1 引言

渗透率是评价油气储层开采难易程度的重要参数之一，准确快速地求取地层渗透率对油气勘探和开发具有重要意义.过去几十年中，人们建立了一些理论模型来研究渗透率与声波之间的联系，旨在从声波测井资料中提取地层渗透率.Rosenbaum^[1]首次将Biot提出的孔隙介质弹性波理论^[2-4]用于模拟声波测井问题，并发现井孔斯通利波的性质随地层渗透率改变.Williams等^[5]也从声波测井资料中发现，渗透率与斯通利波相速度和幅度的变化存在相关性.Winkler等^[6]通过实验和理论研究证实了上述相关性.为了利用井孔斯通利波信息快速地计算地层渗透率，Tang^[7]推导出了低频斯通利波的简化计算公式，在此基础上，Tang 和Cheng^[8]提出了一种利用井孔低频斯通利波衰减反演地层渗透率的方法.这一时期，伍先运等^[9]也开展了斯通利波反演渗透率的方法和应用研究，并将反演结果同理论模拟的输入值以及实测资料进行了对比.

然而，利用井孔斯通利波的渗透率反演方法，对于低孔低渗地层，特别是在受黏土含量过高导致的孔隙度和渗透率相关性不好的地层中，误差过大.这是因为斯通利波性质除了随渗透率变化外，还受地层岩性､孔隙泥质含量和井壁泥饼等多种因素影响^[10].此外，电法测井和核磁共振测井也被用来估计地层渗透率，说明地层声学特性等多种物理参数均受渗透率影响，这使得目前单纯利用声学､电学或核物理学的方法，均不能特别有效地进行地层渗透率的井下连续测量.

实验研究发现^[11]，某些地下介质中的声波传播，可以引起电场.Frenkel^[12]最早对此进行了理论研究，并指出这是一种与孔隙介质中双电层和孔隙流体渗流有关的动电现象.地下或海底的油气储层通常是由固相骨架和含带电离子的孔隙流体组成，固-液界面附近的孔隙流体中含有净剩电荷^[13].当声波在这类孔隙介质中传播时，会引起孔隙流体相对于固相的流动，这种携带电荷的渗流波动可导致流动电势和电磁场.反之，交变电磁场也可以诱导声波.由于这种声波和电磁场的耦合作用与孔隙度､渗透率､孔隙尺寸以及流体性质等储层参数密切相关，人们希望利用地层中的动电效应来探测和评价储层，提出了声电效应测井方法.采用声源激励是声电效应测井与声波测井的共同之处，但前者除接收声源激发､在井外地层传播并返回井内的声信号外，还接收声波在地层中诱导的电磁信号.过去，在声波测井中，地层中的动电效应以及这种微弱的声诱导电磁信号不曾被考虑.近些年，随着微弱信号检测手段的提高和信号处理技术的发展，人们已经可以从测井环境噪声中提取声诱导的电磁信号^[14-16].然而由于对声波和诱导电磁场的相互作用及其与各种岩石物理参数的内在联系缺乏足够的认识，人们还不能同时利用这两种测井信号获得更多的地层信息，声电效应测井目前仍处于理论和实验研究阶段.因此，迫切需要通过数值模拟，对井中的声电波场进行理论研究和定量分析，阐明利用声电效应测井可以探测哪些岩石物理参数.

为了理论研究和数值模拟动电波场的需要，Pride^[17]在Frenkel^[12]工作的基础上，推导出了均匀流体饱和孔隙介质的动电耦合波动方程组，它是关于孔隙介质弹性波的Biot方程组与关于电磁场的Maxwell方程组的耦合.Pride和Haartsen^[18]分析了均匀孔隙介质中动电耦合体波的特性，从理论上说明了存在两种诱导电磁场，一种伴随声波出现，另一种脱离声波以电磁波速度传播.这一系列重要文献为研究动电效应提供了理论框架.在此基础上，胡恒山和王克协^{[19， 20]}通过引入势函数，求解Pride方程组，并利用井壁流体-孔隙介质交界面处的场量连续性条件，推导出了轴对称情况下井内外声电波场的表达式，最早实现了对单极源声电效应测井全波响应的模拟.他们比较了模拟井孔声场和电磁场波形的幅度变化与渗透率､孔隙度等地层参数的相关性，并引入了电声比(诱导电场和声场比值)的概念，考察了电声比幅度受地层参数变化的影响.结果表明，诱导电场和声场的幅度对地层参数变化的敏感度相当，仅利用这两种场的幅度数据很难获得更多的地层信息.同一时期，Mikhailov等^[21]在忽略诱导电磁场对声场影响和准静态电磁场条件下，采用Tang的简化斯通利波公式^[7]，计算了井孔低频斯通利波的诱导电场，并给出了电声比的近似表达式.此后，国内外许多学者进一步开展了对声电效应测井的理论和数值模拟研究^[22-27]，但未见利用声电效应测井反演地层参数的报道.

