2. 美国西北大学土木与环境工程系, Evanston, IL 60208. U. S. A;
3. 河海大学环境科学与工程学院, 南京 210098
2. Civil and Environment Engineering, Northwestern University, Evanston, IL 60208. U. S. A;
3. College of Environmental Science & Engineering, Hohai University Nanjing 210098, China
很多实验研究和现场观测表明,岩石在不同温度、压力条件下的变形可分成三个阶段:脆性、延性和脆延性转换阶段(处于脆、延性阶段的岩石有时也被称为脆性和延性岩石).岩石在脆性变形阶段通常表现出明显的体积膨胀和局部化变形.地壳岩石中普遍存在着各种尺度的局部化变形,研究这些局部化变形的发生、发展和演化机制,对于理解和认识场地应力的确定、地震的发生过程、地壳的变形规律和全球构造动力学方面都具有重要的理论指导意义[1].由于地壳中岩石的这种局部化变形很难用一些地质手段从地面进行探测,所以很多学者做了大量实验室和理论研究.岩石局部化变研究从20世纪90年代以来,已经成为国际上岩石物理和岩石动力学最热门的研究课题之一[2~5].Menéndez和Zhu等[6]学者设计了从低围压到高围压变化的轴对称压缩实验研究了Berea和Darley Dale砂岩的微观力学破坏特性,发现了岩石局部化变形剪切带与压缩带;Finno和Harris等[7]对平面应变条件下的饱和松砂试样的局部化变形带形成过程进行了立体摄影,实验结果表明,无论在排水和不排水情况下均可观察到剪切带的产生;Mogi[8]设计了一种真三轴实验机,采用长方体岩石样本,这使得样本加载的三个主应力大小不同成为可能,发现中主应力对岩石局部化变形有着重要的影响;Haimson[9, 10]等仿照Mogi设计的真三轴实验,进一步验证了中主应力在岩石局部化变形过程中起到的作用.
岩石三轴实验包括常规三轴实验和真三轴实验[11].常规三轴实验最早开始于20世纪初期,由于实验装置,样本选择和实验步骤都相对简单,而且遵从了摩尔库伦准则描述的中主应力在岩石变形带中不起作用的假设,所以得到广泛利用.常规三轴实验采用圆柱体岩石样本加侧向围压,增加轴向荷载直到岩石脆性断裂发生,这种常规三轴实验只是模拟了一些地壳表层条件下的一种两个主应力相等的特殊应力情况.但是工程应用和现场中岩石受力很少是轴对称的,通过对一些主要类型的断层和数千米的原位应力测量数值模拟结果表明地壳中的应力状态是三维的,即三个主应力不相等,所以一直以来,学者们都很关注中主应力在岩石变形中所起的作用.Mogi和Haimson等[8~10]学者为了研究中主应力在岩石局部化变形中扮演的角色,设计了一种真三轴实验装置,在实验中采用了长方体岩石样本.通过实验Mogi发现中主应力对岩石中局部化变形的发生以及变形带角的变化都有影响.随后,Haimson等[9, 10]做了大量的岩石真三轴实验,发现岩石强度、形变度和变形带角都受到中主应力的影响.
本文采用Mogi的Dunham白云岩真三轴实验得到的数据[8]进行研究,比较库伦条件和RR基于分叉理论的变形带角预测,讨论中主应力在岩石局部化变形过程中的作用.
2 实验介绍真三轴实验采用长方体岩石样本,这使得样本加载的三个主应力大小不同成为可能.在实验过程中,第一步先是对样本加载静水压力,使得各个面上受力相同;第二步增加侧面上的两个力到实验设定值,然后保持其中一个侧面上力不变,增加另外一个侧面上的力到实验设定值;最后增加轴向压力到临界值直至观察到岩石变形带出现.
图 1是Mogi的Dunham白云岩真三轴实验变形带角与平均主应力图,不同的符号代表不同的最小压应力.从图中可以得出在最小压应力值固定的情况下,变形带角随着平均应力的增加而增加;随着最小压应力的增加而减小.由于平均主应力中包括了中主应力,所以从中可以看出中主应力对岩石局部化变形有影响.
因为岩石的局部化变形现象非常复杂,从微观范围到宏观范围不同的阶段,变形机理依赖于很多参数,所以迄今为止存在的理论多是对岩石局部变形的变形带角和变形区域进行研究.其中最为常用的变形带角预测理论是摩尔-库伦准则,因为摩尔-库伦准则非常简单,不考虑中主应力对岩石变形的影响,但是这种不依赖于中间主应力的预测不能解释实验中得到的变形带角在轴对称拉伸状态和轴对称压缩状态不同的现象.
