针对盲源分离技术中欠定线性瞬时混合盲源分离的问题，基于"两步法"思路，从混合矩阵估计和源信号恢复算法两方面总结了国内外的研究现状，剖析了限制算法应用的理论问题，对欠定盲源分离下一步的研究工作进行了展望.
Dealing with the underdetermined linear instantaneous mixing blind source separation problem, the mixing matrix estimation and source signals recovery based on a "two-step" method are concerned, the 刘 research status at home and abroad are summarized, the theoretical problems that limit the application of undetermined blind source separation (UBSS) algorithms are analyzed, which make preparations for a further study of UBSS.
盲源分离(BSS, blind source separation)是在源信号和传播信道先验信息未知的情况下，仅根据观测信号恢复得到辐射源信号的信号处理技术，其在信号恢复方面的独有优势，引起了语音处理、生物医学工程、数字通信等领域学者的广泛关注.
当观测信号个数分别多于、等于、少于源信号个数时，盲源分离模型分别称为超定、正定、欠定盲源分离.现有盲源分离算法如独立分量分析算法(ICA, independent component analysis)通常假定观测信号个数不少于源信号个数，该类算法的发展相对成熟，但实际中经常会出现欠定盲源分离问题.目前，解决欠定盲源分离问题通常基于“两步法”思路，即首先根据观测信号估计得到混合矩阵，然后结合估计的混合矩阵，通过优化算法实现源信号的分离[1]. “两步法”思路使得欠定盲源分离问题的研究过程得到简化，极大地推动了欠定盲源分离算法的发展.下面对混合矩阵估计和源信号恢复算法的研究现状进行分析.
1 欠定混合矩阵估计方法的研究现状混合矩阵估计是实现源信号分离的前提，在混合矩阵估计中主要有以下4种方法.
1.1 基于非负矩阵分解的混合矩阵估计方法非负矩阵分解(NMF, nonnegative matrix factorization)是Lee和Sueng等[2]提出的一种矩阵分解方法，其基本思想是在非负限制下，将目标矩阵分解成两个非负矩阵的乘积. NMF分解过程的非负性，使得它仅允许元素的加性组合，能够有效地满足一些实际问题的要求. NMF方法计算简单，速度快，为大规模数据分析提供了有力工具[3].这类方法不要求源信号的统计独立性，但要求源信号和混合矩阵都是非负的，限制了其在一部分领域的应用.另外，仅用非负约束并不能完全解决盲分离问题，有时不能获得唯一解.为了提高盲分离效果，必须对源信号和混合矩阵附加如稀疏性、非平滑性等约束条件.
1.2 基于张量分解的混合矩阵估计方法适用于源信号统计独立且非高斯分布的情况，张量标准分解的因子矩阵和欠定混合矩阵的估计一样，可以把欠定混合矩阵的估计转换为张量的标准分解问题.为了克服原有的标准分解算法运算复杂度高、所需时间长的缺点，张延良[4]引入张量的塔克分解将待分解张量压缩为维数更低的核张量，降低了张量分解算法的运算量.张量分解方法可发现观测信号的数学结构信息(如二阶统计量、四阶累积量和六阶累积量等)，并利用这些统计信息来估计混合矩阵，计算代价很大.
1.3 基于观测信号扩维的混合矩阵估计方法观测信号扩维的主要方法有4种.
1) 时空法[5].通过对单通道混合信号进行延时以获得多路观测信号，采用该方法时，延迟系数取值不同，则分离结果会发生很大变化，而该系数的设置至今仍主要依据工程经验和先验条件，缺乏可靠的理论依据.另外，该方法假设信号为平稳信号，且信号频谱非重叠，因此具有很大的局限性.
2) 小波变换法[5-6].应用小波变换对混合信号进行分解，一般将其小波系数与原观测信号组成新的多通道观测信号.不足是小波基函数及分解层数的选取对分解结果有重要影响，而这2个参数的选取缺乏理论指导.另外，如何构造有效的多通道信号，还缺少理论依据.
