地球物理学报  2011, Vol. 54 Issue (9): 2389-2396   PDF    
偶极子假设引起的大回线源瞬变电磁响应偏差分析
薛国强1, 闫述2, 周楠楠1     
1. 中国科学院矿产资源研究重点实验室,中国科学院地质与地球物理研究所, 北京 100029;
2. 江苏大学计算机科学与通信工程学院, 江苏 镇江 212013
摘要: 偶极子假设下的场点近似解与场点的瞬变电磁精确解存在一定的误差, 文中对偶极子假设引起的误差进行了探索性研究.首先分析了由恒定电流偶极子公式"比拟"出的谐变偶极子位函数解.分别计算了静态场中磁偶极子和电偶极子的近似解与各自对应的未做偶极子假设的电流环和载流导线的精确解之间的误差值,然后分析了谐变偶极子微元与点电荷微元的误差.结果表明,在发射回线内,均不满足偶极子的条件,由此造成的解析表达式的误差不可忽略.为此探讨了以时变点电荷微元作为解析求解基本单元的可行性,以时变点电荷假设代替偶极子假设,将时变点电荷解直接"比拟"到时域场中,给出了时间域瞬变电磁场的推迟矢量位函数,为进一步研究时变点电荷微元假设下的精确解、直接时域求解瞬变场问题探索了新方法.
关键词: 大回线源瞬变电磁法      中心回线      大定源回线      偶极子微元      点电荷微元     
Theoretical study on the errors caused by dipole hypothesis of large-loop TEM response
XUE Guo-Qiang1, YAN Shu2, ZHOU Nan-Nan1     
1. Key Laboratory of Mineral Resources, Institute of Geology and Geophysics, Chinese Academy of Science, Beijing 100029, China;
2. School of Computer Science and Telecommunication Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang Jiangsu 212013, China
Abstract: There is some error between field approximate solution and loop-source exact solutions. In this paper, the error caused by dipole approximation is researched. The vector and scalar potential function was analyzed by "matching" the result of constant current field to TEM response. The error between dipole approximate solution and loop-source exact solutions of magnetic dipole source and electric dipole source was calculated in the condition of static field. Then, we analyzed the error between harmonic dipole and point charge. We draw the conclusion that the condition of dipole is not met in the loop and the calculation error can not be omitted. After that, we discuss over the ability of using transient point charge as the basic solution. Based on the theory that time-varying point electric charge can transmit electromagnetic wave, it is found that point charge infinitesimal instead of dipole infinitesimal is the smallest unit. This paper gives the important idea of "matching" the study result of electrostatic field point charge to the result of time-domain field. After the analysis of possibility of point charge infinitesimal hypothesis, and "matching" the solution of point charge infinitesimal in microwave antenna theory to time domain electromagnetic field, the Postpone vector Potential function of point charge infinitesimal is obtained at last which makes the foundation for the studying of the exact solution based on the point charge and searching for the direct transient-field solution.
Key words: Large-loop transient electromagnetic method      Central-loop      Fix-loop source      Dipole infinitesimal      Point charge infinitesimal     
1 引言

在勘探电磁学中,为了降低问题的求解难度往往把载流源产生的场作为电偶极或磁偶极场处理[1~6].但是,只有在远场情况下,偶极子场假设才真正有意义,对于常用的近区测量的大回线源瞬变电磁装置方式,在回线边缘附近的场点,由于偶极子假设条件不完全具备,偶极子响应与场点处的真实情况存在误差.为了进一步提高中心回线瞬变电磁勘探精度,不能再将中心回线装置的发射回线作为磁偶极子处理.Ward 和Hohmann[1]提出将矩形回线分割为无数个小矩形面元,以小矩形面元作为磁偶极子沿回线面进行面积分,以求得较为精确的解; Poddar[3, 7]的作法是将回线边分割为小的电流段,以小电流段作为电偶极子沿回线进行线积分,求得频域场表达式.进一步地,又有Raiche[8]采用嵌套插值的方法求出了多边形回线产生的场的解; Goldman等采用电偶极子的积分[9]导出了矩形回线在两层介质表面上激发的场.在我国,刘树才等沿用了文献[1, 10]的方法,即将回线作为磁偶极子的组合处理,得到更为接近实际的电、磁场表达式,并在此基础上进行了电场与磁场对称关系的研究.李桐林等[11]将文献[7]的电偶极子积分转变为求和,降低了求解难度、减小了计算量,获得了任意形状回线源瞬变电磁全区视电阻率公式.翁爱华等[12]仍然利用了电偶极子叠加的方法,获得了矩形回线的全区视电阻率公式.这些研究,为瞬变电磁方法向精确勘探方向的发展起到了十分积极的作用.本文在上述工作的基础上,对偶极子假设引起的误差进行了探索性研究,提出了将点电荷微元作为基本单元,求取大回线源的瞬变电磁响应的新思路.

