文章编号: 2096-3203(2023)02-0029-11 中图分类号: TM732
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2. 广东电网有限责任公司电力调度控制中心, 广东 广州 510600
 余洋(1982)，男，博士，副教授，研究方向为电力储能技术、柔性负荷建模与调度(E-mail：yym0401@163.com); |
张瑞丰(1997)，男，硕士，研究方向为主动配电网、车网互动
双碳背景下，风电、光伏等间歇式新能源大规模并网，极易引起电网频率频繁波动，这就要求系统预留更多的调频备用容量，不利于电网经济运行[1-4]。传统火电机组调频存在调节速度慢、精度低、设备易磨损等缺点，难以应对新型电力系统的频率稳定问题[5]。随着储能技术的发展，储能成为向电网提供调频辅助服务的重要补充手段[6-7]。储能系统参与调频控制具有响应迅速、跟踪准确等优势，但也有前期投资大、后期维护困难等困扰[8]。
近年来，集群电动汽车(aggregate electric vehicles, AEV)作为一种需求侧资源，因方便灵活、可调潜力大、响应速度快等特点，成为缓解电力系统调频压力的新途径[9]。目前，已有一些AEV参与电网调频服务的相关研究，如文献[10]构建了一种基于马尔科夫链的AEV聚合模型，设计了充电、放电和闲置3种状态的切换模式，提出了AEV多模式调频控制策略；文献[11]构建了基于改进时间延迟环节的AEV参与电网调频的动态模型，研究了不同时间延迟参数对调频动态特性的影响。但这些研究均利用AEV直接响应调度中心下发的自动发电控制(automatic generation control, AGC)调频指令，并未考虑调频需求在AEV和其他调频单元之间的协调分配，无法充分发挥AEV参与电网调频的优势。文献[12]先将火电机组按常规流程响应AGC指令，然后采用经验模态分解对调频功率偏差进行高、中、低频分解，以此作为超级电容器、蓄电池、AEV的参考出力。可见，协调分配调频指令，并采用不同类型资源进行响应，能显著提升调频控制的效果，因而研究合理的调频指令分配策略至关重要。
合理的控制方法是AEV参与频率调控的另一个关键点。传统电力系统负荷频率控制(load frequency control, LFC)大都采用比例积分微分(proportional integral derivative, PID)控制，但由于控制参数多、系统状态约束多且动态变化，PID控制的过渡时间较长、控制性能较弱[13]。模型预测控制(model predictive control, MPC)是一种能综合考虑系统变量约束、处理复杂多变量系统的优化控制算法，具有较好的鲁棒性[14-17]，已被广泛应用于电力系统控制领域。文献[18]提出了大规模电池储能和火电机组协调响应AGC指令的双层控制策略，基于MPC实现了下层频率分布式优化控制；文献[19]将风电和储能相结合，提出了基于MPC的风储联合调频策略。当前研究主要将MPC应用于储能系统或风储联合系统，鲜少用于AEV频率控制，且大都使用常规MPC，而常规MPC重点关注跟踪性能，往往忽略了调频的经济成本问题。
基于此，针对电动汽车资源丰富且可作为独立调频主体的区域，文中提出了基于变分模态分解(variational mode decomposition, VMD)和双层MPC的AEV参与系统调频控制策略。首先，建立火电机组及LFC模型，将AEV转化为虚拟调频单元，建立系统单区域多机组LFC模型；然后，通过VMD将原始调频指令分解为低频与高频分量，将其分别作为传统机组和AEV调频主体的响应指令；接着，利用双层MPC算法，上层通过经济模型预测控制(economic model predictive control, EMPC)对高、低频指令进行再分配，下层利用MPC完成频率的动态调节；最后，仿真验证了该控制策略既可优化系统运行的经济性，又可改善系统频率的动态调节性能。
1 单区域多机组LFC系统建模以典型单区域多机组系统为研究对象，建立AEV联合传统火电机组的频率协调优化控制结构，如图 1所示。该区域包括v台传统火电调频机组和n个AEV调频单元，每个AEV调频单元是由充电功率、充电效率、电池容量等特性参数相近的电动汽车集群聚合形成的[10]。图 1中，Δug、Δuev分别为传统火电机组群和AEV调频主体的总调频指令；Δug, i、Δuev, j分别为火电机组i和AEV调频单元j的调频指令(i=1, 2, …, v；j=1, 2, …, n)；Tg, i、Ri分别为机组i调速器时间常数和调差系数；ΔPg, i、ΔPm, i、ΔPm分别为机组i调速器阀门偏差量、机组i出力偏差量和所有火电机组出力偏差量；Tm, i为机组i汽轮机时间常数；ΔPev, j、ΔPev分别为调频单元j和整个AEV调频主体的出力偏差量；ΔPL、Δf分别为负荷扰动和频率偏差；DL、ML分别为负荷阻尼系数和系统惯性常数；BL为系统频率偏差系数。
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图 1 单区域多机组调频系统控制结构 Fig. 1 Control structure of single area multi-unit frequency modulation system |
调速器的动态响应模型如式(1)所示。
| $ \Delta \dot{P}_{\mathrm{g}, i}=-\frac{1}{T_{\mathrm{g}, i}} \Delta P_{\mathrm{g}, i}+\frac{1}{T_{\mathrm{g}, i}}\left(\Delta u_{\mathrm{g}, i}-\frac{\Delta f}{R_i}\right) $ | (1) |
汽轮机的动态响应模型为：
| $ \Delta \dot{P}_{\mathrm{m}, i}=-\frac{1}{T_{\mathrm{m}, i}} \Delta P_{\mathrm{m}, i}+\frac{1}{T_{\mathrm{m}, i}} \Delta P_{\mathrm{g}, i} $ | (2) |