3) 经验模态分解类方法(EMD, empirical mode decomposition)、局部均值分解方法(LMD, local mean decomposition)或总体经验模态分解(EEMD, ensemble empirical mode decomposition)[7-9].应用这些方法对原观测信号进行自动分解，将分解得到的模态分量与原观测信号组成新的多通道观测信号.由于这些方法对信号分解是基于信号的特性自适应地进行的，因此该方法理论上相比于前2种方法能够得到更好的多通道观测信号.但这些方法是由Huang等针对低频信号分析而提出的，信号频段通常为几十千赫以下[10]，能否用于更高频段信号尚需进一步分析验证.
4) 伪多源采样法.袁梅等[11]针对单通道混叠信号，利用传感器的分时段信息构建多传感器观测信号，然后应用FastICA方法对构建出来的观测信号进行分离处理.方法的主要问题是如何合理地确定分时段以构建多个观测信号.
扩维方法主要在单通道观测信号扩维方面获得应用，是否在多通道观测信号扩维中适用，是否对同频混叠信号适用尚需进一步研究.
1.4 基于独立分量分析的混合矩阵估计算法基于独立分量分析(ICA, independent component analysis)算法实现欠定混合矩阵估计，最早由Zhang等[12]提出.主要思路是对观测信号进行分段，使得该分段内观测信号个数与源信号个数满足超定或正定模型，之后针对分段后的信号应用FastICA算法估计其混合矩阵，然后将所有分段信号估计得到的混合矩阵组合成为一个矩阵，应用聚类算法得到最终的混合矩阵.陈晓军[13]对此算法进行了应用研究.该算法不需要依赖于源信号的稀疏性，只要求源信号是统计独立的，但该算法的问题是对采样点数要求很高，部分关键参数取值缺乏理论指导.另外，算法能够准确估计混合矩阵和分离源信号的前提条件是源信号矩阵S在给定的时间间隔Δt内最多有m个源信号起主导作用(m为观测信号个数).
1.5 基于源信号稀疏性的混合矩阵估计方法充分稀疏性是对于一组观测信号，任意采样时刻只有一个源信号起主导作用，其他源信号取值为零或接近于零.在欠定盲分离模型中，源信号充分稀疏是一种理想情况，在实际接收的观测信号中，源信号多是非充分稀疏的，同一时刻可能不止一个源信号起主导作用，此时源信号充分稀疏情况下的混合矩阵估计方法将会失效.通过对观测信号进行傅里叶变换或时频变换，通常能够得到源信号的稀疏表示[14].
针对非充分稀疏混合矩阵估计问题，Georgiev[15]研究了源信号的稀疏程度与可分离性之间的关系：当非充分稀疏源信号欠定混合模型满足如下3个条件时，混合矩阵是可估计的.
1) 混合矩阵A∈Rm×n，并且构成A的任意m×m维的子矩阵是非奇异方阵；
2) 对于任意的采样时刻，源信号s(t)最多只有m-1个非0元素；
3) 对任何包含n-m+1个下标的集合I={i1, i2, …, in-m+1}⊂{1, 2, …, n}，在源信号矩阵S中至少存在m个列向量，使得每个列向量中对应下标集合I的元素均为0，其余的m-1个元素是线性独立的.其中，m为观测信号个数，n为源信号个数.条件1)是对混合矩阵的要求，条件2)是对每个源信号列向量应满足条件的要求，条件3)是对整个采样时间段内的接收信号应满足携带混合矩阵所有信息的要求.该条件的提出为欠定盲源分离算法的发展推动作用很大，但是该条件是针对混合信号中没有加性噪声的情况，且该条件没有经过严格的数学证明.
1) 基于平面聚类的混合矩阵估计方法
Bofill等[1]提出用势函数法来估计源信号个数和混合矩阵，但是该方法基于二维混合信号空间，不易扩展到高维空间，噪声和异常值对估计结果影响较大，部分参数取值缺乏理论指导.张烨[3]对该方法进行了改进，称为改进的拉普拉斯势函数法，减小了噪声和异常值对势函数局部最大值估计的影响，提高了算法的有效性.对于非充分稀疏混合信号，首先利用非充分稀疏混合信号的面聚类特点，将面聚类转为面的法线向量聚类，利用法线向量构造势函数，通过估计势函数的局部最大值来估计聚类平面及其个数，最终实现源信号个数以及混合矩阵的估计.但是，基于平面聚类思想的混合矩阵估计，存在算法复杂、关键参数取值缺乏理论指导的问题.
