多用户毫米波大规模多输入多输出(MIMO，multiple-input and multiple-output)天线系统中可借助波束赋形来获得较高的方向性增益^[1-3].混合模拟-数字波束赋形^[4]能够以低硬件开销实现接近理想数字波束赋形的性能.在实际的多用户MIMO系统中，各用户之间难以对多天线信号进行联合处理，且存在多用户干扰问题.因此，需要对多用户MIMO系统中的波束赋形算法进行深入研究^[2].

耿健等^[2]研究了时分双工(TDD)场景下，先使用模拟波束进行多用户调度，然后使用迫零预编码进一步降低已调度用户间的干扰. Ayach、Kwon等^[4-5]利用毫米波信道稀疏性特点，使用稀疏重构算法实现混合波束赋形，但只考虑了单用户场景. Bogale等^[6]考虑了多用户场景的混合波束赋形，利用块对角化算法减小了多用户间的干扰，并利用压缩感知理论实现了混合波束赋形，但是没有考虑移相器精度对混合波束赋形性能的影响. Liang等^[7]提出了一种低复杂度的PZF(phased-ZF)混合预编码算法，通过2 bit精度高度量化的RF相控，在基带中实现了接近传统迫零算法的线性预编码，但此方案需要大量模拟移相器，使硬件成本过高. Zhu等^[8]提出了一种自适应混合波束赋形方案，降低了毫米波MIMO系统的复杂性，通过在RF链路和模拟移相器之间加入自适应连接网络，模拟预编码能够自适应地匹配下行链路信道，以提高用户的平均和速率，并为自适应连接网络和APS量化精度的联合设计提供近似最优的解决方案. Lee等^[9]考虑了MIMO干扰信道中的混合波束赋形设计问题，首先选择RF预编码器/组合器以优化相应的基带预编码器/组合器，最大化信道传输速率，并采用正交匹配追踪的方法令干扰对齐以抑制干扰.

在毫米波大规模MIMO下行通信链路中，通过对块对角化波束赋形算法和注水功率分配算法的优化，给出混合模拟-数字波束赋形问题模型，实现了基于正交匹配追踪算法的混合波束赋形方法，考虑了混合波束赋形系统中低硬件开销限制，仿真探究了随射频链路中模数转换器的数量、有限移相器精度的变化对混合波束赋形系统性能的影响，并与理想情况下的数字波束赋形性能进行对比.

1 系统模型

混合波束下行链路多用户大规模MIMO系统模型如图 1所示，它具有N根天线的发射端，为K位用户服务.每个用户端具有M_k根天线以复用S_k≤M_k个符号.接收机(用户)天线和符号的总数分别为M=KM_k和S=KS_k.全部信号可以记作数据向量d=[d₁^T, …, d_K^T]^T，其中d_k∈$\mathbb{C} $^S_k×1代表第k个接收机的信号向量^[4].假设d_k满足E{d_kd_k^H}=I_Sk，E{d_kd_i^H}=0，∀i≠k，且E{d_kn_i^H}=0.

H_k^H∈$\mathbb{C} $^M_k×N是发射机与第k个接收机之间的MIMO几何信道模型^[4-6]，表达式为

$ \boldsymbol{H}_{k}=\sqrt{\frac{N M_{k}}{L_{k} \rho_{k}}} \sum\limits_{i=1}^{L_{k}} g_{k i} \boldsymbol{a}_{\mathrm{t}, k}\left(\theta_{\mathrm{t}, k}(i) \boldsymbol{a}_{\mathrm{t}, k}^{\mathrm{H}}(i)\right) $

(1)

其中：L_k为散射路径数，g_{k, i}为第k个用户第i条增益路径的复增益，E{|g_k|²}=1，ρ_k是信号在发射机和第k个接收机之间传输时所经历的路径损耗，θ_t(i)∈[0, 2π]，θ_{r, k}(i)∈[0, 2π]，∀k.假设天线为均匀线阵，发射机与接收机处的天线阵列响应向量a_{t, k}(·)和a_{r, k}(·)为