3 变形带角预测理论 3.1 摩尔-库伦准则当前最为常用的岩石局部化变形带角预测理论是摩尔-库伦准则[11],预测变形带发生在
(1) |
c为材料内聚力;ф为内摩擦角,σ为主应力.
变形带角为
(2) |
其中,ф=arctanμc,μc是库伦摩擦系数,经常取为内摩擦角ф的正切值,一般的摩尔-库伦准则形式为
(3) |
其中,q=-(σ1-σ3)/2,p=-(σ1+σ3)/2分别是最大主应力与最小压应力差及和的一半,其中p为负的原因是因为取拉应力为正.从式(3)中可以看出摩尔库伦理论与中主应力完全无关.但是根据Mogi的讨论[13],摩尔库伦条件过于简单,而且这种不依赖于中间主应力的预测和在真三轴实验中的观测结果不一致.
(4) |
其中,σ1≥σ2≥σ3,分别是最大压缩主应力,中主应力和最小压缩主应力,取拉伸为正.局部化变形带角是变形带法线方向和最大压缩主应力σ3之间的夹角.Mogi用一种轴对称实验装置测得轴对称压缩σ1=σ2和轴对称拉伸σ2=σ3两组数据.Mogi和一些学者通过实验发现,轴对称拉伸状态的变形带角比轴对称压缩状态下的要大.图中的直线是数据最小二乘拟合得到,轴对称拉伸和压缩数据的斜率分别是-0.044和-0.045,从图中可以看出变形带角随着平均应力的增加而逐渐变小.
Mogi认为中主应力起作用表现在两个方面,一是平均应力中包含中主应力,二是轴对称压缩和拉伸状态下得到的局部化变形变形带角不同[12, 13].从图 2可以得到,即使是同一平均主应力值,轴对称拉伸状态下测得的变形带角也比轴对称压缩状态下要大.摩尔-库伦准则下,横坐标为p=-(σ1+σ3)/2,那么中主应力起的作用就无法体现;而且对于相同的p值,轴对称拉伸和压缩状态下测得的变形带角是相同的.
3.2 RR理论另外一种变形带角预测理论是RR理论,其认为岩石局部化变形是均质变形的一个分叉[14].相比仅用μc来代表材料属性的摩尔-库伦准则,RR理论选用更多的弹塑性参数来描述均质变形下的岩石材料属性.RR理论给出了一种关于岩石局部化变形带角预测的普通形式(率无关,弹性各向同性)的弹塑性本构方程,包括了一个光滑的屈服面(屈服面是发生弹性变形的边界)和塑性势(给出了应力空间中塑性增量的方向)[15].
RR理论的本构关系中,把应变增量考虑为弹性部分和塑性部分的和[16].
(5) |
弹性部分的表达式为
(6) |
其中Cijkl是一个四维弹性张量.
塑性部分的表达式为
(7) |
其中H是硬化模量,Qkl给出了屈服面的法线方向,Pij代表塑性势给出了应力空间中塑性增量的方向.
屈服面的表达式为
(8) |
塑性势的表达式为
(9) |
其中,τ是Mises等效应力;σ为平均应力;αk是用来追踪岩石试样非弹性历史的变量.
屈服面是弹性应力状态的边界,塑性势是关于应力的偏导数为塑性应变增量的方向.如果F和G相等,则称流动法则与屈服面相关,并且塑性增量的方向与屈服面垂直.从实际观测中可知,这种情况在岩土或者其他颗粒状物质中不会出现[17, 18].所以一般情况下,两者不相等.应力空间中塑性应变增量的方向和塑性势面Pij=∂G/∂σij的法线方向一致,屈服面的法线是Qij=∂F/∂σij,和塑性势的法线方向不一致.对于地质材料,通常情况下Pkk≠Qkk,或者Fσ ≠Gσ(下标表示关于σ的偏导).在主应力为轴的空间内,屈服面的法线方向与包含静水压力轴σ1=σ2=σ3的平面内的塑性应变增量的法线方向不同.物理学角度,这就意味着τ与σ的比值增量不等于塑性体积应变(膨胀为正)与等效塑性剪切应变(定义为dγp=(2deijpdeijp)1/2,其中deijp是塑性应变增量的偏斜张量部分)的增量.塑性应变增量的方向为屈服面在偏平面(垂直于静水压力轴的平面)内的投影的法线方向,但没有观察证据或者物理解释反驳[19, 20].作为结论,屈服面和塑性势法线方向的偏斜张量部分是一样的,即P'ij=Q'ij,撇代表偏斜张量部分,而且Gτ=Fτ,GθL=FθL.