2 回线源解析求解中的位函数与偶极子

在线性、分区均匀、导电的非磁性大地中,有准静态条件下的Maxwell方程[13, 14]:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中,H为磁场强度,单位A/m;E为电场强度,单位V/m;J′为源电流密度,单位A/m2ρ 为电荷密度,单位C/m3μ0、σ 分别为磁导率和电导率,单位分别为H/m 和F/m.

对公式(1)、(2)分别求旋度,相互代入,并考虑(3)、(4)式后,再利用矢量恒等式××A= ·A-2A后,有电场和磁场的扩散方程

(5)

(6)

众所周知,电磁场的求解非常困难,为此引入了位函数,如矢量位、标量位,赫兹位,德拜位,谢昆诺夫位等.

Lorentz规范下的矢量位A、标量位Φ 有如下的齐次扩散方程

(7)

在考夫曼的著作中,研究谐变偶极子时,根据 Maxwell方程(3)电场的散度等于零、和式(4)磁场的散度等于零,分别定义了磁矢量位Am 和电矢量位Ae

(8)

(9)

然后应用恒定电流磁偶极子的公式,“比拟"出谐变磁偶极子的矢量电位,和恒定电流电偶极子的公式,“比拟"出谐变电偶极子的矢量磁位.

2.1 磁偶极子

取球坐标系,磁偶极源置于原点(图 1).磁偶极源IdS的矢量位Am 仅有z分量,球坐标下的矢量位公式(7)的形式为[3]

(10)

式中,r为场点至坐标原点距离,k为波数,此方程的一个解为:

(11)

对上式取散度,有

(12)

根据Lorentz规范条件[3],得到谐变场标量位磁位Φm 表达式

(13)

通有恒定电流的磁偶极子产生的磁位Φm

(14)

式中M=IdS为磁偶极矩.取极限ω→0、ΦmΦ0m确定式(11)中的系数Cm, 由此得到频域磁偶极子的矢量电位:

(15)

2.2 电偶极子

类似地,对于电偶极源Idl(图 1),载有恒定电流的电偶极子的磁场为

(16)

图 1 偶极子和坐标系(据文献[1]修改) Fig. 1 Dipoles and system of coordinates

采用矢量磁位Ae 和标量电位Φe, 对于电偶极子形成的似稳场,矢量磁位Ae 可以表示为

(17)

根据位函数与磁场分量之间的关系,磁场分量可表示为:

(18)

通过与载有恒定电流的电偶极子的磁场相“比拟",即当频率趋于零时,公式(16)与公式(18)相等价,由此确定常数Ce, 即当频率趋于零时,

(19)

(17) 式变为

(20)

式(20)与式(15)形式相同,只是系数不同[2].

从公式(15)和(20)出发,按照文献[2]的步骤通过边界条件代入、Fourier/Laplace变换等步骤,即可求出分层大地表面上磁偶极子微元和电偶极微元的时间域瞬变电磁场表达式.然后对磁偶极子微元(图 2中的IdS)产生的场在整个回线面积上进行积分;或者对电偶极子微元(图 2中的Idl)的场沿回线积分,最终求得大回线源的电磁响应.

图 2 大回线源与偶极子(P为场点) Fig. 2 Large rectangular loop source and its dipole
3 偶极子假设误差分析

发射回线的“迭加偶极子"意义下的公式较之“单纯的偶极子"公式更接近实际使用的发射源.但是这种改进还不彻底,因为以偶极子场为被积函数的面积分和线积分,还不能很好地反映位于偶极子微元附近场的特性,对近区场点的电磁场响应分布特征刻画会出现一定程度的失真现象.虽然在一般电磁理论中,确实采用了电偶极子和磁偶极子来描述媒质中的电场或磁场,即用偶极子的场表示极化或磁化后对外产生的电场或磁场,导出结构方程,进一步得到媒质中的电磁场方程.应该说,这样做是合理的,因为极化、磁化的偶极子是分子水平上的,对宏观电磁场来说,这样得到的场方程是精确的.但对同属宏观电磁现象中的偶极子源与场的问题,源点和场点之间需满足远场区条件,偶极子近似才能成立.正如前述谐变电磁场的响应可由恒定电流场通过比拟法导出,在还没有获得大回线源TEM 精确解的情况下,对偶极子积分求解的基础:恒定电流的磁偶极子和电偶极子近似引起的误差进行分析,并对谐变偶极子近似的误差进行分析.

