多传感器信息融合在现实中被越来越多地使用.然而，这些传感器信息由于受到测量精度、外界干扰以及一些不明因素的影响，不可避免的存在一定程度的不确定性.如何描述和处理这些不确定信息进而做出判断和决策是一个重要问题. D-S (Dempster-Shafer)证据理论^[1-2]作为贝叶斯理论的拓展，可以在不需要先验知识的情况下对不确定信息进行融合和处理，并能区分“不知道”和“不确定”，是一种有效的不确定表示和推理方法，在模式识别^[3-4]、故障诊断^[5-6]、目标识别^[7-8]等多个领域得到了广泛应用. Dempster组合规则是D-S证据理论的核心部分，但对高冲突证据进行组合时，常常会出现与直观相悖的结果.针对这一问题，国内外学者进行了大量研究，并提出了多种改进方法.一部分学者认为Dempster组合规则存在缺陷，主张通过修改组合规则将冲突在全局或局部上进行重新分配^[9-12]；另一部分学者则认为不是Dempster组合规则的问题，而是证据源模型不准确，主张在组合前对证据进行预处理来修正证据源.对组合规则的修改不仅计算复杂而且破坏了Dempster组合规则满足结合律、交换律的性质，在工程实践中难以进行推广.因此，多数研究者更倾向于采用修正证据源的思想，正如Haenni^[13]所认为的对数据模型的修改无论在工程、数学和哲学上来说都更为合理.

基于修正证据源的思想主要有2种方法：一种是加权平均法；另一种是折扣系数法.基于第1种方法，Murphy^[14]先将证据进行算术平均，然后再利用Dempster组合规则对平均后的证据进行组合，有效地抑制了干扰对合成结果的影响，取得了较好的收敛速度和聚焦效果.在此基础上Deng等^[15]进行了改进，根据证据之间的相互支持程度分配不同的权重，更好地抑制了干扰的影响，收敛速度和聚焦效果进一步增强.基于第2种方法，胡昌华等^[16]先利用证据间Pignistic概率距离评价出证据的可靠度，并引入信息熵构造折扣系数，然后利用Dempster组合规则对折扣后的证据进行组合，获得了良好的融合效果.在上述典型方法基础上，研究者还陆续提出了一些新的组合方法^[17-19].通过分析可知，这些方法通常先依据某种度量规则评价出每个证据的可信度或可靠度，再据此分配给每个证据不同的权重或折扣系数，以达到抑制冲突证据对合成结果的影响的目的，其本质上都可看作不同的权重赋值方法.由于影响证据合成结果的因素较多，现有修正证据源的方法往往只是从单一的角度对证据进行评价，考虑不够全面，存在一定的不足.

笔者通过构造证据基本概率分配(BPA，basic probability assignment)矩阵，利用BPA矩阵最小奇异值衡量证据间的冲突，与其他冲突衡量方法相比该方法更为准确.但奇异值只能对2个证据之间的冲突程度进行有效衡量，却无法衡量多个证据之间的全局冲突程度.证据虚假度可以在一定程度上弥补奇异值这一不足，两者可从不同的角度反映证据的可信性.基于以上考虑，将奇异值与虚假度相结合提出了一种新的证据组合方法，并通过数值算例验证了方法的有效性.

1 理论基础

设Θ是由两两互斥元素组成的识别框架，2^Θ为Θ的幂集，是由其所有子集构成的集合.

定义1  令Θ为识别框架，若m: 2^Θ→[0, 1]，并满足以下条件^[2]：

$ \left. \begin{array}{l} m\left( A \right) \ge 0,\forall A \subseteq \mathit{\Theta }\\ \sum\limits_{A \subseteq \mathit{\Theta }} {m\left( A \right) = 1} \\ m\left( \emptyset \right) = 0 \end{array} \right\} $

(1)

其中Ø为空集，则称m为一个BPA，也称为mass函数.若m(A) >0，则称A为焦元.