RR理论用的本构关系中的岩石局部化变形带角为变形带法线方向和最大压缩主应力的夹角:
(10) |
其中,
(11) |
式(11)中,ν为泊松比,μ=f'(σ)为屈服面的斜率,β=g'(σ)为膨胀系数,等于体积应变(膨胀为正)的塑性增量与剪切应变的塑性增量的比值.前面已经提到,系数N用来表征偏应力状态,与洛德角通过N=2sinθ关联[21, 22](此处的N为文献[17]中所用N的
岩石局部化变形带角预测公式(11)中ν为泊松比,取为0.2.偏应力状态(N)固定,同时泊松比ν取常数,则变形带角只与β+μ有关.β+μ不是常数,而是依赖于平均主正应力σ,可以通过式(10),(11)和图 2推算出来.因为图 2中轴对称拉伸和压缩状态的拟合线的斜率不同,所以变形带角依赖于N和σ的关系会非常复杂,但是仅考虑变形带角依赖于σ变化在靠近轴对称压缩状态的小范围内可以接受[23].
图 3显示的是β+μ的变化,结合式(10),取ν=0.2,结合图 2中变形带角随轴对称拉伸和压缩的平均应力变化的拟合直线来预测.在图 3中,β+μ随着平均主压缩应力的增加而减小的关系和实验中观测到得数据一致.从轴对称拉伸状态得到的值比轴对称压缩状态得到的值小,而且随平均应力减小的趋势减缓;图 4与图 3相似,但是横坐标为N,由此可以看到β+μ随着N的变化而变化,进一步验证中主应力对岩石变形带角的变化有影响.
图 5和图 6是根据图 3中轴对称压缩和拉伸状态下β+μ和平均主应力的关系预测得到的变形带角.预测基于相同的N值和Mogi真三轴实验中测得的平均正应力值.由于用于和预测值比较的实验数据是岩石的破坏数据,再加之仅考虑σ作为变形带角依赖变量,所以预测值比实验观测到得数据略小,但是预测值符合通常情况下,变形带角随着最小压应力增加而减小和在固定最小压应力情况下,随平均主应力的增加而增加的趋势.
摩尔库伦条件给出了一种理想情况下简单预测变形带角的条件,但是不能解释观测到的变形带角在轴对称拉伸和压缩情况下不同的现象,而且其预测中主应力对变形带角没有影响.本文通过选用Mogi轴对称拉伸和压缩应力状态实验数据作为边界条件,推导了RR变形带角预测模型中的弹塑性参数,预测了一般应力状态下的变形带角,结果表明在最小压应力值固定的情况下,岩石局部化变形带角随着平均正应力的增加而增加,随着最小压应力的增加而减小,与摩尔库伦理论预测的不发生变化的结果相反,主要原因是摩尔库伦条件不考虑中主应力在岩石变形过程中的作用.
RR关于岩石局部化变形带角的预测和Mogi的Dunham白云岩岩石真三轴实验得到的数据相吻合,其中从轴对称压缩和拉伸实验推算出的本构参数β+μ和平均主应力是预测的关键.β+μ的值随着偏应力状态从轴对称拉伸变化到轴对称压缩过程中逐渐减小,其预测和实验中观察到得轴对称压缩和拉伸数据相符.用β+μ做变量和从轴对称压缩试验中得到的数据推算出的平均主应力,RR的预测和Mogi真三轴实验中得到的变形带角也一致.虽然预测得出的值比实测值略小,但是与观测到得平均主应力和偏应力状态的趋势符合,特别是预测和在固定最小压缩应力情况下,变形带角随平均应力增加而增加的趋势以及随着最小压应力增加而减小的趋势都一致.基于不同平均主应力情况下关于N的更多数据或者固定N值测得不同的平均应力值得到的预测,比固定最小压应力值情况下更为有利.
尽管现有的真三轴实验数据不能提供平均主应力为常数或者偏应力状态固定的情况,但是观测到的岩石局部化变形带角变化是简单的摩尔库伦条件不能很好描述的.随着真三轴实验的发展和理论的完善,RR理论可以被更进一步验证,而且可以增强对岩石塑性本构行为的了解,以及其与岩石变形带的关系.
致谢在本文成文过程中,美国西北大学指导导师J.W.Rudnicki给予了悉心的理论指导和资金支持,在此表示感谢!
