差错控制编码是提高信息传输可靠性的一种关键技术，是大多数现代数字通信系统和数据存储系统不可或缺的重要部分^[1-2].低密度奇偶校验(LDPC，low-density parity-check)码在1962年被Gallager博士首先提出，是一类具有很强纠错能力的编码技术^[3].由于LDPC码具有描述简单、译码复杂度低、可并行实现、使用灵活、误码平层低等优点，在实际系统中得到了广泛的应用，并被第5代移动通信系统的新无线电(NR, new radio)采纳为增强型移动宽带(eMBB, enhanced mobile broadband)场景中数据信道的长码编码方案^[4-5].

LDPC码在最初被Gallager提出的时候并没有引起人们的重视，由于当时硬件技术的限制，长码的译码实现起来非常困难.到了20世纪90年代，MacKay和Neal^[6]证明了在与置信传播(BP, belief propagation)的迭代译码相结合的条件下，LDPC码具有逼近Shannon限的性能，LDPC码也因此逐渐成为学术界研究的热点. BP算法的缺点是计算复杂度高，尤其是在消息量化比特较低时性能严重下降. Fossorier^[7]在此基础上，将校验节点消息计算公式进行简化，用比较运算代替了查找表运算，提出了最小和(MS, minimum sum)算法. MS算法虽然降低了计算复杂度，但译码性能有较大的损失.后来Chen等^[8-9]提出了偏移最小和(OMS, offset minimum sum)算法和归一化最小和(NMS, normalized minimum sum)算法，分别通过减法和除法修正校验节点的消息，获得了逼近BP算法的译码性能，同时计算复杂度接近最小和算法.近年来，Savin等^[10-12]提出了自纠正最小和(SCMS, self-corrected minimum sum)算法及其改进算法，从变量节点消息的角度出发，提高了译码性能，并且加快了译码的收敛性.

SCMS算法具有准最佳译码性能，但它只是将变量节点消息的符号改变作为判断消息不可靠的依据，没有明确说明如何判断消息的可靠性，并且在信噪比较高的情况下，SCMS算法的收敛性下降明显.为了进一步提高LDPC码的译码可靠性与收敛性，在SCMS算法的基础上，提出了一种动态自纠正最小和(DSCMS，dynamic self-corrected minimum sum)译码算法，该算法可以根据信道情况，在迭代译码的过程中，通过改变阈值的大小，动态调整消息可靠性的判断，提高译码性能，加快译码收敛性，同时也提高了系统的灵活性.

1 BP算法

最原始的BP算法，也称为概率阈BP算法，在变量节点和校验节点之间传递的信息是节点取特定值的概率.此译码算法采用了很多相乘计算，需要耗费较多译码时间和硬件资源，不容易在工程上实现.因此，将算法中的概率运算转换到对数域中，即对数似然比(LLR, log-likelihood ratio)BP算法^[13].这样就能够把更多复杂的乘法运算简化成简单的加法运算，在很大程度上降低了BP译码算法中迭代更新运算的复杂度.为了便于后面描述，相关变量符号的定义如下：H表示LDPC码的校验矩阵，其对应的Tanner图中，包含N个变量节点和M个校验节点；i代表H中的一个变量节点，i∈{1, 2, …, N}；j代表H中的一个校验节点，j∈{1, 2, …, M}；C(i)表示与变量节点i相连的校验节点的集合；R(j)表示与校验节点j相连的变量节点的集合；C(i)\j表示除j外与变量节点i相连的校验节点的集合；R(j)\i表示除i外与校验节点j相连的变量节点的集合；L(P_i)信道初始概率似然比消息；L(r_ji)表示校验节点消息(变量节点i传向校验节点j的外部概率似然比消息)；L(q_ij)表示变量节点消息(校验节点j传向变量节点i的外部概率似然比消息)；L(q_i)表示判决量消息(变量节点i收集到的所有消息)；$\widehat c$表示译码判决得到的译码序列.

LLR BP算法的步骤可以概括如下.

1) 初始化

根据测试需要，设置最大迭代次数，计算信道传递给变量节点的初始概率似然比消息L(P_i)，然后对每一个变量节点i和与其相邻的校验节点j∈C(i)，初始化变量节点消息

$ {L^{(0)}}({q_{ij}}) = L({P_i}) $

(1)

将所有校验节点消息的初始值设置为零.