3.1 磁偶极子误差

为方便讨论电流环与磁偶极子的场之间的差别,建立图 3所示的坐标系统,a为电流环半径或者偶极子半径,I为电流.为了方便比较,仅计算在其轴线方向上场的误差.将半径为a的电流环轴线上的磁场[15]

(21)

图 3 磁偶极子及电流环 Fig. 3 Magnetic dipole and current circle

与相同半径磁偶极子轴线上的磁场[16]

(22)

进行比较.表 1是当取I=1、a=1时,电流环与磁偶极子轴线方向上不同场点处的磁场值,并计算了两者之间的误差,误差计算公式如下:

(23)

表 1的计算结果表明,只有当场点到原点(也是电流环和磁偶极子中心)的距离是电流环半径10倍以上的地方,电流环才可以视为磁偶极子,两者场的误差才可以忽略不计,当场点位于5 倍电流环半径距离处,误差开始增长,此时相对误差为5.88%,是电磁法勘探允许误差的上限,从3倍距离以上,误差急剧增长,偶极子假设的条件已不具备.

表 1 电流环与磁偶极子的磁场(a = l) Table 1 Magnetic fields of current circle and magnetic dipole (a = 1)
3.2 电偶极子误差

与磁偶极子的讨论类似,图 4所示的载有恒定电流的导线在z轴上产生的磁场为[15]

(24)

图 4 载流直导线和电偶极子 Fig. 4 A current-carrying wire and a electric dipole

z轴上,电偶极子的磁场公式(16)成为

(25)

I=1、L=1,并用4π归一化的磁场列于表 2.

表 2 载流直导线与电偶极子轴线上的磁场 Table 2 Magnetic fields on the axis of a current-carrying wire

分别按照(24)式和(25)式对在两异性点电荷轴线上、在偶极子近似前、后磁场进行计算,相对误差公式与(23)式相似,计算结果如表 2.

(26)

表 1, 表 2可知,载有恒定电流的直导线与载流电偶极子场之间的误差略小于电流环与磁偶极子之间的误差,在场点到原点的距离为偶极子长度1.5倍处,误差达到5.632%.但此后误差的增长同样迅速,不能忽略.由此可见,不论对于磁偶极子还是电偶极子,当场点到源点的距离小于源的尺度、或者与源的尺度相当时,也就是在近区场和一部分中区场内,偶极子近似有较大的误差.回线内的观测是近区场的观测,取磁偶极子微元和电偶极子微元产生的误差,并不能通过对回线的面积分或线积分得到完全的补偿.

3.3 谐变偶极子误差

在计算谐变回线源的面积分或线积分时(图 2),认为电或磁偶极子趋于无穷小,如图 5所示的电偶极子为例的这个过程,正负谐变的电荷逐渐接近,最终合成一点.

图 5 偶极子尺寸变化图 Fig. 5 Show of vary of diploe length

对于(15)式和(20)式,除了系数不同外,两个被积函数式中的共同项为$\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$.对于谐变偶极子微元,共同项可写为:

(27)

对于点电荷微元,共同项可写为

(28)

只有当

(29)

时,式(27)和(28)才近似相等,偶极子条件才能成立.和恒定电流场公式(21)、(22),(24)、(25)相比,谐变偶极子微元式(27)与点电荷微元式(28)还多出了指数项,更增加了偶极子近似带来的误差.以电偶极子微元Idl为例,在图 6a中,遍历回线内各场点(如表 3所示),均不满足r$\gg $r′的条件.图 6b是回线内外场点位置矢量与源点位置矢量模之比的等值线图,可以看出,在回线外至少要到距回线边框1000多米处,r/r′才有5倍的比值.因此,以偶极子微元的场为被积函数的回线解析解,在回线外一定范围内的误差也是不能忽略的.