定义2  设m_i(i=1, 2, …, n)是识别框架Θ上的n个BPA，则Dempster组合规则^[2]为

$ m\left( A \right)\left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;A = \emptyset \\ \frac{{\sum\limits_{ \cap {A_j} = A} {\prod\limits_{i = 1}^n {{m_i}\left( {{A_j}} \right)} } }}{{1 - k}},\;\;\;A = \emptyset \end{array} \right. $

(2)

其中k称为冲突系数^[2]，定义为

$ k = \sum\limits_{ \cap {A_j} = \emptyset } {\prod\limits_{i = 1}^n {{m_i}\left( {{A_j}} \right)} } $

(3)

冲突系数k用于描述证据之间的冲突程度，k越大冲突越大. Dempster组合规则满足结合律和交换律等性质，是证据组合中最常用的规则.

定义3  若m为识别框架Θ上的BPA，BetP_m:2^Θ→[0, 1]，且满足以下条件^[20]：

$ {\rm{Bet}}{P_m}\left( A \right) = \sum\limits_{A \subseteq B \subseteq \mathit{\Theta }} {\frac{{\left| {A \cap B} \right|}}{{\left| B \right|}}\frac{{m\left( B \right)}}{{1 - m\left( \emptyset \right)}}} ,\forall A \subseteq \mathit{\Theta } $

(4)

其中|B|为子集B中包含元素的个数，则称BetP_m为Θ上与m对应的Pignistic概率转换函数.

2 新的证据组合方法

加权平均法和折扣系数法是修正证据源的2种主要方法，各有优劣.目前针对如何评价证据组合方法的性能还没有统一的标准，收敛速度与聚焦效果是普遍采用的2个指标.由于折扣系数法需要将证据的不可靠部分概率赋予识别框架，再通过证据间的组合进行重新分配，对收敛速度和聚焦效果都会造成不利的影响，从这个角度分析，加权平均法具有一定的优势.因此，笔者采用加权平均法.首先利用奇异值计算出两两证据间的冲突及相近度，并以此为基础定义证据可信度；再利用证据虚假度对证据可信度进行修正生成证据权重，n个证据BPA根据分配的权重进行加权平均；最后利用Dempster规则对加权平均后的证据组合n-1次得到最终合成结果.

2.1 常用证据冲突衡量方法及其不足

冲突系数k是由Shafer提出的关于证据冲突衡量最常用的方法，然而在实际应用中并不总是有效，如例1所示.

例1  设识别框架Θ={ω₁，ω₂，ω₃，ω₄，ω₅}，有2组证据BPA.

第1组：m₁({ω₁})=0.2，m₁({ω₂})=0.2，m₁({ω₃})=0.2，m₁({ω₄})=0.2，m₁({ω₅})=0.2；m₂({ω₁})=0.2，m₂({ω₂})=0.2，m₂({ω₃})=0.2，m₂({ω₄})=0.2，m₂({ω₅})=0.2.

第2组：m₁({ω₁})=0.8，m₁({ω₂，ω₃，ω₄，ω₅})=0.2；m₂(Θ)=1.

根据式(3)计算可得，第1组证据的冲突系数k=0.8，第2组证据的冲突系数k=0.依据计算结果，第1组完全相同的证据被判定存在较大冲突，明显与实际不符；而第2组存在较大差异的证据被判定没有冲突，也明显不合理.由此可见，冲突系数k衡量证据冲突存在不足.针对这一问题，研究人员先后提出了一些新的衡量方法.比较典型的有以下几种.