$ {\boldsymbol{a}_{{\text{t}},k}}(\theta ) = \frac{1}{{\sqrt N }}{\left[ {1,{{\text{e}}^{\frac{{2{\text{j}}\mathtt{π}d{\text{sin}}(\theta )}}{\lambda }}}, \cdots ,{{\text{e}}^{\frac{{2{\text{j}}(N - 1)d\sin (\theta )}}{\lambda }}}} \right]^{\text{T}}} $

(2)

$ {\boldsymbol{a}_{{\text{r}},k}}(\theta ) = \frac{1}{{\sqrt {{M_k}} }}{\left[ {1,{{\text{e}}^{\frac{{2{\text{j}}\mathtt{π} d{\text{sin}}(\theta )}}{\lambda }}}, \cdots ,{{\text{e}}^{\frac{{2{\text{j}}(N - 1)\pi d\sin (\theta )}}{\lambda }}}} \right]^{\text{T}}} $

(3)

混合波束赋形器包括数字、模拟预编码器和译码器，将混合波束赋形方法^[4]扩展到多用户的情形中，第k个用户的估计信号可以表示为

$ \hat{\boldsymbol{d}}_{k}^{\boldsymbol{H}_{y}}=\widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{k}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{H}_{k}^{\mathrm{H}} \sum\limits_{i=1}^{K} \boldsymbol{A} \widetilde{\boldsymbol{B}}_{i} \boldsymbol{d}_{k}+\boldsymbol{n}_{k}\right) $

(4)

其中：n_k∈$ \mathbb{C}$^M_k×1为第k个接收机处的高斯白噪声，方差为σ². $\widetilde{\boldsymbol{B}}_{k} $∈$ \mathbb{C}$^P_t×S_k和$\widetilde{\boldsymbol{W}}_{k} $∈$ \mathbb{C}$^{P_{r, k}×S_k}，∀k为基带发射机和接收机数字波束赋形预编码矩阵. A∈$ \mathbb{C}$^N×P_t、F_k∈$ \mathbb{C}$^{M_k×P_{r, k}}，∀k分别为发射机和接收机模拟波束赋形预编码矩阵，P_t为发射机射频链个数，P_{r, k}为第k个接收机模数转换器的数量.假设移相器精度为B bit，分辨率P_s=2^B，则模拟预编码向量中的每个元素从集合$\boldsymbol{A}_{\mathrm{c}}=\left\{\mathrm{e}^{\mathrm{j} k{{\frac{{2\mathtt{π}}}{{{P_{\mathrm{s}}}}}} }}, k=0, 1, \cdots, P_{\mathrm{s}}\right\} $中选择.系统的频谱效率为

$ R_{k}=\operatorname{lb}\left(\boldsymbol{I}_{s_{k}}+\frac{\rho}{s_{k}} \boldsymbol{U}_{n}^{-1} \widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{F}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{A} \widetilde{\boldsymbol { B }}_{k} \times \widetilde{\boldsymbol{B}}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{k} \widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}\right) $

(5)

其中$\boldsymbol{U}_{n}=\widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{k} \widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}+\sum\limits_{i=1, i \neq k}^{K} \boldsymbol{W}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}_{k} \boldsymbol{F}_{i} \boldsymbol{F}_{i}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{W}_{k} $.

2 混合波束赋形设计 2.1 块对角波束赋形

对于每个用户，块对角波束赋形算法^[6]分为3步：第1步，通过迫零部分或全部消除对其他用户的干扰；第2步，通过奇异值分解消除每个用户不同符号之间的干扰；第3步进行注水功率分配.

记用户信道矩阵为

$ \widetilde{\boldsymbol{H}}_{k} \triangleq\left[\boldsymbol{H}_{1}, \boldsymbol{H}_{2}, \cdots, \boldsymbol{H}_{k-1}, \boldsymbol{H}_{k+1}, \cdots, \boldsymbol{H}_{K}\right] $

第1步  迫零.

$ \boldsymbol{V}_{k} \triangleq \operatorname{null}\left(\widetilde{\boldsymbol{H}}_{k}^{\mathrm{H}}\right) $

(6)

第2步  奇异值分解.