在前人工作的基础上，本文研究声电效应测井响应与地层渗透率的联系.首先，从Pride动电耦合方程组入手，推导伴随低频斯通利波的井孔轴向电场与井孔声压比值(电声比)的频率域表达式.然后，通过数值计算分析，对电声比表达式进行简化处理，获得反映电场和声场相位差异的电声比幅角正切值的近似表达式.基于电声比幅角正切值与渗透率的相关性，提出利用低频声电效应测井全波反演地层渗透率的方法.最后，从数值模拟的不同砂岩地层声电效应测井曲线中反演出渗透率，计算相对误差，并与文献[9]利用声波测井斯通利波反演渗透率的结果进行比较.

2 声电效应测井的理论基础

依据Pride理论^[17]，在均匀､各向同性的流体饱和孔隙介质中，声波和电磁场的动电耦合可以由具有昂萨格互易性的方程组表示如下，其中时间简谐因子设为

(1)

(2)

式中ω 为角频率，E为电场强度，J为电流密度，u为固相位移，w为渗流位移，p为孔隙流体压强，η 和ρ_f 分别为孔隙流体黏度和密度，σ(ω)､L(ω)和κ(ω)分别为孔隙介质的电导率､动电耦合系数和Johnson等^[28]定义的动态渗透率，它们都是频率的函数，具体的表达式可见文献[17].在(1)､(2)两式中，含有动电耦合系数的项L(-Δp+ω²ρfu)和LE体现着声､电磁两种场的相互作用，其中压强梯度和固相位移加速度可以引起电流密度的改变，电场可以导致渗流.L的大小表征了动电转换的能力.当L=0时，(1)､(2)两式分别退化为欧姆定律和达西定律，同时，Pride方程组解耦为孔隙介质弹性波Biot方程组(见附录A)和电磁波Maxwell方程组.

在圆柱坐标系下求解Pride方程组，并利用井壁流体-孔隙介质交界面处的场量连续性条件，可以得到井内外声､电波场的频率-波数域表达式；再应用实轴积分法^[29]，即可获得井孔声电波场的时域波形^{[19， 20]}.图 1和图 2是采用表 1的流体饱和砂岩地层和井孔流体参数，模拟的单极源声电效应测井声压和轴向电场的时域全波曲线，其中图 1 和图 2 的点声源中心频率分别为f₀=6 kHz和f₀=1 kHz.图 1a和图 2a给出了井轴处的声压p和轴向电场E_z随源距z(接收器到点源的轴向距离)变化的归一化波形，图 1b和图 2b显示了z=3.0m 的波形.图 1中的声压全波包含3个波群，即纵波b-b､横波和伪瑞利波c-c､斯通利波d-d；而电场也有对应的波群，它们分别是伴随这3个声波波群的电场.与声场不同的是，电场波形中还有一个比纵波更早的､几乎同时到达不同源距接收器的波群a-a, 其幅度很小.它在井壁交界面产生，独立于声场，以地层电磁波速度传播.在图 2的声压和电场波形中，只能清楚地看到斯通利波以及伴随斯通利波的电场波群，这是由于在1kHz的中心频率附近，井孔斯通利波的激发强度远大于其他分波.

需要说明的是，尽管由于动电效应，孔隙地层中的声波和电磁场是耦合的.但是，对于由声源激励的声电转换而言，声诱导电磁场对声场本身的影响是很小的.因此，模拟声电效应测井可以采用如下的简化方式^{[21， 22， 24-26]}.首先，忽略诱导电磁场对声场的影响，将声场从动电耦合机制中解耦出来，并依据Biot孔隙弹性波理论和井壁界面处声场的连续性条件独立求解.然后，在声场已知的情况下，声诱导电磁场的计算问题转换为了求解空间波动电流源的麦克斯韦方程组^[25].文献[23， 25]将采用简化方式模拟的声电效应测井波场与直接求解Pride动电耦合方程组计算的波形画在同一幅图上比较，发现二者重合，这说明简化计算的可行性和正确性.基于这种简化方式得到的声波和电磁场表达式，我们将进行声电效应测井响应与地层参数相关性研究的公式推导.

