光子是信息传递的重要载体，可以通过对光子的强度、相位、频率和偏振等物理量的调制，增加信息传输速率.另一方面，Allen等首次于1992年实验证实了拉盖尔-高斯(LG, Laguerre-Gaussian)模的每个光子具有lħ的轨道角动量(OAM, orbital angular momentum)^[1]，其中l称为拓扑荷(TC, Topological charge).事实上，轨道角动量是经典力学和量子力学的基本物理量^[2]，它仅与射线束的空间分布有关，是螺旋相位射线束的自然特性.现已证明，无论是电子束、X-射线、还是无线波束都具有螺旋相位特性^[3-11].由于OAM态中l的取值可从负无穷至正无穷^[12]，且不同拓扑荷的OAM态的空间分布函数(又称空间模)相互正交，因此OAM态更适合于信息的复用传输，现已成为自由空间光通信(FSO, free-space optical communication)系统中一个全新的信息自由度^[13-14].

随着OAM的广泛应用，高效快速的OAM检测和分离手段越来越受到人们的关注^[15-22]. 2010年，Berkhout等^[18-22]提出了一种高效的OAM态检测方法，它基于静态光学原理，运用坐标变换将螺旋相位的光束转变为横向的具有相位梯度的光束，通过在电荷耦合器件横向不同位置的聚焦分离出不同的OAM态.然而，由于每个OAM态在横向位置都存在一定的宽度，其分离精度受到一定限制.

考虑到现实的OAM态通信系统，人们仅需要获取OAM态成分信息，而不需要将接收态逐个分离，同时考虑接收设备的低成本，论文提出一种基于信息后处理的OAM态成分检测方法.它在不需要增加昂贵的物理器件条件下，可通过FFT变换实现OAM态成分检测，且针对一次干涉输出的光强，可通过信息后处理获取各个OAM态的成分信息.

1 基于信息后处理的OAM态成分检测方法

基于信息后处理OAM态成分检测方法示意图如图 1所示，马赫－曾德尔干涉仪2臂分别加入一个道威棱镜，其中一个道威棱镜固定放置，即棱镜角度为0°，另一个道威棱镜则以0°~180°为周期绕光轴旋转，因此，光路能够以0°~360°为周期.

图 1是基于信息后处理OAM态成分检测方法系统示意图.入射的OAM态光束被分束器1分为2路，其中一路光束通过道威棱镜1后(棱镜角度为0°)，经由反射镜1射入分束器2；另一路经由反射镜2后，通过一块绕轴旋转的道威棱镜2射入分束器2.接着，2路光束在分束器2处干涉合并，出射光束将由光功率探测器接收，并将数据传送给计算机进行快速傅里叶变换(FFT, fast Fourier transform)处理.最终，计算机将道威棱镜2的旋转情况，给出复用OAM态光束的成分信息.

现给出基于信息后处理OAM态成分检测方法的理论推导.为了简化推导过程，不失一般性，假设OAM态光束的光场分布为

$ E\left( l \right) = A{\rm{exp}}\;({\rm{i}}l\theta ) $

(1)

其中：A是光场强度；l是方位指数，代表OAM态的拓扑荷，θ为方位角. OAM态光束被分成2路，一路经过旋转角度为0的道威棱镜，另一路经过旋转角度为θ_i/2的道威棱镜.当OAM态经过旋转角度为θ_i/2的道威棱镜后，其光场分布变为

$ E\left( l \right) = A{\rm{exp}}\;[{\rm{i}}l(\theta + {\theta _i})] $

(2)

2路光束通过相同的光程后在分束器BS₂处合并，探测到的光强应为

$ {\left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }}A{\rm{exp}}\;({\rm{i}}l\theta ) + \frac{1}{{\sqrt 2 }}A{\rm{exp}}\;({\rm{i}}l(\theta + {\theta _i}))} \right|^2} $

(3)

当方位角旋转一周时，光功率探测器所接收到的光强为

$ \begin{array}{l} I = \int {{{\left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }}A{\rm{exp}}\;({\rm{i}}l\theta ) + \frac{1}{{\sqrt 2 }}A{\rm{exp}}\;({\rm{i}}l(\theta + {\theta _i}))} \right|}^2}} {\rm{d}}\theta = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int {{{\left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }}A{\rm{exp}}\;({\rm{i}}l\theta )[1 + {\rm{exp}}\;({\rm{i}}l{\theta _i})]} \right|}^2}} {\rm{d}}\theta = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ \mathsf{ π} }}{A^2}(1 + {\rm{cos}}\;l{\theta _i}) \propto 1 + {\rm{cos}}\;l{\theta _i} \end{array} $

(4)

由此可见，2路光束干涉后的光场强度I与道威棱镜2旋转角度θ_i有关，随着lθ_i的变化成余弦特性，频率与l值有关.对于不同l值，可通过设置θ_i提取l值的成分信息.