2) 迭代处理

步骤1  校验节点消息处理

对所有的校验节点j和与其相邻的变量节点i∈R(j)，第l次迭代时，计算校验节点消息

$ {L^{(l)}}({r_{ji}}) = 2{\rm{tan}}{{\rm{h}}^{ - 1}}\left\{ {\prod\limits_{{i^\prime } \in {R_j}\backslash i} {{\rm{tanh}}\left[ {\frac{1}{2}{L^{(l - 1)}}({q_{{i^\prime }j}})} \right]} } \right\} $

(2)

步骤2  变量节点消息处理

对所有的变量节点i和与其相邻的校验节点j∈C(i)，第l次迭代时，计算变量节点消息：

$ {L^{(l)}}({q_{ij}}) = L({P_i}) + \sum\limits_{{j^\prime } \in {C_i}\backslash j} {{L^{(l)}}({r_{{j^\prime }i}})} $

(3)

步骤3 译码判决

对所有变量节点计算判决量消息

$ {L^{(l)}}({q_i}) = L({P_i}) + \sum\limits_{j \in {C_i}} {{L^{(l)}}} ({r_{ji}}) $

(4)

判决规则：若L^(l)(q_i)>0，则${\widehat c_i}$=0，否则${\widehat c_i}$=1.

3) 停止

若$\mathit{\boldsymbol{H}}{\mathit{\boldsymbol{\widehat c}}^{\rm{T}}} = {\bf{0}}$，或者达到最大迭代次数，则结束运算；否则从步骤1继续迭代.

2 MS算法及其改进算法

虽然LLR BP算法已经在概率域BP算法的基础上简化了很多运算，但是其校验节点的更新计算中含有双曲正切函数及其反函数，在实现上依然很复杂，因此Fossorier^[7]对其进行简化，提出了MS算法.

2.1 MS算法

MS算法的简化原理：因为tanh x、tanh^－1x都是奇函数，tanh |x|在0~1之间取值，并且是|x|的单调递增函数，故MS算法校验节点的更新计算可以表示为

$ L({r_{ji}}) = \prod\limits_{{i^\prime } \in {R_j}\backslash i} {{\rm{sgn}}} [L({q_{{i^\prime }j}})]\mathop {{\rm{min}}}\limits_{{i^\prime } \in {R_j}i} [|L({q_{{i^\prime }j}})|] $

(5)

MS算法是LLR BP算法的一种近似，在校验节点的更新中，使用最小值和次小值代替了要传递的置信度消息.这种近似替代牺牲了一部分性能，但大大降低了硬件复杂度，实现过程中，只有“求和”运算和“比较”运算.

比较式(2)与式(5)可以发现，近似后的表达式中，符号与原来一致，而幅度大于原来的值.基于此，Chen等^[8]提出了NMS算法和OMS算法，来修改增加的幅度，补偿MS算法近似处理所损失的性能.

1) NMS算法.通过除以一个数值来降低消息置信度的幅度，校验消息表示为

$ L({r_{ji}}) \leftarrow \frac{1}{\alpha }L({r_{ji}}) $

(6)

其中α>1称为校正因子，此时改进算法称为Normalized MS算法.

2) OMS算法.通过减去一个数值来降低消息置信度的幅度，校验消息表示为

$ L({r_{ji}}) \leftarrow {\rm{sgn}} [L({r_{ji}})]{\rm{max}}[|L({r_{ji}})| - \beta ,0] $

(7)

其中β称为偏移因子，此时改进算法称为Offset MS算法.校正因子和偏移因子的具体数值可以由密度进化渐近分析工具得到.

2.2 SCMS算法

NMS和OMS算法是在校验节点消息处理上对MS高估的消息置信度做出一定的修正.而Savin等提出的SCMS算法是从变量节点消息的更新出发，修正消息传递过程中的置信度. SCMS算法的原理是：在变量节点消息处理过程中，根据变量节点消息的符号波动，有选择的擦除“不可信”的消息，这样可以加快收敛，在一定程度上恢复了MS算法损失的性能.下面为SCMS算法的节点消息在第l次迭代中的更新过程.