[1] | 席道瑛, 杜赟, 李廷, 等. 高孔岩石局部变形带的理论和形成条件研究进展. 岩石力学与工程学报 , 2008, 27(s2): 3889–3890. Xi D Y, Du Y, Li T, et al. Research progress in theory and forming condition of localized deformation bands in high porosity rock. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering (in Chinese) , 2008, 27(s2): 3889-3890. |
[2] | Vardoulakis l, Goldscheider M, Gudehus G. Formation of shear bands in sand bodies as a bifurcation problem. lnt. J. Numer. Anal. Methods Geomech , 1978, 2(2): 99-128. DOI:10.1002/(ISSN)1096-9853 |
[3] | 王宝善, 李娟, 陈颙. 高孔隙岩石局部化变形研究新进展. 地球物理学进展 , 2004, 19(2): 223. Wang B S, Li J, Chen Y. Advances of research on localized deformation in porous rocks. Progress in Geophysics (in Chinese) , 2004, 19(2): 223. |
[4] | ${referVo.authorsCn}. Vardoulakis 1 Rigid granular plasticity model an d bifurcation in triaxial test. Acta Mech , 1983, 49(1, 2): 57–79. |
[5] | Ord A, Vardoulakis 1, Kajewski R. Shear band formation in Gosford sandstone. lnt.J Rock Mech Min.Sci.&Geomech Abstr , 1991, 28(5): 397-409. |
[6] | Menéndez B, Zhu W, Wong T F. Micromechanics of brittle faulting and cataclastic flow in Berea sandstone. Journal of Structural Geology , 1996, 18(1): 1-16. DOI:10.1016/0191-8141(95)00076-P |
[7] | Finno Harris, et al. Shear bnads in Plnae srtain compression of loose sand. Geotech , 1997, 47(1): 149-165. DOI:10.1680/geot.1997.47.1.149 |
[8] | Mogi K. Effect of the intermediate principal stress on rock failure. Journal of Geophysical Research , 1967, 72(20): 5117-5131. DOI:10.1029/JZ072i020p05117 |
[9] | Haimson B C, Song I. Borehole breakouts in Berea sandstone:two porosity-dependent distinct shapes and mechanisms of formation. Rock Mechanics in Petroleum Engineering, Society of Petroleum Engineers , 1998, 1: 229-238. |
[10] | Haimson B, Chang C. A new true triaxial cell for testing mechanical properties of rock, and its use to determine rock strength and deformability of Westerly granite. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences , 2000, 17: 285-296. |
[11] | Mogi K. Experimental rock mechanics.Taylor and Francis/Balkema, Geomechanics research series, The Netherlands, 2007 |
[12] | Haimson B. True triaxial stresses and the brittle fracture of rock. Pure and Applied Geophysics , 2006, 163: 1101-1130. DOI:10.1007/s00024-006-0065-7 |
[13] | Mogi K. Fracture and flow of rocks, The upper mantle. Tectonophysics , 1972, 13: 541-568. DOI:10.1016/0040-1951(72)90037-6 |
[14] | Jaeger J C, Cook N G W. Fundamentals of Rock Mechanics (2nd edition). New York: John Wiley and Sons, 1969 . |
[15] | Issen K, Rudnicki J W. Theory of compaction bands in porous rock. Phys. Chem. Earth (A) , 2001, 26(1-2): 95-100. DOI:10.1016/S1464-1895(01)00031-X |
[16] | Borja R I, Sama K M, Sanz P F. On the numerical integration of three-invariant elastoplastic constitutive models. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 2003, 192: 1227-1258. DOI:10.1016/S0045-7825(02)00620-5 |
[17] | Rudnicki J W, Rice J R. Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials. Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 1975, 23: 371-394. DOI:10.1016/0022-5096(75)90001-0 |
[18] | Issen K, Rudnicki J W. Theory of compaction bands in porous rock. Phys. Chem. Earth (A) , 2001, 26(1-2): 95-100. DOI:10.1016/S1464-1895(01)00031-X |
[19] | Rudnicki J W. Failure of brittle rock in the laboratory and in the Earth, to appear in Proceedings of XXⅡ International Congress on Theoretical and Applied Mechanics, Adelaide, Australia, 24~30 August |
[20] | Rice J R. The localization of plastic deformation. Theorical and Applied Mechanics, W.T. Koiter, 1976. 207~219 |
[21] | Bésuelle P, Rudnicki J W. Localization:shear bands and compaction bands. Chapter V, Mechanics of fluid saturated rocks (ed. Y. Guéguen and M. Boutéca), International Geophysics Series, London:Academic Press, 2004, 89:219~321 |
[22] | Rudnicki J W, Olsson W A. Reexamination of fault angles predicted by shear localization theory. in Proc. 3rd North American rock mechanics symposium (NARMS'98), Rock Mechanics in Mining, Petroleum and Civil Works, 3~5 June, 1998, Cancun, Mexico. Extended abstract in International journal of rock mechanics and mining sciences, 1998, 35(415):512~513 |
[23] | Rudnicki J W. Localized failure in brittle rock. In:Shao J F, Burlion N. (Eds.) Thermo-Hydromechanical and Chemical Coupling in Geomaterials and Applications, Proc. 3rd International Symposium GeoProc'2008, Wiley, 2008. 25~40 |