3 低频斯通利波电声比

根据井孔波场的复变函数法分波计算理论^[29]，单极源测井全波曲线中的斯通利波波群可由井孔声场函数在斯通利波极点k=k_st处的留数计算得到，其中k为轴向波数，k_st为斯通利波波数.在频率域内，伴随斯通利波的井孔轴向电场与声压的比值(电声比)可以表示成

(3)

其中Res为留数函数，R_EP表示电声比，文献[20]中的电声比是一个实数，表示电场与声压的幅度比，用REP表示；本文中的电声比R_EP是一个复数，含有幅度和相位信息.E_zb和p_b 分别为井内的轴向电场和声压，r₀ 为接收器偏离井轴的距离.文献[25， 27]已经推导了多极源声电效应测井的井内外声场和诱导电磁场的频率-波数域表达式(可退化为单极源的情况).为了本文的完整性以及公式推导的需要，附录B给出了单极源声电效应测井的井内外声场和诱导电磁场的部分频率-波数域表达式，其中(B12)和(B19)式分别为井内声压p_b和轴向电场E_zb的表达式.

求解附录B 中关于声场的方程组(B13)-(B16)，可以确定(B12)式中的系数A_ba.根据克莱姆法则，方程组(B13)- (B16)的解可表示为x_n=Δx_n/Δ，(n=1，2，3，4)，其中Δ 为方程组系数矩阵的行列式，在斯通利波极点k=k_st时，Δ=0，因此，斯通利波的求解需利用(3)式的极点留数运算；Δx_n是把系数行列式Δ 中第n列元素依次用方程组右端项代替后的行列式.在与声场有关的系数A_pf､A_ps和A_s(或者说x₂､x₃ 和x₄)确定､声场已知的基础上，求解关于电磁场的方程组(B21)和(B22)，得到(B19)式中系数A_be的表达式

(4)

其中

(5)

然后将(B12)和(B19)式代入(3)式中，并考虑到(B12)式中与声源有关的项ω²ρ_b·2K₀(η_bar₀)的留数为零，可得

(6)

将(4)式代入到(6)式中，令

(7)

得到

(8)

在通常的测井声源频率范围(20 kHz以内),各波群如快纵波､横波､斯通利波以及电磁波的波长远大于井径,因而,不等式r_b .η_pf.$\ll $1,r_b .η_s. $\ll $1和r_b .η_em. $\ll $1成立.需要说明的是,此频率范围内的慢纵波是一种扩散模式,上述不等式不适用于慢纵波.考虑到地层电磁波波数远小于各种声波波数,有k_em² $\ll $k_s²,k_em² $\ll $k_st²,可得.η_em. ≈ .k_st. .再利用虚宗量贝塞尔函数小宗量近似关系,当q￫0时,K₁(q)￫1/q,有η_em²Y_em $\gg $($\frac{k_{\text{em}}^{2}}{k_{\text{s}}^{2}}$)η_s²Y_s.则(5)式近似为

(9)

为了近似确定(9)式中的行列式Δx_n，(n= 1，2，3，4)，首先令x=-iω/ω_c和y=ρΦx/ρfα_∞ ，其中ω_c=Φη/α_∞κ₀ρ_f为表征孔隙流体由低频黏性流动向高频惯性流动过渡的临界角频率，α_∞ 为孔隙弯曲度.在x=0点，对三种声波体波速度表达式进行泰勒级数展开，可得

(10)

(11)

(12)

式中m为无量纲参数，可表示为m=ΦΛ²/α_∞κ₀，对于砂岩m≈8，Λ 是反映孔道加权体表比的孔隙特征尺寸，具有长度量纲，圆柱型孔道的Λ 等于孔隙半径. 为慢纵波的扩散系数.然后，将(10)-(12)式分别代入到三种体波的渗流与固相位移振幅比值α_pf､α_ps 和α_s 的表达式中，再将得到的结果代入方程组(B13)-(B16)，在斯通利波极点，k=k_st 时，求取行列式Δx₁，Δx₂，Δx₃，Δx₄.最后，将结果代入(9)式中，化简后得到