进一步分析复用OAM态情形.假设2个OAM复用态的光场分布为A₁exp (il₁θ)+A₂exp (il₂θ)，其中l₁和l₂是2个OAM态的拓扑荷，A₁和A₂是OAM态光场强度.经过相同的操作后，光功率探测器所接收到的光场强度为

$ \begin{array}{l} I = \smallint |\left( {1/\sqrt 2 } \right){A_1}{\rm{exp}}\;({\rm{i}}{l_1}\theta )[1 + {\rm{exp}}\;({\rm{i}}{l_1}{\theta _i})] + \\ \left( {1/\sqrt 2 } \right){A_2}{\rm{exp}}\;({\rm{i}}{l_2}\theta )[1 + {\rm{exp}}\;({\rm{i}}{l_2}{\theta _i})]{|^2}{\rm{d}}\theta = \\ \;\;\;A_1^2 + A_2^2 + A_1^2{\rm{cos}}\;({\rm{i}}{l_1}{\theta _i}) + A_2^2{\rm{cos}}\;({\rm{i}}{l_2}{\theta _i}) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{\mathit{k} = 1}^2 {A_k^2} + \sum\limits_{\mathit{k} = 1}^2 {A_k^2} {\rm{cos}}\;({l_k}{\theta _i}) \end{array} $

(5)

式(5)表明，光场强度可以表示为2种不同余弦分量的叠加.由此类推，对于n个OAM态复用的光束的光功率探测器所接收到的光强应为

$ \begin{array}{l} I = \smallint |\left( {1/\sqrt n } \right){A_1}{\rm{exp}}\;({\rm{i}}{l_1}\theta )[1 + {\rm{exp}}\;({\rm{i}}{l_1}{\theta _i})] + \cdots + \\ \;\;\;\;\;\;\left( {1/\sqrt n } \right){A_n}{\rm{exp}}\;({\rm{i}}{l_n}\theta )[1 + {\rm{exp}}\;({\rm{i}}{l_n}{\theta _i})]{|^2}{\rm{d}}\theta = \\ A_1^2 + \cdots + A_n^2 + A_1^2{\rm{cos}}\;({\rm{i}}{l_1}{\theta _i}) + \cdots + A_n^2{\rm{cos}}\;({\rm{i}}{l_n}{\theta _i}) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{\mathit{k} = 1}^2 {A_k^2} + \sum\limits_{\mathit{k} = 1}^2 {A_k^2} {\rm{cos}}\;({l_k}{\theta _i}) \end{array} $

(6)

若对式(6)进行快速傅里叶变换，可得到

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{FFT}}\left[ I \right] = \\ 2\sum\limits_{\mathit{k} = 1}^N {A_k^2} {\rm{ \mathsf{ π} }}\mathit{\delta }\left( l \right) + A_1^2{\rm{ \mathsf{ π} }}[\delta (l + {l_1}) + \mathit{\delta }(l - {l_1})] + \\ \;\;\;\;\;\; \cdots + A_N^2{\rm{ \mathsf{ π} }}[\mathit{\delta }(l + {l_N}) + \mathit{\delta }(l - {l_N})] \end{array} $

(7)

若仅取式(7)的非负部分，则可以得到

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{FFT}}\left[ I \right] = \\ {\rm{ \mathsf{ π} }}\left[ {2\sum\limits_{\mathit{k} = 1}^N {A_k^2} \mathit{\delta }\left( l \right) + A_1^2\mathit{\delta }(l - {l_1}) + \cdots A_N^2\delta (l - {l_N})} \right] \propto \\ \;\;\;\;2\sum\limits_{\mathit{k} = 1}^N {A_k^2} \mathit{\delta }\left( l \right) + A_1^2\delta (l - {l_1}) + \cdots A_N^2\delta (l - {l_N}) \end{array} $

(8)

至此，原本在空间上难以分离的复用OAM态光束，就可以转化成相互分离的δ函数之和，即实现了复用OAM态在FFT域的分离.另一方面，每个OAM本征态分量对应的幅度值正比于各自的功率，因而式(8)也可被理解为描述了接收光束的OAM谱.对于不同l值，可通过设置θ_i提取l值的OAM态成分信息.于是可在FFT域提取各OAM态.

若将这种OAM态提取方法应用于OAM态复用系统，还具有一定的抗噪声能力.当OAM态受噪声干扰，如大气湍流干扰，在FFT域中会出现OAM态的能量弥散.该方法由于是信息后处理方法，可以在FFT域中设置一段小区域，而不是OAM的本征态能量点，通过小区域间的总能量对OAM态进行判决；同时由式(8)可知，OAM谱在l=0处的幅值可以用来判断所复用的OAM态总个数.

2 成分检测方法在自由空间光通信系统中的应用

图 2是基于OAM成分检测的4束OAM态自由空间光通信方案，其中OAM态的拓扑荷值l取2, 4, 6, 8. 4束经过二进制启闭键控(OOK，on-off keying)调制的高斯光入射4个透射型SLM，分别转换成4路不同的OAM态光束，经过光束耦合系统、望远镜系统，传送至自由空间.接收端，复用OAM态光束经过望远镜系统整形后进入OAM成分检测系统.由于数值仿真中最大的OAM值取为8，根据Nyquist采样定理，可以计算出旋转道威棱镜的旋转步进最大值为$\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{16}}$.每当旋转道威棱镜的旋转一个角度时，光功率探头将测量一次，并将数据传送到计算机.当采样完一个周期后，将采集结果进行FFT变换.