AEV参与下的区域负荷频率偏差动态特性为：
| $ \Delta \dot{f}=-\frac{D_{\mathrm{L}}}{M_{\mathrm{L}}} \Delta f+\left(\sum\limits_i \Delta P_{\mathrm{m}, i}+\sum\limits_j \Delta P_{\mathrm{ev}, j}-\Delta P_{\mathrm{L}}\right) / M_{\mathrm{L}} $ | (3) |
作为一种虚拟调频机组，AEV应及时、准确地跟踪调频指令。因此，文中基于文献[10]提出的AEV多状态切换聚合模型和MPC底层控制器来构建AEV调频单元模型。
1.2.1 AEV多状态切换聚合模型根据电动汽车是否接入电源系统，可将其运行状态分为不可控的行驶状态和连接状态，连接状态又可进一步划分为5种状态，即可控充电状态、可控放电状态、可控闲置状态、不可控充电状态和充电完成状态。
采用荷电状态(state of charging，SOC)来表示电池的剩余电量，将其记为状态S，可控状态判别指标ζc可定义为：
| $ \zeta_{\mathrm{c}}=T_{\mathrm{e}}-\left[\left(S_{\mathrm{e}}-S_{\mathrm{t}}\right) C_{\mathrm{ev}}\right] /\left(P_{\mathrm{ch}} \eta_{\mathrm{ch}}\right) $ | (4) |
式中：Te为用户预期充电时长；Se、St分别为用户期望充电完成时的SOC和当前SOC；Cev为电动汽车的电池容量；Pch、ηch分别为充电功率与充电效率。当ζc>0时，该电动汽车充电时间充足，处于可控状态；当ζc=0时，电动汽车必须强制充电，否则无法在预期时长内满足充电需求。
聚合模型通过切换处于可控状态的电动汽车运行状态来调节聚合功率，为电网提供辅助服务。AEV的充电过程是指负荷从低SOC区间向高SOC区间动态转移的过程，其离散时间下的递推公式可表示为：
| $ S(k+1)=S(k)+P_{\mathrm{ch}}(k) \eta_{\mathrm{ch}} \Delta t / C_{\mathrm{P}} $ | (5) |
式中：S(k)、S(k+1)分别为k时刻、k+1时刻的SOC；Δt为离散时间间隔；CP为实际电池容量。由式(5)可知，SOC是一个关于时间的随机过程，且满足如下性质：S(k+1)的概率分布与电动汽车的历史充电状态无关，仅取决于k时刻电动汽车的状态，即满足马尔科夫性。因此，文中将电动汽车的SOC离散化为数个状态空间，通过马尔科夫链表示各状态区间内负荷的动态转移过程。
将电动汽车充电过程的SOC离散为N个状态区间，并用各状态间的动态转移概率表征AEV的负荷动态转移过程，相邻SOC区间负荷的概率转移过程以及转移概率计算方法详见文献[10]。充电负荷动态转移过程的状态空间表达式为：
| $ \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}(k+1)=\boldsymbol{A}_{\mathrm{r}} \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}(k)+\boldsymbol{P}_{\mathrm{c}} \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}(k)+\boldsymbol{\psi}_{\mathrm{c}}(k) $ | (6) |
式中：xc(k)=[xc(k, 1) xc(k, 2) … xc(k, N)]T，为各SOC区间AEV充电负荷组成的N维列向量；ψc(k)=[φc(k, 1) φc(k, 2) … φc(k, N)]T，为各区间充电负荷的干扰量组成的N维列向量。当未对AEV施加任何充电功率时，各SOC区间的负荷量不发生任何变化，该过程为闲置状态，可由闲置转移矩阵AI进行描述，AI为N维单位矩阵。当对AEV施加充电功率时，各SOC区间的负荷会发生强制转移，该过程可由充电强制转移矩阵Pc来进行描述。AEV充电过程中，状态转移矩阵Ac=AI+Pc。
经过进一步整理，可推导出N维AEV充电负荷聚合模型为：
| $ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}(k+1)=\boldsymbol{A}_{\mathrm{c}} \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}(k)+\boldsymbol{\psi}_{\mathrm{c}}(k) \\ y_{\mathrm{c}}(k)=P_{\mathrm{ch}} \boldsymbol{C}_{\mathrm{c}} \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}(k) \end{array}\right. $ | (7) |
式中：yc(k)为k时刻AEV的聚合输出功率；Cc为输出矩阵，为N维单位行向量。
闲置和放电状态的聚合建模过程与充电状态类似，因此具体过程不再赘述。
多状态切换聚合模型的本质是通过切换电动汽车的运行状态，有序协调充电、放电、闲置3种运行状态下的负荷数量，以达到调节聚合功率的目的。3种状态的自由演化部分由状态转移矩阵Aev来描述；状态间的切换部分可作为控制量，由控制矩阵Bev来描述；聚合功率输出部分由输出行向量Cev来描述；干扰量部分由干扰列向量ψev(k)来描述。结合电动汽车各状态聚合模型，可得多状态切换聚合模型为：