(13)

由于r_b .η_ba. $\ll $1，利用虚宗量贝塞尔函数小宗量近似关系，当q￫0时，I₀(q)￫1，I₁(q)￫q/2，可得C₁ ≈η_bar_b/2，C₂ ≈1.可知

(14)

采用表 1中的地层参数，对(13)式中括号内的最后一项进行数值计算.结果显示:当频率约大于500 Hz时(声源中心频率为1kHz)，如下不等式

(15)

成立.进一步针对不同地层参数和不同源频率的数值计算发现:(1)不等式左端的数值变化不大，(15)式始终成立；(2)使不等式(15)成立的最低频率随着源频率的增大而增大，但不会超过声源的中心频率.利用(14)和(15)式，可将(13)式近似化简为

(16)

采用表 1 中的地层参数,对(16)式中的φ/(r_bY_psα_∞η_ba)进行数值计算.结果显示:当频率大于500Hz时,如下不等式

(17)

成立.进一步针对不同地层参数的数值计算发现:(1)对于孔隙度和渗透率相关性很好的高孔高渗或低孔低渗地层，以及裂缝发育､基质致密的低孔高渗地层，不等式(17)成立；(2)对于孔道中泥质含量过高的高孔低渗地层，不等式(17)并不一定成立，甚至理论上Φ/(r_bY_psα∞η_ba)可大于1.因此，Φ/(r_bY_psα_∞η_ba)这一项从侧面反映了孔隙中泥质含量的影响.如果不考虑泥质对孔道的堵塞，假设不等式(17)成立，(16)式可进一步简化为

(18)

在x=0处，对动电耦合系数L(ω)和动态渗透率κ(ω)的表达式进行泰勒级数展开，可得

(19)

其中ζ为双电层剪切滑移面上的电势，又称zeta势，ε_f 为地层孔隙流体的介电常数.将(18)和(19)式代入(8)式中，得到

(20)

本文推导出的低频斯通利波电声比(20)式与文献[21]中的(6)式具有相似的形式.但是，文献[21]的推导是在似稳电磁场假设条件下，基于Tang^[7]的低频斯通利波近似公式完成的，以致于本文中RI 的表达式(7)与文献[21]不同.

4 渗透率反演

接下来，考察声电效应测井波场与地层参数的相关性.采用表 1的地层参数，对R_I 的表达式(7)进行数值计算.结果显示，当频率大于500 Hz时，R_I的实部远大于虚部.进一步针对不同地层参数的数值计算发现，RI 的实部总是远大于虚部，可将其近似看作实函数.因而，得到

(21)

式中θ_EP为电声比的幅角主值.从(21)式可以看出，电声比幅角的正切值近似与频率f､流度(κ₀/η)､弯曲度α_∞ 和孔隙流体密度ρ_f成反比，与孔隙度Φ 成正比.在本文审稿期间，我们注意到最近发表的文献[30]也推导了斯通利波电声比的表达式，并分析了声电测井响应与地层渗透率的联系.不过，他们在推导过程中将(B14)式的右端项近似为零的处理是不合理的，而且通过电声比实部与虚部的比值建立与渗透率的关系也没有明确的物理意义.相比之下，本文(21)式的电声比幅角反映了伴随斯通利波的井孔电场与声压之间的相位差异.(21)式右端的负号说明伴随斯通利波电场的相位滞后于声场，这与图 2全波波形的结果一致.

改写(21)式，得到渗透率的反演公式，

(22)