1) 变量节点消息更新

$ {{L^{(l)}}({q_{ij}}) = {L^{(l - 1)}}({q_i}) - {L^{(l - 1)}}({r_{ji}})} $

(8)

$ {e_{ij}^{(l)} = [ \backsim e_{ij}^{(l - 1)}][s_{ij}^{(l)} \oplus s_{ij}^{(l - 1)}]} $

(9)

$ {{L^{(l)}}(q_{ij}^{\rm SC}) = [e_{ij}^{(l)} = 1]?0:{L^{(l)}}({q_{ij}})} $

(10)

2) 校验节点消息更新

$ {L^{(l)}}({r_{ji}}) = \prod\limits_{{i^\prime } \in {R_j}\backslash i} {s_{{i^\prime }j}^{(l)}} \mathop {{\rm{min}}}\limits_{{i^\prime } \in {R_j}\backslash i} [|{L^{(l)}}(q_{{i^\prime }j}^{{\rm{SC}}})|] $

(11)

3) 判决量更新

$ {L^{(l)}}({q_i}) = L({P_i}) + \sum\limits_{j \in {C_i}} {{L^{(l)}}} ({r_{ji}}) $

(12)

其中：符号“~”为取反；符号“⊕”为异或；符号“?:”为条件运算符；e_ij^(l)用来指示本次迭代中L^(l)(q_ij)被擦除的位置，避免相邻2次迭代重复擦除同一位置的消息；s_ij^(l)为本次迭代中L^(l)(q_ij)的符号；L^(l)(q_ij^SC)为根据擦除规则得到的新的变量节点消息.

SCMS算法沿用了MS算法在校验节点消息处的更新，而在变量节点消息的更新上，增加了一个可靠度的判断，如果变量节点消息的符号在连续2次迭代中发生改变，则视为不可靠消息，将其置为0，等待下一次更新.

在传统SCMS算法的基础上，针对如何更准确地判断出哪些变量节点的信息应该被擦除的问题，约束的SCMS(CSCMS，constrained SCMS)算法^[12]中增加了一个判断条件：

$ {L^{(l)}}(q_{ij}^{{\rm{CSC}}}) = {L^{(l)}}({q_{ij}})I[{L^{(l)}}({q_{ij}}),{L^{(l - 1)}}({q_{ij}})] $

(13)

若s_ij^(l)=s_ij^(l－1)，或者|L^(l－1)(q_ij)| < |L^(l)(q_ij)|，I[L^(l)(q_ij), L^(l－1)(q_ij)]=1；否则为0. CSCMS算法与SCMS算法不同之处在于：当变量节点消息符号发生反转时，需要考虑|L^(l)(q_ij)|的大小.

3 动态自纠正最小和算法

SCMS算法阻止了不可靠信息的传递扩散，提高了算法的性能，但并没有明确说明如何判断消息的可靠性，并且在信噪比较高的情况下，SCMS算法的收敛性有所下降.基于SCMS算法，提出的DSCMS算法在判断变量节点消息的可靠性时，增加了阈值，动态调整擦除消息的范围区间，因此能够更好地适应不同的环境.另外，DSCMS算法在校验节点更新上采用NMS算法，从校验节点处理上保证译码算法的性能. DSCMS算法在变量节点消息更新过程中遵循的规则：如果变量节点消息向相反符号方向变动大于设定的阈值时，则判定为不可靠消息，并在更新中置为0，如图 1所示.

图 1中，L^(l－1)(q_ij)为上一次迭代中的变量节点消息，t为所设的阈值.若L^(l－1)(q_ij)为负值，那么当L^(l)(q_ij)落在t的右侧，则会被擦除；若L^(l－1)(q_ij)为正值，那么当L^(l)(q_ij)落在t的左侧，则会被擦除.

阈值设定的考虑因素：如果t偏离L^(l－1)(q_ij)较远，则只有较少数量的变量节点消息被修改，性能提升有限；另一方面，如果t偏离L^(l－1)(q_ij)较近，则会有大量的变量节点消息被修改，扩大了不可靠消息的范围，引起译码性能下降.在这里，将阈值t定义为

$ t = \theta {L^{(l - 1)}}({q_{ij}}) $

(14)

其中：θ为调节因子，其变化范围可取－0.5≤θ≤0.5，这样得到的t值不会偏离L^(l－1)(q_ij)太近或太远.同时，t是一个关于L^(l－1)(q_ij)的相对值，而L^(l－1)(q_ij)在每次迭代中是变化的，t也会随着迭代更新而改变，因此判断可靠性的标准是自适应更新的.