$ \boldsymbol{X}_{k} \triangleq \widetilde{\boldsymbol{H}}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{V}_{k}=\widetilde{\boldsymbol{U}}_{k} \boldsymbol{Z}_{k} \widetilde{\boldsymbol{V}}_{k}^{\mathrm{H}} $

(7)

其中V_k是null$\left(\widetilde{\boldsymbol{H}}_{k}^{\mathrm{H}}\right) $的第1个S_k维向量，通过对X_k奇异值分解后，得到Z_k的S_k×S_k维对角阵，$\widetilde{\boldsymbol{U}}_{k} $、$\widetilde{\boldsymbol{V}}_{k} $分别为M_k×S_k维的半酉矩阵和S_k×S_k维的酉矩阵.

块对角算法的前两步优化后，有$\boldsymbol{B}_{k}=\boldsymbol{V}_{k} \widetilde{\boldsymbol{V}}_{k}^{\mathrm{H}} \times\sqrt{\boldsymbol{Q}_{k}} \boldsymbol{W}_{k}=\widetilde{\boldsymbol{U}}_{k} $，其中Q_k为S_k×S_k维功率分配矩阵，通过前两步，可以将式(4)的输入输出关系重写为

$ \begin{array}{c}{\hat{\boldsymbol{d}}_{k}^{D}=\boldsymbol{Z}_{k} \sqrt{\boldsymbol{Q}_{k}} \boldsymbol{d}_{k}+\widetilde{\boldsymbol{H}}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{n}_{k}, \Rightarrow} \\ {\hat{d}_{k, i}^{D}=z_{k, i} d_{k, i}+\widetilde{\boldsymbol{u}}_{k, i}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{n}_{k}}\end{array} $

(8)

其中：$\hat{d}_{k, i}^{D} $为$\hat{\boldsymbol{d}}_{k}^{D}\left(\boldsymbol{d}_{k}\right) $的第i个元素，z_ki(q_ki)为Z_k(Q_k)的第i个对角线元素，$\widetilde{\boldsymbol{u}}_{k, i} $为$ \widetilde{\boldsymbol{U}}_{k}$的第i行.

2.2 混合波束赋形问题模型

在块对角波束赋形算法中，对于∀k≠i，R_kk= $\boldsymbol{Z}_{k} \sqrt{\boldsymbol{Q}_{k}}, \boldsymbol{R}_{k i}=0, \hat{d}_{k}^{\boldsymbol{H}_{y}} $和$ \hat{d}_{k}^{D}$之间的MSE记为ξ_k，表达式为

$ \begin{align} & {{\xi }_{k}}=E\left\{ \left( \widehat{\boldsymbol{d}}_{k}^{{{\boldsymbol{H}}_{y}}}-\widehat{\boldsymbol{d}}_{k}^{D} \right){{\left( \widehat{\boldsymbol{d}}_{k}^{{{\boldsymbol{H}}_{y}}}-\widehat{\boldsymbol{d}}_{k}^{D} \right)}^{\text{H}}} \right\}= \\ & \left( \boldsymbol{\widetilde{H}}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{F}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{H}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{A}{{{\boldsymbol{\widetilde{B}}}}_{k}}-{{\boldsymbol{Z}}_{k}}\sqrt{{{\boldsymbol{Q}}_{k}}} \right)\times \\ & {{\left( \boldsymbol{\widetilde{H}}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{F}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{H}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{A}{{\widetilde{\boldsymbol{B}}}_{k}}-{{\boldsymbol{Z}}_{k}}\sqrt{{{\boldsymbol{Q}}_{k}}} \right)}^{\text{H}}}+ \\ & \begin{matrix} \sum\limits_{i=1,i\ne k}^{K}{\left( \boldsymbol{\widetilde{W}}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{F}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{H}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{A}{{{\boldsymbol{\widetilde{B}}}}_{i}} \right)}\times {{\left( \boldsymbol{\widetilde{W}}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{F}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{H}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{A}{{{\boldsymbol{\widetilde{B}}}}_{i}} \right)}^{\text{H}}}+ \\ {{\sigma }^{2}}\left( \boldsymbol{\widetilde{W}}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{F}_{k}^{\text{H}}-\boldsymbol{\widetilde{U}}_{k}^{\text{H}} \right){{\left( \boldsymbol{\widetilde{W}}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{F}_{k}^{\text{H}}-\boldsymbol{\widetilde{U}}_{k}^{\text{H}} \right)}^{\text{H}}} \\ \end{matrix} \\ \end{align} $