基于(22)式，我们提出利用低频声电效应测井全波反演地层渗透率的方法.具体步骤如下:(1)采用低频(比如中心频率为1kHz)声波换能器激发声场，在井孔内的某一位置分别接收声压和轴向电场信号.在较低的频率下，斯通利波被有效激发，全波曲线中主要包含需要的斯通利波信息(如图 2 所示).另外，动电耦合系数与频率成反比，因此采用较低的源频率可以增强动电转换的能力，以便获得更大的声诱导电信号.(2)将电场和声场时域波形傅里叶变换到频率域，求取二者的比值，获得电声比幅角正切值随频率变化的曲线.图 3 给出了利用图 2b 模拟的井孔轴向电场和声场的时域波形，获得的电声比幅角正切值曲线.可以看到，在频率约高于750 Hz以后，电声比幅角的正切值近似与频率成反比，这同(21)式的理论推导结果一致.(3)在孔隙度､弯曲度和孔隙流体性质(密度和黏度)已经利用其他探测方法或经验公式获得的情况下，从电声比幅角正切值曲线中的近似直线段中，任意选取某一频率及其对应的幅角正切值，即可通过(22)式反演地层渗透率.比如，在图 3中，f=1 kHz对应tan(θ_EP)=-9.616.根据(21)式，渗透率的反演值为1.1×10^-12m²，与真实值1.0×10^-12m² 相比，相对误差为10%.需要指出的是，地层渗透率很难准确测量，即使在实验室使用气体渗透率测量仪测量岩样的渗透率，误差也可达10%-20%.

下面我们将针对不同的流体饱和砂岩地层，从模拟的声电效应测井响应中反演渗透率.假设不同地层的孔隙流体性质均与表 1 相同，密度和黏度分别为ρ_f=1000 kg/m³ 和η=10^-3Pa·s.表 2给出了地层的孔隙度分别为0.085，0.125和0.165三个不同值时，渗透率反演值与真实值的比较.表 2中孔隙度和渗透率的真实值与文献[9]中表 1 的取值完全相同，以便对比本文方法与文献[9]采用声波测井的斯通利波幅度反演渗透率的准确性.另外，由图 3可见，随着频率的增大，电声比幅角正切值与频率成线性反比趋势.但其中出现了微小的起伏.为了获得更可靠的渗透率计算结果，表 2 中的渗透率反演值是选取高于中心频率的多个频率反演结果的平均值.

由表 2可见，对于孔隙度和渗透率相关性很好的地层，相对误差很小；而随着渗透率的增大或者减小趋于两个极端，渗透率反演值与真实值的偏差越来越大.这个变化特点与文献[9]利用声波测井的斯通利波反演渗透率是相同的.其原因是由于:(1)孔隙度一定的情况下，对于较低渗透率的地层，本文的渗透率反演公式推导过程中，将(16)式化简为(18)式时，被忽略掉的小项Φ/(r_bY_psα_∞η_ba)相对较大.因而，对于实际中受黏土堵塞孔隙导致的高孔低渗地层，反演误差较大.不过，文献[9]利用声波测井斯通利波的渗透率反演方法也未曾考虑孔隙黏土含量的影响.(2)孔隙度一定的情况下，对于较高渗透率的地层，全波曲线中的其他波群，特别是产生于井壁界面的电磁波波群明显增大，这将影响由全波得到的斯通利波电声比幅角正切值曲线的准确性.因而，对于裂缝发育､基质致密的低孔高渗地层，反演误差也较大.总的来说，相比于利用声波测井斯通利波反演渗透率，采用本文方法反演渗透率的误差更小，特别是对于高孔低渗地层.

为了考察不同的声源频率对反演结果的影响，我们分别利用中心频率为f₀=0.5 kHz和f₀=2.0 kHz的源模拟声电效应测井响应，反演出了不同地层的渗透率，计算了相对误差.比较表 2中f₀=0.5 kHz和f₀=2 kHz的反演结果发现，对于低渗透率情况，采用较高源频率的误差更小.这是因为，将(16)式化简为(18)式时，忽略的小项Φ/(r_bY_pfα_∞η_ba)随频率的增大而减小.对于高渗透率情况，采用较低的源频率，可以更好地压制全波波形中的其他波群，降低其对斯通利波电声比幅角正切值曲线准确性的影响，减小误差.基于以上分析，我们提出如下方法来修正渗透率的反演结果.首先，在孔隙度Φ 已知的情况下，按照κ_re = 25Φ² 计算一个参考渗透率.然后，先采用较高频率(比如f₀=2 kHz)的声源进行声电效应测井，反演渗透率.如果反演值小于参考渗透率，则保留此结果；如果反演值与参考渗透率相当或者大于参考渗透率，改用较低频率(比如f₀=0.5kHz)的声源再次反演渗透率，并以此反演值为准.