定义4  若m₁、m₂是识别框架Θ上的2个BPA，Θ由n个互斥元素构成，则m₁与m₂之间的Jousselme证据距离^[21]为

$ {d_{{\rm{BPA}}}}\left( {{m_1},{m_2}} \right) = \sqrt {\frac{1}{2}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{m}}_2}} \right)}^{\rm{T}}}D\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{m}}_2}} \right)} $

(5)

其中：m₁与m₂分别为m₁、m₂对应的2ⁿ维列向量表示形式；D为2ⁿ×2ⁿ矩阵，其元素为

$ \mathit{\boldsymbol{D}}\left( {A,B} \right) = \frac{{\left| {A \cap B} \right|}}{{\left| {A \cup B} \right|}},A,B \subseteq \mathit{\Theta } $

(6)

定义5  若识别框架Θ上的2个BPA为m₁、m₂，其相应的Pignistic概率转换分别为BetP_m1、BetP_m2，则m₁与m₂之间的Pignistic概率距离^[22]为

$ {\rm{difBet}}P\left( {{m_1},{m_2}} \right) = \mathop {\max }\limits_{A \subseteq \mathit{\Theta }} \left( {\left| {{\rm{Bet}}{P_m} - {\rm{Bet}}{P_m}} \right|} \right) $

(7)

d_BPA通过引入BPA空间向量利用向量距离来衡量证据之间冲突，而difBetP通过引入BPA的Pignistic概率转换利用Pignistic概率距离来衡量证据之间冲突.另外，在此基础上有些学者还提出了一些新的冲突衡量方法.比如，蒋雯等^[23]提出了利用冲突系数k与d_BPA的算术平均、李昌玺等^[19]提出了利用冲突系数k与difBetP的均方根来衡量证据冲突.但这2种方法在衡量2个完全相同的证据时和利用冲突系数k相似可能会出现明显的偏差.比较而言，d_BPA和difBetP方法要更为合理.如例1中的2组证据，利用式(5)计算d_BPA分别为0、0.732 1；利用式(7)计算difBetP分别为0、0.6. 2种方法的判断结果都与实际相符，在一定程度上克服了冲突系数k的缺陷.

例2  设识别框架Θ={ω₁，ω₂，ω₃}，有3个证据的BPA如下：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{m_1}\left( {\left\{ {{\omega _1}} \right\}} \right) = 1;{m_2}\left( {\left\{ {{\omega _1}} \right\}} \right) = 1/3,{m_2}\left( {\left\{ {{\omega _1}} \right\}} \right) = 1/3,}\\ {{m_2}\left( {\left\{ {{\omega _3}} \right\}} \right) = 1/3;{m_3}\left( \mathit{\Theta } \right) = 1} \end{array} $

从直观上分析，m₁完全支持ω₁，m₂部分支持ω₁，而m₃不直接支持ω₁，因此m₁与m₃之间的冲突较m₁与m₂之间的冲突要大.在证据理论中代表 2个不同概念，m₂表示不确定，m₃表示不知道，因此两者也存在一定冲突但相对较小.由此可得，3个证据之间的冲突关系应为conf(m₁，m₃)>conf(m₁，m₂)>conf(m₂，m₃).现用d_BPA和difBetP对3个证据之间的冲突进行衡量，根据式(5)计算d_BPA为：d_BPA(m₁，m₃)=0.816 5，d_BPA(m₁，m₂)=0.577 4，d_BPA(m₂，m₃)=0.577 4；根据式(7)计算difBetP为：difBetP (m₁，m₃)=0.666 7，difBetP (m₁，m₂)=0.666 7，difBetP (m₂，m₃)=0.可见，2种方法对于冲突的判别都与分析结果存在偏差，仍然存在一定的不足.

2.2 奇异值衡量证据冲突方法

奇异值衡量证据冲突的思想来源于对一种2行矩阵性质的分析，矩阵2行元素差异大小的变化与矩阵的最小奇异值大小变化保持一致.在以前的研究中曾采用证据焦元矩阵的最小奇异值来衡量证据间的冲突^[24]，该方法虽然结构简单，但也造成了部分信息的损失.为此，对其进行了相应的改进.

