量的应用，直接将β项､非绝热加热项都引入Q矢量的结果表达式中[11-15, 18-31]，但是这也使得ω方程的强迫项缺乏明确的物理意义，并且人为痕迹明显.针对上述问题，本文直接由准地转ω 方程出发，推导出Q矢量的表达式，从而使得其物理意义更为清楚，同时也能更好地理解Hoskins等定义Q矢量表达式的内涵.
2 准地转Q矢量理论简介在绝热无摩擦､准地转､f平面近似下的p坐标系运动方程组可写为[32]
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(1) |
式(1)中，
由(1)式和f平面近似下的热成风公式，可以推导出准地转ω 方程[32]:
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(2) |
其中，
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(2) 式即为用Q矢量表示的准地转ω 方程.在准地转理论中，地转平衡的恢复一方面是通过垂直运动的水平不均匀性改变水平温度梯度，另一方面是通过非地转水平风速的铅直不均匀性改变水平风的铅直微商而达到[1].由(2)式可看出，当Q矢量场辐合时，垂直运动向上；当Q矢量场辐散时，垂直运动向下.在用于诊断分析时，用Q矢量散度表示ω的大小及分布，在定量计算上比常用的准地转ω 方程要更为简便.
3 由准地转ω 方程推导Q矢量的表达式准确地说，Q矢量并不是有别于准地转ω 方程的新理论，只不过是用一种新的形式表示二级环流强迫因子的方法.因此从准地转ω 方程出发直接推导Q矢量表达式，可以更清晰地理解Q矢量的本质.中纬度自由大气中，水平气压梯度力与科氏力是近似平衡的，此时的运动是二维的[33].准地转近似由于部分地采用地转近似，因此运动是三维的.应用准地转近似可使研究大尺度运动的演变问题得到进一步简化.中高纬度大气的许多基本结构都可以用准地转理论进行描述，因此它也是中高纬度地区天气预报的主要理论依据.
3.1 准地转ω 方程由不考虑摩擦作用的p坐标系大尺度涡度方程和热力学方程，不难推导出准地转ω 方程[34]:
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(3) |
(3) 式是一个诊断方程，右端第一项为微差涡度平流项，第二项为温度平流项.只要知道某时刻各等压面上的位势高度(Φ)分布，便可利用(3)式来求出ω 值.从20世纪70年代起，准地转ω 方程原理已经成为从模式产品估算垂直运动的基础.它的优点在于它是个诊断方程，只需一个时次的资料，而且方程的物理意义非常清楚.在诊断分析时，可以通过分别求(3)式右端各强迫项的方法来得到垂直速度的量值.但对(3)式的研究表明，右端二项并不是互相独立的，其中有一部分是相互抵消的.Trenberth[35]曾证明，在引入地转流函数后，(3)式可以写成
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(2) |
其中，
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(3) |
这里
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(4) |
称为地转变形项.
为避免准地转ω 方程右端两项互相抵消的问题，Trenberth证明了在对流层中层，当略去地转变形项后，准地转ω 方程右边两项可以用热成风涡度平流来综合表示，即
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(5) |
由于在该形式的强迫项中忽略了地转变形项的作用，因此这种形式的ω 方程仅适用于斜压性比较小的对流层中层.
Hoskins等则从p坐标系f平面近似的运动方程组出发得出了(2)式，认为它可以用于取代准地转ω 方程右端的微差涡度平流项和温度平流项之和[1]，它比Trenberth的方法更加准确，并可用于天气图分析和实际诊断计算[4].其后我国学者对Q矢量理论所作的拓展多是沿用Hoskins的推导思路.
3.2 由准地转ω 方程直接推导Q矢量的表达式下面直接从准地转ω 方程(3)出发推导Q矢量表达式.将(3)式写为
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(4) |
(3) 式中右边第一项可写为
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取β 平面近似，即f=f0 +βy，则F1 可写为
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(5) |
(5)式右端第一项又可写为
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(6) |
由Δ (▽2φ)=▽2(Δφ)，则(6)式又可写为
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(7) |
利用p坐标系地转关系式ΔΦ =-f0k×Vg,热成风关系式
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(7)式右端第二项可写为
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故
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考虑到
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则（4）式右端第二项可写为
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(8) |
故(4)式右端最终可写为，其中，
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其中，
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因此，（４）式可写成
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(9) |
(9)式是直接由准地转ω 方程(3)式出发所作严格数学推导所得，二者的适用范围是一致的，即中纬度大尺度运动.但如果直接通过(3)式来诊断垂直运动，即单独将微差涡度平流和温度平流分开作为强迫项来诊断垂直速度，由于这二项之间有抵消作用，则会出现所谓的“大量小差"问题，容易引起计算误差.而(9)式中的
如只考虑饱和稳定空气动力上升的情况，根据文献[10]，则包含凝结加热作用的准地转ω 方程中的加热项可以写成
因此，具有这种湿加热项的湿ω 方程可以写为
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(10) |
要注意的是，为保持方程的椭圆性，
由(9)式的推导过程可看出，在准地转运动中，Q矢量的内涵是不考虑β 强迫项时的微差相对涡度平流和温度平流之和，这种形式的表达式可克服准地转ω 方程计算垂直速度时由于这二项的“大量小差"造成的计算误差.我国学者拓展了Hoskins等提出的准地转Q矢量概念，先后提出了半地转Q矢量[11]､非地转干Q矢量[12]､非地转湿Q矢量[13-15]等理论，并进行了广泛的应用研究[18-31].但对各种拓展的Q矢量概念是否合理､各表达式之间的联系还缺乏深入的分析研究.因此，有必要对以下各类拓展Q矢量进行一些深入的探讨.