2) 基于时频单源点检测的混合矩阵估计方法
基于源信号的时频变换稀疏表示方法首先寻求单个源信号起主导作用的时频点，称为时频单源点，然后应用聚类算法估计混合矩阵.
Jourjine等[16]提出了一种退化混合矩阵估计技术(DUET, degenerate estimation technique).但该技术只能用于观测信号个数为2的情形，且要求每一个时频点最多只有1个源信号起作用.尽管当源信号在时频域存在一定的混叠时，该方法仍然可用，但效果下降严重.该方法主要适用于源信号充分稀疏情形下的混合矩阵估计.
更有价值的是对源信号非充分稀疏对源信号非充分稀疏情形下的混合矩阵估计. Abrard等[17]提出了一种基于时频变换的混合矩阵估计算法(TIFROM, time-frequency ratio of mixtures)，该算法放宽了混合矩阵估计对于时频单源点的要求，只要求在一些时频区域只有单个源信号起作用.但是该条件对于实际问题要求依然较为苛刻. Li等[18]放宽了对于单源点区域的要求，只要求对于每个源信号至少存在1个时频单源点区域. Kim等[19]提出了一种基于时频单源点检测的混合矩阵估计算法，大大放宽了对于单源点检测的要求，对于每个源信号至少存在1个时频单源点即可. Reju等[20]提出利用单源点处同一源信号的傅里叶换系数向量实部和虚部的方向应该保持一致来检测单源点，但在噪声环境下算法性能下降严重. Li等[21]利用Vandermonde混合矩阵的内在特征来确定单源点的筛选准则，分别对复数混合矩阵各元素的实部和虚部进行计算，并推导出单源点的判定标准，最后利用K-均值聚类估计出混合矩阵. Guo等[22]提出了一种基于信号独立核的时频分布算法，在提高时频聚集分辨率的同时减少交叉项的干扰，提高了分离精度. Xu等[23]针对图像混叠的盲分离问题，提出了应用haar小波变换的时频单源点检测方法.相比于其他方法，可以获得图像信号的更稀疏表示，进而提高混合矩阵的估计精度和效率. Zhen等[24]提出，对于每个源信号，只需存在一些时频单源点即可，不必要求这些单源点是连续的. Li等[25]提出了一种概率密度法，提高了时频单源点的检测精度.
目前应用较多的K-均值聚类算法、模糊K-均值聚类算法存在的一个问题是受初始聚类中心的影响很大，如果初始聚类中心选择不当，则混合矩阵估计误差很大.为了改善聚类效果易受初始聚类中心影响的问题，毕晓君等[26]提出的基于混合聚类和网格密度估计混合矩阵，提高了混合矩阵的估计精度，但该方法要求源信号个数已知.针对K-均值聚类算法需给定聚类个数K，聚类效果依赖于初始聚类中心的选取的问题，袁方等[27]和谢娟英等[28]提出的基于密度和距离优化初始聚类中心，可减小算法对初始聚类中心的敏感性.付卫红等[29]针对欠定混合矩阵估计问题，提出一种改进K均值聚类算法，算法基于密度和距离选取初始聚类中心，并采用Davies-Bouldin (DB)指标确定源数，取得了很好的效果.
3) 对欠定混合矩阵可估计条件的研究
针对Georgiev[15]提出的欠定混合矩阵可估计的条件，Aissa-El-Bey等[30]认为，若源信号在时频域存在一定的重叠，满足任意时频点活跃的源信号个数少于观测信号个数，且混合矩阵的列向量两两相互独立，混合矩阵即可正确估计出来. Peng等[31]对Aissa-El-Bey的结论进行了进一步研究，指出混合矩阵的列向量只满足任意两列两两独立的条件是不够的，需要满足混合矩阵的任意m×m子矩阵都是满秩的条件(m为观测信号个数)，混合矩阵才能正确估计. Xie等[14]应用观测信号的Wigner-Vill变换结合Khatri-Rao乘积，放宽了欠定混合矩阵可估计的条件，即要求观测信号个数m与源信号个数n满足n≤2m-1的关系，但是算法中存在若干关键参数取值为经验值的情况，对于算法的应用具有较大限制.