| $ \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}(k+1) \\ \boldsymbol{x}_1(k+1) \\ \boldsymbol{x}_{\mathrm{d}}(k+1) \end{array}\right]=\boldsymbol{A}_{\mathrm{ev}}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}(k) \\ \boldsymbol{x}_1(k) \\ \boldsymbol{x}_{\mathrm{d}}(k) \end{array}\right]+\boldsymbol{B}_{\mathrm{ev}}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{u}_1(k) \\ \boldsymbol{u}_2(k) \\ \boldsymbol{u}_3(k) \end{array}\right]+\boldsymbol{\psi}_{\mathrm{ev}}(k)} \\ Y_{\mathrm{ev}}(k)=\boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}}\left[\boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}(k) \boldsymbol{x}_1(k) \boldsymbol{x}_{\mathrm{d}}(k)\right]^{\mathrm{T}} \end{array}\right. $ | (8) |
式中：xl(k)、xd(k)分别为闲置和放电状态下k时刻的负荷量，均为N维列向量；u1(k)、u2(k)、u3(k)分别为3种运行状态下k时刻的控制变量；Yev(k)为聚合输出功率。
1.2.2 MPC底层控制器利用MPC设计AEV的底层控制器。设MPC预测时域为p，控制时域为m，则模型预测输出可表示为：
| $ \boldsymbol{Y}_p(k)=\boldsymbol{L}_{\mathrm{x}} \boldsymbol{x}_{\mathrm{ev}}(k)+\boldsymbol{L}_{\mathrm{u}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{ev}}(k)+\boldsymbol{L}_\psi \boldsymbol{\psi}_{\mathrm{ev}}(k) $ | (9) |
式中：Yp(k)为k时刻系统的预测输出序列；Lx、Lu、Lψ分别为状态预测矩阵、控制预测矩阵和扰动预测矩阵；xev(k)=[xc(k) x1(k) xd(k)]T，为3种运行状态的复合状态变量；Uev(k)为k时刻模型的预测控制序列。
| $ \boldsymbol{Y}_p(k)=\left[\begin{array}{l} y(k+1 \mid k) & \cdots & y(k+p \mid k) \end{array}\right]^{\mathrm{T}} $ | (10) |
| $ \boldsymbol{U}_{\mathrm{ev}}(k)=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{u}_{\mathrm{ev}}(k \mid k) & \cdots & \boldsymbol{u}_{\mathrm{ev}}(k+m-1 \mid k) \end{array}\right]^{\mathrm{T}} $ | (11) |
| $ \boldsymbol{L}_{\mathrm{x}}=\left[\begin{array}{llll} \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} A_{\mathrm{ev}} & \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} A_{\mathrm{ev}}^2 \cdots \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{A}_{\mathrm{ev}}^p \end{array}\right]^{\mathrm{T}} $ | (12) |
| $ \boldsymbol{L}_{\mathrm{\psi}}=\left[\begin{array}{llll} \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} & \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{A}_{\mathrm{ev}} \cdots & \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{A}_{\mathrm{ev}}^{p-1} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} $ | (13) |
| $ \boldsymbol{L}_{\mathrm{u}}=\left[\begin{array}{cccc} \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{ev}} & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{A}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{ev}} & \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{ev}} & \cdots & \boldsymbol{0} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{A}_{\mathrm{ev}}^{m-1} \boldsymbol{B}_{\mathrm{ev}} & \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{A}_{\mathrm{ev}}^{m-2} \boldsymbol{B}_{\mathrm{ev}} & \cdots & \boldsymbol{C}_{\mathrm{ev}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{ev}} \end{array}\right] $ | (14) |