定义6  若识别框架Θ上的2个BPA为m₁、m₂，Θ由n个互斥元素构成，则m₁与m₂可分别视为2ⁿ维的行向量m₁与m₂.则2个BPA对应的矩阵定义为

$ \mathit{\boldsymbol{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_1}\left( {{C_1}} \right)}&{{m_1}\left( {{C_2}} \right)}& \cdots &{{m_1}\left( {{C_{{2^n}}}} \right)}\\ {{m_2}\left( {{C_1}} \right)}&{{m_2}\left( {{C_2}} \right)}& \cdots &{{m_2}\left( {{C_{{2^n}}}} \right)} \end{array}} \right],{C_i} \subseteq \mathit{\Theta } $

(8)

其中，如果C_i不是m_i的焦元，则m_i(C_i)取零.

定义7  若识别框架Θ上的2个BPA为m₁、m₂，对应的BPA矩阵为H，则m₁与m₂之间的冲突度量定义为

$ {d_{{\rm{SV}}}} = \min \left( {\sigma \left( {\mathit{\boldsymbol{HD}}} \right)} \right) $

(9)

其中：σ(HD)为矩阵HD的奇异值；D为2ⁿ×2ⁿ矩阵，其元素为

$ \mathit{\boldsymbol{D}}\left( {{A_i},{A_j}} \right) = \frac{{\left| {{A_i} \cap {A_j}} \right|}}{{\left| {{A_i} \cup {A_j}} \right|}},{A_i},{A_j} \in {2^\mathit{\Theta }} $

(10)

由式(9)可以看出，该方法既考虑了2个证据BPA大小的差异，也考虑了其元素之间的联系，分析更加全面.利用该方法对例1中的2组证据冲突进行衡量可得d_SV分别为0和0.670 5，判断结果与实际相符.对例2中3个证据BPA经计算可得d_SV(m₁，m₃)=0.666 7>d_SV(m₁，m₂)=0.441 9>d_SV(m₂，m₃) =0.296 1，证据之间的冲突程度与前述分析结果一致.

可见，d_SV能够正确地衡量2个证据之间的冲突，并且与其他一些常用方法相比更为合理和有效.另外，容易证明d_SV还满足以下性质：

1) 0≤d_SV (m₁，m₂)≤1；

2) d_SV (m₁，m₂)=d_SV (m₂，m₁)；

3) m₁=m₂$ \Leftrightarrow $d_SV (m₁，m₂)=0.

2.3 证据可信度

根据前述可知，如果2个证据BPA矩阵的d_SV越大，则证据间的冲突越大相近度越低，反之冲突越小相近度越高.相近度同时也反映了2个证据间的相互支持程度，相近度越高支持程度越高，反之亦然.

定义8  若识别框架Θ上的2个BPA为m₁、m₂，则m₁与m₂之间的相近度定义为

$ {\rm{Sim}}\left( {{m_1},{m_2}} \right) = 1 - {d_{{\rm{SV}}}}\left( {{m_1},{m_2}} \right) $

(11)

如果识别框架Θ上有n个证据m₁，m₂，…，m_n，则两两证据间的相近度可表示为如下矩阵形式：

$ \mathit{\boldsymbol{S}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{m_1},{m_1}} \right)}&{\left( {{m_1},{m_2}} \right)}& \cdots &{\left( {{m_1},{m_n}} \right)}\\ {\left( {{m_2},{m_1}} \right)}&{\left( {{m_2},{m_2}} \right)}& \cdots &{\left( {{m_2},{m_n}} \right)}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ {\left( {{m_n},{m_1}} \right)}&{\left( {{m_n},{m_2}} \right)}& \cdots &{\left( {{m_n},{m_n}} \right)} \end{array}} \right] $

(12)

由于Sim(m_i，m_i)=1，Sim(m_i，m_j)=Sim(m_j，m_i)，因此，S矩阵是一个主对角线为1的对称矩阵.