(9)

由于混合波束赋形和数字波束赋形之间的性能差距对于所有符号基本恒定，以此为出发点设计A，$\widetilde{\boldsymbol{B}}_{k}, \widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}, \widetilde{\boldsymbol{F}}_{k} $，以加权均方误差最小化优化问题作为函数设计目标，其中第k个用户的第i个符号的权重设为1/z_{k, i}²q_{k, i}，此问题可用数学语言描述为^[6]

$ \mathop {\min }\limits_{{\boldsymbol{A, }}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde B}}}_k}, {{\mathit{\boldsymbol{\widetilde W}}}_k}, {{\mathit{\boldsymbol{\widetilde F}}}_k}} \sum\limits_{k = 1}^K {\text{tr} } \left\{ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{Z}}_k}\sqrt {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_k}} } \right)}^{ - 1}}} \right\}{\xi _k}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{Z}}_k}\sqrt {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_k}} } \right)^{ - 1}} \triangleq {\xi _\omega } \\ \text{s.t.}\;\;\;\; \sum\limits_{k = 1}^K {\text{tr} } \left\{ {{\boldsymbol{A}}{{\mathit{\boldsymbol{\widetilde B}}}_k}\mathit{\boldsymbol{\widetilde B}}_k^{\text{H}}{{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}} \right\} = {P_{\max }} \\ {\left| {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{(i, j)}}} \right|^2} = \kappa , {\left| {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{k(i, j)}}} \right|^2} = {\kappa _k} \\ $

(10)

其中引入约束条件$\sum\limits_{k=1}^{K} \operatorname{tr}\left\{\boldsymbol{A} \widetilde{\boldsymbol{B}}_{k} \widetilde{\boldsymbol{B}}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{H}}\right\}=P_{\max } $是为了确保数字和混合波束赋形具有相同的功率，且对于任意k，κ和κ_k都是正的常数，其中κ_k为单位值.经过数学变换，ξ_ω可记为

$ {{\xi }_{\omega }}=\left\| {{{\widetilde{\widetilde{W}}}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{H}}^{\text{H}}}\boldsymbol{A\widetilde{B}}-\boldsymbol{I} \right\|_{\text{F}}^{2}+\sum\limits_{k=1}^{K}{\left\| \boldsymbol{\widetilde{\widetilde{W}}}_{k}^{\text{A}}\boldsymbol{F}_{k}^{\text{H}}-\boldsymbol{\widetilde{U}}_{k}^{\text{H}} \right\|_{\text{F}}^{2}}$

(11)

其中$\widetilde{\boldsymbol{B}}=\left[\widetilde{\boldsymbol{B}}_{1}, \cdots, \widetilde{\boldsymbol{B}}_{K}\right], \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}}_{k}=\widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}\left(\boldsymbol{Z}_{k} \sqrt{\boldsymbol{Q}_{k}}\right)^{-1}, $，$\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{U}}}_{k}^{\mathrm{H}}= $$\widetilde{\boldsymbol{U}}_{k}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{Z}_{k} \sqrt{\boldsymbol{Q}_{k}}\right)^{-1}, \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}}=\text { blkdiag }\left(\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}}_{1}, \cdots, \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}}_{K}\right) $，F=blkdiag(F₁, …, F_K).上述优化问题可以重述为