式中：y(k+p|k)为预测时域p下的输出功率；uev(k+m－1|k)为控制时域m下的输出变量。
寻找MPC中最优控制变量可描述为求解满足一定约束的最优规划问题，然后取第一组控制变量作用于系统进行反馈校正，如此循环滚动，即可实现AEV的输出功率调整[10]。
结合AEV多状态切换聚合模型和MPC底层控制器构成AEV调频单元模块，其结构如图 2所示。其中Tev, j为调频单元j的响应时间常数。
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图 2 AEV调频单元结构 Fig. 2 AEV frequency regulation unit structure |
VMD-双层MPC控制器输出AEV调频单元j的控制指令Δuev, j，AEV模块接收到调频指令后，经底层控制器调节聚合模型输出功率YAEV, j来跟踪指令。与此同时，聚合模型更新各状态变量，计算下个时刻AEV的可调功率范围，并以此作为约束条件反馈给VMD-双层MPC控制器。为了便于
VMD是一种自适应、完全非递归的信号处理方法[21]，其核心思想是构建和求解变分问题。若将调频信号分解为Z个频率不同的子分量，且各个子分量的估计带宽之和最小，约束条件为各分量之和等于原始调频指令，则相应约束变分问题构造如下：
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\min }\limits_{\left\{ {{h_z}} \right\}\left\{ {{\varphi _z}} \right\}} \left\{ {\sum\limits_z {\left\| {{\partial _t}\left[ {\left( {\delta (t) + \frac{{\rm{j}}}{{\pi t}}} \right)*{h_z}(t)} \right]{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}{\varphi _z}t}}} \right\|_2^2} } \right\}}\\ {{\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\sum\limits_{z = 1}^Z {{h_z}} = f} \end{array}} \right. $ | (21) |
式中：∂t为梯度运算；Δδ(t)为单位脉冲函数；hz、φz分别为第z个模态分量和其中心频率；Z为分解出的本征模态函数(intrinsic mode function, IMF)个数；f为调频指令信号。
为求解式(21)所示的约束型变分问题，可引入Lagrange乘数法将其转化为非约束型变分问题，形成增广Lagrange函数如下：
| $ \begin{gathered} L\left(\left\{h_z\right\}, \left\{\varphi_z\right\}, \lambda\right)= \\ \alpha \sum\limits_z\left\|\partial_t\left[\left(\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\pi t}\right) * h_z(t)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \varphi_z t}\right\|_2^2+ \\ \left\|f(t)-\sum\limits_z h_z(t)\right\|_2^2+\left\langle\lambda(t), f(t)-\sum\limits_z h_z(t)\right\rangle \end{gathered} $ | (22) |
式中：λ为Lagrange乘子；α为惩罚因子。
利用交替方向乘子迭代算法交替更新hz, r+1、φz, r+1和λz, r+1(r为迭代次数)，搜寻增广Lagrange函数的鞍点。第r+1次迭代时第z个模态分量hz, r+1的表达如下：
| $ \begin{gathered} h_{z, r+1}= \\ \operatorname{argmin}\left\{\alpha\left\|\partial_t\left[\left(\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\pi t}\right) * h_z(t)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \varphi_z t}\right\|_2^2+\right. \\ \left.\left\|f(t)-\sum\limits_b h_b(t)+\lambda(t) / 2\right\|_2^2\right\} \end{gathered} $ | (23) |
式中：
代时第b个模态分量。
更新各子分量及其中心频率的频域：
| $ \hat{h}_{z, r+1}(\varphi)=\frac{\hat{f}(\varphi)-\sum\limits_{b \neq z} \hat{h}_b(\varphi)+\hat{\lambda}(\varphi) / 2}{1+2 \alpha\left(\varphi-\varphi_z\right)^2} $ | (24) |