定义9  若识别框架Θ上有n个证据m₁，m₂，…，m_n，则证据m_i的可信度定义为

$ {\rm{Crd}}\left( {{m_i}} \right) = \frac{{\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^n {{\rm{Sim}}\left( {{m_i},{m_j}} \right)} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^n {{\rm{Sim}}\left( {{m_i},{m_j}} \right)} } }} $

(13)

其中：$\sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n $Sim(m_i, m_j)为证据m_i与其他证据间的相近度之和，表示证据m_i被其他证据支持程度；$\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n } $(m_i, m_j)是所有证据被支持程度之和，为归一化因子.通常情况下，如果一个证据被其他证据支持程度越高，那么有理由相信该证据越可信，在证据组合中应适当增大其权重，以加强其对合成结果的影响.但d_SV只能对两两证据之间的冲突进行正确衡量，而无法有效衡量某一证据对于所有证据间全局冲突的影响，且证据的可信度仅仅通过两两证据间的相近度之和来确定理由又不够充分.比如，同一识别框架下有4个证据分别为m₁、m₂、m₃、m₄，且有Sim(m₁，m₂)=0.05，Sim(m₁，m₃)=0.05，Sim(m₁，m₄)=0.8；Sim(m₂，m₁)=0.05，Sim(m₂，m₃)=0.5，Sim(m₂，m₄)=0.35.证据m₁和m₂被其他证据支持程度相同都是0.9，根据式(13)其可信度也相同，如果以此可信度作为证据权重，2个证据分配权重相同，其对于合成结果的影响也相同，这显然是不尽合理的.因此，有必要对证据可信度做进一步修正.

2.4 证据虚假度

证据虚假度(falsity)由Schubert提出，是一种基于冲突系数k定义的证据冲突度量方法.

定义10  设识别框架Θ上的n个BPA分别为m₁，m₂，…，m_n，k₀为n个BPA的全局冲突系数，k_j为去除m_j之后剩余证据的冲突系数，则证据m_j的虚假度定义^[25]为

$ F\left( {{m_j}} \right) = \frac{{{k_0} - {k_j}}}{{1 - {k_j}}} $

(14)

其中

$ {k_0} = \sum\limits_{ \cap {A_k} = \emptyset } {\prod\limits_{i = 1}^n {{m_i}\left( {{A_k}} \right)} } $

(15)

$ {k_j} = \sum\limits_{ \cap {A_k} = \emptyset } {\prod\limits_{i = 1,i \ne j}^n {{m_i}\left( {{A_k}} \right)} } $

(16)

由于1≥k₀≥k_j，故1≥F(m_j)≥0.根据式(14)，当F(m_j)=0时，则k₀=k_j，说明m_j对全局冲突没有影响；当F(m_j)=1时，则k₀=1且k_j≠1，说明m_j为主要冲突证据；当1>F(m_j)>0时，说明m_j对全局冲突有影响，且F(m_j)越大，对全局冲突的贡献越大.特别地，当只有2个证据m₁、m₂时，F(m₁)=F(m₂)= k₀.

2.5 证据权重分配

通过上述分析可知，利用d_SV确定的证据可信度是建立在两两证据之间冲突(支持程度)基础上的，存在一定的不足，而证据的虚假度可以从全局冲突的角度反映证据的可信性，两者具有一定的互补性，可以将两者结合起来以确定证据的权重.如果一证据可信度较高且虚假度较小，则该证据更为可信，应进一步加大其权重以加强其对合成结果的影响；如果一证据可信度较低且虚假度较大，则该证据更加不可信，应进一步减小其权重以削弱其对合成结果的影响.因此，利用虚假度对建立在d_SV基础上的证据信任度进行修正以生成证据权重.

定义11  设识别框架Θ上的n个BPA分别为m₁，m₂，…，m_n，则证据的权重定义为

$ \beta \left( {{m_i}} \right) = \frac{{{\rm{Crd}}\left( {{m_i}} \right)\exp \left( { - \alpha F\left( {{m_i}} \right)} \right)}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{\rm{Crd}}\left( {{m_i}} \right)\exp \left( { - \alpha F\left( {{m_i}} \right)} \right)} \right]} }} $

(17)

其中α>0为负指数函数参数，α取值越大对于虚假度大的证据抑制作用越强.