分析认为，基于时频单源点检测的混合矩阵估计方法，是目前混合矩阵估计最好的方法.时频单源点检测精度越高，则要求的用于估计混合矩阵的有效时频点的数量就越少，聚类算法的计算时间就越短，混合矩阵估计的精度和效率就越高.
2 信号恢复算法研究现状根据“两步法”思路，第2步是源信号恢复.在第1步完成的情况下，由于混合矩阵的非奇异性，不能直接求逆来恢复源信号，所以关于源信号的恢复还涉及一系列复杂的处理.相比于混合矩阵估计的研究，源信号恢复的研究显得滞后一些.目前，在源信号恢复方面，主要思路基于观测信号扩维，或者源信号的稀疏性，具体有以下几种方法.
2.1 基于观测信号扩维和独立分量分析的源信号恢复算法观测信号扩维方面所采用的方法同第1.3节.该类方法成为近年来的研究热点.实现信号扩维以后，应用独立分量分析类算法可直接实现源信号的分离.然而，目前该类方法主要针对单通道混叠信号盲分离，存在的问题仍主要为是否可扩展到多通道信号扩维方面以及是否适用于同频混叠信号方面.
2.2 基于源信号稀疏性的源信号恢复算法基于源信号稀疏性的算法是源信号恢复的主要方法.文献[32-35]中假设源信号在时频域具有严格的正交性或者准正交性，即在每个时频点完全不重合或几乎不重合，通过时频掩码实现源信号分离. Yilmaz等[33]提出的退化分离估计技术(DUET, degenerate unmixing estimation technique)是一种典型的时频掩蔽方法，Cobos等[34]对DUET的改进提高了信号分离的准确度.这2种方法都只适用于观测信号为2个的情形. Araki等[35]将时频掩蔽方法拓展到了观测信号多于2个的情形.时频掩蔽法实现起来比较简单，计算量小，但是对信号的稀疏性要求很高.若源信号的稀疏度不够，分离效果则会严重下降. Georgiev等[15]放宽了正交性的假设条件，只要求在时频点同时存在的源信号个数少于观测信号个数.袁方等[27]进一步放宽了假设条件，允许时频点同时存在的源信号不多于传感器个数即可.
Bofill等[1]提出了基于源信号稀疏性的最短路径源信号恢复法，但是该方法只适用于观测信号为2维的情形. Zibulevsky等[36]针对充分稀疏信号，提出了一种基于最大后验概率(MAP, maximum aposteriori probability)的L1范数源信号恢复算法. L1范数法在源信号充分稀疏的条件下可以获得很好的分离效果，并与L0范数解等价，但它对源信号的稀疏性要求较高，这是其主要不足. Theis等[37]证明了最小化L1范数法等价于最短路径法.
Xiao等[38]提出了基于统计稀疏分解的源信号恢复法(SSDP, statistically sparse decomposition principle)，通过在固定时间间隔内最小化源信号的相关系数来估计源信号，优点是算法误差较小，不足是要求在每个固定时间间隔内非零源信号不超过2个.赵敏等[39]对SSDP算法扩展得到了针对2个观测信号的非稀疏分解原则(SNSDP, statistically non-sparse decomposition principle).