$ \begin{align} & \underset{_{\boldsymbol{A,}{{{\boldsymbol{\widetilde{B}}}}_{k}},{{\widetilde{\boldsymbol{W}}}_{k}},{{\widetilde{\boldsymbol{F}}}_{k}}}}{\mathop{\min }}\,\left\| {{(\boldsymbol{F\widetilde{\widetilde{W}}})}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{H}}^{\text{H}}}\boldsymbol{A\widetilde{B}}-\boldsymbol{I} \right\|_{\text{F}}^{2}+ \\ & \sum\limits_{k=1}^{K}{\left\| \boldsymbol{\widetilde{\widetilde{W}}}_{k}^{\text{H}}\boldsymbol{F}_{k}^{\text{H}}-\boldsymbol{\widetilde{\widetilde{U}}}_{k}^{\text{H}} \right\|_{\text{F}}^{2}} \\ & \text{s}\text{.t}\text{.}\ \ \ \text{tr}\left\{ \boldsymbol{A}\widetilde{\boldsymbol{B}}{{\widetilde{\boldsymbol{B}}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}} \right\}={{P}_{\max }}, \\ & {{\left| {{\boldsymbol{A}}_{(i,j)}} \right|}^{2}}=\kappa ,{{\left| {{\boldsymbol{F}}_{k(i,j)}} \right|}^{2}}={{\kappa }_{k}} \\ \end{align} $

(12)

3 正交匹配追踪算法

为求解式(11)，采取2个步骤.第1步，联合优化每个用户的$\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}} $和F_k.第2步，针对固定的$\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}} $和F_k联合优化A和$\widetilde{\boldsymbol{B}} $，详细步骤如下^[6].

第1步 第k个用户的$\widetilde{\widetilde{W}}_{k} $和F_k可联合优化为

$ \mathop {\min }\limits_{\boldsymbol{{\widetilde{\widetilde{W}}}}_k,{\boldsymbol{F}_k}} \left\|\boldsymbol{F}_{k} \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}}_{k}-\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{U}}}_{k}\right\|_{\mathrm{F}}^{2} \quad \text { s.t. }\left|\boldsymbol{F}_{k(i, j)}\right|^{2}=\kappa_{k} $

(13)

由于式(13)约束函数是非凸的，其全局最优解无法预判，所以可利用压缩感知技术提供次优解(接近最佳)解决方案^[10].

由$ X_{k}=\boldsymbol{H}_{k} \boldsymbol{V}_{k}=\widetilde{\boldsymbol{U}}_{k} \boldsymbol{Z}_{k} \widetilde{\boldsymbol{V}}_{k}^{\mathrm{H}}$可知，$\widetilde{\boldsymbol{U}}_{k} $与信道H_k^H的左奇异向量有很高的相关性.因此，假设F_k的每一列取自于$ \mathscr{F}_{k}$中的某一列，其中$ \mathscr{F}_{k}=[\widetilde{\boldsymbol{F}}] \operatorname{null}\left(\widetilde{\boldsymbol{F}}_{k}^{\mathrm{T}}\right)$∈$ \mathbb{C}$^M_k×M_k.式(13)可重述为

$ \mathop {\min }\limits_{\boldsymbol{{\widetilde{\widetilde{W}}}}_k,{\boldsymbol{F}_k}} \left\|\boldsymbol{F}_{k} \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}}_{k}-\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{U}}}_{k}\right\|_{\mathrm{F}}^{2} \quad \text { s.t. }\left|\boldsymbol{F}_{k(:, t)}\right|={\mathscr{F}_{k\left( {:\;,\forall j} \right)}} $

(14)

式(14)仍然是非凸的.为了简化这个问题，引入变量$\overline{\boldsymbol{F}}_{k} $，令$\overline{F}_{k}=\mathscr{F}_{k}$，可简化这个问题为

$ \min \limits_{\overline{\boldsymbol{W}}_{k}}\left\|\overline{\boldsymbol{F}}_{k} \overline{\boldsymbol{W}}_{k}-\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{U}}}_{k}\right\|_{\mathrm{F}}^{2}, \text { s.t. } \quad\left\|\operatorname{diag}\left(\widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}^{\mathrm{H}}\right)\right\|_{0}=P_{\mathrm{r}, k} $

(15)

其中等式约束确保$ \overline{\boldsymbol{W}}_{k}$与$\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}} $的维度相同.式(15)使天线的尺寸减小，由于等式中含非凸优化，可使用正交匹配追踪算法解决该问题^[11-13]，伪码如下：