依据表 2的数据，图 4显示了采用上述修正方式后，不同地层渗透率反演的相对误差.例如，当孔隙度为Φ = 0.085 时，参考渗透率为κ_re =180×10^-15m².保留表 2 中f₀ =2kHz 时，小于180×10^-15m² 的渗透率反演值；当渗透率的反演值接近或大于180×10^-15m² 时，则选取f₀=0.5kHz的渗透率反演值.为了比较，依据文献[9]中表 1的数据，图 5显示了利用声波测井斯通利波的渗透率反演相对误差.当孔隙度Φ=0.165，渗透率真值分别为κ₀=6×10^-15m²和κ₀=8×10^-15m² 时，文献[9]中表 1的渗透率反演相对误差分别为490%和397%.为了能更清楚地显示相对误差的分布，图 5 中没有给出上述两个误差过大地层的情况.对比图 4 和图 5明显可见，相比于利用声波测井的斯通利波，本文方法的渗透率反演误差小，而且，在采用修正方式后，相对误差可以控制在25%以内.

5 结论

本文研究了声电效应测井响应与地层渗透率的相关性，推导了低频斯通利波的电声比频率域表达式.结果表明，反映井孔伴随电场和声场相位差异的电声比幅角正切值近似与孔隙度成线性正比，与声源频率､弯曲度､流度和孔隙流体密度成线性反比关系.依据电声比幅角正切值表达式，得到了渗透率反演公式，提出了利用低频声电效应测井反演地层渗透率的方法.

本文利用模拟的低频声电测井全波波形，反演出了不同砂岩地层的渗透率，计算了相对误差.对比本文方法和利用声波测井斯通利波的渗透率反演方法，本文方法的渗透率反演结果更接近真实值.通过对误差产生原因的分析，提出了针对不同地层改变源中心频率的修正方式，可以将反演渗透率的相对误差控制在25%以内.

本文的反演方法需要将时域波形傅里叶变换到频率域，获得电声比幅角正切值曲线.由于电声比幅角的物理意义是伴随斯通利波电场和声场的相位差异，如果能够通过直接测量电场和声场波形的相位差计算渗透率，将简化反演过程､提高反演效率.我们的理论计算表明^[31]，电场和声场相位差对渗透率的敏感度在0.1°/(10×10^-15m²)的量级.考虑到目前常规测井仪器的采样率为每波长20个点，即使达到每波长36个点，相位差的分辨率也仅为1°.因此，若要获得对渗透率敏感的相位差，每波长的采样点数需要大大增加或者采用相位比较电路.

此外，本文方法需要已知地层孔隙度､弯曲度和孔隙流体性质(流体密度和黏度).不过，实际情况下通过声波测井等方法是可以比较准确地估计地层孔隙度的.在孔隙度已知的前提下，可由α_∞ =1/Φ 估计地层弯曲度，这一近似关系可由Archie^[32]经验公式F=1/Φ² (F为地层因数)和Brown^[33]导出的公式F=α_∞/Φ 看出.此外，利用本文(22)式可在未知孔隙流体黏度的情况下求出流度，即渗透率与黏度之比.流度反映了单位压强梯度下流体在地层中的运移能力，是油气储层综合评价的关键指标之一^[34].

附录A Biot孔隙介质弹性动力学方程组

依据Biot理论^[2-4]，弹性波在均匀､各向同性的流体饱和孔隙介质中传播时，位移和应力场满足如下的频率-波数域方程组，其中时间简谐因子设为e^-iωt，

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

式中ω 为角频率，u为固相位移，w=Φ(u_f-u)为孔隙流体和固相骨架之间的相对位移，即渗流位移，Φ为孔隙度，u_f 为孔隙流体位移，p为孔隙流体压强，τ是应力张量，I是二阶单位张量，η 和ρ_f 分别为孔隙流体的黏度和密度，ρ 是孔隙介质密度，可用固相基质密度ρ_s 和流体密度ρ_f 表示为ρ= (1-Φ)ρ_s+Φρ_f, 动态渗透率κ(ω)的低频极限值等于达西渗透率κ₀，G是孔隙介质剪切模量，M､C､H是Biot^[4]定义的孔隙介质弹性模量，它们的表达式分别为

(A5)

(A6)

(A7)

式中K_s 和K_f 分别为固相基质和孔隙流体的体积模量，K_d 为孔隙介质排水体积模量，α=1-K_d/K_s为Biot-Willis常数.