对于具体的解复用方案如下：首先在FFT域上划分4个均匀的区间，使得每个区间内都包含一个用于复用传输的OAM本征态；之后，根据获取的OAM谱在l=0处的幅值，判断出此次通信传输的OAM本征态的个数，并分别计算出4个区间内所有OAM态分量的功率之和；最后，依照判断出的OAM本征态的个数，按照区间功率总和从高到低选取相应数目的区间，那么这些区间对应的本征态即判为1，即获得OAM态成分信息.

以Labview软件为数据仿真工具，使用LG模表示OAM态，其中LG模式光的波长设置为1.55×10^－6 m，束腰半径设置为0.035 m，光场强度归一化.引入的大气湍流模型采用文献[23]中的相位屏模型.数值仿真中用了10个随机相位屏模拟大气湍流，每2个相位屏之间的距离为100 m，外尺度L₀=50 m，内尺度l₀=1 mm，LG光束在大气湍流中的传输距离均为1 km.

图 3给出了基于FFT的复用OAM态检测方法在不同湍流强度下，对单个OAM态和OAM复用态的检测结果，其中图 3(a)为单个OAM态的检测结果，图 3(b)为OAM复用态的检测结果. 图 3显示不论在何种湍流强度下，FFT域中l=0处的幅值保持不变，且正比于通信过程中总的光功率.因此，在每个OAM本征态光功率相等的前提下，可以凭借OAM谱在l=0处的幅值来判断接收到的OAM态的个数；另一方面，在湍流强度为C_n²=1×10^－15 m^－2/3和C_n²=1×10^－14 m^－2/3，即弱湍流和中等强度的湍流，通过该方法可以在FFT域中可以清晰地分析出被检测复用OAM态的成分信息，但是当湍流强度达到C_n²=1×10^－13 m^－2/3，即强湍流时，OAM谱的弥散现象变得十分严重，无法进行正确判决.研究结果表明基于FFT的复用OAM态检测方法可以在弱或中等强度湍流下检测出单个OAM态和复用OAM态成分. 图 3所示为用同一方法检测单个OAM态和OAM复用态的结果，当输入是单个OAM态时，FFT域有一个OAM谱主峰；而当输入是OAM复用态时，FFT域有多个OAM谱主峰.另外，由于大气湍流的作用，单个OAM态输入时，只有单OAM态在FFT域中弥散，而OAM复用态输入时，在FFT域中不仅存在OAM态的弥散，而且出现OAM态间串扰.因此，基于信息后处理的OAM态成分检测方法应用于单OAM态的精度要优于OAM复用态.

进一步假设l=2, 6, 10, 14，且除了大气湍流外，大气的衰减效应、电信号处理中的噪声由方差为0.01的高斯白噪声模拟. 图 4给出了4OAM态复用通信系统在使用本成分检测方法和基于逆相位掩膜检测方法^[24]下的系统误码率性能比较.

数值仿真结果表明，大气湍流对基于4OAM-DM调制的FSO通信系统有着明显的影响，随着湍流强度的增大，系统的误码率也随之增高；且参与复用的OAM态的l值越大，对应的系统误码率越高.同时，本OAM态成分检测方法相对于逆相位掩膜检测方法有着明显的优势，对于同一l值的OAM态来载荷信息，本OAM态成分检测方法获得的误码率性能至少提升一个数量级，且当复用OAM态的拓扑荷间距越大时，本方法的检测性能越好.例如，利用本OAM态成分检测方法，提取l=2 OAM所载OOK信号时，先获得OAM谱，设置l=1, 2, 3的小区域，对该小区域间的每个OAM谱的能量求和后进行判决.随着OAM态在OAM谱上的距离增大，利用区间功率总和进行判决时，将会大大提高系统误码率性能.当该方法被应用于OAM通信系统时，能直接判决各OAM态信息，显著减小系统噪声对OAM复用通信性能的影响.

3 结束语

提出一种基于信息后处理OAM态检测方法，即通过快速傅里叶变换，将空间上具有复杂结构的复用OAM光束转换至FFT域中一个个分离的OAM本征态上，这样可避免空间分离复用OAM态光束所需的复杂设备，且分离过程可以通过计算机的后信息处理完成.数值仿真结果表明：笔者提出的方法可以有效地实施单个OAM态、复用OAM态的成分检测；不同于传统检测方法，只针对某个OAM本征态的能量进行判决，本方法可以获取设定FFT域子区间内总能量的判决.这样，在OAM态通信系统中，当选取区间合理的情况下，可大大减小系统噪声对性能的影响，且直接判断复用OAM态成分信息的解复用方法可为OAM态通信系统的实现提供一种新的思路.