1) 初始: set F_k=[], $\overline{\boldsymbol{F}}_{k \mathrm{R}}=\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{U}}}_{k} $

2) for i=1: P_{r, k}

$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}=\widetilde{\boldsymbol{H}}_{k}^{\mathrm{H}} \overline{\boldsymbol{F}}_{k \mathrm{R}} $

i=arg max (diag(ΦΦ^H))

F_k=[F_k|F_{(:, i)}]

$ \widetilde{\widetilde{W}}_{k}=\left(\boldsymbol{F}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{k}\right)^{-1} \boldsymbol{F}_{k}^{\mathrm{H}} \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{U}}_{k}}$

$\overline{\boldsymbol{F}}_{k \mathrm{R}}=\frac{\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{U}}}_{k}-\boldsymbol{F}_{k} \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}}_{k}}{\left\|\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{U}}}_{k}-\boldsymbol{F}_{k} \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}}_{k}\right\|_{\mathrm{F}}}$

end for

第2步 式(15)中$ \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}_{k}}$和$\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{F}}_{k}} $可以进一步简化为

$ \min \limits_{\boldsymbol{A}, \widetilde{\boldsymbol{B}}}\left\|\widetilde{\boldsymbol{\widetilde{W}}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \widetilde{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{I}\right\|_{\mathrm{F}}^{2}\\ \text{s.t.}\sum\limits_{k=1}^{K} \operatorname{tr}\left\{\boldsymbol{A} \widetilde{\boldsymbol{B}} \widetilde{\boldsymbol{B}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{H}}\right\} \leqslant P_{\max },\left|\boldsymbol{A}_{(i, j)}\right|^{2}=1 $

(16)

可以注意到，A和H^H的右奇异向量具有很高的相关性.根据这种特性，假设A的每一列取自于字典集A_τ中的某一列，其中A_τ=[a_t(φ)]∈$ \mathbb{C}$^N×P_s，$\boldsymbol{a}_{\mathrm{t}}(\boldsymbol{\phi})=\frac{1}{\sqrt{N}}\left[1, \mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathtt{π} \mathrm{sin} \varphi}, \cdots, \mathrm{e}^{\mathrm{j}(N-1) \mathtt{π} \sin \varphi}\right]^{\mathrm{T}} $，取sin φ= $-1, -1+\frac{1}{P_{\mathrm{s}}}, -1+\frac{2}{P_{\mathrm{s}}}, \cdots, 0, \cdots \frac{1}{P_{\mathrm{s}}}, \cdots, \frac{P_{\text{s}}-1}{P_{\mathrm{s}}} $.混合波束赋形向量是模拟预编码向量作为基，张成向量空间中的一个向量，移相器精度越高，空间的维数就越大，就可以更精确地表示任意一个向量.利用A=A_τ和压缩感知算法，上述问题可重述为

$ \min\limits _{\widetilde{\boldsymbol{B}}}\|(\boldsymbol{H} \boldsymbol{F} \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}}) \overline{\boldsymbol{A}} \boldsymbol{B}-\boldsymbol{I}\|_{\mathrm{F}}^{2}\\ \begin{array}{l}{\text { s.t. } \sum\limits_{k=1}^{K} \operatorname{tr}\left\{\overline{\boldsymbol{A}} \overline{\boldsymbol{B}} \overline{\boldsymbol{B}}^{\mathrm{H}} \overline{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{H}}\right\}=P_{\mathrm{max}}} \\ {\left\|\operatorname{diag}\left(\overline{\boldsymbol{B}} \overline{\boldsymbol{B}}^{\mathrm{H}}\right)\right\|_{0}=P_{\mathrm{t}}}\end{array} $

(17)

式(17)可用正交匹配追踪算法求解，伪码如下：

1) 初始: set A=[], $ \overline{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{T}}=\boldsymbol{I}, \overline{\overline {\boldsymbol{A}}} =(\boldsymbol{H} \boldsymbol{F} \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}})^{\mathrm{H}} \overline{\boldsymbol{A}}$

2) for i=1:P_rk do

$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}=\overline{\overline{\boldsymbol{A}}}^{\mathrm{H}} \overline{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{T}} $

i=arg max (diag(ΦΦ^H))