表 3 回线内场点r与源点r'之比 Table 3 The ratio of field point r and source point r'
图 6 谐变偶极子近似在回线源内外的误差分布 回线边长600m × 800m.(a)回线内的各场点;(b)电偶极子在回线内外的误差分布. Fig. 6 Contour of error distribution in-loop and outside loop Loop side length is 600 m × 800 m.(a) Field points inside loop;(b) Error distribution of electric dipole.

图 6所示仅是回线边框上一小段载流导线的电偶极子微元,沿回线边框的各个偶极微元都有这样的误差.这些偶极子近似误差并不能通过面积分或线积分来消除.为了得到回线源的精确解,还需要以点电荷微元作为被积函数.与文献[2, 3, 6]先导出的频域被积微元不同,本文在这里将给出的是时域被积微元.

4 时变点电荷微元的推迟位

将载流源看做偶极子除为了降低求解难度以外,还来源于天线理论.如图 5 所示,在电偶极子的两端,正负电荷交替变化,将电磁波发射出去.实际上,只要有电荷随时间的变化,例如图 5中最右端的点电荷,都有电磁波的辐射.对于时变点电荷的波动方程[15]

(30)

v=1/$\sqrt{\mu \varepsilon }$,代入上式后得

(31)

考虑到点电荷的球对称性,取球坐标系后,在源点外的区域中,Φ 满足的方程变为

(32)

再次做变量代换

(33)

后,有

(34)

此为D′Alembert方程.其通解为

(35)

式中R=|r-r′|.保留由源点向外发出的波,舍弃向源汇聚的波,即令C2 = 0 回带到(34)式中后,得到

(36)

将上式与静态场的点电荷的电位

(37)

“比拟"后,确定出式(36)中的系数c1,由此得到时变点电荷的推迟标量位函数

(38)

对照上式,时变点电荷源的推迟矢量位函数为

(39)

以推迟位为基础直接在时间域中导出大回线源电磁场的解析式,可以避免在解析式求值时因Fourier/Laplace变换带来的附加误差,更重要的是将时域中重要的因果关系保留下来.因为在从时域到频域的 Fourier变换公式

(40)

中,时间t从-∞到+∞积分,即没有开始也没有结束,是稳态场,反映因果关系的时间变量在变换中消失了,经由频域再到时域的求解方式有可能在源处产生奇异[8].如图 7所示的瞬变场感应电动势,在回线边框附近迅速增大,在边框处奇异.实际上,对于以阶跃函数下降沿触发的瞬变场,当电源关断后,在原来的源点处不会发生奇异,这也是时域瞬变场可以进行同点观测的原因.通过推迟位直接在时间域中求解回线源的场,可以完全避免场源奇异的问题.此外,推迟位从波动方程(30)式导出,随着时间的推进,场在导电大地中传播了一段距离以后,转变为似稳的扩散场,如此将时域瞬变场完整的演变过程展现出来.这样做,较之从一开始就忽略了位移电流的 Maxwell方程式(1)~(4)出发的解析解有了更广的适用性,如在浅层勘探、或高阻围岩金属矿的勘探中,可以免除用扩散方程公式分析波动场的顾虑.

图 7 过发射回线中点测线上t= 0.318ms的感应电动势 接收线圈等效面积为100m2,大地电阻率为50Ωm, 据文献[5]修改. Fig. 7 The induced electromotive force on the survey line through the center of the loop at t = 0.318 ms The area of receiver is 100 m2,earth resistivity is 50Ω·m.
5 结论与讨论

对于大回线源,不论磁偶极子还是电偶极子,在近区场和一部分中区场内,偶极子近似有较大的误差.对于回线内的近区场的观测,由磁偶极子微元和电偶极子微元假设产生的误差,并不能通过对回线的面积分或线积分得到完全的补偿.

用点电荷微元的推迟位作为基本单元是获得回线源更精确的解析解的方法之一.但是,精确解的最终获得与求取还有许多工作要做.例如,式(38)、(39)中,εv在导电媒质中是色散的,常见的为频域表达式,如何适时、适当地引入Fourier/Laplace变换,使求解的主要部分仍在时域中进行,或者寻求恰当的时域表达式是需要解决的问题;获得解析公式后,如何精确求值,需要寻求适当的算法(一般为数值方法);对于均匀半空间如何获得闭合形式的解,对视电阻率、场的性质的分析都很有必要.但精确式更复杂的形式,将会使闭合式的求解更为困难.此外,除了矢量电位和磁位以外,还可以考虑其他形式的辅助函数,如Green 函数、并矢Green 函数等等,这些都是在以后进一步的工作中需要研究的.

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