式(17)中，Crd(m_i)exp(-αF(m_i))为虚假度对可信度的修正，$\sum\limits_{i = 1}^n $[Crd(m_i)exp(-αF(m_i))]为归一化因子.以β(m_i)作为权重按照如下方式对所有证据BPA进行加权平均：

$ {m_{{\rm{WAE}}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\beta \left( {{m_i}} \right){m_i}} \right)} $

(18)

容易验证m_WAE满足定义1中的3个条件，是识别框架Θ上的一个BPA.

2.6 证据组合步骤

对识别框架Θ上n个证据的BPA分别为m₁，m₂，…，m_n，利用奇异值与虚假度的证据组合步骤可总结如下：

1) 利用d_SV计算出两两证据之间的冲突和相近度；

2) 由两两证据之间的相近度计算出每个证据的可信度；

3) 计算出每个证据的虚假度；

4) 利用虚假度对可信度进行修正并生成各证据权重；

5) 利用权重对所有证据BPA进行加权平均；

6) 对加权平均后的BPA利用Dempster规则组合n-1次，得到最终融合结果.

3 数值算例

为了验证所提方法的有效性，通过对算例利用不同组合方法的融合结果对比分析来说明.

例3  针对某隔振系统常见故障诊断中，设识别框架Θ={ω₁，ω₂，ω₃}，其中ω₁表示信号中断，ω₂表示负载受到外力，ω₃表示激振频率突变.利用5个不同传感器进行检测，根据传感器测量数据可得到以下证据：

$ \begin{array}{l} {m_1}\left( {\left\{ {{\omega _1}} \right\}} \right) = 0.5,{m_1} = \left( {\left\{ {{\omega _2}} \right\}} \right) = 0.2,{m_1}\left( {\left\{ {{\omega _3}} \right\}} \right) = \\ 0.3; \end{array} $

$ {m_2}\left( {\left\{ {{\omega _1}} \right\}} \right) = 0,{m_2}\left( {\left\{ {{\omega _1}} \right\}} \right) = 0,9,{m_2}\left( {\left\{ {{\omega _3}} \right\}} \right) = 0.1; $

$ \begin{array}{l} {m_3}\left( {\left\{ {{\omega _1}} \right\}} \right){\rm{ = }}0.55,{m_3}\left( {\left\{ {{\omega _2}} \right\}} \right) = 0.1,{m_3}\left( {\left\{ {{\omega _3}} \right\}} \right) = \\ 0.35; \end{array} $

$ \begin{array}{l} {m_4}\left( {\left\{ {{\omega _1}} \right\}} \right) = 0.55,{m_4}\left( {\left\{ {{\omega _2}} \right\}} \right) = 0.1,{m_4}\left( {\left\{ {{\omega _3}} \right\}} \right) = \\ 0.35; \end{array} $

$ \begin{array}{l} {m_5}\left( {\left\{ {{\omega _1}} \right\}} \right) = 0.55,{m_5}\left( {\left\{ {{\omega _2}} \right\}} \right) = 0.1,{m_5}\left( {\left\{ {{\omega _3}} \right\}} \right) = \\ 0.35. \end{array} $