A=[A|A_{(:, i)}]

$\hat{\boldsymbol{A}}=(\boldsymbol{H} \boldsymbol{F} \widetilde{\widetilde{\boldsymbol{W}}})^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} $

$\overline{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{T}}=\frac{\boldsymbol{I}-\hat{\boldsymbol{A}} \widetilde{\boldsymbol{B}}}{\|\boldsymbol{I}-\hat{\boldsymbol{A}} \widetilde{\boldsymbol{B}}\|_{\mathrm{F}}} $

   end for

3) $\widetilde{\widetilde{\boldsymbol{B}}}=\sqrt{P_{\max }} \frac{\widetilde{\boldsymbol{B}}}{\|\boldsymbol{A B}\|_{\mathrm{F}}} $

4 仿真结果分析 4.1 仿真假设

仿真中散射路径数L_k=16，发射端天线间隔为半波长d=λ/2，天线数N=128，用户数K=4，用户k天线数M_k=32，复用符号数S_k=8.射频链个数P_t=KP_rk，总发射功率P_max=KS_k mW，平均信噪比为$\frac{P_{\mathrm{av}}}{\sigma^{2}}=\frac{K}{\sigma^{2}} $.

4.2 仿真结果及分析

基于正交匹配追踪算法的混合波束赋形与理想波束赋形^[14-15]的性能对比结果如图 2所示.在多用户大规模MIMO系统中，假设发射机信道状态信息已知，可利用块对角对算法有效地降低多用户干扰.设仿真参数不变，对数字和混合波束赋形系统中的发射端分别进行平均及注水功率分配^[16]，探究和用户速率随信噪比(SNR)的变化(见图 3)，使用迭代算法实现注水功率分配，以提高和用户速率.

从图 2可以看出，混合波束赋形的性能在低信噪比阶段与理想数字波束赋形之间差距小，随着信噪比的增加，差距逐渐增大.从图 3可以看出，通过功率注水分配后，数字和混合波束赋形的和用户速率都得到提高，混合波束赋形能够更好地接近数学波束赋形的和用户速率.

考虑到RF射频链路数、模数转换器个数、移相器精度等对混合波束赋形系统性能影响大，因此，针对RF链路中模数转换器个数对混合波束赋形性能的影响进行了仿真，并与理想情况下的数字波束赋形性能进行对比，仿真结果如图 4所示.针对移相器精度对混合波束赋形性能的影响进行了仿真，并与理想情况下的数字波束赋形性能进行对比，仿真结果如图 5所示.可以看到在大规模MIMO系统中，在一定的条件下，通过选择合适的模数转换器个数和移相器精度可以实现低开销的可靠通信.

从图 4中可以看出，在信噪比为－4 dB和6 dB时，随着RF链路中模数转换器数量的增加，混合波束赋形的性能迅速提升，并在模数转换器的数量为16时趋于稳定，与理想数字波束赋形的性能几乎一致.

从图 5可以看出，信噪比为－4 dB时，随着移相器精度增高，混合波束赋形与理想数字波束赋形之间的性能差距不断减小，并在模数转换器数量为10时趋于稳定，可以较好地接近理想数字波束赋形.在信噪比为－4 dB和6 dB时具有相同的趋势，但在性能差距趋于稳定后，信噪比为6 dB时的性能差距大于信噪比为－4 dB时的性能差距.

5 结束语

波束赋形可以为毫米波系统提供所需的天线增益，传统数字波束赋形在大规模MIMO系统中硬件开销大，而混合波束赋形通过合理设计可接近于传统波束赋形性能，因此广泛应用于毫米波大规模MIMO系统，虽然其射频链路数减少，但对模拟移相器的数量及精度有高的要求.笔者探究了具有大规模MIMO的毫米波通信系统中下行链路的多用户混合波束赋形，实现了基于OMP算法的有效混合波束赋形预编码解决方案，并对RF链路中模数转换器数量、移相器精度对混合波束赋形性能的影响进行了探究及分析，以达到与理想数字波束赋形系统相近的性能，实现低开销的可靠通信.