| $ \varphi_{z, r+1}=\int_0^{\infty} \varphi\left|\hat{h}_z(\varphi)\right|^2 \mathrm{~d} \varphi / \int_0^{\infty}\left|\hat{h}_z(\varphi)\right|^2 \mathrm{~d} \varphi $ | (25) |
式中：
λ的更新公式如式(26)所示，其中τ为常数。
| $ \hat{\lambda}_{r+1}(\varphi) \leftarrow \hat{\lambda}_r(\varphi)+\tau\left(\hat{f}(\varphi)-\sum\limits_z \hat{h}_{z, r+1}(\varphi)\right) $ | (26) |
对于精度收敛判据e＞0，当满足条件
经VMD处理，原始调频指令信号被分解为Z个频率不同的IMF分量，整合其中的低频分量作为火电机组的响应指令PgL，高频分量作为AEV的响应指令PevH：
| $ \left\{\begin{array}{l} P_{\mathrm{g}}^{\mathrm{L}}(t)=\sum\limits_{z=1}^{z_1} h_z(t) \\ P_{\mathrm{ev}}^{\mathrm{H}}(t)=\sum\limits_{z=z_{\mathrm{l}}+1}^Z h_z(t) \end{array}\right. $ | (27) |
式中：zl为高、低频分量的临界值，选取原则即在AEV的总可调功率范围内，承担尽可能多的高频分量。
定义ΔPgmax(t)、ΔPgmin(t)分别为t时刻火电机组可调功率上限和下限，PgL(t)∈[ΔPgmin(t), ΔPgmax(t)]；ΔPevmax(t)、ΔPevmin(t)分别为t时刻AEV可调功率上限和下限，PevH(t)∈[ΔPevmin(t), ΔPevmax(t)]。当火电机组、AEV的可调功率满足各自的调频需求时，火电机组与AEV跟踪各自的调频信号。但当其中一者调频能力不足时，则由另一调频资源承担相应欠调部分。若当火电机组和AEV的总可调功率无法满足调频需求时，由于无法实现就地功率平衡，则该区域须通过联络线与其他区域进行能量交互以完成调频。因此，文中将重点研究可调功率范围充足时的出力分配问题。
2.2 基于双层MPC的协同控制策略 2.2.1 双层MPC框架随着MPC技术的不断发展，MPC已从集中式MPC、分散式MPC、分布式MPC等传统单层控制结构逐步扩展为双层MPC结构[22]，如图 3所示。上层结合各资源经济性指标及相关约束，通过EMPC将调频指令分解为各机组的最优跟踪指令ΔPi，实现稳态经济设定值的优化；下层则通过MPC实现动态频率优化控制，使区域频率波动恢复稳定并驱使各机组完成指令跟踪。双层MPC实现了经济优化与动态控制的逐级递进，有效兼顾了频率调节过程的经济性和良好的跟踪性能。
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图 3 双层MPC框架 Fig. 3 Double-layer MPC framework |
上层通过EMPC进行指令再分配是为了协调区域内多机组出力，实现经济优化和功率平衡目标。2.1节中已通过VMD将原始调频指令信号分解为高、低频信号PevH、PgL，指令再分配层则是对PevH、PgL进一步分配得到每个调频机组和AEV调频单元的最优跟踪指令。为此，可构建如下离散模型：
| $ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{x}_{\mathrm{s}}(k+1)=\boldsymbol{A}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{x}_{\mathrm{s}}(k)+\boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{u}_{\mathrm{s}}(k) \\ \boldsymbol{y}_{\mathrm{s}}(k)=\left[\sum\limits_{i=1}^v \Delta P_{\mathrm{g}, i}(k) \sum\limits_{j=1}^n \Delta P_{\mathrm{ev}, j}(k)\right]^{\mathrm{T}} \end{array}\right. $ | (28) |
式中：xs(k)=[Pg, 1(k) … Pg, v(k) Pev, 1(k) … Pev, n(k)]T，为由多个调频资源的出力构成的状态向量；us(k)=[ΔPg, 1(k) … ΔPg, v(k) ΔPev, 1(k) … ΔPev, n(k)]T，为由调频资源出力偏差量构成的控制向量；ys(k)为输出向量，由火电机组和AEV的出力偏差总和构成；As、Bs分别为状态矩阵和控制矩阵，均为适维单位矩阵。
以离散模型为控制对象，设预测时域为ps，控制时域为ms，可得系统ps个步长后的预测状态变量xs(k+ps|k)和输出变量ys(k+ps|k)。
对于火电机组而言，其发电成本主要来源于煤耗量和CO2排放量，其成本函数λg, i可由二次函数描述，如式(29)所示。
| $ \begin{gathered} \lambda_{\mathrm{g}, i}\left(P_{\mathrm{g}, i}(k)\right)= \\ \left(s_{\mathrm{e}}+s_{\mathrm{f}}\right)\left(a_{\mathrm{g}, i} P_{\mathrm{g}, i}^2(k)+b_{\mathrm{g}, i} P_{\mathrm{g}, i}(k)+c_{\mathrm{g}, i}\right) \end{gathered} $ | (29) |
式中：Pg, i(k)为火电机组i的初始功率值Pg, i(k)与稳态功率偏差ΔPg, i(k)之和；se、sf分别为燃料成本和CO2排放成本系数；ag, i、bg, i、cg, i为机组i的煤耗特性系数。
AEV作为可调负荷，其调节成本主要来源于电池损耗以及与电网互动的电费成本，则AEV的调节成本λev, j也可描述为二次函数[23]：