几种组合方法的合成结果如表 1所示.其中所提方法中α=3，α取值越大对虚假度大的证据抑制作用越明显，同时也会对有用信息产生抑制作用，因此不宜过大.根据表 1，Dempster组合规则无法有效融合冲突证据，由于m₂({ω₁})=0，不管其后的证据对{ω₁}的支持度有多高，合成结果m({ω₁})始终为0.文献[9, 11]方法都是属于修改证据组合规则的方法，2种方法的组合结果效果都不理想.文献[9]方法的合成结果m({ω₁})也始终为0，并且随着证据的增加，m (Θ)不断增大，无法形成有效决策.文献[11]方法对文献[9]方法进行了改进，随着证据数量增加m({ω₁})增大但收敛速度较慢且m(Θ)减小不明显，收集5个证据仍然无法形成有效决策.文献[14-16]方法及所提方法都是属于修正证据源的方法，几种方法最终都能形成准确决策，效果明显优于修改组合规则的方法.文献[14-15]方法和所提方法都是加权平均法，文献[14]方法只是对证据进行简单平均分配相同的权重，没有考虑证据之间的差异性，证据增加到4个时才能做出准确决策.文献[15]方法在文献[14]方法上进行了改进，通过引入证据距离评价证据的可信度进而分配不同的权重，在增加到第3个证据时便可做出正确决策，收敛速度和聚焦效果明显增强.所提方法也是在增加到第3个证据时形成正确决策，但合成结果m({ω₁})数值要大于文献[15]方法，说明所提方法收敛速度和聚焦效果要更好，更利于在较少证据下形成准确决策，这是因为所提方法同时考虑了可信度和虚假度，从2个角度对证据的可信性进行了综合评价，所以权重分配更加合理.文献[16]方法是证据折扣法，通过将不可靠部分概率赋予识别框架Θ，再利用Dempster组合规则进行重新分配，该方法虽然在证据增加到第3个时就形成了正确决策，但合成结果m({ω₁})数值明显小于文献[15]方法和所提方法，收敛速度和聚焦效果要稍差一些.

例3中证据都为单子集焦元，下面以含有多子集焦元证据为例，对所提方法和文献[15]方法进行对比分析，进一步验证所提方法的有效性.

例4  在某一空中多目标识别系统中，设识别框架Θ={ω₁，ω₂，ω₃}，其中ω₁代表民航客机，ω₂代表轰炸机，ω₃代表导弹；对于两者组合，如{ω₁，ω₂}表示民航客机或轰炸机，具体无法确定.通过5个不同传感器获取的证据如下：

m₁({ω₁})=0.4，m₁({ω₂})=0.2，m₁({ω₃})=0.1，m₁({ω₁，ω₂})=0.3；m₂({ω₁})=0.75，m₂({ω₁})=0.15，m₂({ω₃})=0.05 ，m₂(Θ)=0.05；m₃({ω₁})=0，m₃({ω₂})=0.9，m₃({ω₃})=0.1；m₄({ω₁})=0.35，m₄({ω₂})=0.15，m₄({ω₃})=0.25，m₄({ω₁，ω₂})=0.2，m₄(Θ)=0.05；m₅({ω₁})=0.5，m₅({ω₂})=0.1，m₅({ω₂，ω₃})=0.15，m₅(Θ)=0.25.

从5个证据的BPA可以看出，除了证据m₃对{ω₂}有较大支持程度外，其他4个证据都比较倾向于{ω₁}，因此可以判断证据m₃为干扰项，合理的决策结果应该为{ω₁}.所提方法和文献[15]方法的合成结果如表 2所示.其中所提方法α=3与例4相同.根据表 2，2种组合方法的最终合成结果对{ω₁}的支持度都是最高的，都能做出正确决策，与直观分析结果一致.从合成过程可以看出，当干扰证据m₃加入时，2种方法合成结果对{ω₁}支持度都有所降低，但所提方法下降相对较小.这是因为所提方法中引入了虚假度对证据可信度进行了修正，对于证据m₁、m₂、m₃，证据m₃的虚假度较大达到了0.87，通过修正减小了其权重，所以更有效抑制了其对合成结果的影响，也进一步增强了合成的收敛速度和聚焦效果.

4 结束语

Dempster组合规则在合成高冲突证据时会出现有悖于直观的结果，针对这一问题笔者提出了奇异值与虚假度结合修正证据源的新的证据组合方法. 2个证据BPA构成的矩阵最小奇异值可比较准确地衡量出证据间的冲突程度，可从两两证据之间冲突角度对证据的可信性做出评价，而证据虚假度可从全局冲突的角度对证据的可信性进行评价，因此两者结合对证据评价更为全面.

通过算例分析表明，所提出的方法能有效处理多种情况下的冲突证据的组合问题，并且具有较快的收敛速度和良好的聚焦效果.但合成悖论形式多样、原因复杂，所提方法并不能解决所有情形下的合成悖论问题，因此如何与更多的因素结合以扩大方法的适用范围还需要进一步研究.