上述方程组的平面波解由两个无旋波和一个等体积波组成.速度快的无旋波称为快纵波，速度慢的无旋波称为慢纵波.快纵波的速度与将孔隙介质视为单相固体介质时的纵波速度相近；慢纵波是孔隙介质中所特有的一种高度频散的耗散波，其速度比孔隙流体声速还要小很多.等体积波为孔隙介质横波.

附录B 井孔内外声场和诱导电磁场的部分表达式

关威等^[25]采用忽略诱导电磁场对声场影响的简化方式，在以井轴为z轴的圆柱坐标系(r，θ，z)下，推导了多极源声电效应测井的井内外声场和电磁场频率-波数域表达式.当退化为本文考察的单极源情形时，模型关于z轴对称，即所有场量与坐标θ无关.

根据声电效应测井波场的简化计算方式^{[21， 22， 24-26]}，在忽略诱导电磁场对声场影响的前提下，孔隙介质中的声场从动电耦合中解耦，可通过直接求解附录A 中的Biot方程组计算.通过引入势函数，井外孔隙地层中的固相和渗流位移可分别表示为

(B1)

(B2)

式中α_pf､α_ps 和α_s 分别对应快纵波､慢纵波和横波的渗流位移振幅与固相位移振幅比值，具体的表达式可参见文献[19， 27]，标量φ₁ 和φ₂ 分别为快纵波势和慢纵波势，矢量$\chi $e_z为SV 波势，e_z为z方向单位矢量.这些满足赫姆霍兹方程的势函数在井外的无限大地层介质内有如下形式解:

(B3)

(B4)

(B5)

将势函数解(B3)-(B5)代入到(B1)和(B2)式中，再利用Biot方程组(A3)和(A4)，可以得到孔隙地层中位移和应力场分量的频率-波数域表达式.其中的一部分列出如下:

(B6)

(B7)

(B8)

(B9)

(B10)

式中A_pf､A_ps 和A_s 为待定系数，K_n为n阶第二类虚宗量贝塞尔函数，k_l=ω/c_l，(l=pf, ps, s)和cl分别对应孔隙介质中三种体波(快纵波､慢纵波和横波)的波数和相速度，c_l的表达式可参见文献[27]，η_l= (k² -k_l²)^1/2 为径向波数，k为轴向波数.

类似地，引入标量势φ_b 表示井内流体位移场u_b =Δφ_b, 井内流体径向位移u_rb 和声压p_b 可分别表示为

(B11)

(B12)

式中A_ba 为待定系数，η_ba = (k²-k_ba²)^1/2 为井内流体声波的径向波数，I_n为n阶第一类虚宗量贝塞尔函数，ρ_b为井内流体密度.

为了确定井内外声场表达式中的待定系数A_ba､A_pf､A_ps 和A_s, 需利用井壁处(r=r_b)流体-孔隙介质界面的声场连续性条件u_rb =u_r+w_r(流体流动连续)，-p_b =τ_rr(法向应力连续)，0=τ_rz(切向应力连续)，p_b =p(流体压强连续)，建立并求解如下方程组:

(B13)

(B14)

(B15)

(B16)

其中令C+M_αps

将已知的声场作为井外孔隙介质中电磁场的源，声电效应测井中电磁场的计算问题转换为求解空间波动电流源的麦克斯韦方程组.关威等^[25]通过引入赫兹矢量，推导了井内外电磁场的频率-波数域表达式，其中井外地层的轴向电场E_z和环向磁场H_θ 分别为

(B17)

(B18)

井内流体的电磁场分量E_zb 和H_θb 分别为

(B19)

(B20)

其中A_e 和A_be 为待定系数，T_e =-iωηL(ω)/κ(ω)，η_em和η_be分别为井外地层和井内流体的电磁波径向波数，k_em 为地层电磁波波数，ε =ε+iσ(ω)/ω 和ε _b =ε_b+iσ_b/ω 分别为地层和井内流体的等效介电常数，ε和ε_b 分别为地层和井内流体的介电常数，σ_b 为井内流体电导率.

为了确定系数A_e 和A_be, 需利用井壁处(r=r_b)流体-孔隙介质界面的电磁场连续性条件E_zb =E_z和H_θb = H_θ，建立如下方程组:

(B21)

(B22)