1 引言

电测井和油气层关系的核心是电导率和饱和度的关系.1942年发表的阿尔奇公式^[1]是关于电阻率和孔隙度、饱和度关系的两个实验公式，即地层因素公式和电阻增大率公式，至今仍在普遍使用.孔隙度ϕ的指数m和含水饱和度S_w的指数n是用岩心实验确定的.

本文利用电场理论研究砂岩电导率和油气饱和度的关系.导体和电介质中的电场向来是分开研究的^{[2, 3]}，导体中形成电流场，用J=σE和描述，其中J为电流密度矢量，E为电场强度矢量，σ为电导率，ρ是电荷密度.电介质中形成静电场，用D=εE和▽·D=ρ描述，其中D为电位移矢量，ε为介电常数.砂岩是由导体（地层水、泥质）和电介质（骨架、油气）混合而成的，导体和电介质中的电场要同时研究，必须用上述两组方程.由于砂岩各点ρ不是处处为0，又不能给出，▽·D=ρ不可用.本文提出新的认识并运用场论推导方法^[4]，对这个问题进行研究，给出了岩石电导率和含水饱和度关系的一个理论公式.

2 把颗粒面电荷等效为电偶极子

砂岩是由几种电介质（骨架、油、气）和导体（孔隙水或双水^{[5, 6]}）组成的混合物，物质之间有一定的弥散.在砂岩所在区域V中垂直于平均电流方向上任取一面积为Δs的截面，截面上导体的相对面积为ϕS_w.导体的电导率记为σ_c.记J为截面上的平均电流密度，流出截面的电流就是ΔsJ.记〈J〉为截面上导体的平均电流密度，流出截面的电流又可写成ΔsϕS_w〈J〉.流出截面的电流应该相等，则

(1)

即

(2)

在V上对欧姆定律求平均则有

(3)

式中，E为平均电场强度，σ_M是根据积分中值定理得出的岩石的整体电导率.在导体上对欧姆定律求平均得

(4)

式中，〈J〉是导体上的平均电流密度，〈E〉是导体上的平均电场强度.式（3）、（4）代入式（2）得

(5)

由此定义电导率：

(6)

下面研究电流通过砂岩时导体和电介质颗粒分界面上的电场性质.根据麦克斯韦方程

(7)

电流通过砂岩时导体和电介质颗粒分界面上导体一侧会出现自由面电荷，分界面导体一侧的电流密度法向分量为零，从而电场强度的法向分量为零，电介质一侧的电流密度法向分量也应为零，但因电介质的电导率为零，电场强度的法向分量就不都为零.设电场E的方向为n，电介质和导体分界面法线方向n₀由电介质外部指向内部，自由面电荷密度ρ_s等于电介质一侧电位移矢量的法向分量，即

(8)

界面上的面电荷有正负两种，当cos（n，n₀）为正时可视为正电荷，当cos（n，n₀）为负时可视为负电荷，并由负到正形成若干电偶极子，电偶极子方向与n相反.在分界面的第i个面元Δs_i上，对应的电偶极子电荷为εE|cos（n，n₀）|Δs_i，|cos（n，n₀）|Δs_i是Δs_i在垂直于n的平面上的投影，正、负面电荷相距为l_i，对应部分颗粒的体积为Δτ_i，则Δs_i处的面电荷形成界面偶极强度P_Δs为

(9)

因|cos（n，n₀）|Δs_il_i=Δτ_i、En=E，则

(10)

对上式在单个颗粒界面s上求平均得到平均界面偶极强度：

(11)

其中a是形成电偶极子的部分表面占颗粒表面的比率，在导体颗粒上a=0.

电场中的电介质颗粒内极化后产生极化强度P_v：

(12)

其中χ_e是电极化率.仿电位移矢量的定义，令

(13)

ε_r是相对介电常数，L是联合强度.记λ=ε（1-a），则

(14)

L一定是无源的，所以

(15)

式中▽为哈密顿算子.

在V上对式（14）求平均则有

(16)

式中，λ_M是根据积分中值定理得出的砂岩整体的λ值.

将式（14）在岩石所在的V中同一物质成分v上求平均，根据积分中值定理λ已经取某个值，则有

(17)

于是，〈L〉和〈E〉都与λ一样，在同一物质成分上各点的值相同，在不同物质成分上各点的值不同.