DSCMS算法的消息更新过程描述如下：

1) 变量节点消息更新

$ {{L^{(l)}}({q_{ij}}) = {L^{(l - 1)}}({q_i}) - {L^{(l - 1)}}({r_{ji}})} $

(15)

$ {e_{ij}^{(l)} = [\backsim e_{ij}^{(l - 1)}]\{ s_{ij}^{(l - 1)}[{L^{(l)}}({q_{ij}}) - t] < 0\} } $

(16)

$ {L^{(l)}}(q_{ij}^{{\rm{DSC}}}) = [e_{ij}^{(l)} = 1]?0:{L^{(l)}}({q_{ij}}) $

(17)

2) 校验节点消息更新

$ {L^{(l)}}({r_{ji}}) = \prod\limits_{{i^\prime } \in {R_j}\backslash i} {s_{{i^\prime }j}^{(l)}} \mathop {{\rm{min}}}\limits_{{i^\prime } \in {R_j}\backslash i} [|{L^{(l)}}(q_{{i^\prime }j}^{{\rm{DSC}}})|]\frac{1}{\alpha } $

(18)

3) 判决量更新

$ {L^{(l)}}({q_i}) = L({P_i}) + \sum\limits_{j \in {C_i}} {{L^{(l)}}} ({r_{ji}}) $

(19)

其中：α为NMS算法中的校正因子，L^(l)(q_ij^DSC)为根据新的擦除规则得到的变量节点更新消息.可以看出，当阈值t=0时，DSCMS算法即退变为传统的SCMS算法.

4 仿真结果与比较 4.1 DSCMS算法的性能仿真

仿真中选择5G NR标准中的LDPC码，针对码率为1/2、码长为4 224 bit的情况^[14]，在Matlab平台中模拟加性高斯白噪声(AWGN，additive white Gaussian noise)信道，编码比特采用二进制相移键控(BPSK，binary phase shift keying)调制方式进行传输，基本仿真参数如表 1所示.

在文献[10, 12]中有其他算法的对比，在此只对SCMS、CSCMS、DSCMS算法进行仿真测试与比较，误比特率(BER, bit error ratio)、误块率(BLER, block error ratio)及平均迭代次数结果如图 2所示.

从图 2可以看出，DSCMS算法在误码特性和收敛特性上都优于SCMS算法.而CSCMS算法在低信噪比(SNR，singal noise ratio)区域表现不佳，在SNR较高时，性能要优于SCMS算法.取图 2(c)中SCMS、CSCMS和DSCMS算法在不同信噪比下的平均迭代次数统计如表 2所示.

从表 2可以看出，随着信道SNR的增大，LDPC译码的迭代次数在逐渐降低，DSCMS算法的收敛特性要优于SCMS算法，在高SNR区域与CSCMS算法相近.这是因为DSCMS与CSCMS算法都能够抑制不可靠消息的传递，加快了译码的收敛速度.而DSCMS算法对擦除消息的动态判断能够适应更广泛的信道环境.通过计算可得，在收敛特性上，DSCMS算法较SCMS算法最多能降低7.15%的迭代次数，平均降低5.95%.

4.2 译码算法的复杂度分析

表 3示出了BP、MS、NMS、SCMS、CSCMS、DSCMS算法单次迭代的计算复杂度，其中N表示编码长度，K表示有效信息长度，W为校验矩阵的列重.

以MS算法为基础的改进算法，在BP算法的基础上，减少了大量的乘法和除法运算，在实现中会大大降低计算的复杂度.而DSCMS算法在变量节点消息处理中增加了少量的乘法和除法运算，在实现时，可将阈值调节因子定为1/2、1/4、1/8等，转化为简单的移位和加法运算得到相应的结果^[15].总体上来说，DSCMS算法在增加少量计算复杂度的情况下，提高了译码算法的性能，降低了迭代次数.

5 结束语

在SCMS算法的基础上提出了一种动态自纠正最小和算法，根据变量节点消息设置阈值，来判断消息是否可靠，并对不可靠消息进行擦除，等待下一次迭代更新.阈值设定为变量节点消息的相对值，会随着迭代的更新而改变，因此判断可靠性的标准是自适应更新的.仿真结果表明，在增加少量计算复杂度的情况下，DSCMS算法在一定SNR范围内都表现出了较好的性能，能够有效提升系统的误码特性与收敛特性，并且提高了系统的灵活性.