| $ \lambda_{\mathrm{ev}, j}\left(P_{\mathrm{ev}, j}(k)\right)=a_{\mathrm{ev}, j} P_{\mathrm{ev}, j}^2(k)+b_{\mathrm{evv}, j} P_{\mathrm{ev}, j}(k) $ | (30) |
式中：Pev, j(k)为调频单元j的初始功率值Pev, j(k)与稳态功率偏差ΔPev, j(k)之和；aev, j、bev, j分别为AEV调频单元j的电池损耗与电价成本系数。
由此可得k时刻系统的经济性指标σ(k)为：
| $ \sigma(k)=\sum\limits_{i=1}^v \lambda_{\mathrm{g}, i}\left(P_{\mathrm{g}, i}(k)\right)+\sum\limits_{j=1}^n \lambda_{\mathrm{ev}, j}\left(P_{\mathrm{ev}, j}(k)\right) $ | (31) |
则k时刻系统的总优化目标函数J(k)为：
| $ \begin{aligned} J(k)= & \sigma(k)+\left(\sum\limits_{i=1}^v \Delta P_{\mathrm{g}, i}(k)-P_{\mathrm{g}}^{\mathrm{L}}(k)\right)^2+ \\ & \left(\sum\limits_{j=1}^n \Delta P_{\mathrm{ev}, j}(k)-P_{\mathrm{ev}}^{\mathrm{H}}(k)\right)^2+\tau_{\mathrm{g}}^{\max } \end{aligned} $ | (32) |
式中：第一项为成本项，目的是减少调节成本；2个平方项为误差项，目的是保证火电机组与AEV可以较好地跟踪各自的调频指令；τgmax为机组最大爬坡时间，目的是加快系统整体调节速度。
由此，形成了上层EMPC设计的指令再分配层，其目标函数和约束条件如式(33)所示。其中，等式约束为功率平衡方程；不等式约束则为防止机组或AEV调节功率越限。
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\min }\limits_{{u_{\rm{s}}}(k + w\mid k)} \sum\limits_{l = 1}^{{p_{\rm{s}}}} J (k + l\mid k)}\\ {{\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\sum\limits_{i = 1}^v \Delta {P_{{\rm{g}},i}}(k + l\mid k) + \sum\limits_{j = 1}^n \Delta {P_{{\rm{ev}},j}}(k + l\mid k) = }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P_{\rm{g}}^{\rm{L}}(k) + P_{{\rm{ev}}}^{\rm{H}}(k)}\\ {\;\;\;\;\Delta P_{{\rm{g}},i}^{{\rm{min}}}(k) \le \Delta {P_{{\rm{g}},i}}(k + l\mid k) \le \Delta P_{{\rm{g}},i}^{{\rm{max}}}(k)}\\ {\;\;\;\;\Delta P_{{\rm{ev}},j}^{{\rm{min}}}(k) \le \Delta {P_{{\rm{ev}},j}}(k + l\mid k) \le \Delta P_{{\rm{ev}},j}^{{\rm{max}}}(k)}\\ {\;\;\;\;l = 1,2, \cdots ,{p_{\rm{s}}}} \end{array}} \right. $ | (33) |
式中：w=1, 2, …, ms；J(k+l|k)、ΔPg, i(k+l|k)、ΔPev, j(k+l|k)分别为未来l个时刻的目标函数、机组出力增量、AEV调频单元出力增量；ΔPg, imax、ΔPg, imin分别为火电机组i的可调功率上限和下限；ΔPev, jmax、ΔPev, jmin分别为AEV调频单元j的可调功率上限和下限。
基于上述分析，k时刻指令分配问题可描述为式(32)所示最优规划问题。求解该规划问题即可得到最优控制序列us(k)，将其作为控制指令代入系统反馈校正，如此循环滚动优化，最终实现多机组间高、低频信号分量的优化再分配。
2.2.3 下层MPC设计——动态控制层双层MPC的频率动态控制层是根据上层所得功率分配结果对各机组进行控制，实现有功功率平衡与频率稳定。上层所得控制向量us(k)即为下层控制中各机组和AEV调频单元最优出力参考值向量Δ Pref=[ΔPg, 1ref(k) … ΔPg, vref(k) ΔPev, 1ref(k) … ΔPev, nref(k)]T。
首先，将式(16)所示模型进行离散化：
| $ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(k)+\boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(k)+\boldsymbol{D} \boldsymbol{w}(k) \\ \boldsymbol{y}(k)=\boldsymbol{C} \boldsymbol{x}(k) \end{array}\right. $ | (34) |
设预测时域为pb，控制时域为mb，根据k时刻状态信息以及式(34)所示的离散模型可得模型预测输出序列Ypb(k)和控制序列Ub(k)：