3 砂岩电场方程

设点Q（x′，y′，z′）只在点P（x，y，z）所在的那种物质成分所占的区域v上变化，则〈L〉的表达式是

(18)

由于不同的物质颗粒是相互掺杂在一起的，上式右端求平均实际上是分两步进行的，第一步先对同一颗粒求平均，第二步再对同一成分的所有颗粒求平均.上式对点P（x，y，z）求散度，则

(19)

将E=E+δE在同一物质成分v上求平均得

(20)

再将岩石整体的λ_M和各成分的λ的关系记为

(21)

式中Δλ仅为λ与λ_M的差值变量.将式（20）、（21）代入式（19）得

即

(22)

（22）式两端求梯度，注意到▽ × 〈δE〉=0，则有

(23)

设E沿n方向，并在式（23）中取n方向的分量，注意到从式（5）可以推出导体上的〈δE〉沿n方向，从而电介质上的〈δE〉也沿n方向，则有

(24)

设岩石各点的λ变化最大的方向为m，可将式（24）写成如下形式：

(25)

由于在任何点上，沿m方向cos（m，n）不变，所以（25）式变为

(26)

因为任何点的m方向就是该点Δλ及〈δE〉变化最大的方向，也就是该点的梯度方向，所以从而

(27)

对同一种成分来说，（27）式中只有cos²（m，n）是变化的，在同一种成分上对（27）式求平均，cos²（m，n）的平均值记为〈cos²（m，n）〉，则

(28)

这是砂岩电场方程.

4 砂岩电导率公式

由式（28）可得

(29)

(30)

（30）式两端加E得

(31)

对（31）式在V上求体积平均得

(32)

式中〈sin²（m，n）〉i=1-〈cos²（m，n）〉i，是第i种成分的相对体积，v_i是第i种成分的体积.

式（31）在导体成分上的形式代入式（6）得岩石电导率公式：

(33)

式中λ_c是导体的介电常数.

4.1 单个小电介质球放在水的中间

在此系统中，小球的λ_g=0，经计算〈cos²（m，n）〉=，由式（32）、（31）得球内的平均电场、球外的平均电场分别为

(34)

(35)

经分离变量法求解，球内的平均电场、球外的平均电场、系统的平均电场分别为

(36)

(37)

(38)

式中，E₀n是小球放入以前的电场强度.当ϕ接近1时，两种方法所得结果一致，证明把颗粒面电荷等效为电偶极子的方法是有效的.

4.2 电介质球分散在水中

在此系统中，小球的λ_g=0，经计算〈cos²（m，n）〉=，由式（32）、（33）得系统整体电导率为

(39)

在麦克斯韦公式^[1]

(40)

中，介质球外的电导率为σ₂，介质球的电导率为σ₁，所有小球的体积和整个系统的体积之比为1-ϕ，小球的半径比小球之间的距离小得多，1-ϕ必然是个很小的数，令σ₁=0，可得

(41)

经计算可知，在ϕ＞0.8时，式（39）和（41）是一致的，在适应的范围内两个公式一样好.

4.3 饱和水玻璃球堆积

经计算，在颗粒上〈cos²（m，n）〉=.根据实验，在水中〈cos²（m，n）〉=0.012，λ_g取为1，用式（32）、（33）计算的玻璃球堆积电导率σ_M与水的σ_c比值曲线见图 1，同时绘出了12种孔隙度的玻璃球堆积的电导率与水的电导率的比值（地层因素的倒数）的实测值（地层因素数据见表 1），两者是一致的.

4.4 饱和水砂岩

〈cos²（m，n）〉取为，用式（32）、（33）计算了12块砂岩的λ_g（见表 2），结果表明计算方法是有效的. 图 2是选λ_g=2.8时，计算结果和测量结果的对比.

4.5 含油气砂岩

〈cos²（m，n）〉取为，式（32）、（33）的计算结果和测量结果见表 3和图 3，对比表明计算方法有效.

5 结论

从电场理论来看，砂岩电导率为地层水电导率、含量、相对电场强度的积.从本文提出的电介质颗粒面电荷形成反电场方向极化强度的认识来看，相对电场强度是由介电常数、同种颗粒间接触面、结构决定的.从实际应用角度来看，核心是决定a和〈cos²（m，n）〉，针对这个问题，作者提出了数字岩心技术，已规模化应用到测井评价油气的生产中.

致谢

感谢王伟男提供砂岩实验数据，感谢孙宝佃提供玻璃球堆积实验数据.