2.3 基于压缩感知的源信号恢复算法压缩感知(CS, compressed sensing)是由Donoho、Candes和Tao等[40-42]提出的一种信息获取理论，表明只要源信号在时域或某种变换域具有稀疏性，就能以远低于奈奎斯特(Nyquist)采样定理的采样率对信号进行采样，并不引起信息丢失，可以极高的概率恢复出源信号[43].在混合矩阵完成估计的条件下，欠定源信号恢复问题和压缩感知重构模型类似，即根据观测信号和观测矩阵来估计源信号，不同点在于压缩感知对稀疏性要求很高，且主要针对大数据量问题.而欠定盲分离处理的数据维度较小，且稀疏性欠佳，因此在充分稀疏的情况下，将压缩感知重构算法应用到欠定盲分离源信号恢复中，能够实现较理想的结果. Blumensath等[44]首次将压缩感知模型与欠定盲源分离模型联系起来，验证了用压缩感知重构算法实现欠定盲源分离信号恢复的可行性. Xu等[45]提出了一种基于压缩感知基追踪算法的欠定盲源分离信号恢复算法，为欠定盲分离源信号恢复提供了新思路.稀疏信号重构中的贪婪算法[46]在源信号充分稀疏的情况下表现出更好的性能，并且由于其具有更低的时间复杂度，近年来受到了广泛重视.
压缩感知理论应用于欠定盲源分离源信号恢复存在的主要问题是对于源信号的稀疏性要求极高，要求数据采样点数较多，且计算时间较长.
2.4 基于统计推理的源信号恢复方法对源信号在时域或变换域中的分布进行建模，用某个概率分布模型作为约束条件，然后通过最大似然准则或者贝叶斯方法来估计模型参数，进而分离源信号. Lewicki等[47]用Laplace函数对源信号的分布进行建模，表明若源信号的分布为Laplace分布，那么最大后验解等价于L1范数解.但是，Laplace函数对语音等信号的实际分布并不能够很好地拟合，而且只适合于稀疏信号. Davies等[48]通过高斯混合模型(GMM, Gaussian mixture model)来描述源信号分布，但是算法复杂度会随源信号个数呈指数关系急剧增加. Snoussi等[49]提出的广义双曲线分布虽然适合于更广泛的分布，但是参数过多导致算法复杂性很高.
基于统计推理方法的主要问题是：计算量较大，在估计模型参数的时候易收敛到局部极值点，算法对模型中参数的初始值依赖性较大.
3 欠定盲源分离算法研究展望自上世纪末期以来，盲源分离算法在理论和应用研究方面都获得了长足发展.学者们逐渐认识到，对于不同的应用对象，应该对算法提出不同的要求，例如算法的鲁棒性、稳定性、实时性和精确性等，使盲源分离算法的研究更有针对性.分析认为，在欠定瞬时混叠盲源分离算法方面，尚有以下问题直接关系算法的应用效果[50]，亟待解决.
1) 基于观测信号扩维的欠定盲分离解决思路是否可行.
2) 非负矩阵分解(NMF)是解决部分欠定盲分离问题的一个很有前途的研究工具，NMF如何保证分解的唯一性以及算法的收敛性.
3) 噪声对盲源分离性能的影响及其抑制方法.
4) 解决欠定盲源分离问题目前主要基于源信号的稀疏性，尽管源信号非充分稀疏在一定条件下也可以分离，但是其分离效果会降低，特别是随着源信号个数的增多，信号分离精度会下降，因此如何提高信号的稀疏度还需进一步研究.
5) 在非充分稀疏混合信号中，主导信号个数的估计对欠定盲分离具有重要意义，是一个研究难点.在复杂的信号环境中，源信号时频域混叠严重的情况常常出现，极有可能出现时频点源信号数目多于混合信号数目的情况.
6) 实际中，源信号并非都是统计独立的，现有盲源分离算法多是基于源信号的统计独立性.针对相关信源的盲分离研究十分有限.
7) 考虑到如何挖掘源信号或混合过程的先验信息，将“盲”问题转化成“半盲”，从而建立鲁棒性更好、适应性更强的分离模型，提高对复杂环境中源信号的分离能力.
8) 许多实际信号环境是动态变化的，如不断有新的源信号加入或退出，由于观测天线或源信号的移动而导致的混合矩阵变化等情形，盲分离算法在动态变化信号环境中的适用性尚待深入研究.
4 结束语盲源分离具有在混叠信号分离方面的特殊优势，具有很高的研究价值和广泛的应用前景，相关理论体系日益完善，人们更加注重对实际问题的解决.然而由于实际问题的复杂性，加之盲源分离理论研究时间尚短，特别是欠定盲源分离，尚有一系列问题亟待解决.
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