| $ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{Y}_{p_{\mathrm{b}}}(k)=\boldsymbol{F}_{\mathrm{x}} \boldsymbol{x}(k)+\boldsymbol{F}_{\mathrm{u}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{b}}(k)+\boldsymbol{F}_{\mathrm{w}} \boldsymbol{w}(k) \\ \boldsymbol{Y}_{p_{\mathrm{b}}}(k)= \\ \quad\left[\boldsymbol{y}(k+1 \mid k) \boldsymbol{y}(k+2 \mid k) \cdots \boldsymbol{y}\left(k+p_{\mathrm{b}} \mid k\right)\right]^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{U}_{\mathrm{b}}(k)= \\ \quad{\left[\boldsymbol{u}(k \mid k) \boldsymbol{u}(k+1 \mid k) \cdots \boldsymbol{u}\left(k+m_{\mathrm{b}}-1 \mid k\right)\right]^{\mathrm{T}}} \end{array}\right. $ | (35) |
式中：Fx、Fu、Fw为预测矩阵；y(k+pb|k)为预测时域pb下的输出变量；u(k+mb－1|k)为控制时域mb下的控制变量。
频率控制层的目标为控制各调频资源跟踪最优设定值，且使系统稳态时区域控制偏差(area control error, ACE)为0，由此可构造参考输出向量Yref=[ΔPref 0]T。因此，k时刻频率控制层的最优规划问题可由式(36)描述。
| $ \left\{\begin{array}{l} \min J= \\ \quad Q_{\mathrm{b}}\left\|\boldsymbol{Y}_{p_{\mathrm{b}}}(k)-\boldsymbol{Y}^{\mathrm{ref}}(k)\right\|_2+\boldsymbol{U}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{T}}(k) \boldsymbol{R}_{\mathrm{b}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{b}}(k) \\ \text { s.t. } \Delta P_{\mathrm{g}, i}^{\min }(k) \leqslant \Delta P_{\mathrm{g}, i}(k+l \mid k) \leqslant \Delta P_{\mathrm{g}, i}^{\max }(k) \\ \quad \Delta P_{\mathrm{ev}, j}^{\min }(k) \leqslant \Delta P_{\mathrm{ev}, j}(k+l \mid k) \leqslant \Delta P_{\mathrm{ev}, j}^{\max }(k) \\ \quad l=1, 2, \cdots, p_{\mathrm{b}} \end{array}\right. $ | (36) |
式中：Qb、Rb分别为误差项与控制项的加权因子；约束条件为各调频资源可调功率范围。求解式(36)，在滚动优化机制下可得到最优控制量Ub(k)，将其作用于系统反馈校正，最终达到各调频资源跟踪出力设定值以及频率稳定的目标。
文中提出的基于VMD-双层MPC的调频控制策略流程如图 4所示。
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图 4 基于VMD-双层MPC的调频控制策略流程 Fig. 4 Flow chart of frequency regulation control strategy based on VMD and double-layer MPC |
文中以单区域多机组系统为研究对象，假设该区域配有3台传统机组(PG1、PG2、PG3)和3个AEV调频单元(PEV1、PEV2、PEV3)。文中传统机组和电动汽车参数数据分别参见文献[24]和文献[10]；火电机组燃料成本se和CO2排放成本系数sf分别为420.1元/t和201元/t。传统机组模型参数及煤耗特性参数见表 1，其中τg为机组爬坡率。表 2则给出了AEV相关参数。以上参数均已转化为以100 MW为基准的标幺值。
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表 1 传统机组模型及煤耗特性参数 Table 1 Traditional unit model and coal consumption characteristic parameters |
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表 2 AEV相关参数 Table 2 AEV parameters |
文中算例仿真在Intel Core i5-6200U CPU @ 2.30 GHz和8 GB的RAM计算平台上运行，并通过Matlab 2017b调用Gurobi工具箱对控制问题进行求解。双层MPC控制器参数设置如下：上层功率分配层，仿真步长取1 min，预测时域和控制时域分别取10和5；下层动态控制层，为保证控制性能，仿真步长取0.1 s，预测时域和控制时域分别取15和10，误差项加权因子Qb和控制项加权因子Rb分别取1和0.1。
3.2 原始调频信号的VMD采用如图 5所示国内某地区电网调频指令信号进行仿真分析[25]，该信号时长为2 h，采样间隔为1 min。
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图 5 某区域电网调频指令时序 Fig. 5 Sequence of frequency regulation command of a power grid |