4.1 半地转Q矢量半地转Q矢量[11]实际上是地转动量近似下的Q矢量.地转动量近似是比准地转近似高一级的近似，是半地转运动概念的推广，主要用于研究锋面和急流一类的天气系统.它的控制方程与准地转近似最大的不同是被平流的风是地转风，但平流风不是地转风，它包含有非地转风分量[36].我国学者提出的用半地转Q矢量表示的ω 方程为[11]
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(11) |
式中，
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(12) |
下面我们在地转动量近似下，直接利用准地转ω 方程得出半地转Q矢量.
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在地转动量近似下，被平流的风用地转关系
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(13) |
类似(9)式的推导，(13)式中右端第一项可写为
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(14) |
(13) 式中右端第二项可写为
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(15) |
消去(14)式和(15)式中符号相反的项，则(13)式可写为
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(16) |
式中，
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因此，在地转动量近似下，如将Q矢量仍定义为与准地转Q矢量类似的形式，则在ω 方程右边需加上强迫项
(2) 完全的涡度方程中含有
(3) 对β 项的认识有错误.简单而言，比较(12)与(16)式，要求
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(17) |
式中，
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(18) |
下面我们直接由准地转ω 方程得出非地转Q矢量.将(4)式右端强迫项中用实际风代替地转风后得到:
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(19) |
类似(16)式的推导，(19)式中右端第一项可写为(注意式中用了替换平衡近似，即实际风垂直切变用地转风垂直切变代替[13]):
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(20) |
(19) 式中右端第二项可写为
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(21) |
消去(20)､(21)式中符号相反的项，则(19)式可写为
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(22) |
式中，
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因此，如将Q矢量仍定义为与准地转Q矢量类似的形式，则在ω方程右边需加上强迫项
分析我国学者提出的非地转Q矢量推导过程，发现由于其与半地转Q矢量推导过程类似[13, 14]，因此存在着与半地转Q矢量推导中同样的问题，只不过用的是f平面近似而已.
4.3 非地转湿Q矢量我国学者提出并使用的非地转湿Q矢量表达式为[19]
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(23) |
式中，
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(24) |
实际上，由(10)和(22)式，我们可以写出用非地转湿Q矢量表示的ω 方程为
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(25) |
我国学者提出的非地转湿Q矢量推导过程与(18)式类似，存在的问题与前类似，不再赘述.由上可见，直接从准地转ω 方程(3)式出发所推导的Q矢量表达式(9)，物理意义明确，且能更好地理解Hoskins等的推导过程.对Q矢量所作的拓展，应该建立在对Q矢量本质理解的基础上，而不仅仅是对Hoskins数学推导步骤的模仿.Q矢量表达式是热力因子和动力因子不均匀性的综合体现.它不包括β 效应､摩擦项和非绝热加热项，且能反映出微差相对涡度平流和温度平流中大项相抵消的特征.拓展的半地转Q矢量､非地转Q矢量和湿Q矢量是相应地取地转动量近似､非地转风以及考虑潜热释放时，由涡度方程和热力学方程得出的用Q矢量表示的垂直运动诊断方程.其中的Q矢量表达式也必须要能反映出微差相对涡度平流和温度平流中大项相抵消的特征，否则形式上的拓展Q矢量在实际应用上没有任何意义.
5 结论与讨论准地转Q矢量作为大尺度垂直运动诊断方程的强迫项，由于是微差相对涡度平流和温度平流中大项相抵消以后的值，因此无论在定性应用和定量计算上，都比通常的准地转ω 方程更为方便和准确.准地转ω 方程和用Q矢量表示的ω 方程可用于诊断中纬度大尺度斜压扰动的垂直运动.对于此类性质的系统，水平运动是基本环流，垂直运动是次级环流，两者相差3个数量级(101 m/s和10-2 m/s).准地转ω 方程和用Q矢量表示的ω 方程揭示了在大尺度斜压扰动中水平环流是如何通过准地转过程控制了垂直环流.换言之，准地转ω 方程和用Q矢量表示的ω 方程只适合于准地转运动.将其延伸到半地转､非地转，将Q矢量从二维延伸到三维，都因背离准地转运动的核心而走向谬误.
实际上，Q矢量的提出主要是为了解决准地转ω 方程中微差相对涡度平流和温度平流相互抵消的问题，由于Q矢量可以较准确地计算大尺度的垂直运动，从而为中小尺度运动提供背景条件.但是，近年国内有关Q矢量的应用中，一般都认为Q矢量对暴雨有预报指示意义.要注意的是用Q矢量所确定的只是大气的大尺度垂直运动，而大尺度垂直运动只是暴雨发生的背景条件，暴雨能否发生还需要其他环境条件和触发机制，不能仅由Q矢量来诊断其能否发生.
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