为使VMD后各IMF分量的中心频率不重叠，且Z值尽可能小[21]，经多次试验，最终选取VMD算法分解参数Z=8。分解后各子分量如图 6所示。可见，经VMD后，原始调频指令被分解为8个频率由低到高的IMF分量。在本系统中，根据传统机组以及AEV调频主体的可调功率范围，将前4个分量IMF1—IMF4重构形成低频火电机组响应指令，后4个分量IMF5—IMF8重构形成高频AEV调频主体响应指令。
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图 6 VMD后各IMF分量 Fig. 6 IMF components after VMD |
为更直观地反映文中所提VMD-双层MPC控制器的调控细节，选取分解后信号的某断面进行仿真分析。所选断面原始调频信号为0.32 p.u.，经分解后火电机组群与AEV应分别承担0.19 p.u.和0.13 p.u.的调频任务。
为体现文中所提双层MPC策略在指令再分配与调节过程中的经济性与动态性能，将其与文献[26]中按可调容量比例分配的控制策略进行对比分析。图 7给出了不同控制策略下传统机组与AEV调频单元出力的对比结果。分析结果可知，所提控制策略与对比策略均可准确响应传统机组0.19 p.u.与AEV调频主体0.13 p.u.的调频指令，但各机组出力情况差异较大。这是因为对比策略仅依靠可调功率比例分配，而文中策略在指令再分配层中考虑了各资源调节的经济性以及传统机组的爬坡率，并在约束条件中限制了可调功率范围，使各资源在不超出可调范围的前提下获得更优的调频指令。在调节成本上，文中策略和对比策略分别为22 014.9元和22 883.2元；在最大爬坡时间上，文中策略和对比策略分别为30.0 s和48.6 s。由此可见，文中策略减少了整个频率调节过程的成本，缩短了传统机组最大爬坡时间。
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图 7 不同控制策略下各调频资源出力对比结果 Fig. 7 Comparison of resource output under different control strategies |
图 8和表 3给出了不同策略下频率的动态调节过程和对比结果。可以看出，相较于对比策略，文中策略通过优化协调各机组出力，使得最大频率偏差、绝对偏差积分、调节时间指标分别减小了9.55%、24.39%、26.15%，提升了频率调节过程的动态性能。
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图 8 不同控制策略下频率动态调节过程 Fig. 8 Dynamic frequency regulation process under different control strategies |
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表 3 不同控制策略下频率调节结果对比 Table 3 Comparison of frequency regulation results under different control strategies |
为研究文中提出的VMD- 双层MPC控制策略对频率调节动态特性的影响以及对传统机组出力的优化，根据图 5所示的连续调频指令进行仿真，取参数zl=4，并与传统的比例积分(proportional integral, PI)控制策略进行对比分析。
图 9给出了不同策略下传统机组出力对比结果。对比策略中机组出力变化剧烈，且变化幅度大、频率高，出现多次超调，不能维持机组出力平稳。而文中策略通过VMD重构低频分量，将其作为传统机组出力参考值，并采用双层MPC实现指令跟踪，使得传统机组出力更加平稳，变化趋势更加平缓，有利于传统机组在调频过程中的安全运行。
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图 9 传统机组出力对比 Fig. 9 Comparison of traditional unit output |
连续信号的频率动态调节结果如图 10和表 4所示。分析可得，对比策略中系统频率动态性能指标偏差更大，这是由于对比策略不能充分利用电动汽车储能的快速响应特性。而文中策略将高频分量作为AEV调频主体的响应指令，使得AEV快速为系统提供功率支撑，弥补功率缺额，大幅提升了系统在连续扰动下的频率动态调节性能。
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图 10 连续调频信号下频率动态调节过程 Fig. 10 Dynamic frequency regulation process under FM signal |
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表 4 连续调频信号下频率调节结果对比 Table 4 Comparison of frequency adjustment results under FM signal |
针对电动汽车资源丰富的单区域多机组系统，提出了基于VMD-双层MPC的AEV联合火电机组调频控制策略，并得到以下结论：
(1) 利用VMD将原始调频信号分解为不同频率成分的信号，基于提出的控制策略，AEV和火电机组能分别准确响应高频分量和低频分量。通过对AEV和火电机组的差异化控制，充分发挥了AEV的快速响应和调节优势，实现了不同调频主体的优化利用。
(2) 文中提出了基于双层MPC的协同控制策略，上层通过EMPC实现稳态经济设定值的优化，下层通过MPC实现动态频率优化控制，实现了经济优化与动态控制的逐级递进。算例分析表明，在调频信号断面和连续调频信号2种情形下，文中策略均表现出了良好的经济性和动态调节性能。
后续将考虑火电机组参与调频的响应时滞，对含电动汽车的多区域电网调频控制策略展开进一步研究。
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